数学解题方法 — 配方法
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数学解题方法 — 配方法
1、形如：222b ab a +±的配方
（1）若ABC c b a ∆是,,的三条边长，且)(3)(2bc ac ab c b a ++=++，求证：ABC ∆是等边三角形。 【解】因为)(3)(2bc ac ab c b a ++=++，所以 0222=---++ac bc ab c b a
所以 022*******=---++ac bc ab c b a 得：0)()()(222=-+-+-c a c b b a 所以 0,0,0=-=-=-c a c b b a ，得：c b a ==，故ABC ∆是等边三角形。 （2）解方程：311610-+=
+-+x x x
【解】
319161-+=++-+x x x ， 即：31)31(2
-+=-+x x
即：3131-+=-+x x ，所以 031≥-+x ，解得8≥x
2、形如：ab a 22±的配方 （3）分解因式：34561202+-x x
【解】原式=)72)(48(144)60(34563600360012022--=--=+-+-x x x x x （4）已知x y x 62322=+，求22y x +的最大值。 【解】因为x y x 62322=+，所以)36(2
122
x x y -=，得2
9)3(2
132
12
2
2
2+
--
=+-
=+x x x y
x
又 因为0)36(2
12
2
≥-=
x x y ，即20≤≤x ，故当2=x 时，2
2y x +有最大值4。
3、形如：2
2b a +的配方
（5）设βα,是关于x 的方程02442=++-m mx x 的两个实数根，当2
2
βα
+取最小值时，
求实数m 的取值范围。
【解】由根与系数关系，得：4
2,+==+m m αββα， 故 αββαβ
α
2)(2
2
2
-+=+
16
17)4
1(2
22
2
-
-
=+-
=m m m ；又因为βα,是方程的两个实数根，所以0≥∆
即03216162
≥--m m ，解得21≥-≤m m 或，故当4
1-
=m 时，2
2
βα
+取最小值
2
1
（6）解方程：①0653856234=++-+x x x x ②012845458122
3
4
5=-++--x x x x x 【注】倒数方程的性质：（高次方程也可以利用“多十字相乘法”降次求解） ①如果有一个根是α，则必有另一个根是
α
α
1
1
-
或； ②奇次倒数方程必有一个根是1或-1。
【解】①因为0≠x ，方程两边同除以2x 得：038)1(5)1(62
2=-+++
x
x x
x 配方得：0)1033)(522(,050)1(5)1(62
=++
-+
=-+
++
x
x x
x x
x x
x 即：
解得：3
1,3,2
1,24321-
=-===x x x x
【解】②显然1=x 是方程的根，两边同除以1-x 得：012441412234=++-+x x x x
因为0≠x ，方程两边同除以2x 得：041)1(4)1(122
2=-+
++x
x x
x （以下解法同①）
所以原方程的根为：2
1,2,3
2,2
3,154321-
=-==
=
=x x x x x
4、形如：ab 2±的配方 （7）解方程：
x x x x x 2255252
-=++++
【解】因为x x x x x 5252)5(2
2+++=++
，
所以原方程可化为030)5()5(2
=-+++++x x x x
所以0)65)(
55(=+++
-++
x x x x ，解得：4=x
（8）化简：
x
x x x cos sin 1cos sin 2++ 【解】原式=
x
x x x x
x x x cos sin 11)cos (sin cos sin 11cos sin 212
++-+=
++-+
1c o s s i n c o s s i n 1)
1c o s )(s i n 1c o s (s i n -+=++-+++=
x x x
x x x x x
三、换元法
1、整体换元
（1）设01132=+-a a ，求 512122
3+--a a a 的值。
【解】()()4400411313512122
2
3
2
3
=++=++-++-=+--a a a a a a a a
（2）解方程x x x x =--
++-1112
【解】由122)11(2
2
-+=++-x x x x 故原方程化为1212)
11(2
++-=++
-x x x x
令11++
-=x x y 得：2,0,02212
===-y y y y ，分别代入解得：4
5=
x
2、均值换元
（1）分解因式：4)87)(47(2
2++-+-x x x x 【解】设
y x x x x x x =+-=+-++-67)8747(2
12
2
2
，则原式=2
4)2)(2(y y y =+-+
所以原式=2
2
2
2
2
)6()1()]6)(1[()67(--=--=+-x x x x x x
（2）解方程：4)1)(73()53(2
=+++x x x