运筹学复习题(推荐)

运筹学复习资料

基本要求

一、将线性规划化为标准型和写出相应的对偶规划； 二、用图解法求解具有两个决策变量的线性规划问题； 三、用单纯形方法及人工变量法求解线性规划问题； 四、灵敏度分析；

五、整数规划与分枝定界法，0-1规划与隐枚举法，指派问题 六、求解产销平衡的运输问题和产销不平衡的运输问题； 七、动态规划与求解。

例题选讲

例：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这些产品分别需要在A 、B 、C 、D 四种不同的设备上加工。按工艺规定：产品Ⅰ和Ⅱ在个设备上所需要的加工时数于下表中。已知各设备在计划期内的有效台时数分别是12、8、16和12。该工厂每生产一件产品Ⅰ可得利润2圆，每生产一件产品Ⅱ可得利润3圆，问：应如何安排生产，可获得最大利润。

解 设生产产品Ⅰ和Ⅱ分别为1x 和2x 件，则由条件可得关系

max 12 23z x x =+

1212121

2231228

4162412

x x x x x x x x ⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪⎩+≤+≤+≤+≤ 0,1,2

i x i ≥= ⑴标准型的概念：

①目标函数为极大化； ②资源常数0i

b ≥； ③约束条件关系为等式； ④决策变量0i x ≥。

例： 将下面的线性规划化为标准型

m i n 12343425z x x x x

=-+-+ 123412341234422

3142322

x x x x x x x x x x x x ⎧⎪

⎨⎪

⎩-+-=-++-≤-+-+≥

123400,,0,x x x x ≥≤≥无非负限制

解

max 719383425

5z z x x x x x +=-=+-+' 71938751938719386422

31423222

x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧-⎪

-⎨⎪

-⎩--+-=+-++=--+--=

9

571368,,,,,,0.x x x x x x x ≥

二、图解法

例 用图解法求解线性规划问题 极大化

1223z x x =+

1212284 16 412

x x x x ⎧⎪

⎨⎪

⎩+≤≤≤

0,1,2i x i ≥=

解：最优解(4,2),14X

z ==

三、单纯形方法

对于具有两个以上决策变量的线性规划问题，我们采用单纯形方法进行求解。具体过程是：

⑴建立单纯形表，在单纯形表中，务必使基变量的价值系数为零，则检验数行是价值系数行的相反数； ⑵若检验数0,σ

≥则当前解为最优解（当前解是基变量取相应的资源常数，非基变量

取为零）；若存在检验数0σ<，则要进行相应的换基，即：迭代；

⑶①进基：进基变量

s x ： min{0}s i i σσσ=<

②出基：出基变量k x 为第r 行所对应的基变量，r 由下面的关系确定

min 0i r is rs is b b a a a ⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭

''=>

③以主元rs a 进行迭代，目标：主元化为1，该列的其余元化为零。 ⑷再一次判定当前解是否为最优解。

例 用单纯形法求解线性规划 极大化

123

235z x x x =+- 1231

237

25310x x x x x x ⎧⎨⎩++≤-+≤

0,1,2,3i x i ≥=

解 引入松弛变量54,x x ，得到原规划的标准型 极大化

5123423500

z x x x x x =+-++ 12345123725310

x x x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩+++=-++= 0,1,2,3,4,5i x i ≥=

单纯形表为

[]1234545

25

23500111107253011023500011110770851451

8

3

21

x x x x x x c x x x x σ

σ

---- 所以，最优解为,(0,7,0)t 最优解值为21.

人工变量法

对于约束条件中没有m 阶单位阵的线性规划，通过引入适当的人工变量，再加以求解。

1. 大M 法

在大M 法中，引入的人工变量的价值系数为M -，而相应的约束条件系数向量为单位向量。

2.二阶段法

例 用人工变量法求解线性规划。

max 1243z x x =+

s.t. 12312346,232

x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩++≤++≥ 123,0,x x x ≥符号不限。

例 求解规划

max 1234323,

z x x x x =++-

1231231

2342315

2320,10,x x x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪+++=

⎩

0,1,2,3,

4i x i ≥= 建立对偶规划的要点

⑴原规划是极大化，则对偶规划是极小化；

⑵原规划的价值系数是对偶规划中的资源常数；

⑶原规划与对偶规划的约束条件系数矩阵为矩阵的转置关系；

⑷原规划中的第i 个决策变量无非负限制，则对偶规划中的第i 个约束条件为等式； ⑸原规划中的第i 个决策变量非正，则对偶规划中的第i 个约束条件取反向不等式；

例 求下面问题的对偶规划

极大化

12343257z x x x x

=--+ 1234134123423272

+223248

x x x x x x x x x x x ⎧⎪

⎨⎪

⎩+-+≥---≤--+-≥

12340,0,0,x x x x ≥≥≤无非负限制。

解 极小化

123

238w y y y =--+