二次函数的图象与性质(2)

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二次函数的图像与性质1-2

5.2二次函数的图像与性质（2）1．(1)观察函数y x 21＝2和y x 2＝2、y x -21＝2和y x -2＝2图像． (2)想一想:这四个图像各有什么特征？(3)归纳:二次函数y ＝ax ²的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴．当a ＞0时，抛物线的开口，顶点是抛物线的．当a ＜0时，抛物线的开口，顶点是抛物线的．2. 探索活动(1)想一想:观察y ＝ax ²的图像，你还能发现什么？（2）如何用变量x 、y 的值的变化来描述图像的上升、下降？a ＞0时，当x ＜0时，y 随x 的增大；当x ＞0时，y 随x 的增大；当x ＝0时，y 有最小值，最小值为．a ＜0时，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 的增大而减小；当时，y 有最大值，最大值为0．3. 说一说快速说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值．（1）y ＝－3x ² ；（2）y ＝0.6x ²；（3）y ＝0.75x² ；（4）y ＝－100x ²．4、例题讲解例1、已知函数2(1)m m y m x ＋＝－是二次函数且其图像开口向下，（1）求m 的值和函数解析式．（2）x 在什么范围内，y 随x 的增大而增大；y 随x 的增大而减小．例2、函数y ＝ax ²（a ≠0）与直线y ＝2x －3交于点（1，b )，求：（1）a 与b 的值．（2）求抛物线y ＝ax ²的解析式，并求顶点坐标和对称轴．5、小结与思考在本节课中：我学到了什么？我还有什么疑问？中午作业1．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而减少．求该函数的表达式.2．二次函数y ＝ax ²（a ≠0）的经过点A （1，-1）、B （2，b ）.⑴点A 的对称点的坐标是，点B 的对称点的坐标是； ⑵求该函数的表达式；⑶若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值；⑷点E （-3，6）在不在这个函数的图象上？为什么？y=ax 2 (a≠0)a>0 a<0 图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值。

2 二次函数的图象与性质(2)

倍速 2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). 课 (2)最值不同:分别是c和0. 时 3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象沿y轴整体平移学 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移). 练
习题
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需
二次函数y=-3x2-1的图象是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3x2+1的图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).
y 3x 2
y 3x 2 1
二次函数y=3x2+1的图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是原点(0,0)和(0,-1).
y 3x 2 1
y 3x2
倍速课时学练
位置不同; 最大值不同分别是1和0
二次项系数为正数3,开口向上;开口大小相同;对称轴都是y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和 y=-3x2的图象,会是什么样?
…
18
8
2
0
2
8
18
…
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
y x2
y 2x2
只是开口大小不同.
的性质

6.2二次函数的图象和性质2

m2 m
4、已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。 (1）求a的值；（2）点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？思考: 5、已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<-3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围. 6、已知抛物线y=ax2过M（-2，-2）（1）求出这个函数关系式并画出函数图象。（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出△MON的面积。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2, 解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）因为 4 2(1) 2 所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上。
x 3 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
x
y 2x2
课堂练习
1、根据左边已画好的函数图象填空：
（0，0）（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是
,
对称轴是
2 2 y x 3
y轴
，在
对称轴的右对称轴的左 0 0
侧，
时，
y随着x的增大而增大；在
侧，
y随着x的增大而减小，当x=
函数y的值最小，最小值是
线y=2x2在x轴的（2）抛物线
2 y x2 3
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
课堂练习
1、二次函数y=x2的图像开口，对称轴是，顶点是。x取任何实数，对应的y值总是数。 2、点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是。 1 2 1 2 3、二次函数y= x 与 y=- x 的图像关于 2 2 ___ 对称。 4、若点A（1，a）B（b，9）在函数y=x2 的图像上，则a= ,b= .

二次函数及其图象和性质

二次函数及其图象和性质（二）一、内容提要（一）二次函数的解析式：1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0, a, b, c 为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。

3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。

注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。

（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1．对称轴，顶点坐标：2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。

a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。

3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大当x>时，y随x增大而减小4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，（Ⅱ）a<0时，当x= 时，5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。

6．抛物线与x轴的位置关系：（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。

（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、典型例题：例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。

解：由题意得解得 m=-1∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。

说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。

例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4a c的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。

二次函数的图象和性质(2)

h＜0时,将抛物线y=ax2向左平移 h
个单位得到抛物线y=a(x–h)2 .
二次函数y=a(x-h)2 (a≠0)的图象和性质
a>0
图象
a<0
h>0
开口方向顶点坐标对称轴
增减性最值
h<0
h>0
h<0
1.如何由y=4x2的图象得到y=4x2-3的图象. 说明y=4x2-3图象的顶点，对称轴，增减性. 2.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2的图象.
说明y=4(x+5)2图象的顶点，对称轴，增减性.
3.如何由y=4x2的图象得到y=4(x+5)2-3的图象.
练习
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 1 22 到抛物线____________ ，再向上平移5个单 y x 2 2 1 2 位，可以得到抛物线 y x 3 ； 2 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y
a<0
k<0
增减性
最值
在同一直角坐标系中画出函数的图象.
y 2x , y 2( x 3) , y 2( x 1)
2 2
2
抛物线y=ax2与抛物线 y=a(x–h)2 (a、h是常数，a≠0 )的关系：
h＞0时,将抛物线y=ax2向右平移 h 个单位得到抛物线 y=a(x–h)2 ；
答：a=-2或4或-8.
1 2 9.已知抛物线 y x ，把它向下平 2 移，得到的抛物线与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角
三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？
10、已知抛物线y=3x2+m与x轴的交点为A、B（B在A

二次函数的图像与性质

二次函数的图象与性质知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．(3)交点式：y=a(x－x1确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴xx2<0，1即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，=3k，x2=－k．则x1例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．。

二次函数的图像和性质(共48张PPT)

即当 x＜－2ba时，当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最抛物线有最
3
问题思考
（1） y a x 2的图像及性质
4
（1） y a x 2的图像及性质
5
由以上图形知：
• a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 • 函数图象顶点坐标（0,0）
6
（2）y ax2 c 的图像及性质
7
（2）y ax2 c 的图像及性质
函数图象顶点坐标（0,c）注意：c为y轴截距
A．
B．
C．
D．
26
解析
A、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＞0，应在 y 轴的右侧，故不合题意，图形错误；
B、对于直线 y=ax+b 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2﹣bx 来说，对称轴 x= ＜0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误；
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 b
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
18
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c
c＜0
与y轴负半轴相交
19
b2－4ac
b2－4ac＝0 与 x 轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与 x 轴有两个交点与 x 轴没有交点

二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质一、教学目标1、会确定二次函数)0(2≠=a ax y 图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.2、了解抛物线)0(2≠=a ax y 沿两个坐标轴进行适当平移可得到抛物线k h x a y +-=2)(，掌握平移规律，并能说出抛物线平移后的顶点坐标、开口方向及对称轴.会由特殊二次函数分析和推导一般二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像的性质.3、会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向和对称轴.二、知识点梳理1、二次函数的概念一般的，如果两个变量x 和y 之间的函数关系可以表示成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ），那么称为y 是x 二次函数. 2、二次函数的一般形式任何一个二次函数的表达式都可以化成c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）的形式，因此，把c bx ax y ++=2（c b a ,,是常数，且0≠a ）叫做二次函数的一般形式，其中c bx ax ,,2分别是二次项、一次项和常数项，而b a 和分别是二次项系数和一次项系数.3、二次函数)0(2≠=a ax y 的图像和性质（1）二次函数)0(2≠=a ax y 的图像是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴.抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.（2）一般地，抛物线)0(2≠=a ax y 的性质主要是从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数的增减性以及函数的最值等几个方面来研究，其性质归纳如下表：拓展：（1）抛物线是轴对称图形，开口方向、顶点、对称轴通常称为抛物线的三要素.（2）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口方向由a 的正负决定，当0 a 时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0 a 时，开口向下，顶点是抛物线的最高点.（3）抛物线)0(2≠=a ax y 的开口的大小，由a 的绝对值决定，a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大.（4）抛物线的对称轴是一条直线，抛物线)0(2≠=a ax y 的对称轴是y 轴，也可以说是直线0=x ，顶点坐标为（0，0）.4、抛物线)0()(2≠-=a h x a y 与)0(2≠=a ax y 的位置关系及平移规律二次函数2)(h x a y -=的图像可由抛物线2ax y =向左（右）平移而得到.当0 h 时，抛物线2ax y =向右平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.当0 h 时，抛物线2ax y =向左平移h 个单位长度，得到2)(h x a y -=的图像.5、二次函数k h x a y +-=2)(的图像的平移二次函数k h x a y +-=2)(的图像可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移个h个单位长度，再向上（或向下）平移k 个单位长度而得到. 平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既先可以左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时主要抓住顶点的位置变化就可以了；抛物线k h x a y +-=2)(经过反向平移也可以得到抛物线2ax y =.6、二次函数k h x a y +-=2)(的图像和性质拓展：（1）由于从k h x a y +-=2)(中可直接看出抛物线的顶点坐标),(k h ，所以通常把k h x a y +-=2)(叫做二次函数的顶点式.（2）a 决定抛物线的形状、大小；k h ,决定抛物线的位置.7、利用配方法将二次函数c bx ax y ++=2转化为k h x a y +-=2)(的形式（1）二次函数的一般式c bx ax y ++=2与顶点式k h x a y +-=2)(可以互相转化通过去括号、合并同类项可将顶点式转化为一般式. 例如：1)12(211)1(2122-++-=-+-=x x x y 2321-2--=x x ，即1)1(212-+-=x y 可化为2321-2--=x x y 利用配方法可将一般式c bx ax y ++=2转化为顶点式k h x a y +-=2)(例如：c bx ax y ++=2a ac x a b x a 提取←++=)(2 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+•+=a c a b a b x a b x a 222)2()2(22←配成完全平方式a b ac a b x a 44)2(22-++=因此抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- （2）二次函数c bx ax y ++=2的图像是一条抛物线，它与抛物线2ax y =的形状相同，只是位置不同，它的对称轴是直线ab x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- 8、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与性质三、典型例题（一）二次函数的图像例1 已知函数()()()n m n x m x y ＜其中---=的图像如图所示，则一次函数n mx y +=与反比例函数xn m y +=的图像可能是（）例 2 下列三个函数：①1+=x y ；②x y 1=；③12+-=x x y 。

27.2 二次函数的图象与性质(2)

26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识要点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [复习巩固]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象．回顾与反思当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的．回顾与反思抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归[当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ．观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线241x y =向平移个单位得到的．3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2．不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]。

2.2 二次函数的图像与性质第二课时

顶点坐标
对称轴位置开口方向增减性
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
对称轴
顶点坐标
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
y=ax2(a>0)
y
当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开
口向上,并且向上无限伸展;当
x=0时,函数y的值最小,最小值是0.
0
x
y=a（x-h）²+k （a>0）
=2(x-2)2-1
化成y=a（x-h）²+k 的形式呗
因此二次函数 =2x2-8x+7图像开口向上；对称轴x=2，顶点坐标x（2,-1）. 配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
例2
求二次函数y=ax2+bx+c图像的对称轴和顶点坐标. 解: 把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得
y ax bx c
（x+3）²-1/2的图像，你是怎样得到的？与同伴交流.
议一议
二次函数y=a（x-h）²+k与y=ax²的图像有什么关系？
一般地，平移二次函数的图像便可得到二次函数的图像.因此，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向，
对称轴和顶点坐标如下表所示：

2.2二次函数的图像和性质

<列表>
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
做一做
描点,连线
y
10 8 6 4
2 y=x
?
-4 -3 -2 -1
2 0 -2 1 2 3 4 x
议一议
观察图象,回答问题串
y
10
2 y=x
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流 . 8 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 6 几对对称点,并与同伴交流. 4 (3)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 1 的值如何变化？当x>0呢？
开口方向
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的
增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增
大而减小,当x=0时,函数y的值最大
想一想
二次函数y=ax²+bx+c的图象
驶向胜利的彼岸
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系? 你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?

2二次函数的图像及其性质(二)教案

A、①
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，

二次函数的图像和性质

二次函数复习二：二次函数的图像和性质班级：姓名：知识点一.二次函数的图像和性质1.二次函数图像的画法: 五点作图法（1）顶点坐标；（2）与x轴的交点坐标；（3）与y轴的交点坐标，再找到该点关于对称轴对称的对称点坐标。

2.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小.a >0时，抛物线开口向上 ,a <0时，抛物线开口向下(a 的绝对值越大，抛物线的开口越小)。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（口诀：左同右异，即a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧）（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 3.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

对称轴122x x x +=，在x 轴上截的线段长是||AB a =。

4.二次函数图象的平移① 对于抛物线y =ax 2+bx +c 的平移.通常先将一般式转化成顶点式()2y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则,化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。

二次函数的性质及其图象

象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个左单位加向右右 (h 减 0)、左（h 0） y=a(x-h)2
上加下减向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜

2.2二次函数的图象与性质2

对称轴与图象的交点是
图象的开口向下
值随自变量取值的增大而减小，简称为右；降图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为左；升
当x=
0
时，函数值最
大
.
当a＜0时，y=ax2的图象也具有上述性质. 于是今后画y=ax2(a＜0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分. 在画右边部分时，只要“列表、描点、连线” 三个步骤就可以了.
由此可知， y = - 1 x2 的图象与 y = 1 x2的图象 2 2 关于x轴对称，因此只要把 y = 1 x2 的图象沿着x轴 2 翻折并将图象“复印”下来，就得到 y = - 1 x2的 2 图象. 如图2-5.
观察
我们已经正确地画出了 y = - 1 x2的图象， 2 因此现在可以从图象(见图2-5)看出 y = - 1 x2 2 的性质：对称轴是 y轴，
图2-6
y = - 1 x2 的图象很像掷铅球时，铅球在空中 4 经过的路线.
以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为y=ax2(a＜0)的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述概念：
一般地，二次函数y=ax2的图象叫做抛物线. 二次函数y=ax2的图象关于y轴对称. 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
例2
画二次函数 y = - 1 x2的图象. 4
解列表：
x
y = - 1 x2 4
0 0
1
2 -1
3
4 -4
-1 4
-9 4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分.