解三角形应用举例练习高考试题练习
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、测量距离问题例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为km.答案6 4解析∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为m.答案900解析由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ ＝PA.在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B 两点间的距离为60 m，则树的高度为m.答案30＋30 3解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB ＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°， 所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)， 所以树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m ). 三、测量角度问题例3 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°≈3314 解 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，结合题意知BC ＝0.5x ，AC ＝5，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°.由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·ACcos 120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7， 解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船. 素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.。
高中数学解三角形应用举例(有答案)
解三角形应用举例一．选择题（共19小题）1．（2014•海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m2．（2014•海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B 不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．（2014•重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．4．（2014•成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，已知AB=a，0＜γ＜β＜α＜，则此塔高CD为（）B．tanγA．tanγC．D．tanγtanγ5．（2014•浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A．7B．10C．6D．86．（2014•房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）A．[10，30]B．[25，32]C．[20，35]D．[20，40]7．（2014•濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为（）A．B．C．D．8．（2014•成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB=a，0＜β＜α＜，则水塔CD的高度为（）A ．B．C．D．9．（2014•怀化一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P．若，则△PQR的周长等于（）A．B．C．D．10．（2012•珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．B．1小时C．D．2小时11．（2011•宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（）A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角12．（2011•大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o 且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A．5km B．km C．4km D．km13．（2011•安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为（）A．B．C．D．14．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A．2或B．2C．D．315．（2010•江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．海里16．（2010•武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（）A．1400km B．700km C．700km D．1400km17．（2010•石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0＜b＜a）．则该平板车长度的最大值为（）A．B．C．D．18．（2009•韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A．10米B．30米C．10米D．米19．（2009•温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A．（米/秒）B．（米/秒）C．（米/秒）D．（米/秒）二．填空题（共7小题）20．（2014•重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD 交圆O于点E，则PE=_________．21．（2014•南昌模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A﹣sin2C）=（sinA﹣sinB）b，则△ABC面积的最大值为_________．22．（2014•韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是_________海里．23．（2014•潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°＜θ＜45°）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为_________海里/小时．24．（2014•潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大，则N处与A处的距离为_________km．25．（2014•台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）如图所示，且∠B+∠D=180°，则AC的长为_________km．m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为_________m/s．三．解答题（共4小题）27．（2014•广州模拟）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=15°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=1（百米）．（1）求△CDE的面积；（2）求A，B之间的距离．28．（2014•福建模拟）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．29．（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．30．在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．2014年12月27日高中数学解三角形应用举例参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2014•海南模拟）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB解答：解：由正弦定理得，∴AB===50，∴A，B两点的距离为50m，故选：D．点评：本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．（2014•海淀区二模）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B间的距离，李宁同学首先选定了与A、B 不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：（△ABC的角A、B、C所对的边分别记为a、b、c）：①测量A、C、b；②测量a、b、C；③测量A、B、a；则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．解答：解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．故选：D．点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．3．（2014•重庆一模）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意设PQ=x，可得QR=x，∠POQ=90°，∠QOR=30°，∠OPQ+∠R=60°．算出∠R=60°﹣∠OPQ，分别在△ORQ、△OPQ中利用正弦定理，计算出OQ长，再建立关于∠OPQ的等式，解之即可求出tan∠OPQ的值．解答：解：根据题意，设PQ=x，则QR=2x，∵∠POQ=90°，∠QOR=30°，∴∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°﹣∠OPQ在△ORQ中，由正弦定理得∴OQ==2xsin（60°﹣∠OPQ）在△OPQ中，由正弦定理得OQ=×sin∠OPQ=xsin∠OPQ∴2xsin（60°﹣∠OPQ）=xsin∠OPQ∴2sin（60°﹣∠OPQ）=sin∠OPQ∴=sin∠OPQ整理得cos∠OPQ=2sin∠OPQ，所以tan∠OPQ==．故选：B点评：本题考查利用正弦定理解决实际问题，要把实际问题转化为数学问题，利用三角函数有关知识进行求解是解决本题的关键．4．（2014•成都三模）在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平面上，为了测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A、B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得塔底C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ，已知AB=a，0＜γ＜β＜α＜，则此塔高CD为（）B．tanγA．tanγC．D．tanγtanγ考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先求出BC，再求出CD即可．解答：解：在△ABC中，∠ACB=α﹣β，∠ACBA=π﹣α，AB=a，∴，∴BC=，∴CD=BCtanγ=tanγ．故选：B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用数学知识，建立数学模型解决实际问题的能力．5．（2014•浙江模拟）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A．7B．10C．6D．8考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由余弦定理和已知边和角求得AB的长度．解答：解：由余弦定理知AB===7，所以A，B之间的距离为7百米．故选：A．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解决．6．（2014•房山区一模）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于800cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长x（单位：cm）的取值范围是（）A．[10，30]B．[25，32]C．[20，35]D．[20，40]考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，（0＜x＜60）．矩形的面积S=x（60﹣x），利用S≥800解出即可．解答：解：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y=60﹣x，（0＜x＜60）∴矩形的面积S=x（60﹣x），∵矩形花园的面积不小于800m2，∴x（60﹣x）≥800，化为（x﹣20）（x﹣40）≤0，解得20≤x≤40．满足0＜x＜60．故其边长x（单位m）的取值范围是[20，40]．故选：D．点评：本题考查了相似三角形的性质、三角形的面积计算公式、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能方法，属于中档题．7．（2014•濮阳一模）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值．解答：解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，∴BC=10海里，根据正弦定理得，即，∴sin∠ACB=，∴sinθ=．故选：A．点评：解三角形问题，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．8．（2014•成都三模）某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB=a，0＜β＜α＜，则水塔CD的高度为（）A ．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设CD=x，求出AC，BC，利用a=BC﹣AC，即可求出水塔CD的高度．解答：解：设CD=x，则AC=，∵BC=，a=BC﹣AC，∴a=﹣，∴x==，故选：B．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，求出AC，BC是关键．9．（2014•怀化一模）在等腰Rt△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P 出发，经BC，CA反射后又回到原来的点P．若，则△PQR的周长等于（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；解三角形．分析：建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得△PQR的周长．解答：解：建立如图所示的坐标系：可得B（4，0），C（0，4），P（，0）故直线BC的方程为x+y=4，P关于y轴的对称点P2（﹣，0），设点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，解得，即P1（4，），由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，故△PQR的周长等于|P1P2|==．故选：A．点评：本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．10．（2012•珠海一模）台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的时间为（）A．B．1小时C．D．2小时考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，进而可知B点坐标和台风中心移动的轨迹，求得点B 到射线的距离，进而求得答案．解答：解：如图，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B（40，0），台风中心移动的轨迹为射线y=x（x≥0），而点B到射线y=x的距离d==20＜30，故l=2=20，故B城市处于危险区内的时间为1小时，故选B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．通过建立直角坐标系把三角形问题转换成解析几何的问题，方便了问题的解决．11．（2011•宝鸡模拟）一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知D成120°角，且y=g（x）的大小分别为1和2，则有（）A．F1，F3成90°角B．F1，F3成150°角C．F2，F3成90°角D．F2，F3成60°角考点：解三角形的实际应用；向量的模；向量在物理中的应用．分析：处于平衡状态即三个力合力为0，利用向量表示出等式，将等式变形平方，利用数量积公式求出，T通过三角形边的关系求出角．解答：解：由⇒⇒=+2||•||cos120°=由知，F1，F3成90°角，故选A．点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的求法、及解三角形．12．（2011•大连二模）已知A船在灯塔C北偏东75°且A到C的距离为3km，B船在灯塔C西偏北15o 且B到C的距离为km，则A，B两船的距离为（）A．5km B．km C．4km D．km考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先画出简图求出角A的值，再由余弦定理可得到AB的值．解答：解：依题意可得简图，可知A=150°，根据余弦定理可得，AB2=BC2+AC2﹣2BC×ACcosC=16，∴AB=4．故选C．点评：本题主要考查余弦定理的应用．属基础题．主要在于能够准确的画出图形来．13．（2011•安徽模拟）如图，在山脚下A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：△PAB中，由正弦定理可得PB=，根据PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ通分化简可得结果．解答：解：△PAB中，∠PAB=α﹣β，∠BPA=（﹣α）﹣（﹣γ）=γ﹣α，∴=，即PB=．PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ=，故选B．点评：本题考查正弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，求出PB=，是解题的关键．14．（2010•武昌区模拟）某人朝正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好，那么x的值为（）A．2或B．2C．D．3考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由余弦定理建立关于x的方程即可求得x的值．解答：解：如图，AB=x，BC=3，AC=，∠ABC=30°．由余弦定理得3=x2+9﹣2×3×x×cos30°．解得x=2或x=故选A．点评：考查解三角形的知识，其特点从应用题中抽象出三角形．根据数据特点选择合适的定理建立方程求解．15．（2010•江门一模）海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是（）A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．海里考点：解三角形的实际应用．专题：计算题．分析：先根据正弦定理求得sinB的值，进而确定B的值，最后根据B的值，求得AB．解答：解：设基地为与O处，根据正弦定理可知=∴sinB=•OA==∴B=60°或120°当B=60°，∠BOA=90°，∠A=30°BA=2OB=200当B=120°，∠A=∠B=30°∴OB=AB=100故渔船B与救护船A的距离是100或200海里．故选C点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生转化和化归思想和逻辑思维的能力．16．（2010•武汉模拟）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，那么丙地距甲地距离为（）A．1400km B．700km C．700km D．1400km考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则∠BAD和∠DBC可知，进而求得∠ABC=60°判断出三角形为正三角形，进而求得AC．解答：解：依题意，设A，B，C分别对应甲、乙、丙三地，由B向x轴做垂线垂足为D，则∠BAD=75°，∠DBC=75°∴∠ABC=75°﹣15°=60°∴AB=BC=1400∴△ABC为正三角形∴AC=1400千米．故选A．点评：本题主要考查了解三角形的应用．要注意特殊三角形的运用．17．（2010•石家庄二模）如图，一条宽为a的直角走廊，现要设计一辆可通过该直角走廊的矩形面平板车，其宽为b（0＜b＜a）．则该平板车长度的最大值为（）A．B．C．D．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：先设平板手推车的长度不能超过x米，此时平板车所形成的三角形：ADG为等腰直角三角形．连接EG与AD交于点F，利用ADG为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度解答：解：设平板车的长度的最大值为x由题意可得△ADG为等腰直角三角形，连接EG交AD于F，则EG== aFG=EG﹣EF=得△ADG为等腰直角三角形，AD=2AF=2FG=故选：C点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，解答的关键是由实际问题：要想顺利通过直角走廊，转化为数学问题：此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形18．（2009•韶关二模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为（）A．10米B．30米C．10米D．米考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；数形结合．分析：先画出示意图，根据题意可求得∠AEC和∠ACE，则∠EAC可求，然后利用正弦定理求得AC，最后在Rt△ABC中利用AB=AC•sin∠ACB求得答案．解答：解：如图所示，依题意可知∠AEC=45°，∠ACE=180°﹣60°﹣15°=105°∴∠EAC=180°﹣45°﹣105°=30°由正弦定理可知=，∴AC=•sin∠CEA=20米∴在Rt△ABC中，AB=AC•sin∠ACB=20×=30米答：旗杆的高度为30米故选B．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决．19．（2009•温州一模）北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A．（米/秒）B．（米/秒）C．（米/秒）D．（米/秒）考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：先根据题意可知∠DAB，∠ABD和∠ADB，AB，然后在△ABD利用正弦定理求得BD，进而在Rt△BCD求得CD，最后利用路程除以时间求得旗手升旗的速度．解答：解：由条件得△ABD中，∠DAB=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，AB=10，由正弦定理得BD=•AB=20则在Rt△BCD中，CD=20×sin60°=30所以速度V==米/秒故选A．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和基本的推理能力，运算能力．二．填空题（共7小题）20．（2014•重庆模拟）如图，割线PBC经过圆心O，PB=OB=1，PB绕点O逆时针旋120°到OD，连PD 交圆O于点E，则PE=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先由余弦定理求出PD，再根据割线定理即可求出PE，问题解决．解答：解：由余弦定理得，PD2=OD2+OP2﹣2OD•OPcos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣）=7，所以PD=．根据割线定理PE•PD=PB•PC得，PE=1×3，所以PE=．故答案为．点评：已知三角形两边与夹角时，一定要想到余弦定理的运用，之后做题的思路也许会豁然开朗．21．（2014•南昌模拟）已知△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A﹣sin2C）=（sinA﹣sinB）b，则△ABC面积的最大值为．考点：三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：把b=2sinB 代入已知等式并应用正弦定理得a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理得cosC=，得到C=60°，由ab=a2+b2﹣3≥2ab﹣3 求得ab最大值为3，从而求得△ABC面积的最大值．解答：解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得2sin2A﹣2sin2C=2sinAsinB﹣2sin2B，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，∴C=60°．∵ab=a2+b2﹣c2=a2+b2﹣（2rsinC）2=a2+b2﹣3≥2ab﹣3，∴ab≤3 （当且仅当a=b时，取等号），∴△ABC面积为≤×3×=，故答案为．点评：本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ab≤3是解题的难点．22．（2014•韶关二模）一只艘船以均匀的速度由A点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A点观测灯塔C的方位角（从正北方向顺时针转到目标方向的水平角）为45°，行驶60海里后，船在B点观测灯塔C的方位角为75°，则A到C的距离是30（+）海里．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里，由正弦定理可得AC．解答：解：由题意，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=60海里．由正弦定理可得AC==30（+）海里．故答案为：30（+）．点评：本题考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．23．（2014•潍坊二模）如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ（0°＜θ＜45°）的C处，且cosθ=，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为4海里/小时．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：根据余弦定理求出BC的长度即可得到结论．解答：解：∵cosθ=，∴sin=，由题意得∠BAC=45°﹣θ，即cos∠BAC=cos（45°﹣θ）=，∵AB=20，AC=10，∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC，即BC2=（20）2+102﹣2×20×10×=800+100﹣560=340，即BC=，设船速为x，则=2，∴x=4（海里/小时），故答案为：4点评：本题主要考查解三角形的应用，根据条件求出cos∠BAC，以及利用余弦定理求出BC的长度是解决本题的关键．24．（2014•潍坊三模）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，A、B间的距离为3km，某公交公司要在A、B之间的某点N处建造一个公交站点，使得N对C、D两个小区的视角∠CND最大，则N处与A处的距离为2﹣3km．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；三角函数的求值．分析：设出NA的长度x，把∠CNA与∠DNB的正切值用含有x的代数式表示，最后把∠CND的正切值用含有x的代数式表示，换元后再利用基本不等式求最值，最后得到使N对C、D两个小区的视角∠CND最大时的x值，即可确定点N的位置．解答：解：设NA=x，∠CNA=α，∠DNB=β．依题意有tanα=，tanβ=，tan∠CND=tan[π﹣（α+β）]=﹣tan（α+β）=﹣=，令t=x+3，由0＜x＜3，得3＜t＜6，则=∵4≤t+＜3+∴t=2，即x=2﹣3时取得最大角，故N处与A处的距离为（2﹣3）km．故答案为：2﹣3．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题．25．（2014•台州一模）为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）如图所示，且∠B+∠D=180°，则AC的长为km．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理，结合∠B+∠D=180°，即可求出AC的长．解答：解：由余弦定理可得AC2=22+32﹣2•2•3•cosD=13﹣12cosD，AC2=52+82﹣2•5•8•cosB=89﹣80cosB，∵∠B+∠D=180°，∴2AC2=13+89=102，∴AC=km．故答案为：点评：本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键．m/s的速率，从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为m/s．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由题意画出几何图形，设出人从C点运动到B处路程、运动时间及人影长度，由三角形相似求出人影长度与运动路程间的关系式，把运动路程用运动速度和运动时间替换，求导后得答案．解答：解：如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB．设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，∵BE∥CD，∴．∴，∴y=x，又∵x=t，∴y=x=t．则y′=，∴人影长度的变化速率为m/s．故答案为：．点评：本题考查了解三角形的实际应用，解答此题的关键是明确题意，把实际问题转化为数学问题，是。
第四章 §4.10 解三角形应用举例
一、单项选择题1.如图，设A，B两点在河的两岸，在点A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离是()A．25 2 m B．50 2 mC．25 3 m D．50 3 m2．(2024·咸阳模拟)世界上最大的球形建筑物是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：Ericsson Globe)，在世界最大的瑞典太阳系模型中，由该体育场代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16 000名观众观看表演和演唱会，或14 119名观众观看冰上曲棍球．如图，某数学兴趣小组为了测得爱立信球形体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝120 m，BC＝120 m，CD＝80 m，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(结果精确到1 m，参考数据：7≈2.646)()A．98 m B．106 mC．117 m D．122 m3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°4.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)()A ．7 350 mB ．2 650 mC ．3 650 mD ．4 650 m5．(2023·洛阳模拟)某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度．步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度．如图所示，前后两次人与镜子的距离分别为a 1 m ，a 2 m(a 2>a 1)，两次观测时镜子间的距离为a m ，人的“眼高”为h m ，则建筑物的高度为( )A.ah a 2－a 1m B.a (a 2－a 1)h m C.(a 2－a 1)h a m D.ah 2a 2－a 1m 6．(2023·济南模拟)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°和60°(A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内)，则A ，B 两点之间的距离为( )A ．50 5 米B ．150 米C ．10015 米D ．150 3 米二、多项选择题7．某货轮在A 处测得灯塔B 在北偏东75°方向，距离为12 6 n mile ，测得灯塔C 在北偏西30°方向，距离为8 3 n mile.货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，测得灯塔B 在南偏东60°方向，则下列说法正确的是( )A ．A 处与D 处之间的距离是24 n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是16 n mileC ．灯塔C 在D 处的南偏西30°方向D ．D 处在灯塔B 的北偏西30°方向8.(2024·重庆模拟)解放碑是重庆的地标性建筑，众多游客来此打卡拍照．现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图(如图所示)，A 为解放碑的最顶端，B 为基座(即B 在A 的正下方)，在步行街上(与B 在同一水平面内)选取C ，D 两点，测得CD的长为100 m ．小组成员利用测角仪已测得∠ACB ＝π6，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB 的是( )A ．∠BCD ，∠BDCB ．∠ACD ，∠ADC C ．∠BCD ，∠ACDD ．∠BCD ，∠ADC三、填空题9.中国最早的天文观测仪器叫“圭表”(如图)，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景(影)台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在表上，便在圭上成影．到了周代，使用圭表有了规范，杆子(表)规定为八尺长．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一天内，南北两地的日影长短倘使差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”(1尺＝10寸)．记“表”的顶部为A ，太阳光线通过顶部A 投影到“圭”上的点为B .同一天内，甲地日影长是乙地日影长的两倍，记甲地中直线AB 与地面所成的角为θ，且tan θ＝83.则甲、乙两地之间的距离约为________千里．10.如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝60 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝120 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝150 m ，则cos ∠DEF ＝______.11．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东方向40千米处，则城市B处于危险区的时间为________小时．12.汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首．如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD＝30°，∠BDC ＝70°，∠BED＝120°，BE＝17.2 m，DE＝10.32 m，在点C处测得塔顶A的仰角为62°，则塔高AB＝________ m．(结果精确到1 m，参考数据：tan 62°≈1.88，sin 70°≈0.94，144.961 6＝12.04)。
《解直角三角形》应用举例
《解直角三角形》应用举例一、选择题1、（2014•随州）如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD =30°，在C 点测得∠BCD =60°，又测得AC =100米，则B 点到河岸AD 的距离为（ ） A ．100米 B ．350米 C ．33200米 D ．50米1题图 2题图 3题图 2、（2014•抚顺）如图，河流两岸a 、b 互相平行，点A 、B 是河岸a 上的两座建筑物，点C 、D 是河岸b 上的两点，A 、B 的距离约为200米．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC =75°，∠BPD =30°，则河流的宽度约为 米． 二、填空题3、（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位．（4.12≈）4、（2014•玄武区二模）如图是一把剪刀的局部示意图，刀片内沿在AB 、CD 上，EF 是刀片外沿．AB 、CD 相交于点N ，EF 、CD 相交于点M ，刀片宽MH ＝1.5 cm ．小丽在使用这把剪刀时，∠ANC 不超过30°．若想一刀剪断4 cm 宽的纸带，则刀身AH 长至少为 cm ． （结果精确到0.1 cm ，参考数据：41.12≈，73.13≈）三、解答题5、（2014•宁波）如图，从A 地到B 地的公路需经过C 地，图中AC =10千米，∠CAB =25°，∠CBA =37°，因城市规划的需要，将在A 、B 两地之间修建一条笔直的公路． （1）求改直的公路AB 的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）6、（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A 、B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A 、B 两船相距100（3+1）海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ，A 与D 之间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）． （2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：41.12≈，73.13≈）7、（2014•荆州）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天 在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A 处和正东方向的B 处，这时两船同时接到立即赶往C 处海域巡查的任务，并测得C 处位于A 处北偏东59°方 向、位于B 处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC ，BC 方向航行，其平均速度分别是 20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C 处？ (参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72)8、（2014•抚州）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2.晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化.已知每个菱形边长均等于20cm ，且AH =DE =EG =20cm . （1）当∠CED =60°时，求C 、D 两点间的距离； （2） 当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少cm ?(结果精确到0.1cm) （3）设DG =x cm ，当∠CED 的变化范围为60°~ 120°(包括端点值)时， 求x 的取值范围 .（结果精确到0.1cm ） （参考数据73.13 ，可使用科学计算器）9、（2014•泰州）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD 长为1.6m ，CD 与地面DE 的夹角∠CDE 为12°，支架AC 长为0.8m ，∠ACD 为80°，求跑步机手柄的一端A 的高度h （精确到0.1m ）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）10、（2014•福建漳州）将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P 时停止倒入．图2是它的平面示意图，请根据图中的信息， 求出容器中牛奶的高度（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：41.12≈，73.13≈）11、（2014•江苏南京）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O ）的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO =60°；当梯子底端向右滑动1m （即BD =1m ）到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO =51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）12、（2014•白银）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm ．点A 、C 、E 在同一条只显示，且∠CAB =75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732） （1）求车架档AD 的长；（2）求车座点E 到车架档AB 的距离（结果精确到1cm ）．13、（2014•枣庄）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）14、（2014•山东烟台）小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC长233米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．15、（2014•自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：7.13 ）16、（2014•台州）如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC =500m 的A 处出发，沿这俯角为15°的方向，直线滑行1600米到达D 点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B 点．求他飞行的水平距离BC （结果精确到1m ）．17、（2014•锦州）如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68°方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30°相距20海里的C 处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，若救生船的速度为20海里/时，请问：救生船到达B 处大约需要多长时间？（结果精确到0.1小时：参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）18、（2014•宿迁）如图是某通道的侧面示意图，已知AB ∥CD ∥EF ，AM ∥BC ∥DE ，AB =CD =EF ，∠BAM =30°，AB =6m ． （1）求FM 的长；（2）连接AF ，若sin ∠FAM =31，求AM 的长．19、（2014年江苏盐城）盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB ．小明在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，然后向电视塔前进224m 到达E 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°． 求电视塔的高度AB ．（73.13 ，结果精确到0.1m ）20、（2014•常德）如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示连接缆车站的钢缆．已知A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1分别为160米，400米，1000米，钢缆AB ，BC 分别与水平线AA 2，BB 2所成的夹角为30°，45°， 求钢缆AB 和BC 的总长度．（结果精确到1米）21、（2014•张家界）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 点观测到我渔船C 在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 点，观测到我渔船C 在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C 的距离最近？（渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）22、（2014•淮安）为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度．（结果取整数）参考数据：2≈1.41，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30．）23、（2014•眉山）如图，甲建筑物的高AB为40m，AB⊥BC，DC⊥BC，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从B点测得D点的仰角为60°，从A点测得D点的仰角为45°．求乙建筑物的高DC．24、（2014•营口）如图，王老师站在湖边度假村的景点A处，观察到一只水鸟由岸边D处飞向湖中小岛C处，点A到DC所在水平面的距离AB是15米，观测水鸟在点D和点C处时的俯角分别为53°和11°，求C、D两点之间距离．（精确到0.1．参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin11°≈0.19，cos11°≈0.98，tan11°≈0.19）25、（2014•达州）达州市凤凰小学位于北纬21°，此地一年中冬至日正午时刻，太阳光与地面的夹角最小，约为35.5°；夏至日正午时刻，太阳光的夹角最大，约为82.5°．己知该校一教学楼窗户朝南，窗高207cm ，如图（1）．请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD ，如图（2），要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡．（1）在图（3）中画出设计草图；（2）求BC 、CD 的长度（结果精确到个位）（参考数据：sin35.5°≈0.58，cos35.5°≈0.81，tan35.5°≈0.71，sin82.5°≈0.99，cos82.5°≈0.13，tan82.5°≈7.60）26、（2014•云南）如图，小明在M 处用高1米（DM =1米）的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°， 求出旗杆AB 的高度（取3≈1.73，结果保留整数）27、（2014•青岛）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B 处仰望山顶A ，测得仰角 ∠B =31°，再往山的方向（水平方向）前进80m 至索道口C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE =39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）； （2）求索道AC 的长（结果精确到0.1m ）． （参考数据：tan31°≈53，sin31°≈21，tan39°≈119，sin39°≈117）28、（2014•北海）下图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（保留小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040）29、（2014•桂林）中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米。
高中数学 第二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问题练习(含解析)北师大
距离和高度问题A 级 基础巩固一、选择题1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是(D )A ．103海里B ．106海里C ．52海里D ．56海里[解析]如图，由正弦定理得 BCsin60°＝10sin45°，∴BC ＝5 6.2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( D )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m[解析] 在△ABC 中，已知可得BC ＝AC ＝4，∠C ＝180°－30°×2＝120°，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48，∴AB ＝43(m)．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( A )A ．(30＋303)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋153)m[解析] 由正弦定理可得60sin45°－30°＝PBsin30°，PB ＝60×12sin15°＝30sin15°.h ＝PB ·sin45°＝30sin15°·sin45°＝(30＋303)(m)．4．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( B )A ．a (km)B ．3a (km)C ．2a (km)D ．2a (km)[解析]在△ABC 中，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°. ∵AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2×(－12)＝3a 2，∴AB ＝3a (km)．6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( A )A ．4003米B ．40033米C ．20033米D ．2003米[解析] 解法一：如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM ＝30°，∠ACB ＝60°，∴BC ＝200tan30°＝20033，AM ＝DM tan30°＝BC tan30°＝2003.∴CD ＝AB －AM ＝4003.解法二：如图AB 为山高，CD 为塔高． 在△ABC 中，AC ＝ABsin60°＝40033， 在△ACD 中，∠CAD ＝30°，∠ADC ＝120°. 由正弦定理CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC .∴CD ＝40033×1232＝4003(米)．二、填空题7．一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝1063cm.[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°，由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063.8．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为50 2 m.[解析] 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°， 所以∠ABC ＝30°， 根据正弦定理可知：AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，即50sin30°＝ABsin45°，解得AB ＝50 2 m.三、解答题9．海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了107海里，求B 船的速度．[解析] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝107，∠ABC ＝120°由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos120°即700＝100＋BC 2＋10BC ，∴BC ＝20，设B 船速度为v ，则有v ＝2043＝15(海里/小时)．即B 船的速度为15海里/小时．10．在某某世博会期间，小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1 m)．[解析] 由题意画出示意图(AA ′表示小明的身高)．∵AB ＝200，∠CA ′B ′＝45°，∠CB ′D ′＝60°， ∴在△A ′B ′C 中，A ′B ′sin ∠A ′CB ′＝B ′Csin45°，∴B ′C ＝A ′B ′sin45°sin15°＝200×226－24＝200(3＋1)．在Rt △CD ′B ′中，CD ′＝B ′C ·sin60°＝100(3＋3)，∴CD ＝1.8＋100(3＋3)≈475(米)． 答：红灯笼高约475米．B 级 素养提升一、选择题1．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( B )A ．20(2＋6)海里/时B ．20(6－2)海里/时C ．20(6＋3)海里/时D ．20(6－3)海里/时[解析] 设货轮航行30分钟后到达N 处，由题意可知∠NMS ＝45°，∠MNS ＝105°， 则∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°.而MS ＝20， 在△MNS 中，由正弦定理得MN sin30°＝MSsin105°，∴MN ＝20sin30°sin105°＝10sin 60°＋45°＝10sin60°cos45°＋cos45°sin45°＝106＋24＝10(6－2)．∴货轮的速度为10(6－2)÷12＝20(6－2)(海里/时)．2．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( D )A ．500 2 mB ．200 mC ．1 000 2 mD ．1 000 m[解析] ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002×22＝1 000(m)． 3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦某某岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( D )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米[解析] 由题意画出示意图，设高AB ＝h ， 在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos∠BCD 得3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500(米)．二、填空题5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是4033米．[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC ＝45°－30°＝15°，∠DAC ＝60°－30°＝30°. ∴∠BAC ＝150°，∠ACB ＝15°，∴AC ＝AB ＝40米，∠ADC ＝120°，∠ACD ＝30°， 在△ACD 中，由正弦定理，得CD ＝sin ∠CAD sin ∠ADC ·AC ＝sin30°sin120°·40＝4033.6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A 处时，测量公路南侧远处一山顶D 在东偏南15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD 等于5(2－3)km.[解析] 在△ABC 中，∠A ＝15°，∠ACB ＝30°－15°＝15°， 所以BC ＝AB ＝5.又CD ＝BC ·tan∠DBC ＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－3)．三、解答题7．(2018·全国卷Ⅰ理，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC ＝5.8．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？[解析] 由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B 处，在△ABC 中，AC ＝31，BC ＝20，AB ＝21.由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝2331，则sin C ＝12331，所以sin ∠MAC ＝sin(120°－C )＝sin120°cos C －cos120°sin C ＝35362.在△MAC 中，由正弦定理得MC ＝AC ·sin∠MAC sin ∠AMC ＝3132×35362＝35，从而MB ＝MC －BC ＝15.即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站．。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
数学高三复习解三角形的实际应用举例专项训练(带答案)
数学高三复习解三角形的实际应用举例专项训练（带答案）由不在同不时线上的三条线段首尾依次衔接所组成的封锁图形叫做三角形，下面是查字典数学网整理的解三角形的实践运用举例专项训练，希望对考生温习有协助。
一、测量中的距离效果1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60,在不改动坡高和坡顶的前提下,经过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,那么坡底要延伸的长度(单位:m)是()A.5B.5C.10D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,ACB=60.AB=5,BC=5,在Rt△A BD中,ADB=30,BD=15.CD=BD-BC=10.2.(2021福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东飞行,船在A处看到灯塔B在北偏东60行驶4 h后,船抵达C处,看到灯塔B在北偏东15处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30解析:依据题意画出图形,如下图,可得B=75-30=45,在△ABC中,依据正弦定理得,,即,BC=30 km,即此时船与灯塔的距离为30 km.3.(2021福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20,一条蜿蜒公路AB,其中B在A城南偏东40,B与C相距31千米.有一人从B动身沿公路向A城走去,走了20千米后抵达D处,此时C,D之间的距离为21千米,那么A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD中,由余弦定理得cosBDC==-.设ADC=,那么cos =,sin =.在△ACD中,由正弦定理,得AC==24.二、测量中的高度与角度效果4.如图,D,C,B三点在空中同不时线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角区分是,(),那么A点距离空中的高度AB等于() A. B.C. D.答案:A解析:在△ACD中,DAC=-,DC=a,ADC=,由正弦定理得AC=,在Rt△ACB中,AB=ACsin =.5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角区分为60和30,第一排和最后一排的距离为10 m(如下图),那么旗杆的高A.10 mB.30 mC.10 mD.10 m答案:B解析:如下图,由题意知AEC=45ACE=180-60-15=105,EAC=180-45-105=30,由正弦定理知,AC==20(m),在Rt△ABC中,AB=ACsinACB=30(m).旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时得知,在其正西方向相距20 n mile的B 处有一艘渔船遇险等候营救,甲船立刻前往营救,同时把音讯告知在甲船的南偏西30,相距10 n mile C处的乙船,乙船立刻朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援,那么sin 的值等于()A. B. C. D.答案:D解析:依据标题条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,CAB=120,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=202+102-22021cos 120=700, BC=10.再由正弦定理得,sinACB=无触礁的风险.8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时辰测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)假定该船不改动飞行方向继续行驶,判别它能否会进入警戒水域,并说明理由.解:(1)由于AB=40,AC=10,BAC=,sin =,090,所以cos =.由余弦定理得BC==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时).(2)设直线AE与BC的延伸线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得cosABC=所以sinABC=.在△ABQ中,由正弦定理得AQ==40.由于AE=5540=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P,那么EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45ABC)=15=37.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A 在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,那么灯塔A在灯塔B的()的位置.A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10答案:B解析:由图可知,ACB=180-(40+60)=80.又AC=BC,CBA=(180-80)=50.∵CE∥BD,CBD=BCE=60,ABD=60-50=10.灯塔A在灯塔B的北偏西10的位置.2.如下图,为测一树的高度,在空中上选取A,B两点(点A,B 与树根部在同不时线上),从A,B两点区分测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,那么树的高度为()A.(30+30) mB.(30+15) mC.(15+30) mD.(15+3) m答案:A解析:设树高为h,那么由题意得h-h=60,h==30(+1)=(30+30)(m).3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正南方向匀速飞行,上午10:00抵达B处,此时测得船与灯塔S相距8 n mile,那么灯塔S在B处的()A.北偏东75B.东偏南75C.北偏东75或东偏南75D.以上方位都不对答案:C解析:依据题意画出表示图,如图,由题意可知AB=32=16,BS=8,A=30.在△ABS中,由正弦定理得,sin S=,S=45或135,B=105或15,即灯塔S在B处的北偏东75或东偏南75.4.一货轮飞行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30的方向飞行3 h后,又测得灯塔在货轮的西南方向,那么货轮的速度为()A.) n mile/hB.) n mile/hC.) n mile/hD.) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,那么在△AMS中,AMS=45SAM=105ASM=30,SM=20,AM=3v.由正弦定理得,即v==)(n mile/h).解三角形的实践运用举例专项训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。
高考数学——三角函数和解三角形经典试题练习及解析
1 / 14高考数学 三角函数和解三角形试题及解析1、在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由、问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?【解析】由sin 3sin A B可得：ab=不妨设(),0a b m m ==>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.2、在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c、已知5,a b c ===2 / 14（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值。
【解析】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4Cπ；（Ⅰ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==可得sin sin a CA c===13； （Ⅰ）由a c <知角A为锐角，由sin A =cos A ==进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin4441313A A A πππ+=+=+=. 【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅰ）sin 13A =；（Ⅰ）sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭.3、在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积、3 / 14条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==、 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分、【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin 4C =, 4S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 2a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====4 / 14由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=4、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-， （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若a ＝c ＝2，求△ABC 的面积； （Ⅲ）求sinA ＋sinC 的取值范围.【答案】（1）60°； （2； （3）⎝. 【解析】（Ⅰ）由.2222a c b cosB ac+-=，得12cosB =，所以3B π＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）得1602ABCSacsin =︒=（Ⅲ）由题意得23sinA sinC sinA sin A π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭32sinA =+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0＜A ＜23π，所以26A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.5 / 14故所求的取值范围是⎝.模拟试题1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=、 （1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形、 【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又b c -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，6 / 14所以a =， 故222b a c =+， 即ABC 是直角三角形、2、在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）c =，()6os 22c 1A C -=. 【解析】（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin a c A C =,已知πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以sin sin sin (sin coscos sin )33C A A C C ππ⋅=⋅⋅+⋅，(0,)sin 0A A π∈∴≠,所以有sin tan 3C C C C π=⇒==.（Ⅱ）41sin 12,132a S ab C ab a b b =⎧=⋅=⇒=-=⇒⎨=⎩，由余弦定理可知：2222cos 13c a b ab C c =+-⋅=⇒=222cos sin 2b c a A A bc +-==⇒==,211sin 22sin cos 22cos 11313A A A A A =⋅==-=-, ()cos 2cos 2cos sin 2s 1111132i 6n 2A C A C A C -⨯=+⋅=-⋅=.7 / 143、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=、 （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围、【答案】(1) 3B π=;(2)(82. 【解析】(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=、 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=. (2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <+<8 / 14ABCS <<. 故ABCS的取值范围是,)824、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin a b C +=、 （1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S 、【答案】（1）6π；（2）1n n + 【解析】Ⅰ1）由得，所以又（2）设的公差为，由（1）得，且，Ⅰ、又ⅠⅠⅠⅠ、ⅠⅠ5、在△ABC中，a=c=，________.（补充条件）（1）求△ABC的面积；（2）求sin（A+B）.从①b＝4，②cosB=，③sinA=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】选择①（1）在△ABC中，因为a=c=，b＝4，由余弦定理得22222a b ccosCab+-===，因为C∈（0，π），所以2sinC==，所以1142222S absinC==⨯=.（2）在△ABC中，A+B＝π﹣C.所以()2sin A B sinC+==.选择②（1）因为cosB=，B∈（0，π），所以sinB==，因为a=c=11222S acsinB===.9/ 1410 / 14（2）因为a =c =，cosB =， 由b 2＝a 2+c 2﹣2accosB，得222216b ⎛=+-= ⎝⎭，解得b ＝4，由sin sin bc BC ，解得2sinC =， 在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，()sin A B sinC +==. 选择③依题意，A为锐角，由sinA =cosA ==，在△ABC中，因为a=c =cosA =， 由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA，得222210b =+-， 解得b ＝2或b ＝4，（1）当b ＝2时，112122S bcsinA ==⨯=. 当b ＝4时，114222S bcsinA ==⨯=. （2）由a=c=，10sinA =，a c sinA sinC=，得2sinC =，11 / 14在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，()sin A B sinC +==. 7、在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.（1）已知_______________，计算ABC 的面积；请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.（2）求cos cos B C +的最大值.【答案】（1）见解析（2）1【解析】（1）若选②2b =，③sin 2sin C B =、sin 2sin C B =，24c b ∴==，222b c a bc +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==， 又(0,)A π∈，3A π∴=、ABC ∆∴的面积11sin 24222S bc A ==⨯⨯⨯= 若选①a =②2b =、由222b c a bc +=+可得3c =，222b c a bc +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==， 又(0,)A π∈，12 / 14 3A π∴=、ABC ∆∴的面积11sin 2322S bc A ==⨯⨯=、 若选①a =③sin 2sin C B =sin 2sin C B =，2c b ∴=，又222b c a bc +=+，222472b b b ∴+=+，可得b =，c =ABC ∆∴的面积11sin 22MBC S bc A ===、 （2）3A π=1cos cos cos cos[()]cos cos()cos cos 332B C B B B B B B B πππ∴+=+-+=-+=-1cos sin()26B B B π==+ 203B π<<， 5366B πππ∴<+< ∴当3B π=时，sin()cos cos 6B B C π+=+有最大值1、 8、已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5a b +=，3c =，________.是否存在以a ，b ，c 为边的三角形？如果存在，求出ABC 的面积；若不存在，说明理由.从①1cos 3C =；②1cos 3=-C；③sin 3C =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.13 / 14【答案】详见解析【解析】若选取条件①1cos 3C =，此时sin 3C ==， 因为5a b +=，所以()2222252a b a b ab ab +=+-=-， 由余弦定理，22225291cos 223a b c ab C ab ab +---===，解得6ab =， 则22252613a b +=-⨯=，所以()222213121a b a b ab -=+-=-=， 所以1a b -=±，又5a b +=，解得32a b =⎧⎨=⎩或者23a b =⎧⎨=⎩， 所以存在以a ，b ，c为边的三角形，其面积为12323ABCS =⨯⨯⨯=若选取条件②1cos 3=-C ， 因为5a b +=，所以()2222252a b a b ab ab +=+-=-， 由余弦定理，22225291cos 223a b c ab C ab ab +---===-，解得12ab =， 则22252121a b +=-⨯=，所以()22221240a b a b ab -=+-=-<，显然不成立，所以不存在以a ，b ，c 为边的三角形.若选取条件③sin C =，得1cos 3C =±， 由选取条件①可知，当1cos 3C =时，存在以a ，b ，c为边的三角形，其面积为ABC S =14 / 14由选取条件②可知，当1cos 3=-C 时，不存在以a ，b ，c 为边的三角形. 9、在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇、若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值、【解析】如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC Ⅰ14x ⅠBC Ⅰ10x ⅠⅠABC Ⅰ120°.根据余弦定理得(14x )2Ⅰ122Ⅰ(10x )2Ⅰ240x cos 120°Ⅰ解得x Ⅰ2.故AC Ⅰ28ⅠBC Ⅰ20.根据正弦定理得ⅠⅠ解得sin αⅠⅠ.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.。
解三角形高考题精选
解三角形高考题精选一．选择题。
1.（06全国I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =( )A ．14 B ．34 C 2.(06山东）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =( ) (A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）33.（07重庆）在ABC △中，AB =45A =，75C =，则BC =（ ）Ａ．3Ｃ．2Ｄ．34.（08陕西）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ==，则a 等于（ ）AB ．2CD5. （08福建)在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为( )A.6π B.3π C.6π或56πD.3π或23π6. （08海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）A. 5/18B. 3/4 D. 7/8二．填空题。
7.（06北京）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是____________. 8.（06江苏）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝ 9.（07北京）在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = 10.（07湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b c =B = ．11.（07湖南文）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A = ． 12.（07重庆文）在△ABC 中，AB =1, B C =2, B =60°，则AC ＝13. （08江苏）若，则ABC S ∆的最大值 ．14. （08湖北）在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .15. （08浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b c o s c o s3=-，则=A cos _________________。
解三角形应用举例
解三角形应用举例一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为( )A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC＝22×32＝6(km).答案 A2.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里).答案 A3.(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )A.a kmB. 3 a kmC.2a kmD.2a km解析由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB ＝3a (km). 答案 B 4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A.8 km/hB.6 2 km/hC.234 km/hD.10 km/h 解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B. 答案 B5.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.答案 D二、填空题6.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分. 解析由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得ACsin B＝ABsin∠ACB，所以AC＝AB·sin Bsin∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分).答案6 37.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝103(m).答案10 38.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.解析如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝40033(m).在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，∴CD＝13AC＝4003(m).答案400 3三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值.解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时.(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.10.(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长.解设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理，得sin B＝b sin∠BACa＝3310＝1010，由题设知0<B<π4，所以cos B＝1－sin2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.由正弦定理，得AD＝AB·sin Bsin（π－2B）＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.11.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cos A＝( )A.31010B.1010C.－1010D.－31010解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝π4，BD＝13BC，DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A＝－1010.答案 C12.如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α＜β)，则点A离地面的高AB等于( )A.a sin α·sin βsin（β－α）B.a sin α·sin βcos（β－α）C.a cos α·cos βsin（β－α）D.a cos α·cos βcos（β－α）解析结合题图示可知，∠DAC＝β－α.在△ACD中，由正弦定理得：DCsin∠DAC＝ACsin α，∴AC＝a sin αsin∠DAC＝a sin αsin（β－α）.在Rt△ABC中，AB＝AC sin β＝a sin αsin βsin（β－α）.答案 A13.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于________m.解析如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝60tan 30°＝603(m)，在Rt△ABD中，BD＝ADtan∠ABD＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)，∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m).答案120(3－1)14.如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449). 解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝103t(海里)，BD＝10t(海里).在△ABC中，∵AB＝(3－1)海里，AC＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里).根据正弦定理，可得sin∠ABC＝AC sin 120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BD sin∠CBDCD＝10t·sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
1.2解三角形应用举例(一)
1.2解三角形应用举例（一）班级_______姓名________ 1、自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车箱的最大仰角是60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）。
2、如图，在山脚A测得山顶P的仰角为,α沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为,γ求证：山高sin sin().sin()ahαγβγβ-=-3、勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是29°和38°，两个观察点之间的距离是200m，求此山的高度。
4、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20 250m，速度为1 000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度（精确到1 m）。
5、测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得AC=65.3m ，塔顶B 的仰角a 是25°25′。
已知山坡的倾斜角β是17°38′，求井架的高BC 。
6、在△ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.01cm 2）：（1）已知 45,33,28===B cm c cm a ；（2）已知cm a C A 36,5.66,8.32=== ；（3）已知三边的长分别为cm c cm b cm a 71,61,54===。
7、证明三角形的面积公式AC B a S sin sin sin 212=8、有一块四边形土地的形状如图所示，它的三条边的长分别是50m ，60m ，70m ，两个内角是127°和132°，求四边形的面积（精确到0.01m 2）。
9、货轮在海上以35n mile/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148°的方向航行。
2025高考数学一轮复习-22.2-解三角形及其应用举例-专项训练【含解析】
22.2-解三角形及其应用举例-专项训练【原卷版】1．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为3km和5km，测得灯塔A在观察站C北偏西50°，灯塔B在观察站C北偏东70°，则两灯塔A，B间的距离为() A．7B．8C．34－153D．34＋1532．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形3．(2024·武钢期中)在锐角△ABC中，若C＝2B，则cb的范围为()A．(2，3)B．(3，2)C．(0,2)D．(2，2)4．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为()A．12小时B．23小时C．34小时D．1小时5．如图所示，在四边形ABCD中，AC＝AD＝CD＝7，∠ABC＝120°，sin∠BAC＝5314且BD为∠ABC的平分线，则BD＝()A．6B．9C．72D．86．(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离126n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离83n mile．货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()A．A处与D处之间的距离是24n mileB．灯塔C与D处之间的距离是16n mileC．灯塔C在D处的西偏南60°D ．D 在灯塔B 的北偏西30°7．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区的时间为________小时．8．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．9．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为两边夹角为120°的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB ，AC 上分别设立游客上下点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得AM ＝3千米，AN ＝3千米．(1)求线段MN 的长度；(2)若∠MPN ＝60°，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．10．如图，某侦察飞机沿水平直线AC 匀速飞行，在A 处观测地面目标P ，测得俯角∠BAP ＝30°，飞行3分钟后到达B 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠ABP ＝60°，又飞行一段时间后到达C 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠BCP 的余弦值为41919，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为()A ．2分钟B ．2．25分钟C ．2．5分钟D ．2．75分钟11．(多选)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝32b ，且∠CAB ＝π3．点D 是△ABC 外一点，DC ＝1，DA ＝3，下列说法中，正确的命题是()A ．△ABC 的内角B ＝π3B ．△ABC 的内角C ＝π3C ．四边形ABCD 的面积最大值为532＋3D ．四边形ABCD 的面积无最大值．12．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a ，b ，c 直接求出三角形的面积．据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c )．我国南宋著名数学家秦九韶(约1202～1261)在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是S ＝14(c 2a 2－□2)，这个公式中的□＝________．13．第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明区举办，以“蝶恋花”为设计理念的世纪馆，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板厚度只有250毫米．图①为建成后的世纪馆；图②是建设中的世纪馆；图③是场馆的简化图．如图③是由两个相同的半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，AA ′∥PP ′∥OO ′∥BB ′，其中AA ′＝280米，圆心距OO ′＝160米，半圆的半径R ＝75米，椭圆中心P 与圆心O 的距离PO ＝40米，C ，C ′为直线PP ′与半圆的交点，∠COB ＝60°．(1)设α＝∠A ′AB ，计算sin α的值；(2)计算∠COP 的大小(精确到1°)．附：sin 36．87°≈0．6，sin 47．44°≈123－916．14．《益古演段》是我国古代数学家李冶(1192～1279)的一部数学著作．内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等．其中有这样一个问题：如图，已知∠A ＝60°，点B ，C 分别在∠A 的两个边上移动，且保持B ，C 两点间的距离为23，则点B ，C 在移动过程中，线段BC 的中点D 到点A 的最大距离为________．15．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？22.2-解三角形及其应用举例-专项训练【解析版】1．某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，测得灯塔A 在观察站C 北偏西50°，灯塔B 在观察站C 北偏东70°，则两灯塔A ，B 间的距离为()A ．7B ．8C ．34－153D ．34＋153解析：A 根据题意，画出草图如图所示，结合题干条件易知AC ＝3km ，BC ＝5km ，∠ACB ＝120°，利用余弦定理可得AB 2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴AB ＝7km ．故选A ．2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状一定是()A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形解析：D 已知a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，解得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝180°－2B ，解得A ＝B 或A ＋B ＝90°，所以△ABC 的形状是等腰或直角三角形．故选D ．3．(2024·武钢期中)在锐角△ABC 中，若C ＝2B ，则c b的范围为()A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(0,2)D ．(2，2)解析：A 由正弦定理得c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ，∵△ABC 是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有0＜B ＜π2，0＜C ＝2B ＜π2，0＜π－C －B ＝π－3B ＜π2，解得π6＜B ＜π4，余弦函数在此范围内是减函数．故22＜cos B ＜32．∴c b ∈(2，3)．故选A ．4．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为()A ．12小时B ．23小时C．34小时D ．1小时解析：B 如图，设舰艇在B 处靠近渔轮，所需的时间为t 小时，则AB ＝21t ，CB ＝9t ．在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得212t 2＝102＋81t 2＋2·10·9t ·12．整理得360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．故舰艇需23小时靠近渔轮．故选B ．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝CD ＝7，∠ABC ＝120°，sin ∠BAC ＝5314且BD 为∠ABC 的平分线，则BD ＝()A ．6B ．9C ．72D ．8解析：D 由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ⇒BC 5314＝732⇒BC ＝5，由AC ＝AD ＝CD ＝7，可得∠ADC ＝60°，又∠ABC ＝120°，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，∠DBC ＝∠DAC ＝60°，由余弦定理得cos ∠DBC ＝BD 2＋BC 2－DC 22BD ·BC⇒BD ＝8．故选D ．6．(多选)某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离126n mile ；在A 处看灯塔C 在货轮北偏西30°，距离83n mile ．货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是()A ．A 处与D 处之间的距离是24n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是16n mileC ．灯塔C 在D 处的西偏南60°D ．D 在灯塔B 的北偏西30°解析：AC 由题意可知∠ADB ＝60°，∠BAD ＝75°，∠CAD ＝30°，所以B ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝126，AC ＝83，在△ABD 中，由正弦定理得AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，所以AD ＝126×2232＝24(n mile)，故A 正确；在△ACD 中，由余弦定理得CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即CD ＝(83)2＋242－2×83×24×32＝83(n mile)，故B 错误；因为CD ＝AC ，所以∠CDA ＝∠CAD ＝30°，所以灯塔C 在D 处的西偏南60°，故C 正确；由∠ADB ＝60°，D 在灯塔B 的北偏西60°处，故D 错误．故选A 、C ．7．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区的时间为________小时．解析：设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，故302＝x 2＋402－2x ·40·cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝402，x 1x 2＝700，所以|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝20，即图中CD ＝20千米，所以B 城市处于危险区的时间为2020＝1小时．答案：18．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A ，B 两点间的距离)，现取两点C ，D ，测得CD ＝80，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．解析：由已知得，在△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝150°，所以∠DAC ＝15°，由正弦定理得AC ＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)．在△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝∠BCA ＋∠ACD ＝135°，所以∠DBC ＝30°，由正弦定理CD sin ∠CBD＝BC sin ∠BDC ，得BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝80×sin 15°12＝160sin 15°＝40(6－2)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝1600×(8＋43)＋1600×(8－43)＋2×1600×(6＋2)×(6－2)×12＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB ＝805．故图中海洋蓝洞的口径为805．答案：8059．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为两边夹角为120°的公路(长度均超过3千米)，在两条公路AB ，AC 上分别设立游客上下点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得AM ＝3千米，AN ＝3千米．(1)求线段MN 的长度；(2)若∠MPN ＝60°，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．解：(1)在△AMN 中，由余弦定理得，MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos 120°＝3＋3－2×3×3×－12＝9，MN ＝3，所以线段MN 的长度为3千米．(2)设∠PMN ＝α，因为∠MPN ＝60°，所以∠PNM ＝120°－α，在△PMN 中，由正弦定理得，MN sin ∠MPN ＝PM sin (120°－α)＝PN sin α＝3sin 60°＝23．所以PM ＝23sin(120°－α)，PN ＝23sin α，因此PM ＋PN ＝23sin(120°－α)＋23sin α＝2332cos α＋12sin α＋23sin α＝33sin α＋3cos α＝6sin(α＋30°)，因为0°＜α＜120°，所以30°＜α＋30°＜150°．所以当α＋30°＝90°，即α＝60°时，PM ＋PN 取到最大值6．所以两条观光线路PM 与PN 之和的最大值为6千米．10．如图，某侦察飞机沿水平直线AC 匀速飞行，在A 处观测地面目标P ，测得俯角∠BAP ＝30°，飞行3分钟后到达B 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠ABP ＝60°，又飞行一段时间后到达C 处，此时观测地面目标P ，测得俯角∠BCP 的余弦值为41919，则该侦察飞机由B 至C 的飞行时间为()A ．2分钟B ．2．25分钟C ．2．5分钟D ．2．75分钟解析：B 设飞机的飞行速度为v ，由题知∠BAP ＝30°，∠ABP＝60°，所以△ABP 为直角三角形，如图，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，则AB ＝3v ，AP ＝332v ，BP ＝32v ，可得DP ＝334v ，所以DB ＝34v ，设CB ＝x v ，由cos ∠BCP ＝41919，可得sin ∠BCP ＝3×1919，则tan ∠BCP ＝34，又由tan ∠BCP ＝334v 34v ＋x v ＝34，解得x ＝2．25．故选B ．11．(多选)如图，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝32b ，且∠CAB ＝π3．点D 是△ABC 外一点，DC ＝1，DA ＝3，下列说法中，正确的命题是()A ．△ABC 的内角B ＝π3B ．△ABC 的内角C ＝π3C ．四边形ABCD 的面积最大值为532＋3D ．四边形ABCD 的面积无最大值．解析：ABC因为a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝32b ，由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝32sin B ，B 为三角形内角，sin B ≠0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝32，sin(A ＋C )＝32，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝32，B ＝π3或B ＝2π3，又∠CAB ＝π3，所以B ＝2π3不合题意，所以B ＝π3，从而∠ACB ＝π3，A 、B 正确；在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝9＋1－2×3×1×cos D ＝10－6cos D ，所以S 四边形ABCD ＝12AD ·CD sin D ＋34AC 2＝32sin D －332cos D ＋532＝＋532，D ∈(0，π)，D －π3∈－π3，D －π3＝π2，即D ＝5π6时，S 四边形ABCD ＝3＋532为最大值，无最小值．C 正确，D 错．故选A 、B 、C ．12．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a ，b ，c 直接求出三角形的面积．据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c )．我国南宋著名数学家秦九韶(约1202～1261)在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是S ＝14(c 2a 2－□2)，这个公式中的□＝________．解析：由余弦定理知c 2＋a 2－b 22＝ac cos B ，所以S ＝12ac sin B ＝14a 2c 2sin 2B ＝14(c 2a 2－c 2a 2cos 2B )＝14(c 2a 2－□2)，所以□＝c 2＋a 2－b 22．答案：c 2＋a 2－b 2213．第十届中国花卉博览会于2021年5月21日至7月2日在上海崇明区举办，以“蝶恋花”为设计理念的世纪馆，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体，屋顶跨度280米，屋面板厚度只有250毫米．图①为建成后的世纪馆；图②是建设中的世纪馆；图③是场馆的简化图．如图③是由两个相同的半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，AA ′∥PP ′∥OO ′∥BB ′，其中AA ′＝280米，圆心距OO ′＝160米，半圆的半径R ＝75米，椭圆中心P 与圆心O 的距离PO ＝40米，C ，C ′为直线PP ′与半圆的交点，∠COB ＝60°．(1)设α＝∠A ′AB ，计算sin α的值；(2)计算∠COP 的大小(精确到1°)．附：sin 36．87°≈0．6，sin 47．44°≈123－916．解：(1)易知OO ′为等腰梯形ABB ′A ′的中位线，所以cos α＝280－160275＝45，因为α为锐角，所以sin α＝35．(2)因为AA ′∥OO ′，所以∠O ′OB ＝∠A ′AB ＝α，则∠PCO ＝∠COO ′＝60°－α，所以在△CPO 中，OC sin ∠CPO ＝OP sin (60°－α)，即sin ∠CPO ＝OC ·sin (60°－α)OP＝75(sin 60°cos α－cos 60°sin α)40，则sin ∠CPO ＝123－916，又∠CPO 为钝角，所以∠CPO ≈132．56°．由(1)知，sin α＝35，所以α≈36．87°，所以∠COO ′≈60°－36．87°＝23．13°，所以∠OCP ＝∠COO ′＝23．13°，所以∠COP ＝180°－∠CPO －∠OCP ＝180°－132．56°－23．13°≈24°．14．《益古演段》是我国古代数学家李冶(1192～1279)的一部数学著作．内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等．其中有这样一个问题：如图，已知∠A ＝60°，点B ，C 分别在∠A 的两个边上移动，且保持B ，C 两点间的距离为23，则点B ，C 在移动过程中，线段BC 的中点D 到点A 的最大距离为________．解析：如图，延长AD 到点P ，使AD ＝DP ，连接PB ，PC ，∵D 是线段BC 的中点，∴四边形ABPC 是平行四边形，∴∠ACP ＝120°，在△ABC 中，BC 2＝12＝AB 2＋AC 2－2×AB ×AC ×cos 60°，∴BC 2＝12＝AB 2＋AC 2－AB ×AC ≥AB ×AC ，当且仅当AB ＝AC ＝23时等号成立，故AB ×AC ≤12．在△ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2－2×AC ×CP ×cos 120°＝AC 2＋CP 2＋AC ×CP ，∵AB ＝CP ，∴AP 2＝12＋2AC ×AB ≤36，∴2AD ≤6，∴AD ≤3．故线段BC 的中点D 到点A 的最大距离为3．答案：315．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365．由正弦定理得AB ＝AC sin B ×sin C ＝12606365×45＝1040(m)，所以索道AB 的长为1040m ．(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客的距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)＝7400＋6251369．因为0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，所以当t ＝3537时，甲、乙两游客距离最短．即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C 处．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在125043，62514(单位：m/min)范围内．。
解三角形专题(高考题)练习【附答案】
解三角形专题（高考题）练习1、在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =设内角B x =,面积为y .(1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 2、已知ABC ∆中，1||=AC ，0120=∠ABC ，θ=∠BAC ， 记→→•=BC AB f )(θ，（1）求)(θf 关于θ的表达式； （2）（2）求)(θf 的值域；3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ∆中，cos A =，cos B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长ＡＢ Ｃ120°θ边的边长为l.求：（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.10、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 11、已知△ABC 中，AB=4,AC=2,23ABC S ∆=. （1）求△ABC 外接圆面积. （2）求cos(2B+3π)的值. 12、在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。
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解三角形应用举例练习
班级 姓名 学号 得分
一、选择题
1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ）
A.
3
400
B. 33400米
C. 2003米
D. 200米
3.在∆ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则∆ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形.
4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面
成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( )
A C
D B
阳光地面
A.75°
B.60°
C.50°
D.45°
5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h
6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ）
A 、无解
B 、一解
C 、两解
D 、解的个数不能确定 二、填空题
7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为
9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方
向行驶.
A
B
C
D
12
A
B
C
D 6045
0 m
o
o
10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的
高为_______.
三、解答题
11．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45︒，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度θ
12.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB 的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）
A B
L
O
13.海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏西60°的C处，俯角为60°，（1）求该船的速度；
（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离是多少？（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？
1．2．2解三角形应用举例参考答案
一、选择题
1．B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C
二、填空题 7. 203米，
33
40
米 8. 14nmile/h 9. 与水速成135°
角的方向 10. 20（1+3）m 三、解答题
13.解：在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒ 由正弦定理：
15sin 30sin 100BC
=
∴BC = 200sin15︒ 在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ
由正弦定理：)
90sin(15sin 20045sin 50θ+=
⇒c os θ =13- ,∴θ = 4294︒ 14.解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .
因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°.
则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab +2ab =（2+2）ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =α，则∠OBA =45°－α.所以a =αsin 10，b =）
（α-︒45sin 10
，ab =
αsin 10·）（α-︒45sin 10=）
（αα-︒⋅45sin sin 100
=）
（αααsin 2
2
cos 22sin 100
-
=）（αα2cos 142
2sin 42100
--=2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，
当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB |2≥2
222400-+）
（=400（2+1）2，
当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立. 所以当a =b =
0322sin 10
'
︒=10）
（222+时，|AB |最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB |最短，最短距离为20（2－1）. 15. 解:（1）如图，)(330cot 1km OB =
︒⨯=，
),
(3
39
)21(3332313||,
120),(3
3
60cot 1km BC BOC km OC =-⨯⨯⨯-+=∴︒=∠=︒⨯=而
∴船的速度);/(3926
1h km BC
v ==
（2）设船到达的正西位置为D （x ，0）， ∵B 的坐标为),2
3
,
23()30sin 3,30cos 3(=︒︒ 而C 的坐标为),6
3,21()150sin 33,150cos 33(
-=︒︒ ∵B 、C 、D 三点共线，,232123632
32323
-=⇒+-
=-∴x x )0,2
3
(-∴D ，),(6393631||km CD =+=∴ ∴==(min),5)(12
1
||h v CD
该船在上午11时15分到达正西方向； （3）作OE ⊥BC 于E ，则E 点到A 的距离最近，
(min),13
90
)(263||),(1339352949||),
(13
23||,120sin ||||||||==∴=-=
∴=∴︒⋅=⋅h v ED km DE km OE OC OB BC OE
∴=-
(min),1318139015 船在上午11时13
1
8分时到A 的距离最近.。