数学选修4-4参数方程

课内讲练
——题型探究——
题型一 椭圆的参数方程及应用 【例 1】已知 A，B 分别是椭圆3x62 ＋y92＝1 的右顶 点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重 心 G 的轨迹方程．
【分析】△ABC的重心G取决于△ABC的三个顶点的 坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数 方程的形式．
第二讲 参数方程
学案2 圆锥曲线的参数方程
课前预习
——课标学习目标——
了解圆锥曲线的参数方程，分析圆锥曲线的几何性质 选择适当的参数写出它们的参数方程．
——基础梳理——
1．椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆ax22＋yb22＝1(a ＞b＞0)的参数方程是__________．规定参数 φ 的取 值范围为__________．
3．抛物线的参数方程 (1) 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p ＞ 0) 的 参 数 方 程 为 __________，t∈__________. (2)参数 t 的几何意义是__________．
[答案]
1．(1)xy＝＝bascionsφφ (φ 为参数) [0,2π)
x＝h＋acosφ (2)y＝k＋bsinφ
对称性，知内接矩形的面积为 S＝4xy＝4×5cost×4sint
＝40sin2t.
当 t＝π4时，面积 S 取得最大值 40，此时，x＝5cos
π4＝52 2，y＝4sin π4＝2 2，因此，矩形在第一象限的
顶点为52
2，2
2，此时内接矩形的面积最大，且最
大面积为 40.
题型二 双曲线的参数方程及应用 【例 2】求点 M0(0,2)到双曲线 x2－y2＝1 的最小距 离(即双曲线上任一点 M 与点 M0 距离的最小值)． 【分析】化双曲线方程为参数方程，对MM0 建立 三角函数求最值．
3．直线 y＝ax＋b 经过第一、二、四象限，则
圆xy＝＝ba＋＋rrscionsθθ， (θ 为参数)的圆心位于第几象限
() A．一
B．二 C．三
D．四
[解析] 直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则a＜ 0，b＞0，而圆心坐标为(a，b)，所以位于第二象限．
[答案] B
4．椭圆xy＝＝bascions
标为__________． [解析] 原方程消去参数 θ，得普通方程为2x52 ＋y92
＝1.它是焦点在 x 轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2 －b2＝16，c＝4，所以左焦点坐标是(－4,0)．
[答案] (－4,0)
6．圆锥曲线xy＝＝34tsaencθθ， (θ 是参数)的渐近线方程
(2)中心在(h，k)的椭圆的普通方程为x－a2h2＋ y－b2k2＝1，则其参数方程为__________．
2．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－yb22＝1(a ＞0，b＞0)的参数方程是__________．规定参数 φ 的取 值范围为__________． (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ya22－bx22＝1(a ＞0，b＞0)的参数方程是__________．
【解析】把双曲线方程化为参数方程xy＝＝tsaenc
θ， θ.
设双曲线上动点 M(sec θ，tan θ)，
则M0M2＝sec2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
当
tan
θ－1＝0
即
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θ＝π4时，M0M
【解析】由题意知 A(6,0)，B(0,3)，由于动点 C 在 椭圆上运动，故可设动点 C 的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点 G 的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可
得yx＝＝06＋＋30＋＋3336scionsθθ
，即xy＝＝12＋＋s2icnoθsθ ，消去参数
θ 得到x－4 22＋(y－1)2＝1.
【评析】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决 相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简 便．
变式训练
在椭圆2x52＋1y62 ＝1 中有一内接矩形，问内接矩
形的最大面积是多少？
[解析]
椭
圆的
参
数
方
程为
x＝5cost， y＝4sint
(t 为参
数)，设第一象限内椭圆上任一点 M(x，y)，由椭圆的
θ， θ
(θ 为参数)，若 θ∈[0,2π]，
则椭圆上的点(－a,0)对应的 θ 为( )
A．π
B.π2
C．2π
D.32π
[ 解 析 ] 由 已 知 acosθ ＝ － a ， ∴cosθ ＝ － 1 ， 又 θ∈[0,2π]，∴θ＝π.故选A.
[答案] A
5．二次曲线xy＝＝35scionsθθ， (θ 是参数)的左焦点的坐
(φ 为参数)
2．(1)xy＝＝batsaencφφ (φ 为参数) [0,2π)，且 φ≠π2，φ≠32π
x＝btanφ (2)y＝asecφ
(φ 为参数)
3．(1)xy＝＝22pptt2 (t 为参数) (－∞，＋∞) (2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜
率的倒数
自主演练
1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则 ()
是________________，实轴长是__________．
[解析]
原方程可化为x43y＝＝staecnθθ，，
因为 sec2θ－tan2θ
＝1，所以1x62－y92＝1.它是焦点在 x 轴上的双曲线，
∴a2＝16. ∴双曲线的渐近线为 y＝±34x，且实轴长为 8.
[答案] y＝±34x 8
2
取最小值
3，此时
有M0M＝ 3，即 M0 点到双曲线的最小距离为 3.
【评析】在求解一些最值问题时，用参数方程来表示 曲线的坐标，将问题转化为三角函数求最值，能简化运算 过程．
A．m＜1 C．m＞1
B．－1＜m＜1 D．0＜m＜1
[解析] 方程化为 x2＋y12＝1，若要表示焦点在 y m
轴上的椭圆，需要m1 ＞1，解得 0＜m＜1.故应选 D.
[答案] D
2．已知90°＜θ＜180°，方程x2＋y2cosθ＝1表示的 曲线是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [解析] 当90°＜θ＜180°时，－1＜cosθ＜0，方程 x2＋y2cosθ＝1表示的曲线是双曲线．故应选C. [答案] C