数学选修4-4参数方程
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
数学选修4-4-用参数方程求轨迹问题
六、轨迹问题1.设过原点O 的直线与圆C ：x 2+（y-1）2=1相交于两点O ，P ，点M 为线段OP 的中点．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）求点M 的轨迹方程，2.在平面直角坐标系xoy 中,动点A 的坐标为(2-3sinα,3cosα-2),其中α∈R.在极坐标系(以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线C 的方程为ρcos(θ-4π)=a.(Ⅰ)判断动点A 的轨迹的形状; (Ⅱ)若直线C 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点,求实数a 的值.3.设过原点O 的直线与圆C ：x 2+（y-1）2=1相交于两点O ，P ，点M 为线段OP 的中点．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）求点M 的轨迹方程，2.已知点)sin ,cos1(αα+P ，参数[]πα,0∈，点Q 在曲线C ：)4sin(210πθρ-=上.（Ⅰ）求在直角坐标系中点P 的轨迹方程和曲线C 的方程；（Ⅱ）求PQ 的最小值.1.已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭。
（1）求出以C 为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形（2）在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点, 极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,点P 是圆C 上任意一点，()5,3Q- ，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹普通方程。
2．已知直线C 1（t 为参数），C 2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C 1与C 2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．3。
在极坐标系中，O 为点，半径为2的圆C 的圆心的为(2,3π)． （1）圆C 的极坐标方程；（2）P 是圆C 上一动点，点Q 满足3OQ OP = ，以点O 为原点，以轴为x 轴正半轴建立直角系，点Q 的轨迹的直角坐标方程．。
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-2第二讲-参数方程
【解】
如图所示：
由动点C在该椭圆上运动，故可设C的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点G的坐标为(x，y)，由题意可知A(6,0)，B(0,3)，由三角形重心坐 标公式可知：
x＝6＋0＋6cosθ＝2＋2cosθ， 3 0＋3＋3sinθ y＝ ＝1＋sinθ. 3 x－22 由此，消去参数θ，得到所求的普通方程为 4 ＋(y－1)2＝ 1.
x－1＝cosθ， 3 【解】 (1)由题意可设 y＋2 ＝sinθ， 5
x＝1＋ 3cosθ， y＝－2＋ 5sinθ
即
(θ为参数)为所求．
2 2 x y (2)x2－y2＝4变形为： 4 － 4 ＝1.
x＝2secα， ∴参数方程为 y＝2tanα
2 x ＝ 2 pt ， 2 2．抛物线y ＝2px(p>0)的参数方程为 y＝2pt
y 1 由于 x ＝ t ，因此参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的点与 抛物线的顶点连线的斜率的倒数． 3．几个结论 x2 y2 (1)焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 b2 ＋ a2 ＝1(a>b>0)，其参 数方程是 [0,2π)．
x2 y2 a2＋b2＝1
x＝acosφ， y＝bsinφ
x2 y2 a2－b2＝1
x＝asecφ， y＝btanφ
点的坐标
(rcosθ， rsinθ)
(acosφ，bsinφ)
(asecφ，btanφ)
这三种曲线的参数方程都是参数的三角形式．其中圆的参数θ 表示旋转角，而椭圆、双曲线的参数φ表示离心角，几何意义是不 同的，它们的参数方程主要应用价值在于： (1)通过参数(角)简明地表示曲线上任一点的坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 函数性质及变换公式帮助求解最值、参数的取值范围等问题．
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
![第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程](https://img.taocdn.com/s3/m/a11e7411ff00bed5b9f31dd5.png)
距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
选修4-4第二讲参数方程(文)
一、学习目标1. 通过分析抛射体运动中时间与物体位置的关系，了解参数方程的概念，体会其意义。
2. 理解直线、圆、椭圆的参数方程及其参数的意义，掌握它们的参数方程与普通方程的互化，并能利用参数方程解决一些相关的应用问题（如求最值等）。
3. 了解抛物线、双曲线的参数方程，能将它们的参数方程化为普通方程。
4. 知道摆线、圆的渐开线的参数方程，体会参数在建立曲线方程中的作用。
二、重点、难点重点：直线、圆、椭圆的参数方程的建立，以及参数方程与普通方程的互化与应用。
难点：对上述三类重点参数方程中参数的意义的理解，以及熟练应用参数方程解决相关问题。
三、考点分析高考中对本讲的考查以直线、圆、椭圆的参数方程为主，有时会与极坐标方程相结合，多以选做题的形式出现在填空题或解答题中，难度不大，分值为5－10分，不同的省份在题型和分值的设定上略有差异，与普通方程的互化仍然是解决此类问题的常用策略，此外，参数方程也为解决解析几何中的最值、轨迹等问题提供了一条思路。
一、知识网络（1）圆的参数方程其中θ的几何意义为圆心角（参看图甲）（2）椭圆的参数方程其中θ为椭圆的离心角（参看图乙）乙（3）双曲线的参数方程（4）抛物线的参数方程知识点一：参数方程的建立例1 （1）经过点M （1，5）且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是（ ）A. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 D. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231 （2）已知椭圆1422=+yx ，点P 为椭圆上一动点，O 为坐标原点，设由x 轴逆时针旋转到OP 的角为α，则该椭圆的以α为参数的参数方程为 。
知识点一小结：参数方程的建立主要是指利用教材中的直线、圆、椭圆的参数方程的基本形式结合题中参数的意义直接写出参数方程，同时也是利用参数方程解决一些解析几何问题的知识基础。
选修4-4直线的参数方程优秀课件
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
人教版高数选修4-4第2讲：参数方程(学生版)
参数方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解直线参数方程,曲线参数方程的条件及参数的意义2.会选择适当的参数写出曲线的参数方程3.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法4.了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义5.利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题一.参数方程的定义1.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：()()x f ty g t=⎧⎨=⎩；反过来，对于t的每个允许值，由函数式()()x f ty g t=⎧⎨=⎩所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程()()x f ty g t=⎧⎨=⎩叫作曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程．2．关于参数的说明．参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义．3．曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的()()x f ty g t=⎧⎨=⎩，就是参数方程．二.圆的参数方程点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是t 的函数：cos sin x r ty r t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．我们把这个方程叫作以圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程． 圆的圆心为O 1(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为：cos sin x a r ty b r t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.三．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．规定θ的范围为θ∈[0，2π)．这是中心在原点O 、焦点在x 轴上的椭圆参数方程．四．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为tan x asec y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)．规定φ的范围为φ∈[0，2π)，且φ≠π2，φ≠3π2.这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线参数方程．五．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，t ∈R)其中p 为正的常数．这是焦点在x 轴正半轴上的抛物线参数方程．六.直线的参数方程1．过定点M 0(x 0，y 0)、倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，这一形式称为直线参数方程的标准形式，直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值．当t ＞0时，M 0M →的方向向上；当t ＜0时，M 0M →的方向向下；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.2．若直线的参数方程为一般形式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)， 可把它化为标准形式：00cos sin t x t x y y αα=+⎧⎨='+'⎩(t′为参数)．其中α是直线的倾斜角，tan α＝ba ，此时参数t′才有如前所说的几何意义．类型一.参数方程与普通方程的互化例1：指出参数方程3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，0＜θ＜π2表示什么曲线练习1：指出参数方程315cos 215sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)．表示什么曲线例2：设直线l 1的参数方程为1,13x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),直线l 2的方程为y =3x +4,则l 1与l 2间的距离为______.练习2：若直线112,:2x t y l kt =-⎧⎨=+⎩(t 为参数)与直线l 2:,12x s y s =⎧⎨=-⎩(s 为参数)垂直,则k =______.类型二.曲线参数方程例3：已知点P (x , y )在曲线2cos ,sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩(θ为参数)上,则y x 的取值范围为______.练习1：已知点A (1,0),P 是曲线2cos ,1cos 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ∈R )上任一点,设P 到直线l :y =12-的距离为d ,则|PA|+d 的最小值是______.例4：已知θ为参数,则点(3,2)到方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,的距离的最小值是______.练习1：已知圆C 的参数方程为cos 1,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),则点P (4,4)与圆C 上的点的最远距离是______.例5：已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，点M 到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数．练习1：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t (t 为参数，a ＞0，b ＞0)化为普通方程．类型三.直线参数方程例6：曲线C 1:1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线C 2:1,2112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______.练习1：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2类型四.曲线参数方程的应用例7：在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．练习1：已知曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ.当t 是非零常数，θ为参数时，C 是什么曲线？当θ为不等于k π2(k ∈Z)的常数，t 为参数时，C 是什么曲线？两曲线有何共同特征？类型五.极坐标与参数方程的综合应用例8：(2015·广东卷Ⅱ，数学文14)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 练习1：求圆3cos ρθ=被直线22,14x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 是参数)截得的弦长.1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)2.椭圆42cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)的焦距为( )A.21B ．221C.29D ．2293.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t－e －t，y ＝e t ＋e －t(t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支D ．圆4.双曲线23tan sec x y θθ=+⎧⎨=⎩,(θφ为参数)的渐近线方程为5.(2015·惠州市高三第二次调研考试)在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有________个． 6．若直线3x +4y +m =0与圆1cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),没有公共点,则实数m 的取值范围是______.7.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 8.已知直线l :34120x y +-=与圆C :12cos ,22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),试判断它们的公共点的个数.9.求直线2,,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)被双曲线x 2-y 2=1截得的弦长_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2，3)B ．点(2，0)C ．点(1，3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π22．双曲线6sec x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)的两焦点坐标是( )A ．(0，－43)，(0，43)B ．(－43，0)，(43，0)C ．(0，－3)，(0，3)D ．(－3，0)，(3，0)3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程为( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)4.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线5.设O 是椭圆3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)的中心，P 是椭圆上对应于α＝π6的点，那么直线OP的斜率为( )A.33B. 3C.332D.2396.将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程是____________.7.点P(x ，y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则x ＋y 的最大值为______，最小值为________．8.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB|＝________． 能力提升9.点(2，33)对应曲线4cos 6sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)中参数θ的值为( )A ．k π＋π6(k∈Z)B ．k π＋π3(k∈Z)C ．2k π＋π6(k∈Z)D ．2k π＋π3(k∈Z)10.椭圆x 29＋y24＝1的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的最小值为( )A.55B. 5C.655 D ．0 11．(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．12.在平面直角坐标系xOy中，若l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．13.(2015·惠州市高三第一次调研考试)已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________．14.(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．课程顾问签字： 教学主管签字：。
2020高考文数选修4-4坐标系与参数方程
第1讲 选修4-4坐标系与参数方程解答题1.(2019河北石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程是{x =t,y =2t (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,求|AB|.解析 (1)由{x =t,y =2t 消去t 得y=2x,把{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ, ∴直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)∵ρ2=x 2+y 2,y=ρsin θ,∴曲线C 的方程可化为x 2+y 2+2y-3=0,即x 2+(y+1)2=4,则曲线C 是以(0,-1)为圆心,2为半径的圆.又圆C 的圆心C(0,-1)到直线l 的距离d=√55,∴|AB|=22=2√955. 2.(2019江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为{x =2cosφ,y =√3sinφ(φ为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ-kρcos θ+k=0(k ∈R).(1)请写出曲线C 的普通方程与直线l 的一个参数方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,且点M(1,0)为线段AB 上的一个三等分点,求|AB|. 解析 (1)由已知得,曲线C 的普通方程为x 24+y 23=1.易知直线l 的直角坐标方程为y=k(x-1),则其一个参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数). (2)联立(1)中直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程,并化简得(3+sin 2α)t 2+6tcos α-9=0, 设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2,∴{t 1+t 2=-6cosα3+sin 2α,t 1·t 2=-93+sin 2α<0.① 不妨设t 1>0,t 2<0,t 1=-2t 2,代入①中得cos 2α=49, sin 2α=59,所以|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=123+sin 2α=278.3.(2019广西桂林联考)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =y 0+tsinα(t 为参数,α为l 的倾斜角),曲线E 的极坐标方程为ρ=4sin θ,射线θ=β,θ=β+π6,θ=β-π6与曲线E 分别交于不同于极点的A,B,C 三点.(1)求证:|OB|+|OC|=√3|OA|;(2)当β=π3时,直线l 过B,C 两点,求y 0与α的值.解析 (1)证明:依题意知,|OA|=4sin β,|OB|=4sin (β+π6),|OC|=4sin (β-π6),则|OB|+|OC|=4sin (β+π6)+4sin (β-π6)=4√3sin β=√3|OA|.(2)当β=π3时,点B 的极坐标为(4sin π2,π2)=(4,π2),点C 的极坐标为(4sin π6,π6)=(2,π6),故B,C 化为直角坐标为B(0,4),C(√3,1),因为直线l 过B,C 两点,所以直线l 的普通方程为y=-√3x+4,所以y 0=4,α=2π3.4.(2019广西南宁模拟)已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθ,y =1+sinθ(θ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin (θ+π3),直线l 的直角坐标方程为y=√33x.(1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程;(2)已知直线l 分别与曲线C 1、曲线C 2的图象相交于异于极点的A,B 两点,若A,B 的极径分别为ρ1,ρ2,求|ρ1-ρ2|的值.解析 (1)由曲线C 1的参数方程{x =cosθ,y =1+sinθ(θ为参数),得C 1的普通方程为x 2+(y-1)2=1,则曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θ.易知直线l 过原点,且倾斜角为π6,所以直线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R).(2)将θ=π6代入C 1的极坐标方程得ρ1=1,将θ=π6代入C 2的极坐标方程得ρ2=4,所以|ρ1-ρ2|=3.5.(2019广东广州联考)已知曲线C 的参数方程为{x =2+√5cosα,y =1+√5sinα(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设l 1:θ=π6,l 2:θ=π3,若l 1,l 2与曲线C 相交于异于原点的A,B 两点,求△AOB 的面积. 解析 (1)∵曲线C 的参数方程为{x =2+√5cosα,y =1+√5sinα(α为参数),∴曲线C 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5.将{x =ρcosθ,y =ρsinθ代入并化简得ρ=4cos θ+2sin θ, ∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ. (2)由{θ=π6,ρ=4cosθ+2sinθ,得|OA|=2√3+1. 同理|OB|=2+√3,又∠AOB=π6,∴S △AOB =12|OA|·|OB|sin ∠AOB=8+5√34, ∴△AOB 的面积为8+5√34. 6.(2019江西南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =-3+t,y =-1-t(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin (3π4-θ).(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程;(2)过曲线C 2上任意一点P 作与C 1夹角为π4的直线,交C 1于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析 (1)由{x =-3+t,y =-1-t得C 1的普通方程为x+y+4=0, 由ρ=4√2sin (3π4-θ),得ρ=4cos θ+4sin θ,∴ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ,x 2+y 2=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2=8,∴C 2的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8.(2)在曲线C 2上任意取一点P(2+2√2cos θ,2+2√2sin θ),则P 到C 1的距离d=√2(cosθ+sinθ)|√2=|8+4sin(θ+π4)|√2, |PA|=√22=|8+4sin (θ+π4)|,∴当sin (θ+π4)=1时,|PA|取最大值,为12;当sin (θ+π4)=-1时,|PA|取最小值,为4.7.(2019山东淄博模拟)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是x=4.曲线C 的参数方程是{x =1+√2cosφ,y =1+√2sinφ(φ为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程;(2)若射线θ=α(ρ≥0,0<α<π4)与曲线C 交于O,A 两点,与直线l 交于点B,求|OA||OB|的取值范围. 解析 (1)由ρcos θ=x 及直线l 的方程为x=4,得直线l 的极坐标方程为ρcos θ=4. 又曲线C 的参数方程是{x =1+√2cosφ,y =1+√2sinφ(φ为参数), 消去参数φ得曲线C 的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即x 2+y 2-2x-2y=0,将x 2+y 2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式得ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,所以曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ+2sin θ.(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1=2cos α+2sin α,ρ2=4cosα, 所以|OA||OB|=ρ1ρ2=(2cosα+2sinα)cosα4= cos 2α+sinαcosα2 =14(sin 2α+cos 2α)+14=√24sin (2α+π4)+14,因为0<α<π4,所以π4<2α+π4<3π4,所以√22<sin (2α+π4)≤1,故12<√24sin (2α+π4)+14≤1+√24, 所以|OA||OB|的取值范围是(12,1+√24]. 8.(2019河南郑州测试)在平角直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =1+tsinα(t 为参数,α∈[0,π)).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=4sin θ.(1)设M(x,y)为曲线C 上任意一点,求x+y 的取值范围;(2)若直线l 与曲线C 交于不同的两点A,B,求|AB|的最小值.解析 (1)将曲线C 的极坐标方程ρcos 2θ=4sin θ化为直角坐标方程,得x 2=4y.∵M(x,y)为曲线C 上任意一点,∴x+y=x+14x 2=14(x+2)2-1≥-1,∴x+y 的取值范围是[-1,+∞).(2)将{x =tcosα,y =1+tsinα代入x 2=4y,得t 2cos 2α-4tsin α-4=0.∴Δ=16sin 2α+16cos 2α=16>0,设方程t 2cos 2α-4tsin α-4=0的两个根分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=4sinαcos 2α,t 1t 2=-4cos 2α,∴|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=4cos 2α≥4,当且仅当α=0时,取等号.故当α=0时,|AB|取得最小值4.。
选修4-4 第2讲 参数方程
例1
(1)求直线xy＝ ＝2－＋1t－，t
(t
为参数)与曲线xy＝ ＝33csions
α， α
(α 为
参数)的交点个数．
[解] 将xy＝ ＝－ 2＋1－t，t 消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0；
将xy＝ ＝33csions
α， α
消去参数 α，得圆 x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点．
[解] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝1k(x＋2)．
y＝kx－2 设 P(x，y)，由题设得y＝1kx＋2 ，
消去 k 得 x2－y2＝4(y≠0)． 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ) ＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 联立ρρ2ccoossθ2θ＋－sisninθ2θ－＝42，＝0 得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故 tan θ＝－13，从而 cos2θ＝190，sin2θ＝110. 代入 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4 得 ρ2＝5，所以交点 M 的极径为 5.
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝rcos θ， y＝rsin θ
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数)
抛物线 y2＝2px(p>0)
x＝2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
[知识感悟] 1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保 持一致．否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几 何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距 离，即|M0M|＝|t|.
选修4-4 第二讲 参数方程 复习课
反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求 法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决. (2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆 心的直线、圆心到直线的距离等.
跟踪训练 3 已知曲线 C：x42＋y92＝1，直线 l：yx＝＝22－＋2t，t (t 为参数). (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
解答
(2)直线
l
的参数方程是xy＝ ＝ttcsions
α， α
(t 为参数)，l 与圆 C 交于 A，B 两点，
|AB|＝ 10，求 l 的斜率.
解答
解 方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝
α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方 程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
(3)椭圆 中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程 为(4)_双__曲__xy线_＝ ＝__ab_csio_ns_φ_φ_，___(_φ__为__参_.数) 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参 数方程为____xy_＝ ＝__ab_st_aen_c_φφ_，____(φ__为__参__数. )
解
曲线
C
的参数方程为xy＝＝23csions
θ， θ
(θ 为参数).
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
解答
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值.
解 曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 55|4cos θ＋3sin θ－6|，
高二数学选修4-4：第二讲 一 曲线的参数方程 1.参数方程的概念
首页
上一页
下一页
末页
结束
求曲线参数方程的主要步骤 (1)画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画 图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之 间的关系． (2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是 曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易列出 方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运 动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选 旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． (3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
首页
上一页
下一页
末页
结束
求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形， ∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B，A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第一象限的轨迹的 参数方程．
[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由 于 A，B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数， 或以角为参数，此时不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
则其对应的参数 t 的值为________．
解析：由 t＋1t＝2，解得 t＝1. 答案：1
首页
上一页
下一页
末页
结束
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a. 解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上，∴45＝＝a1＋ t2，2t， 解得ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
首页Biblioteka 上一页下一页末页结束
最新人教版高中数学选修4-4《参数方程》本章概览
第二章 参数方程本章概览内容提要1.设在平面上取定了一个直角坐标系xOy,把坐标x 、y 表示为第三个变量t 的函数:⎩⎨⎧==)(),(t g y x f x (a≤t≤b),若对于t 的每一个值(a≤t≤b),所确定的点M(x 、y)都在一条曲线上;而曲线上的任一点M(x 、y)都可通过t 的某个值而得到.则上式即称为该曲线的参数方程. 2.直线的参数方程:⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00ααt y y t x x 3.圆的参数方程:⎩⎨⎧==θθsin ,cos R y R x (0≤θ≤2π). 若圆心在M 0(x 0,y 0),则圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00R y y R x x (0≤θ≤2π). 4.椭圆的参数方程:①当中心在(0,0),方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin ,cos (0≤t≤2π). ②椭圆的参数方程,当中心在M 0(x 0,y 0),为⎩⎨⎧+=+=tb y y t a x x sin ,cos 00(0≤t≤2π).5.抛物线的参数方程:⎩⎨⎧==.2,22pt y pt x 6.双曲线的参数方程:⎩⎨⎧==.tan ,sec θθb y a x 7.摆线与圆的渐开线的参数方程:①摆线⎩⎨⎧-=-=).cos 1(),sin (t a y t t a x ②圆的渐开线:⎩⎨⎧-=+=).cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x 学法指导1掌握直线和圆的参数方程,学会参数方程和普通方程的互化.2掌握圆锥曲线的参数方程,通过具体问题的分析,会用参数方程解决某些问题.3分析建立曲线的参数方程的步骤,总结用向量方法建立参数方程.4体会从实践中抽象出数学问题的过程及数学在实践中的应用价值.。
高中数学人教版选修4-4参数方程知识总结
参数的分类讨论要严密．
【解】 (1)当 t≠±1 时， 由①得 sin θ＝t＋x 1t ， 由②得 cos θ＝t－y 1t . ∴t＋x21t 2＋t－y21t 2＝1. 它表示中心在原点，长轴长为 2t＋1t ，短轴长为 2t－1t ， 焦点在 x 轴上的椭圆．
当 t＝±1 时，y＝0，x＝±2sin θ，x∈[－2,2]，它表示在 x 轴 上[－2,2]的一段线段．
已知参数方程x＝t＋1t sin θ，① y＝t－1t cos θ②
(t≠0)．
(1)若 t 为常数，θ 为参数，方程所表示的曲线是什么？
(2)若 θ 为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？
【分析】 形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示
不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数，对
x＝2cos θ， y＝4sin θ.
(θ 为参数)
(2)设 M(x，y)是方程 4x2＋y2＝16 上异于 A 的任一点，则y－x 4 ＝k(x≠0)，
将 y＝kx＋4 代入方程，得 x[(4＋k2)x＋8k]＝0.
所以yx＝＝－－444＋＋k82k＋kk22，16
(k≠0)，另有一点xy＝＝04，.
数；
(2)若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别 得到曲线 C′1，C′2，写出 C′1，C′2 的参数方程．C′1 与 C′2 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？说明你的理 由．
【解】 (1)C1 是圆，C2 是直线，C1 的普通方程为 x2＋y2＝1， 圆心 C1(0,0)，半径 r＝1.C2 的普通方程为 x－y＋ 2＝0.因为圆心 C1(0,0)到直线 x－y＋ 2＝0 的距离为 1，所以 C1 与 C2 只有一个 公共点．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第二讲《参数方程》小结
本讲小结
知识结构
知识要点
方法技巧
本讲主要介绍了参数方程的概念，以及常用曲线的参数方程和 它们的应用． 1．曲线参数方程的定义 一般地，在给定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变量t的函数
x＝ft， y＝gt.
(1)
并且对于t的每一个允许值，由方程(1)所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程(1)就叫作这条曲线的参数方程， 联系x，y之间关系的变数叫作参变数，简称参数．参数方程的 参数可以有物理意义，几何意义，也可以没有明显的意义．
(t为参数)．
代入圆的方程x2＋y2＝7，得 3 2 1 2 (－4＋ t) ＋( t) ＝7，化简得 2 2 t2－4 3t＋9＝0.
(1)设点A，B所对应的参数分别为t1和t2，由韦达定理，得t1＋ t2＝4 3，t1· t2＝9. ∴|AB|＝|t1－t2| ＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 4 32－4×9＝2 3. (2)设过P0作圆的切线为P0T. 由切割线定理及参数t的几何意义得 |P0T|2＝|P0A|· |P0B|＝|t1t2|＝9. ∴切线长|P0T|＝3.
在互化后某个变量的范围扩大了(或缩小了)，则必须注明，将 扩大(或缩小)的部分去掉(或补上)．由于选取参数不同，同一 曲线的参数方程也不一样．因此，一般曲线的参数方程不唯 一．另外，不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程 的． 化参数方程为普通方程，常用的方法有：代入法、三角恒 等式消参数法、代数恒等式消参数法等．
(φ 为参数)．
【答案】
x＝2cosφ＋φsinφ， y＝2sinφ－φcosφ
(φ为参数)
x＝2φ－sinφ， y＝21－cosφ
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
选修4-4坐标系与参数方程
建立联系．
Y＝byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为方程 f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x，
1，－2
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标．
2y′＝y.
第 1 页 共 22 页
解析：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
x＝1x′， 由题意，将 3
y＝2y′
代入 x2－ y2 ＝1 64
得x′2－4y′2＝1，化简得x′2－y′2＝1，
9 64
9 16
即x2－ y2 ＝1 为曲线 C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 9 16
则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
本节主要包括 2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′＝λ·xλ＞0，
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点 P(x，y)对应到点
4．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x2＋y2＝1 的一个伸缩变换公式为φ： X＝axa>0， 求 a，b 的值．
94
Y＝byb>0，
X＝ax， 解y＝1Y， b
代入 x2＋y2＝1 中得Xa22＋Yb22＝1，所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 解析：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2，
选修4-4坐标系和参数方程
数学选修4-4坐标系与参数方程2016-7第一讲 坐标系一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y ）确定.例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响的位置。
（假定当时声音传播的速度为340m/s ，各相关点均在同一平面上）以接报中心为原点O ，以BA 方向为x 轴，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P （x,y ）为巨响为生点，由B 、C 同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P 在BC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因A 点比B 点晚4s 听到爆炸声，故|PA|－ |PB|=340×4=1360，由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线22221x y a b-=上，2222222222680,1020102068053401(0)6805340a c b c a x y x ∴==∴=-=-=⨯-=<⨯故双曲线方程为用y=－x代入上式，得x =± ， ∵|PA|>|PB|,(x y P PO ∴=-=-=即故答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.上述问题的解决体现了坐标法的思想. 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程.2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程.课后作业1.若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )． A.53 B.23 C.13 D.122.设F 1、F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，1PF ·2PF 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( )A.12B ．1C ．2D ．3 4.已知两定点A (1,1)，B (－1，－1)，动点P 满足P A →·PB →＝x22，则点P 的轨迹方程是_________.5.△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是___________.6. 已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．7.已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．8. 已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。
第二讲 坐标系与参数方程(选修4-4)
2．圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：
2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；
【标准解答】
(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换
x＝x1 下变为C上点(x，y)，依题意，得 y＝2y1
2 y y 2 2 2 2 由x 1 ＋y 2 1 ＝1得x ＋( ) ＝1，即曲线C的方程为x ＋ ＝ 2 4
1.
x＝cost 故C的参数方程为 y＝2sint
π π 3 3 故D的直角坐标为(1＋cos3，sin3)，即(2， 2 )．
类题通法
对于同时含有极坐标方程和参数方程的题可考虑同时 化为普通方程再求解.
x＝－2t－1， 5．已知直线l： y＝t－1
(t为参数)与曲线C：ρ＝ )
π 4 2sin(θ＋ )，则直线l和曲线C的位置关系为( 4 A．相交 C．相离 B．相切 D．相交或相切
ห้องสมุดไป่ตู้例3】
(2014· 新课标卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C π 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0， ]． 2 (1)求C的参数方程； (2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝ 3 x＋2
垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：将曲线C1的参数方程化为普通方程，曲线C2的极 坐标方程化为参数方程后求解． (1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为y＝ x2(x≠0)，由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方 程为x＋y－1＝0，则曲线C2的参数方程为 x＝－1－ 2t， 2 2 y＝2＋ 2 t 得t2＋ 2t－2＝0，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝1.它是焦点在 x 轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2 －b2＝16，c＝4，所以左焦点坐标是(－4,0)．
[答案] (－4,0)
6．圆锥曲线xy＝＝34tsaencθθ， (θ 是参数)的渐近线方程
【解析】把双曲线方程化为参数方程xy＝＝tsaenc
θ， θ.
设双曲线上动点 M(sec θ，tan θ)，
则M0M2＝sec2θ＋(tan θ－2)2 ＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
当
tan
θ－1＝0
即
θ＝π4时，M0M
2
取最小值
3，此时
有M0M＝ 3，即 M0 点到双曲线的最小距离为 3.
【评析】在求解一些最值问题时，用参数方程来表示 曲线的坐标，将问题转化为三角函数求最值，能简化运算 过程．
【解析】由题意知 A(6,0)，B(0,3)，由于动点 C 在 椭圆上运动，故可设动点 C 的坐标为(6cosθ，3sinθ)， 点 G 的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可
得yx＝＝06＋＋30＋＋3336scionsθθ
，即xy＝＝12＋＋s2icnoθsθ ，消去参数
θ 得到x－4 22＋(y－1)2＝1.
第二讲 参数方程
学案2 圆锥曲线的参数方程
课前预习
——课标学习目标——
了解圆锥曲线的参数方程，分析圆锥曲线的几何性质 选择适当的参数写出它们的参数方程．
——基础梳理——
1．椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆ax22＋yb22＝1(a ＞b＞0)的参数方程是__________．规定参数 φ 的取 值范围为__________．
对称性，知内接矩形的面积为 S＝4xy＝4×5cost×4sint
＝40sin2t.
当 t＝π4时，面积 S 取得最大值 40，此时，x＝5cos
π4＝52 2，y＝4sin π4＝2 2，因此，矩形在第一象限的
顶点为52
2，2
2，此时内接矩形的面积最大，且最
大面积为 40.
题型二 双曲线的参数方程及应用 【例 2】求点 M0(0,2)到双曲线 x2－y2＝1 的最小距 离(即双曲线上任一点 M 与点 M0 距离的最小值)． 【分析】化双曲线方程为参数方程，对MM0 建立 三角函数求最值．
(φ 为参数)
2．(1)xy＝＝batsaencφφ (φ 为参数) [0,2π)，且 φ≠π2，φ≠32π
x＝btanφ (2)y＝asecφ
(φ 为参数)
3．(1)xy＝＝22pptt2 (t 为参数) (－∞，＋∞) (2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜
率的倒数
自主演练
1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则 ()
A．m＜1 C．m＞1
B．－1＜m＜1 D．0＜m＜1
[解析] 方程化为 x2＋y12＝1，若要表示焦点在 y m
轴上的椭圆，需要m1 ＞1，解得 0＜m＜1.故应选 D.
[答案] D
2．已知90°＜θ＜180°，方程x2＋y2cosθ＝1表示的 曲线是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [解析] 当90°＜θ＜180°时，－1＜cosθ＜0，方程 x2＋y2cosθ＝1表示的曲线是双曲线．故应选C. [答案] C
3．抛物线的参数方程 (1) 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p ＞ 0) 的 参 数 方 程 为 __________，t∈__________. (2)参数 t 的几何意义是__________．
[答案]
1．(1)xy＝＝bascionsφφ (φ 为参数) [0,2π)
x＝h＋acosφ (2)y＝k＋bsinφ
3．直线 y＝ax＋b 经过第一、二、四象限，则
圆xy＝＝ba＋＋rrscionsθθ， (θ 为参数)的圆心位于第几象限
() A．一
B．二 C．三
D．四
[解析] 直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则a＜ 0，b＞0，而圆心坐标为(a，b)，所以位于第二象限．
[答案] B
4．椭圆xy＝＝bascions
(2)中心在(h，k)的椭圆的普通方程为x－a2h2＋ y－b2k2＝1，则其参数方程为__________．
2．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线xa22－yb22＝1(a ＞0，b＞0)的参数方程是__________．规定参数 φ 的取 值范围为__________． (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ya22－bx22＝1(a ＞0，b＞0)的参数方程是__________．
θ， θ
(θ 为参数)，若 θ∈[0,2π]，
则椭圆上的点(－a,0)对应的 θ 为( )
A．π
B.π2
C．2π
D.32π
[ 解 析 ] 由 已 知 acosθ ＝ － a ， ∴cosθ ＝ － 1 ， 又 θ∈[0,2π]，∴θ＝π.故选A.
[答案] A
5．二次曲线xy＝＝35scionsθθ， (θ 是参数)的左焦点的坐
【评析】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决 相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简 便．
变式训练
在椭圆2x52＋1y62 ＝1 中有一内接矩形，问内接矩
形的最大面积是多少？
[解析]
椭
圆的
参
数
方
程为
x＝5cost， y＝4sint
(t 为参
数)，设第一象限内椭圆上任一点 M(x，y)，由椭圆的
课内讲练
——题型探究——
题型一 椭圆的参数方程及应用 【例 1】已知 A，B 分别是椭圆3x62 ＋y92＝1 的右顶 点和上顶点，动点 C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重 心 G 的轨迹方程．
【分析】△ABC的重心G取决于△ABC的三个顶点的 坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数 方程的形式．
是________________，实轴长是__________．
[解析]
原方程可化为x43y＝＝staecnθθ，，
因为 sec2θ－tan2θ
＝1，所以1x62－y92＝1.它是焦点在 x 轴上的双曲线，
∴a2＝16. ∴双曲线的渐近线为 y＝±34x，且实轴长为 8.
[答案] y＝±34x 8