最新点的极坐标与直角坐标的互化
极坐标和直角坐标的转换公式
极坐标和直角坐标的转换公式在数学中，我们常用直角坐标系和极坐标系来表示平面上的点坐标。
直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别为水平的 x 轴和垂直的 y 轴。
而极坐标系由一个原点和一个极径组成，极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中与极径的夹角。
在实际问题中，我们常常需要在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。
本文将介绍极坐标和直角坐标之间的转换公式。
极坐标转直角坐标首先，假设我们有一个极坐标点，其极径为 r，极角为θ。
要将该点转换为直角坐标系中的点坐标 (x, y)。
那么，我们可以通过以下公式进行计算：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这里，cos(θ) 表示θ 的余弦值，sin(θ) 表示θ 的正弦值。
例如，我们有一个极坐标点(3, π/4)，要将其转换为直角坐标系中的点坐标。
将 r = 3，θ = π/4 代入上面的公式，我们可以得到：x = 3 * cos(π/4) ≈ 2.121y = 3 * sin(π/4) ≈ 2.121因此，该极坐标点在直角坐标系中的点坐标为 (2.121, 2.121)。
直角坐标转极坐标现在，我们考虑将直角坐标系中的点坐标 (x, y) 转换为极坐标系中的点坐标。
这里，我们假设点 (x, y) 不位于原点。
要将直角坐标转换为极坐标，我们可以使用以下公式：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，sqrt(x^2 + y^2) 表示平方根，arctan(y/x) 表示 y/x 的反正切值。
举个例子，假设我们有一个直角坐标点 (4, 4)，要将其转换为极坐标系中的点坐标。
将 x = 4，y = 4 代入上面的公式，我们可以得到：r = sqrt(4^2 + 4^2) = sqrt(32) ≈ 5.657θ = arctan(4/4) = arctan(1) ≈ π/4因此，该直角坐标点在极坐标系中的点坐标为(5.657, π/4)。
点的极坐标与直角坐标的互化
)，则
5 3 ，|AB|= ______ 21 。 △OAB的面积是______
探究新知
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
这个点如何用极坐标表示?
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3 )
C (5,0) E ( 3,3)
B (1, 3 )
D (0,2)
2 1、已知A（3，6 ），B（4， 3 ），求线段AB 的长度。
如果上题中的坐标改为A（3， ），B（5， ）呢？ 6 3
你能给出极坐标系下的两点间的距离公式么？
若 A（1，1），B（2，2），除了你已经使 用的方法以外， 则 | AB | 2 cos( ) 你还会用其他
2 1 2 2 1 2 1 2
方法解决么？
OX到OM 的角度， 叫做点M的 ， 叫 极径 做点 M的 ，有序数对极角就叫
M
做M的极坐标。 （ ， ）
O X
（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取 任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可 取任意值。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
课堂练习 1、已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
A ( 3, ) 6
B ( 2, ) 2
C (1,
2
)
3 D ( , ) 2 4
3 E ( 2, ) 4
例2. 将点M ( 3, 1)的直角坐标化成极坐标.
直角坐标与极坐标互化例题
直角坐标与极坐标互化例题在数学中，直角坐标系和极坐标系是两种常见的坐标系。
直角坐标系使用x和y坐标来描述一个点的位置，而极坐标系则使用极径和极角来表示。
这两种坐标系之间可以相互转换，本文将提供一些互化的例题，以帮助读者更好地理解和掌握直角坐标系和极坐标系之间的转换关系。
例题一：直角坐标转换为极坐标假设有一个直角坐标系下的点P，其坐标为(x, y) = (3, 4)。
我们要将点P的坐标转换为极坐标。
首先，我们需要计算点P到原点的距离（极径）。
根据勾股定理，点P到原点的距离可以计算为：r = √(x^2 + y^2)将x和y的值带入上述公式，得到：r = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5接下来，我们需要计算点P与x轴的夹角（极角）。
可以使用反正切函数计算夹角：θ = arctan(y/x)将x和y的值带入上述公式，得到：θ = arctan(4/3)使用计算器计算上述表达式，得到θ约等于53.13°。
因此，点P的极坐标为：(r, θ) = (5, 53.13°)。
例题二：极坐标转换为直角坐标假设有一个极坐标系下的点Q，其坐标为(r, θ) = (6, 30°)。
我们要将点Q的坐标转换为直角坐标。
首先，我们需要计算点Q在x轴上的投影长度，即x坐标。
可以使用余弦函数计算x坐标：x = r * cos(θ)将r和θ的值带入上述公式，得到：x = 6 * cos(30°)使用计算器计算上述表达式，得到x约等于5.196。
接下来，我们需要计算点Q在y轴上的投影长度，即y坐标。
可以使用正弦函数计算y坐标：y = r * sin(θ)将r和θ的值带入上述公式，得到：y = 6 * sin(30°)使用计算器计算上述表达式，得到y约等于3。
因此，点Q的直角坐标为：(x, y) ≈ (5.196, 3)。
总结通过以上两个例题，我们可以看到直角坐标系和极坐标系之间的转换关系。
1.2.4极坐标方程与直角坐标方程的互化
设M( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin代入直线方程
2x y 7 0得
2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方程
2、极坐标方程sin 1 ( R)表示的曲线是A
3 A、两条相交的直线 B、两条射线
答案 C
点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例2】 (2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲
线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标 为________．
解析 曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝
代入
所给的直角坐标方程中，得
(1)2cos 6sin 1 0
(2)2 cos2 2 sin2 25
化简得 2 cos 2 25
1、求过A(2,3)且斜率为2 的直线的极坐标方程。
解 ： 由 题 意 可 知 ， 在 直角 坐 标 系 内 直 线 方 程 为
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
y2
y0
2.若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与
2 cos ,它们相交于 A, B 两点,求线段
3
AB的长．
1 的直角坐标方程分别为 x＋y＝1 和 y－x＝1，两条直线 的交点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为1，π2 .
答案
1，π2
例4.把下列的直角坐标方程化为极坐标方程
(1)2x+6y-1=0
ห้องสมุดไป่ตู้(2)x2 -y2=25
点的极坐标与直角坐标的互化
(2)∵ρ＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝xy＝－ 33，θ∈R. 由于点( 6，－ 2)在第四象限，所以 θ＝161π＋2kπ，(k ∈Z)． ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为 (2 2，161π＋2kπ)，(k∈Z).
在极坐标系中， A(2，π4)，B(2，54π)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点 C 的极坐标与该三角形 的面积？
2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝ 2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内 的点．
2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
点的极坐标与直角坐标的互化
解： x cos 4cos 4 4cos( )
1 4cos 4 2； 3 2 4 y sin 4sin 4sin( ) 3 3
4sin
3
3
3
4
3
2
2 3
点M的直角坐标为（-2,-2 3）.
点的极坐标与直角 坐标的互化
y
M
主讲：张艳琴
单位：石泉中学
o
N
x
微回顾
1、极坐标系的组成有： 极点、 角的正方向、 极轴、
单位长度；
M
O
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2、点M的极坐标( , )中， = OM , xOM .
微前提
如图，建立一个平面直角坐标系，
y
（1）原点作为极点；
（2）x轴的正半轴作为极轴； （3）两种坐标系中单位长度相同.
微例题
题型二：直角坐标化为极坐标
例2、将点M ( 3, 1)的直角坐标化为极坐标。
2 2 解： 2 =x2 y 2 =（- 3） （-1） 4，
2.
y 1 3 ， tan = 点M 在第三象限， 3 3 x 7 = + = . 6 6 7 点M 的极坐标是（2， ） . 6
o
x
微推导
如图，设点 M是平面内
y
M
的任意一点，它的直角
坐标是 ,极坐标 （x, y）
是 . （ ,）
x cos = sin y
o
y
x
N
x
x cos y sin
2 x2 y 2 y （x 0） tan x
极坐标和直角坐标的互化 课件
(2)A舰发射炮弹的仰角θ应为多少？ (注：射程公式 s v02sin 2 )
g
【解题探究】1.如何求旋转后的点B的极坐标与向量的直角坐
标？
2.如何建立直角坐标系定位目标的直角坐标以及极坐标？
探究提示：
1.极坐标中的ρ不变，角度θ再由 加6上 即2得, .向量
OB
的坐标即终点B的直角坐标.
2.根据直线与二次曲线的交点的直角坐标定位目标，联想二
极坐标和直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化公式 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点M的直角坐 标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)，则由三角函数的定义可 以得到如下两组公式：
图示
直角坐标(x,y)
极坐标(ρ,θ)
x _ρ__c_o_s__θ___， y _ρ__s_i_n__θ___
x2 y2
2，且tan角θ的xy终边1，经
当θ∈［0,2π)时， 由于，θ∈R,
4
故点的极坐标为 (
2, 4
2k ), k
Z.
答案： (
2, 4
2k ), k
Z
2.(1)由
x2 y2
2，t且an角θ的y 终－边1，经过
x
点(1,－1)，
当θ∈［0,2π)时，
7， 4
故点的极坐标为 (
2, 7 ). 4
2.将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)(2,0).(2)(2, 2 ).(3)(3, 3 ).
3
2
(4)(4,－3 ).(5)(5,6).(6)(4, ).
2
12
【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？ 探究提示： 1.极坐标化为直角坐标是惟一的. 2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.
最新公开课极坐标和直角坐标的互化PPT课件
2、独到：独具慧眼——风景
教师的教育智慧常常表现在对教材有真知灼见， 能够于平凡中见新奇，发人之所未发，见人之所未 见。他的课如同一首诗、一幅画、一段旋律、一项 发明，是独一无二的创造，学生听这样的课就像是 在独享一片风景。
首创性 独创性
独到的对立面是平庸，平庸的特征是从众。平庸者
只肯定别人肯定的，也只否认别人否认的。至于那些应
练习5 课本P15 第3题
类型四直角坐标方程与极坐标方程的互化
例4、把下列极坐标方 成程 直化 角坐标方程：
(1)2cos 3sin 10 (2) 4sin
思路:将极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2分别替换成 x，y，和x2 +y2再化简即可 ， 有时要方程两边要先乘以ρ才能转化 ；
③ 地图 ④ “合同法” 19
6、绝招：教学特长中的特长
名师常常身怀绝招，绝招使其教学锦上添花， 如虎添翼，叫人赞口不绝。
教师的绝招是教师教学特长中的特长，是对某种 教学技艺的精益求精、千锤百炼，以至达到炉火纯青 的地步，是一种令人叹为观止、甚至望而生畏、无人 相匹的境界
智慧怎么来的：
① 多想出智慧
庸 师：想——我想听到开花的声音。
活泼——河里的水很活泼。
悄悄——我们听不懂小鱼的悄悄话。
丢——上街时，毛毛把爸爸丢了。
爬——牵牛花像个小弟弟，爬在树上。
淘气——风很淘气，把水逗笑了。
类型一 把点的极坐标化为直角坐标
例1.将点M的极坐标
(
5
,
2 3
)化成直角坐标.
练习1将点的极坐标化为直角坐标。
A(4, )
3
D(1,)
B(3, )
极坐标与直角坐标的互化例题
极坐标与直角坐标的互化例题
标题：极坐标与直角坐标的互化例题
极坐标与直角坐标是在数学中常用的两种坐标系。
它们之间的互化是一项重要的技能，本文将通过一些例题来说明如何进行极坐标与直角坐标的互化。
例题1：将直角坐标点(-3,4)转换为极坐标形式。
解析：我们知道，直角坐标形式为(x,y)，而极坐标形式则是(r,θ)。
在进行转换时，我们需要用到以下公式：
r=√(x^2+y^2)
θ=arctan(y/x)
将(-3,4)带入公式，我们得到：
r=√((-3)^2+4^2)=5
θ=arctan(4/-3)≈-0.93
因此，直角坐标点(-3,4)在极坐标中表示为(5,-0.93)。
例题2：将极坐标点(2,π/3)转换为直角坐标形式。
解析：根据极坐标形式(r,θ)，我们可以使用以下公式进行转换：
x=r*cos(θ)
y=r*sin(θ)
将(2,π/3)带入公式，我们得到：
x=2*cos(π/3)=1
y=2*sin(π/3)=√3
因此，极坐标点(2,π/3)在直角坐标中表示为(1,√3)。
通过以上例题，我们可以看到极坐标与直角坐标之间的互化并不复杂。
只需根据不同的坐标系，使用对应的公式进行计算即可。
掌握了这些转换技巧，我们可以更灵活地在不同坐标系中描述点的位置。
总结：本文通过两个例题介绍了极坐标与直角坐标的互化过程。
在转换过程中，我们需要使用特定的公式，并根据给定的坐标值进行计算。
掌握了这些转换技巧，我们能够更好地理解和运用极坐标与直角坐标的概念。
希望本文能对读者有所帮助。
2.2《点的极坐标与直角坐标的互化》课件.ppt
双 基
导
达
学 0,0≤θ＜2π)．
标
(1)(－1,1)；(2)(－ 3，－1)．
课 堂 互 动 探
【思路探究】 直角坐标(x，y)taρn＝θ―＝―xyx2→＋x≠y20
课 时 作 业
究
极坐标(ρ，θ)
菜单
BS ·数学 选修4-4
课
当
前
堂
自 主
【自主解答】 (1)∵ρ＝ －12＋12＝ 2，
标
课
∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－ 3)，是第四象限内的点．
堂
课
互
(4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2.
时
动
作
探 究
∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限 业
内的点.
菜单
BS ·数学 选修4-4
课
当
前
堂
自 主
分 别 将 下 列 点 的 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 (ρ ＞
双 基
导
达
学
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，
标
∵点(－1,1)在第二象限，∴θ＝34π，
课 堂 互
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为( 2，34π)．
动
课 时 作
探
业
究
菜单
BS ·数学 选修4-4
课
当
前 自
(2)ρ＝ － 32＋－12＝2，
堂 双
主
基
导 学
tan θ＝－－13＝ 33，θ∈[0,2π)，
BS ·数学 选修4-4
课
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
选修4-4 第一章编写刘圆班级姓名课题：§2.2 点的极坐标与直角坐标的互化学习目标：1.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式；2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.学习重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解．学习难点: 互化关系式的掌握．【自主学习】预习教材第10-12页，找出疑惑之处．一、复习回顾1.对于极坐标系OX,平面上任意一点M的极坐标表示为 .ρ叫做点M的，θ叫做点M的 .2.平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立的关系.3.极点的极坐标是 ,极角是 .二、新课导学1.直角坐标系的原点O为，x轴的为极轴，且在两坐标系中取长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为极坐标为，则由三角函数的定义得将M的极坐标（ρ，θ）化为直角坐标（x,y）的关系式为：将点的直角坐标（x,y）化为极坐标（ρ，θ）的关系式为：将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2.2.互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的单位长度相同.3.平面内的点与点的直角坐标是的，而与点的极坐标不是一一对应法则，如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，点的极坐标与平面内的点就一一对应了．【预习自测】(课前展示在黑板上)1.先完成第12页练习1.2题.2.把下列点的极坐标化成直角坐标：（1）A(2,34π)； (2)B(4,143π)； (3)M(-5,6π)；(4)N(-3,-π).【合作探究】探究1 直角坐标与极坐标互化1.将下列直角坐标化为极坐标：① A 3，1 ② B 2 3，2 ③ C 0，−1 ④ D （-3,0） ⑤ E （5,0）⑥ F （2，-2）2.将下列极坐标化为直角坐标：①M 5，2π3 ②N 2 3，5π6 ③P 2，7π6 ④Q （4，5π3）【基础检测】1.把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2): A （-1,1） B （0，-2）2.在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离.3.在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -,判断P N M ,,三点是否在一条直线上.。
高三数学极坐标和直角坐标的互化
牛 刀 小 试
半径为a的圆的圆心坐标为C (a , 0)(a 0). 求它的极坐标方程。 2 2 2 解：直角坐标系下( x a ) y a
x cos , y sin ( cos a ) ( sin ) a 化简得
又 极坐标方程是曲线上 任意点( , )满足的关系式
根据前面直角坐标与 极坐标的转化公式
1( 1) x y 1 此圆的极坐标方程为 1
2 2
x cos , y sin
2
思考
刚才的求圆的极坐标方程的解题 思想是什么？它是如何实施的？
故所求射线的极坐标方程为 o
x
4
( 0)
思考：
5 1、求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。 4
易得
5 ( 0) 4
2、求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。 4 5 ( 0) 和 ( 0) 4 4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
思考：
平面内一点M的直角坐标是 (1, 3) ， 其极坐标如何表示? 2 点Q的极坐标为 (5, ) ，其直角坐 3 标如何表示？
互化公式的三个前提条件：
1、极点与直角坐标系的原点重合;
2、极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
ห้องสมุดไป่ตู้
极坐标与直角坐标的互化公式：
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
sin 1 0
2 2
（３）直角坐标方程x y ９的极坐标
极坐标与直角坐标的互化角度范围
极坐标与直角坐标的互化角度范围1. 引言在数学和物理学中，我们经常会使用两种不同的坐标系，分别是极坐标和直角坐标。
它们在描述平面上的点的位置和方向时，有各自特定的方式。
本文将介绍极坐标和直角坐标之间的互化关系，并讨论它们的角度范围。
2. 直角坐标系直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是由两条相互垂直的直线组成的平面上的坐标系。
在直角坐标系中，每个点的位置可以由两个坐标值表示，分别是沿x轴的水平距离（称为x坐标）和沿y轴的垂直距离（称为y坐标）。
3. 极坐标系极坐标系使用极径和极角来表示平面上的点的位置。
极径是该点到坐标原点的直线距离，而极角是该直线与固定方向之间的夹角。
在极坐标系中，每个点的位置可以由两个坐标值表示，分别是极径r和极角θ。
4. 极坐标与直角坐标的互化关系极坐标和直角坐标之间存在着一种转换关系，可以通过数学公式将一个坐标系中的点的位置转换到另一个坐标系中。
4.1 极坐标转直角坐标将极坐标(r, θ)转换为直角坐标(x, y)的公式如下：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos(θ)表示极角θ的余弦，sin(θ)表示极角θ的正弦。
4.2 直角坐标转极坐标将直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)的公式如下：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中，sqrt表示平方根，arctan表示反正切函数。
5. 角度范围极坐标和直角坐标系在描述角度时有不同的范围。
5.1 极坐标系的角度范围在极坐标系中，极角θ的范围通常是从0到360度（或0到2π弧度）。
其中，0度（或0弧度）表示正右方向，90度（或π/2弧度）表示正上方向，180度（或π弧度）表示正左方向，270度（或3π/2弧度）表示正下方向。
5.2 直角坐标系的角度范围在直角坐标系中，角度的范围通常是从-180度到180度（或从-π到π弧度）。
其中，0度（或0弧度）表示正右方向，90度（或π/2弧度）表示正上方向，180度（或π弧度）表示正左方向，-90度（或-π/2弧度）表示正下方向。
极坐标和直角坐标怎么转换
极坐标和直角坐标怎么转换在数学和物理学中，常常会涉及到极坐标和直角坐标之间的转换。
极坐标是将一个点的位置用极径和极角来表示，而直角坐标则是以点在X轴和Y轴上的投影来表示其位置。
对于需要在不同坐标系之间进行转换的问题，了解如何在极坐标和直角坐标之间进行转换是非常重要的。
1. 极坐标到直角坐标的转换给定一个点在极坐标系中的位置，我们可以利用三角函数来将其转换为直角坐标。
设一个点在极坐标系中的位置为(r, θ)，其中r是点到原点的距离，θ是点到X轴的角度。
那么该点在直角坐标系中的位置可以通过以下公式计算得到：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)其中，x和y分别表示点在直角坐标系中的X轴和Y轴上的坐标。
2. 直角坐标到极坐标的转换同样地，我们也可以通过三角函数来将一个点在直角坐标系中的位置转换为极坐标。
给定一个点在直角坐标系中的位置(x, y)，我们可以通过以下公式计算得到该点在极坐标系中的位置：r = sqrt(x^2 + y^2) θ = arctan(y / x)其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到X轴的角度。
需要注意的是，计算出的θ值是弧度制，如果需要转换为角度制，可以使用以下公式：角度 = 弧度* (180 / π)3. 转换的应用极坐标和直角坐标之间的转换在很多领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，当我们知道一个对象在极坐标系中的位置和速度时，可以利用上述的转换公式将其转换为直角坐标系中的位置和速度，从而更方便地进行分析和计算。
另外，在工程领域中，极坐标和直角坐标之间的转换也经常被使用。
例如，在机械工程中，当我们需要考虑某物体相对于另一物体的位置时，我们可以先将其在极坐标中表示，然后通过转换将其转换为直角坐标系中的位置，以便于分析和计算。
总而言之，了解如何在极坐标和直角坐标之间进行转换对于理解和解决数学或物理问题至关重要。
极坐标和直角坐标之间的转换公式是简单而实用的，可以帮助我们更好地理解和应用相关的知识。
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1.了解极坐标系与直角坐标系的联系．
课标解读
2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 位置的区别．
3.能进行极坐标和直角坐标的互化.
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பைடு நூலகம்
1．互化的前提条件
图 1－2－4 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图 1－2－4 所示．
(4)∵cos1π2＝
1＋2cosπ6＝
1＋ 2
3 2＝
6＋ 4
2，
sin1π2＝
1－2cosπ6＝
1－ 2
3 2＝
6－ 4
2，
∴x＝ρcos θ＝4cos(－1π2)＝4cos1π2＝ 6＋ 2，
y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
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(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝
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分 别 将 下 列 点 的 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 (ρ ＞ 0,0≤θ＜2π)．
(1)(－1,1)；(2)(－ 3，－1)．
【思路探究】 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
taρn＝θ―＝―xyx2→＋x≠y20
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分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(4，23π)； (4)(4，－1π2)．
【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ―→点的直角坐标(x，y)
6)．
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1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
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ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
象限取最小正角．
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1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
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【自主解答】 (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ6＝ 3， y＝ρsin θ＝2sinπ6＝1. ∴点的极坐标(2，6π)化为直角坐标为( 3，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cosπ2＝0， y＝ρsin θ＝3sinπ2＝3. ∴点的极坐标(3，2π)化为直角坐标为(0,3)．
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2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
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(3)∵x＝ρcos θ＝4cos23π＝－2， y＝ρsin θ＝4sin23π＝2 3. ∴点的极坐标(4，23π)化为直角坐标为(－2,2 3)．
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2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内
的点．
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(2)x＝2cos 23π＝－1，y＝2sin 23π＝ 3， ∴点(2，23π)的直角坐标为(－1， 3)，是第二象限内的点． (3)x＝2cos(－3π)＝1，y＝2sin(－π3)＝－ 3， ∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－ 3)，是第四象限内的点． (4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2. ∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限 内的点.
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2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ