最新点的极坐标与直角坐标的互化

ρ2＝ x2＋y2 tan θ＝xy(x≠0)
在一般情况下，由 tan θ 确定角时，可根据点 M 所在的
象限取最小正角．
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1．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什 么？
【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是 联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．事实上，若 ρ＞0，sin θ＝ρy，cos θ＝ρx，所以 x＝ρcos θFra Baidu biblioteky＝ρsin θ，ρ2＝ |OM|2＝x2＋y2，tan θ＝xy(x≠0)．
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(3)∵x＝ρcos θ＝4cos23π＝－2， y＝ρsin θ＝4sin23π＝2 3. ∴点的极坐标(4，23π)化为直角坐标为(－2,2 3)．
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2．互化公式
设 M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如
下表：
点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
互化公式
x＝ρcos θ y＝ ρsin θ
6)．
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1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运 用到求角 θ 的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数 值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化
1.了解极坐标系与直角坐标系的联系．
课标解读
2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 位置的区别．
3.能进行极坐标和直角坐标的互化.
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1．互化的前提条件
图 1－2－4 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴， 并在两种坐标系中取相同的 长度单位 ，如图 1－2－4 所示．
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(2013·洛阳质检)把下列各点的极坐标化为直角坐标，并 判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－3π)；(4)(2，－2)．
【解】 (1)由题意知 x＝2cos43π＝2×(－12)＝－1，y＝
(4)∵cos1π2＝
1＋2cosπ6＝
1＋ 2
3 2＝
6＋ 4
2，
sin1π2＝
1－2cosπ6＝
1－ 2
3 2＝
6－ 4
2，
∴x＝ρcos θ＝4cos(－1π2)＝4cos1π2＝ 6＋ 2，
y＝ρsin θ＝4sin(－1π2)＝－4sin1π2＝ 2－ 6.
∴点的极坐标(4，－1π2)化为直角坐标为( 2＋ 6， 2－
2sin43π＝2×(－ 23)＝－ 3.
∴点(2，43π)的直角坐标为(－1，－ 3)，是第三象限内
的点．
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(2)x＝2cos 23π＝－1，y＝2sin 23π＝ 3， ∴点(2，23π)的直角坐标为(－1， 3)，是第二象限内的点． (3)x＝2cos(－3π)＝1，y＝2sin(－π3)＝－ 3， ∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－ 3)，是第四象限内的点． (4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2. ∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限 内的点.
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2．将直角坐标化为极坐标时如何确定 ρ 和 θ 的值？
【提示】 由 ρ2＝x2＋y2 求 ρ 时，ρ 不取负值；由 tan θ ＝yx(x≠0)确定 θ 时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当 x≠0 时，θ 角才能由 tan θ＝yx按上述方法确定．当 x＝0 时， tan θ 没有意义，这时又分三种情况：(1)当 x＝0，y＝0 时，θ 可取任何值；(2)当 x＝0，y＞0 时，可取 θ＝2π；(3)当 x＝0， y＜0 时，可取 θ＝32π.
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分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(4，23π)； (4)(4，－1π2)．
【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcos θ，y＝ρsin θ ―→点的直角坐标(x，y)
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【自主解答】 (1)∵x＝ρcos θ＝2cosπ6＝ 3， y＝ρsin θ＝2sinπ6＝1. ∴点的极坐标(2，6π)化为直角坐标为( 3，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3cosπ2＝0， y＝ρsin θ＝3sinπ2＝3. ∴点的极坐标(3，2π)化为直角坐标为(0,3)．
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分 别 将 下 列 点 的 直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 (ρ ＞ 0,0≤θ＜2π)．
(1)(－1,1)；(2)(－ 3，－1)．
【思路探究】 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
taρn＝θ―＝―xyx2→＋x≠y20