第四章 平衡随机过程和各态历经过程
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工程随机过程
第四章 平衡随机过程和各态历经 过程
在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的
统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起
点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随
时间的推移而变化。
例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受 到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设 计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞 行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作 不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们 把它看作是平衡的随机过程。
从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断
一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过
程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与
时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工
作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在 所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问 题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数 字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的
RXY (t1 , t2 ) RXY ( ), t2 t1
则称 X (t ), Y (t ) 联合宽平稳。
顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常 是指宽平稳过程。 例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过 程 X1 (t ) Y , X 2 (t ) tY 的平稳性。 解 ∵Y是随机变量，∵ X1 (t ) Y 这一过程 是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何 n维概率密度函数 PY ( y1 ,, yn ) 与时间无关， 所以是一个严平稳。 X1 (t ) Y 是严平稳 , ∴只要 E [ X12 (t )] E [Y 2 ] ∵ 则X1(t)是宽平稳。对于 X 2 (t ) tY ,
此外当我们知道一个随机过程是平稳过程
时，它应不随时间的推移而变幻无常。例 如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计
特性，由于它是平稳过程，因而我们在任
何时间进行测试都能得到相同的结果。
§4.1 严平稳随机过程及其数字特征
定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程 X(t)的任意n维概密度都有
PX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 ,, tn ) PX ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 , , tn )
功率普密度等。当在相关理论又可指研究随机过
程的一、二阶矩理论。
前面已经介绍过，对于一个随机过程X(t)，我
们当然希望能建立起它的多维分布函数，因 为随机过程的多维分函数能较完整地描述随 机过程的统计特性，但是要建立多维分布函 数往往很困难，因此我们一般在相关理论范 围内也就是用数字特征来描述过程的重要特 性，这种用数字特征来描述过程X(t)统计特性 变化规律，对很多实际问题往往已能获得很 好的效果，可以提取到所需的参数。
t2 t1
∴
2
RX (t1 , t2 ) RX ( )
E [ X (ຫໍສະໝຸດ Baidu )]
x P ( x1 ) dx1
2 1 X
2 X
综上所述，严平稳一定是宽平稳 反之不一定成立，除非是高斯过程（正态过程）。 类似地，我们还可以给出两个随机过程联合宽平稳 定义。 ) 定义联合宽平稳：对于平稳过程 X (t1 ), Y (t若
x1 x2 PX ( x1 x2 ; t1 , t2 )dx1dx2 x1 x2 PX ( x1 x2 ; )dx1dx2 RX ( )
C X (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) M X (t1 )M X (t 2 )
又∵
∴
2 RX ( ) M X M X RX ( ) M X
0 T
令 t ,
1 t E [ X (t )] S ( ) S ( ) d T t 1 T S ( ) S ( ) d RX ( ) T 0
§4.3 各态历经过程
1. 各态历经问题的提出
对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们 的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次， 考虑求它的数字特征即数学期望、相关函数等。 但要求X(t)的数字特征，首先需要知道它的一、 二维概率密度函数，即
( x1 M X ) 2 PX ( x1 ) dx1
E [ X 2 (t )] E 2 [ X (t )] 2 M x2 X
。
显然，X(t)的均方值、方差都与时间t无关 。 由此知，当随机过程为平稳过程时，该过程的所有 样本函数总是它们均值——水平直线上下波动，样 本曲线偏离水平直线的幅度正好是 D( X ( x)) X
C X ( )
2 C X ( ) RX ( ) M X
顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推 广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样
说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时
间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这 两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。
§4.2 宽平稳随机过程
E [ E2 (t )] E [tY ] tE[Y ]
RX 2 (t1 , t2 ) E [ X 2 (t1 ) X 2 (t2 )] E [t1Yt2Y ] t1t2 E [Y 2 ]
都与时间 t1 , t2 有关，所以 X 2 (t ) tY 为非 平稳。 例4.2 设 S (t )是一周期为T的函数， 是 （0,T）上具有均匀分布的随机变量，称为 X (t ) S (t ) 随机相位周期过程，试讨论 它的平稳性。 解 由题设知 的概率密度函数为
PX ( x1; t1 ), PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
这实际上又很难办，进而为我们求数字特征又带 来困难。怎么解决这个问题呢？实际上，在工程 中，要求X(t)的数字特征，我们自先是通过试验 来产生一族时间样本函数 x1 (t ),, xn (t ),
X(t)或者是做试验产生一个样本函数x(t)，然后再 对样本函数x(t)取不同时刻，如 t0 , t1 , tn ，得所 对应的结果 x(t0 ), x(t1 ),, xn (tn ) ，即此时随机过程 可表示为 X (t ) {x(t0 ),, x(tn ),}。 对任意指定时刻 t1 , X (t ) 的数学期望可近似表示 为 1 n E [ X (t1 )] xk (t1 ) n h 1 自相关函数可近似表示为n
PX ( x1; t1 ) PX ( x1;0) PX ( x1 ) 由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值、 方差。
E [ X (t )]
2
X P ( x1 )dx1
2 1 X
2 X
2 X D [ X (t )] E [ X (t ) M X ]2
就要考虑X(t)的一维概率密度函数PX ( x1 , t1 )和二 维概率密度函数 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )。
下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间 的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它 是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有 E [ X 2 (t )] ，则由严平稳 界
则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计 算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机 过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一 特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及 数字特征方面具有如下性质：
性质4.1 若X(t)为平衡过程，则它的一维概 率密度与时间无关 证 设X(t)的一维概率密度函数为 PX ( x1; t1 )， 由于X(t)为平稳过程 ∴ PX ( x1; t1 ) PX ( x1; t1 ) 令 t1 则
令 t ，则
E [ X (t )] (t ) f ( )d
0
T
T
0
1 S (t ) d T
1 t T 1 T E [ X (t )] S ( )d S ( )d 常数 T t T 0
又∵
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E [ X (t ) X (t )] E [ S (t ) S (t )] S (t ) S (t ) f ( )d
PX ( x1 ,, xn ; t1 ,, tn ) PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
双因严平稳的一维概率密度与时间无关， PX ( x1; t1 ) PX ( x1 ) 即 E [ X (t )] M X 常数 ∴ 又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔 有关，即 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ; )
用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随 机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求 随机过程的数学特征就带来了很大方便。 这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如 x1(t)的均值呢？我们以下式来表示
显然x1(t)不同其积分结果一般不同。 于是对一个随机过程， X (t ) {x1 (t ),, xn (t ),}，其样 本函数的积数结果可能不同。此时显然用一个样 本函数的数字特征如 M x ，近似 E [ X (t )]是不正确 的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的 绝大多数样本函数的均值
定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如 E [ X (t )] M X 常数 果 且 E [ X 2 (t )] , RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [ E (t )], RX (t1 , t2 )
1 RX (t1 , t2 ) xk (t1 ) xk (t2 ) n k 1 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及自相关函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 xi (t ), i 1, 2,
1 f (t ) T 0
0 T 其它
要讨论X(t)的平稳性，由宽平稳定义知， 需要求 E [ X (t )], RX (t1 , t2 ) 。 当取定 t 时, X (t ) X (t ) 为一随机变量 的 函数 Y g ( X ) ，由求随机变量函数的数学 期望公式知 E [Y ] g ( x) f ( x)dx ∵
如图4.1所示，图中细实线表示随机过程的样 本函数，粗实线表示随机过程的数学期望， 虚线表示随机过程对数学期望的偏差。
性质4.2 平稳过程X(t)的二维概率密度只 与 t1 , t2 的时间间隔有关，而与时间起点无 关。 证：设X(t)的二维概率密度函数为 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 由于X(t)为平稳过程，所以对任意 有 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 若令 t1 ，则 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) 而 t2 t1 正是随机过程二维概率密度函数的 ' 时间间隔，令 t2 t1 ，则： PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ;0, ) PX ( x1 , x2 ; )
此式表明，平稳随机过程的二维概率密度 函数仅依赖于 ，而时间的个别值 t1 , t2 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳 过程X(t)的自相关函数应具有什么样的表 达形式。
RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )]
第四章 平衡随机过程和各态历经 过程
在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的
统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起
点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随
时间的推移而变化。
例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受 到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设 计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞 行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作 不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们 把它看作是平衡的随机过程。
从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断
一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过
程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与
时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工
作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在 所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问 题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数 字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的
RXY (t1 , t2 ) RXY ( ), t2 t1
则称 X (t ), Y (t ) 联合宽平稳。
顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常 是指宽平稳过程。 例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过 程 X1 (t ) Y , X 2 (t ) tY 的平稳性。 解 ∵Y是随机变量，∵ X1 (t ) Y 这一过程 是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何 n维概率密度函数 PY ( y1 ,, yn ) 与时间无关， 所以是一个严平稳。 X1 (t ) Y 是严平稳 , ∴只要 E [ X12 (t )] E [Y 2 ] ∵ 则X1(t)是宽平稳。对于 X 2 (t ) tY ,
此外当我们知道一个随机过程是平稳过程
时，它应不随时间的推移而变幻无常。例 如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计
特性，由于它是平稳过程，因而我们在任
何时间进行测试都能得到相同的结果。
§4.1 严平稳随机过程及其数字特征
定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程 X(t)的任意n维概密度都有
PX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 ,, tn ) PX ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 , , tn )
功率普密度等。当在相关理论又可指研究随机过
程的一、二阶矩理论。
前面已经介绍过，对于一个随机过程X(t)，我
们当然希望能建立起它的多维分布函数，因 为随机过程的多维分函数能较完整地描述随 机过程的统计特性，但是要建立多维分布函 数往往很困难，因此我们一般在相关理论范 围内也就是用数字特征来描述过程的重要特 性，这种用数字特征来描述过程X(t)统计特性 变化规律，对很多实际问题往往已能获得很 好的效果，可以提取到所需的参数。
t2 t1
∴
2
RX (t1 , t2 ) RX ( )
E [ X (ຫໍສະໝຸດ Baidu )]
x P ( x1 ) dx1
2 1 X
2 X
综上所述，严平稳一定是宽平稳 反之不一定成立，除非是高斯过程（正态过程）。 类似地，我们还可以给出两个随机过程联合宽平稳 定义。 ) 定义联合宽平稳：对于平稳过程 X (t1 ), Y (t若
x1 x2 PX ( x1 x2 ; t1 , t2 )dx1dx2 x1 x2 PX ( x1 x2 ; )dx1dx2 RX ( )
C X (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) M X (t1 )M X (t 2 )
又∵
∴
2 RX ( ) M X M X RX ( ) M X
0 T
令 t ,
1 t E [ X (t )] S ( ) S ( ) d T t 1 T S ( ) S ( ) d RX ( ) T 0
§4.3 各态历经过程
1. 各态历经问题的提出
对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们 的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次， 考虑求它的数字特征即数学期望、相关函数等。 但要求X(t)的数字特征，首先需要知道它的一、 二维概率密度函数，即
( x1 M X ) 2 PX ( x1 ) dx1
E [ X 2 (t )] E 2 [ X (t )] 2 M x2 X
。
显然，X(t)的均方值、方差都与时间t无关 。 由此知，当随机过程为平稳过程时，该过程的所有 样本函数总是它们均值——水平直线上下波动，样 本曲线偏离水平直线的幅度正好是 D( X ( x)) X
C X ( )
2 C X ( ) RX ( ) M X
顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推 广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样
说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时
间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这 两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。
§4.2 宽平稳随机过程
E [ E2 (t )] E [tY ] tE[Y ]
RX 2 (t1 , t2 ) E [ X 2 (t1 ) X 2 (t2 )] E [t1Yt2Y ] t1t2 E [Y 2 ]
都与时间 t1 , t2 有关，所以 X 2 (t ) tY 为非 平稳。 例4.2 设 S (t )是一周期为T的函数， 是 （0,T）上具有均匀分布的随机变量，称为 X (t ) S (t ) 随机相位周期过程，试讨论 它的平稳性。 解 由题设知 的概率密度函数为
PX ( x1; t1 ), PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
这实际上又很难办，进而为我们求数字特征又带 来困难。怎么解决这个问题呢？实际上，在工程 中，要求X(t)的数字特征，我们自先是通过试验 来产生一族时间样本函数 x1 (t ),, xn (t ),
X(t)或者是做试验产生一个样本函数x(t)，然后再 对样本函数x(t)取不同时刻，如 t0 , t1 , tn ，得所 对应的结果 x(t0 ), x(t1 ),, xn (tn ) ，即此时随机过程 可表示为 X (t ) {x(t0 ),, x(tn ),}。 对任意指定时刻 t1 , X (t ) 的数学期望可近似表示 为 1 n E [ X (t1 )] xk (t1 ) n h 1 自相关函数可近似表示为n
PX ( x1; t1 ) PX ( x1;0) PX ( x1 ) 由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值、 方差。
E [ X (t )]
2
X P ( x1 )dx1
2 1 X
2 X
2 X D [ X (t )] E [ X (t ) M X ]2
就要考虑X(t)的一维概率密度函数PX ( x1 , t1 )和二 维概率密度函数 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )。
下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间 的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它 是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有 E [ X 2 (t )] ，则由严平稳 界
则称X(t)为严平稳随机过程。 研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计 算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机 过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一 特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及 数字特征方面具有如下性质：
性质4.1 若X(t)为平衡过程，则它的一维概 率密度与时间无关 证 设X(t)的一维概率密度函数为 PX ( x1; t1 )， 由于X(t)为平稳过程 ∴ PX ( x1; t1 ) PX ( x1; t1 ) 令 t1 则
令 t ，则
E [ X (t )] (t ) f ( )d
0
T
T
0
1 S (t ) d T
1 t T 1 T E [ X (t )] S ( )d S ( )d 常数 T t T 0
又∵
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E [ X (t ) X (t )] E [ S (t ) S (t )] S (t ) S (t ) f ( )d
PX ( x1 ,, xn ; t1 ,, tn ) PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
双因严平稳的一维概率密度与时间无关， PX ( x1; t1 ) PX ( x1 ) 即 E [ X (t )] M X 常数 ∴ 又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔 有关，即 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ; )
用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随 机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求 随机过程的数学特征就带来了很大方便。 这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如 x1(t)的均值呢？我们以下式来表示
显然x1(t)不同其积分结果一般不同。 于是对一个随机过程， X (t ) {x1 (t ),, xn (t ),}，其样 本函数的积数结果可能不同。此时显然用一个样 本函数的数字特征如 M x ，近似 E [ X (t )]是不正确 的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的 绝大多数样本函数的均值
定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如 E [ X (t )] M X 常数 果 且 E [ X 2 (t )] , RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [ E (t )], RX (t1 , t2 )
1 RX (t1 , t2 ) xk (t1 ) xk (t2 ) n k 1 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及自相关函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 xi (t ), i 1, 2,
1 f (t ) T 0
0 T 其它
要讨论X(t)的平稳性，由宽平稳定义知， 需要求 E [ X (t )], RX (t1 , t2 ) 。 当取定 t 时, X (t ) X (t ) 为一随机变量 的 函数 Y g ( X ) ，由求随机变量函数的数学 期望公式知 E [Y ] g ( x) f ( x)dx ∵
如图4.1所示，图中细实线表示随机过程的样 本函数，粗实线表示随机过程的数学期望， 虚线表示随机过程对数学期望的偏差。
性质4.2 平稳过程X(t)的二维概率密度只 与 t1 , t2 的时间间隔有关，而与时间起点无 关。 证：设X(t)的二维概率密度函数为 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 由于X(t)为平稳过程，所以对任意 有 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 若令 t1 ，则 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) 而 t2 t1 正是随机过程二维概率密度函数的 ' 时间间隔，令 t2 t1 ，则： PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ;0, ) PX ( x1 , x2 ; )
此式表明，平稳随机过程的二维概率密度 函数仅依赖于 ，而时间的个别值 t1 , t2 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳 过程X(t)的自相关函数应具有什么样的表 达形式。
RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )]