第四章 平衡随机过程和各态历经过程
各态历经过程
各态历经过程
问题的提出
z在随机过程的概率分布未知情况下，如要得到随机过程的数字特征如：E[X(t)]、D[X(t)]、Rx(t1，t2 )…，只有通过做大量重复的观察试验找到“所有样本函数{χ(t)}”，找到各个样本函数χ(t)发生的概率，再对过程的“所有样本函数
{χ(t)}”求统计平均才可能得到。
z这在实际应用中不易实现。
z因此，人们想到：能否从一个样本函数χ(t)中提取到整个过程统计特征的信息？
解决方法
•19世纪俄国的数学家－辛钦，从理论上证明：存在一种平稳过程，在具备了一定的补充条件（略）下，对它的任何一个样本函数χ(t)所做的时间平均，在概率意义上趋近于它的统计平均，对于具有这样特性的随机过程←称之为“各态历经过程”。
•可以理解为：“各态历经过程”的任一个样本函数χ(t)都经历了过程的各种可能状态，从它的一个样本函数χ(t)中可以提取到整个过程统计特征的信息。
•因此，可以用它的一个样本函数χ(t)的“时间平均”来代替它的“统计平均”。
←目地。
随机过程各态历经性的检验
随机过程各态历经性的检验[随机过程作业]随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
确定随机过程X(t)的数字特征，就需要预先确定X(t)一族样本函数或一维、二维分布函数，但这实际上是不易办到的。
所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程。
基本概念及原理：设是平稳过程●如果下列均方极限存在：则称<X(t)>为在(-∞,+∞)上的时间平均。
●如果对于固定τ，下列均方极限存在：则称<X(t)X(t+τ)> 为在(-∞,+∞)上的时间相关函数。
◆如果以概率1成立<X(t)> = mx则称的均值具有各态历经性。
◆如果对于任意的实数τ，以概率1成立<X(t)X(t+τ)> = R(τ)x则称的相关函数具有各态历经性。
◆如果的均值和相关函数都具有各态历经性，则称具有各态历经性，或称为各态历经过程。
这里，我们使用类似于处理随机变量的方法，通过统计实验，对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数，由所取得的数据，求出这些数字特征的统计平均(集合平均)。
然后随便选一条样本函数，计算出这条样本函数的时间平均。
最后比较统计平均和时间平均来检验平稳随机过程的各态历经性。
检验步骤：1．求统计平均：对平稳随机过程进行n次随机实验，得到n个样本函数x1(t),x2(t), (x)n(t)。
对固定的t，其均值函数：；对固定的τ，其相关函数：。
为了精确，n需要取相当大。
2．求时间平均：假设平稳随机过程的一个样本函数为,在[0,T]上对它进行采样，当T和N充分大，且T/N充分小时，该过程的时间平均近似等于样本函数x(t)在采样点上的函数值的算术平均值，即。
考虑，其中r固定，r=0,1,2,…,m，当T和N-r充分大，且T/N充分小时，该过程的相关函数可近似表示为。
3．检验：分别求出平稳随机过程的统计平均m (t)，R (τ)和时间平均m’(t)，R’(τ)后，分别绘制出它们的曲线，比较它们的近似性，来检验随机过程是否具有各态历经性。
2.2平稳随机过程和各态历经过程
2 2 σ X (t ) = σ A y 2 (t ).
X (t )的一维概率密度为 : f X ( x , t ) =
[ xmA y(t )]2 2 2σ A y2 (t )
1 2π σ X
( xmX )2
2 2σ X
e
1 f X (x, t) = e 2π y(t)σ A
一维概率密度与 时间有关， 时间有关，故不 是严平稳过程。 是严平稳过程。
X (t)平 稳
11
例2.2.2 判断图示的四个随机过 程是否平稳. 表达式中 的a, ω , 是常数, A, ,Φ是互相独立的随机变量. 随机变量Φ在[0,2π ]上均匀分布.
P 图 .6 2 59
X (t ) = A cos(ωt + )
(b ) E[ X (t )] = E[ A] cos(ωt + )
P 图 .6 2 59
( d ) : E[ X (t )] = E[ A cos( t + Φ )]
= E[ A] E[cos(t + Φ )]
X (t ) = A cos(t + Φ )
cos(α + β ) = cosα cos β sin α sin β
E[cos( t ) cos Φ sin( t ) sin Φ ]
2
例 : 正弦型随机相位信号 X (t ) = a cos(ω0t + Φ ), 其中 a和
ω0为常数 , Φ 为[0,2π ]上均匀分布的随机变量 .求X (t )
的均值 , 方差, 和自相关函数 .
RX (t1, t2 ) = a E[cos(ω0t1 + Φ) cos(ω0t2 + Φ)]
随机信号分析与处理
一、基本概念1、随机过程随机信号是非确定性信号，不能用确定的数学关系式来描述，不能预测它未来任何瞬时的精确值，任一次观测值只代表在其变动范围内可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律。
随机信号的描述必须采用概率和统计学的方法。
对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x(t)。
在有限时间区间上的样本函数称为样本记录。
在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，以{x(t)}表示，即2、随机信号类型3、平稳随机过程平稳随机过程就是统计特征参数不随时间变化而改变的随机过程。
例如，对某一随机过程的全部样本函数的集合选取不同的时间t进行计算，得出的统计参数都相同，则称这样的随机过程为平稳随机过程，否则就是非平稳随机过程。
如采样记录的均值不随时间变化4、各态历经随机过程若从平稳随机过程中任取一样本函数，如果该单一样本在长时间内的平均统计参数(时间平均)和所有样本函数在某一时刻的平均统计参数(集合平均)是一致的，则称这样的平稳随机过程为各态历经随机过程。
显然，各态历经随机过程必定是平稳随机过程，但是平稳随机过程不一定是各态历经的。
各态历经随机过程是随机过程中比较重要的一种，因为根据单个样本函数的时间平均可以描述整个随机过程的统计特性，从而简化了信号的分析和处理。
但是要判断随机过程是否各态历经的随机过程是相当困难的。
一般的做法是，先假定平稳随机过程是各态历经的，然后再根据测定的特性返回到实际中分析和检验原假定是否合理。
由大量事实证明，一般工程上遇到的平稳随机过程大多数是各态历经随机过程。
虽然有的不一定是严格的各态历经过程，但在精度许可的范围内，也可以当作各态历经随机过程来处理。
事实上，一般的随机过程需要足够多的样本(理论上应为无限多)才能描述它，而要进行大量的观测来获取足够多的样本函数是非常困难或做不到的。
在测试工作中常以一个或几个有限长度的样本记录来推断整个随机过程，以其时间平均来估计集合平均。
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么就是平稳过程,平稳过程就是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中,有相当多的随机过程,不仅它现在的状态,而且它过去的状态,都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程,即所谓平稳随机过程,它的特点就是:过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说,如果对于任意的ｎ(=１,2…),12,,t t t T ∈n …,与任意实数h,当12,,n t h t h t h T +++∈…,时,n 维随机变量(X(1t ),X(2t ),…,X(t n ))与 (Ｘ(1t h +),Ｘ(2t h +),…,Ｘ(n t h +))具有相同的分布函数,则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性,并同时称此过程为平稳随机过程,或简称平稳过程。
在实际工作中,确定随机过程的均值函数与相关函数就是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布,这在实际问题中往往不易办到,因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验,以便得到很多的样本函数。
但就是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化,就会提出这样一个问题:能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢?所谓各态历经,就是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性;具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程,只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X(t)就是均方连续平稳随机过程,如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈Ｘ(t)〉存在,即〈Ｘ(t)〉＝1lim ()2T TT X t dt T -→∞⎰ 存在,而且〈X(ｔ)〉＝E{Ｘ(ｔ)}＝X μ依概率１相等。
即〈X(ｔ)〉依概率１等于X μ＝ E ｛Ｘ(t)｝, X μ代表随机过程的集平均(或称统计平均),则称该过程的均值具有各态历经性。
定义 设X(t)就是一均方连续平稳随机过程,且对于固定的τ,()Xt X t τ（+）也就是连续平稳随机过程,〈()X t X t τ（+）〉 代表()Xt X t τ（+）沿整个时间轴的平均值,即()X t X t τ（+）=1lim (+)()2TT T X t X t dt T τ-→∞⎰ 若〈()Xt X t τ（+）〉存在,称〈()X t X t τ（+）〉为Ｘ(τ)的时间相关函数。
四章平稳过程
顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常 是指宽平稳过程。
例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过 程 X1(t) Y, X2(t) tY 的平稳性。 解 ∵Y是随机变量，∵ X1(t) Y 这一过程 是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何 n维概率密度函数 PY ( y1, , yn ) 与时间无关， 所以是一个严平稳。
即
PX (x1;t1) PX (x1)
∴
E [X (t)] M X 常数
又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔
有关，即
PX (x1, x2;t1,t2 ) PX (x1, x2; )
t2 t1
∴ RX (t1,t2 ) RX ( )
E [X 2 (t)]
xi (t),i 1, 2,
用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随 机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求 随机过程的数学特征就带来了很大方便。
这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如 x1(t)的均值呢？我们以下式来表示
1T
显然x1(t)不同其M积x1 分2结T 果T 一x1(t般) d不r 同。
第四章 平稳过程
在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的 统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起 点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随 时间的推移而变化。
例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受 到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设 计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞 行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作 不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们 把它看作是平衡的随机过程。
为
E
[X
(t1)]
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
关于平稳过程中的各态历经性的综述首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。
在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。
有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。
严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当12,,n t h t h t h T+++∈…,时，n 维随机变量（X(1t ),X(2t ),…,X(t n )）和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。
在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。
而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。
但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。
定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即〈X （t ）〉=1lim()2T TT X t dtT-→∞⎰存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。
即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。
2-2-平稳随机过程和各态历经过程
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
A2 2
cosc
14
例题
比较统计平均（例1）与时间平均，得
mX= mX
R(τ)= R( )
因此，随机相位余弦波是各态历经过程。
15
2、应用
一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程 的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数不可能无限长， 只要足够长即可。
A
2
[cosct
2
0
cosd
sin ct
2
0
sind ] 0(常数）
8
例题
X(t)的自相关函数为
R(t1, t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
E[ A cos(ct1 ) A cos(ct2 )]
A2 2
E cosc (t2
t1) cos[c (t2
t1) 2 ]
2 X
mX2
此值在[－1，1]之间。rX ( ) 0 表示不相关，rX ( ) 1 表
示完全相关。rX ( ) 0 表示正相关，表明两个不同时刻起
伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。
27
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同 时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。
22
⑵ R(τ) =R(-τ) [R(τ)是偶函数]
证明：
R( ) E[X (t)X (t )],令t ' t ,即t t '
机械工程测试技术基础试题及答案
《机械工程测试技术基础》课后答案章节测试题第一章信号及其描述（一）填空题1、测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是，其中目前应用最广泛的是电信号。
2、信号的时域描述，以为独立变量；而信号的频域描述，以为独立变量。
3、周期信号的频谱具有三个特点：，，。
4、非周期信号包括信号和信号。
5、描述随机信号的时域特征参数有、、。
6、对信号的双边谱而言，实频谱(幅频谱）总是对称，虚频谱（相频谱)总是对称.（二）判断对错题(用√或×表示）1、各态历经随机过程一定是平稳随机过程。
（）2、信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（）3、非周期信号的频谱一定是连续的.( )4、非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
（ )5、随机信号的频域描述为功率谱。
（）（三）简答和计算题1、求正弦信号的绝对均值μ|x|和均方根值x rms。
2、求正弦信号的均值,均方值，和概率密度函数p(x）。
3、求指数函数的频谱。
4、求被截断的余弦函数的傅立叶变换。
5、求指数衰减振荡信号的频谱.第二章测试装置的基本特性（一）填空题1、某一阶系统的频率响应函数为，输入信号,则输出信号的频率为，幅值，相位。
2、试求传递函数分别为和的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度。
3、为了获得测试信号的频谱，常用的信号分析方法有、和。
4、当测试系统的输出与输入之间的关系为时，该系统能实现测试。
此时，系统的频率特性为.5、传感器的灵敏度越高，就意味着传感器所感知的越小.6、一个理想的测试装置，其输入和输出之间应该具有关系为最佳.（二）选择题1、不属于测试系统的静特性.（1）灵敏度（2）线性度（3)回程误差(4）阻尼系数2、从时域上看，系统的输出是输入与该系统响应的卷积。
（1）正弦(2）阶跃(3）脉冲（4)斜坡3、两环节的相频特性各为和，则两环节串联组成的测试系统,其相频特性为。
（1) （2）(3）（4）4、一阶系统的阶跃响应中，超调量。
6-4平稳过程-各态历经性
解放军电子技术学院
卢
定义 设{X(t),t∈(－∞,+ ∞)}是平稳过程
1) 若P{ X ( t ) m X } 1,
称X(t)的均值具有各态历经性(均方遍历性).
X X |2 | T 0 1 2T T 2T2T 1 2 2T T t T lim (1 ) R ( ) d (t1 , t ) 1 1 2 2 2 T T 0 2T 2 T ; 1 2 2T t T 2T ( 1 , 2 ) 2 2 ( 1 2 lim (1 T )[ R ) m ]d
1 2T lim 0 1 C X d 0 T T 2T
或
1 2T lim 1 RX mX T T 0 2T
2
d 0
卢
解放军电子技术学院
证 均值各态历经
由概率论知识，对于随机变量X而言： P{X E[ X ]} 1 D( X ) 0 故,要证明我们的定理，只须证明： E X (t ) E[ X (t )] mx , D X (t ) 0
2
2 2
1 1 |2 | 1 2T lim (1 ) R ( ) d 令 1 ,T 2 t22 1 t21. 则 t1 X(t) 为实平稳过程 ( 1 2 ), t2 ( 1 2 ) 2tT2 t12 2 T若 T 2T 2 2 2
6.4 平稳过程的均方遍历性
类似于处理随机变量的办法，通过统计试验的 方法，由所取得的数据，求出这些统计特征和 估计值．确定随机过程的统计特性 ， 所需试验 的工作量很大，实际上这种做法也难以办到．
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此外当我们知道一个随机过程是平稳过程
时，它应不随时间的推移而变幻无常。例 如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计
特性，由于它是平稳过程，因而我们在任
何时间进行测试都能得到相同的结果。
§4.1 严平稳随机过程及其数字特征
定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程 X(t)的任意n维概密度都有
PX ( x1 , x2 , xn ; t1 , t2 ,, tn ) PX ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 , , tn )
就要考虑X(t)的一维概率密度函数PX ( x1 , t1 )和二 维概率密度函数 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )。
下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间 的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它 是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有 E [ X 2 (t )] ，则由严平稳 界
E [ E2 (t )] E [tY ] tE[Y ]
RX 2 (t1 , t2 ) E [ X 2 (t1 ) X 2 (t2 )] E [t1Yt2Y ] t1t2 E [Y 2 ]
都与时间 t1 , t2 有关，所以 X 2 (t ) tY 为非 平稳。 例4.2 设 S (t )是一周期为T的函数， 是 （0,T）上具有均匀分布的随机变量，称为 X (t ) S (t ) 随机相位周期过程，试讨论 它的平稳性。 解 由题设知 的概率密度函数为
从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断
一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过
程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与
时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工
作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在 所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问 题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数 字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的
工程随机过程
第四章 平衡随机过程和各态历经 过程
在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的
统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起
点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随
时间的推移而变化。
例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受 到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设 计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞 行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作 不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们 把它看作是平衡的随机过程。
0 T
令 t ,
1 t E [ X (t )] S ( ) S ( ) d T t 1 T S ( ) S ( ) d RX ( ) T 0
§4.3 各态历经过程
1. 各态历经问题的提出
对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们 的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次， 考虑求它的数字特征即数学期望、相关函数等。 但要求X(t)的数字特征，首先需要知道它的一、 二维概率密度函数，即ຫໍສະໝຸດ t2 t1∴2
RX (t1 , t2 ) RX ( )
E [ X (t )]
x P ( x1 ) dx1
2 1 X
2 X
综上所述，严平稳一定是宽平稳 反之不一定成立，除非是高斯过程（正态过程）。 类似地，我们还可以给出两个随机过程联合宽平稳 定义。 ) 定义联合宽平稳：对于平稳过程 X (t1 ), Y (t若
定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如 E [ X (t )] M X 常数 果 且 E [ X 2 (t )] , RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [ E (t )], RX (t1 , t2 )
PX ( x1 ,, xn ; t1 ,, tn ) PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
双因严平稳的一维概率密度与时间无关， PX ( x1; t1 ) PX ( x1 ) 即 E [ X (t )] M X 常数 ∴ 又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔 有关，即 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ; )
RXY (t1 , t2 ) RXY ( ), t2 t1
则称 X (t ), Y (t ) 联合宽平稳。
顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常 是指宽平稳过程。 例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过 程 X1 (t ) Y , X 2 (t ) tY 的平稳性。 解 ∵Y是随机变量，∵ X1 (t ) Y 这一过程 是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何 n维概率密度函数 PY ( y1 ,, yn ) 与时间无关， 所以是一个严平稳。 X1 (t ) Y 是严平稳 , ∴只要 E [ X12 (t )] E [Y 2 ] ∵ 则X1(t)是宽平稳。对于 X 2 (t ) tY ,
PX ( x1; t1 ) PX ( x1;0) PX ( x1 ) 由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值、 方差。
E [ X (t )]
2
X P ( x1 )dx1
2 1 X
2 X
2 X D [ X (t )] E [ X (t ) M X ]2
( x1 M X ) 2 PX ( x1 ) dx1
E [ X 2 (t )] E 2 [ X (t )] 2 M x2 X
。
显然，X(t)的均方值、方差都与时间t无关 。 由此知，当随机过程为平稳过程时，该过程的所有 样本函数总是它们均值——水平直线上下波动，样 本曲线偏离水平直线的幅度正好是 D( X ( x)) X
用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随 机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求 随机过程的数学特征就带来了很大方便。 这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如 x1(t)的均值呢？我们以下式来表示
显然x1(t)不同其积分结果一般不同。 于是对一个随机过程， X (t ) {x1 (t ),, xn (t ),}，其样 本函数的积数结果可能不同。此时显然用一个样 本函数的数字特征如 M x ，近似 E [ X (t )]是不正确 的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的 绝大多数样本函数的均值
如图4.1所示，图中细实线表示随机过程的样 本函数，粗实线表示随机过程的数学期望， 虚线表示随机过程对数学期望的偏差。
性质4.2 平稳过程X(t)的二维概率密度只 与 t1 , t2 的时间间隔有关，而与时间起点无 关。 证：设X(t)的二维概率密度函数为 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 由于X(t)为平稳过程，所以对任意 有 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 若令 t1 ，则 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ;0, t2 t1 ) 而 t2 t1 正是随机过程二维概率密度函数的 ' 时间间隔，令 t2 t1 ，则： PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) PX ( x1 , x2 ;0, ) PX ( x1 , x2 ; )
1 RX (t1 , t2 ) xk (t1 ) xk (t2 ) n k 1 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过 程的数学期望及自相关函数要求n很大，即样本函数 xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于 是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如 xi (t ), i 1, 2,
C X ( )
2 C X ( ) RX ( ) M X
顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推 广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样
说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时
间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这 两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。
§4.2 宽平稳随机过程
1 f (t ) T 0
0 T 其它
要讨论X(t)的平稳性，由宽平稳定义知， 需要求 E [ X (t )], RX (t1 , t2 ) 。 当取定 t 时, X (t ) X (t ) 为一随机变量 的 函数 Y g ( X ) ，由求随机变量函数的数学 期望公式知 E [Y ] g ( x) f ( x)dx ∵
令 t ，则
E [ X (t )] (t ) f ( )d
0
T
T
0
1 S (t ) d T
1 t T 1 T E [ X (t )] S ( )d S ( )d 常数 T t T 0
又∵
RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E [ X (t ) X (t )] E [ S (t ) S (t )] S (t ) S (t ) f ( )d
此式表明，平稳随机过程的二维概率密度 函数仅依赖于 ，而时间的个别值 t1 , t2 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳 过程X(t)的自相关函数应具有什么样的表 达形式。
RX (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t2 )]
x1 x2 PX ( x1 x2 ; t1 , t2 )dx1dx2 x1 x2 PX ( x1 x2 ; )dx1dx2 RX ( )
C X (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) M X (t1 )M X (t 2 )