任意角的三角函数情景引入
《任意角的三角函数》说课稿
《任意角的三角函数》说课稿《任意角的三角函数》说课稿1各位领导，各位老师：我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版一般高中课程标准试验教科书《数学》④〔必修〕第1、2、1节。
一、教材结构与内容简析本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有特别广泛的应用。
三角函数的定义是在学校对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上商量和讨论的。
三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他全部学问的动身点。
紧紧扣住三角函数定义这个珍贵的源泉，可以自然地导出本章的详细内容：三角函数线、定义域、符号推断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。
三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以关心同学更加深化理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面对量、解析几何等内容的学习作必要的预备。
三角函数学问还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
三角函数定义必定是学好全章内容的关键，假如同学把握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性确定了本节教材的重点就是定义本身。
数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给同学数学学问，更重要的是传授给同学数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向同学展现尝试类比、数形结合等数学思想方法。
二、教学重点、难点、关键教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。
教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。
教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值确实定性〔α确定，比值也随之确定〕与依靠性〔比值随着α的改变而改变〕。
三、学情分析同学已经把握的内容及同学学习力量1、同学在学校时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，把握了锐角三角函数的一些常见的学问和求法。
2、同学的运算力量较差。
3、部分同学对数学的学习有相当的爱好和主动性。
任意角的三角函数的定义教案
教 案课题：《任意角的正弦函数、余弦函数、和正切函数》教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
教学重点：1. 任意角的三角函数的定义；2. 运用任意角的三角函数的定义求函数值。
教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；教学方法：1. 情境教学法；2. 问题驱动教学法。
教学过程：一、 复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。
这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。
初中阶段我们学习了锐角的三角函数。
【问题1】在直角三角形中，锐角的三角函数是怎样定义的？（学生回答）【问题2】如图，在R t △ABC 中，求sin α,cos α,tan α。
（学生口答）sin α= cos α=tan α=二、 新授知识【目标一】任意角的三角函数的定义是什么？【情境二】事实上，锐角的三角函数定义，可以看作是在角的锐角的一边上任取一点，构造一个直角三角形，用直角三角形的边之比来定义。
我们可以看出，取的点不同，所构造的三角形的大小也不一样。
α的各三角函数值与所构造的三角形的A CB α sin BC AB α=cos AC AB α=tan BC AC α=3 4 535443大小有关吗？（无关，由三角形相似的性质可以得到。
）【情境三】角的概念推广之后，角可以是任意大小，把角放在直角三角形中定义它的三角函数显然已经达不到要求，必须寻求一种新的方法！前面我跟同学们暗示过：今后在研究任意角的相关时，我们常常把角放在坐标系里进行研究！【问题四】任意角在坐标系中是如何放置的？（学生回答）将角的顶点放在原点，始边与x轴正半轴重合。
角的终边可能会落在某一象限内，也可能在坐标轴上。
创新教学设计 凸显函数本质——“任意角的三角函数”一课的教学思考与设计
师：大家经常在游乐场所中见到摩天轮，如图 1，
（3） 探究这种函数关系如何更好地表达、合理的命名 . 某游乐场摩天轮座舱 A 围绕中心点 O 作圆周运动，当
由于当 ∠α 为锐角时，y 是 ∠α 的正弦，以此为 据，当 ∠α 是任意角时，也沿用这种命名方式 （概念 推广的相容性），由此得到任意角三角函数的定义 .
4. 教学过程
角三角函数的最近发展区，以锐角三角函数为起点的
（1） 情境引入 .
教学极有可能导致学生无法把任意角的三角函数的概
师：现实生活中存在大量循环往复、周而复始的
念纳入到函数的概念中去 .
变化现象. 例如，昼夜的交替变化、月亮的圆缺变
另一种方法是以函数为“先行组织者”，在“函数 化、物体做匀速圆周运动等，这种变化规律称为周期
一、观摩思考
思考 1：数学教学要抓住核心概念组织教学，本 节内容谁处于核心概念的位置？
什么是核心概念？美国课程专家埃里克森 （Erick⁃
son） 认为，核心概念是指居于学科中心，具有超越课 堂之外的持久价值和迁移价值的关键性概念、原理或 方法. 章建跃博士指出，某一数学概念是否具有数学 核心概念“身份”，要看它是否符合某些条件 . 经过研 究确定，数学核心概念满足的条件是：（1） 对数学学 科本身而言，具有重要性，处于主干地位；（2） 对学 生头脑中的数学认知结构而言，具有重要的、不可或 缺的基础地位；（3） 属于数学概念逻辑链条上的“自 然的一环”，并且与学生的思维发展水平相适应，是学 生能够接受的 .
OA 旋转 α 度后，点 A 到达点 A1的位置 . 此时，你能描 述点 A1的具体位置吗？
思考 3：本节课要如何探究三角函数的相关性质？ 既然以函数为主线组织教学，就应该用学习函数
任意角的三角函数中职数学说课稿
任意角的三角函数中职数学说课稿《任意角的三角函数》人教版中职数学说课稿一说教材1、地位和作用:节课是人教版中职数学(必修)8.2.1任意角三角函数的第一课时任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念,对三角内容的整体学习至关重要.同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备,通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
教教学重点：任意角三角函数的定义教学重点：1正确理解三角函数的定义2任意角三角函数在各个象限的符号教学难点:标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的理解;学情分析:学生已经掌握的内容,学生学习能力1.初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。
2.学生具备一定的自学能力，部分同学对数学的学习有兴趣和积极性。
3.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行知识目标1);，1、理解任意角的三角函数的定义;2、三角函数值的符号3、会求任意角的三角函数值;4、体会类比，数形结合的思想。
能力目标：(1)理解并掌握任意角的三角函数的定义;(2)正确理解三角函数是以实数为自变量的函数;(3)通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析探究解决问题的能力.情感目标：(1)学习转化的思想，(2)培养严谨的学习态度;二说教法温故知新,逐步拓展(1)在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容,发展新知识,形成新的概念;(2)通过例题讲解分析,逐步引出新知识,完善三角定义三说学法通过对已经掌握的锐角三角函数推广到任意角的三角函数定义,,引导出三角函数在各个象限内的符号,会求任意角的三角函数,学会从现有的知识探索新的知识,善于发现问题,提出问题,归纳问题,从而达到解决问题的目的。
四教学过程总体来说,由旧及新,由易及难, 逐步加强,层层深入由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义给定定义后通过应用定义又逐步发现新知识拓展完善定义.1引入: 练习：sin300= cos300= tan300=那么3000，300000呢?复习提问:初中直角三角形中锐角的正弦余弦正切是怎样定义的?由学生回答:SinA=对边/斜边cosA=对边/斜边tanA=对边/斜边我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?2逐步拓展:在高中我们已经建立了直角坐标系,从直角三角形改为平面直角坐标系。
《任意角的三角函数》教学设计
《任意角三角函数》教学设计一、教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
二、学生情况分析本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。
三、教学目标知识与技能目标：借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。
方法与过程目标：在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。
情感态度与价值观：在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。
四、教学重、难点分析：重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。
五、教学方法与策略：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用"启发探索、讲练结合”的方法组织教学.六、教具、教学媒体准备：为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维教学过程一、情景设置：问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的?（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评）/ P锐角三角函数的定义：在直角厶OAF中，/ A是直角，那么/问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表/示锐角三角函数呢？ _______/P（学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤 )建立平面直角坐标系，设点 P 的坐标为（x ，y ）,那么|OP|=J x 2 • y 2，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点 P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角:-的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点 P 的位置无关,可以利用相似三角形证明•教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，----- 仅与角〉有关• 问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗? 学生回答：对于确定的角：•，比值-,-,-都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角 :-的r r x函数•问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？r( . x 2 y 20)，我们规定:取r=1，即选取角:-终边与单位圆的交点为P （x ，y ），r ry贝U sin 二=y, cos 二=x, tanx三角函数正弦函数余弦函数正切函数对应法则自变量y*请你给出任意角的三角函数定义。
高中数学必修四任意角的三角函数教案
4-1.2.1 任意角的三角函数（一）【课题】：任意角的三角函数定义【学情分析】：（适用于平行班）教学对象是高一的学生，学生在初中已经学习了锐角三角函数的有关知识。
本节课，学生是在此基础上结合刚学习的任意角及弧度制知识，进一步学习任意角的三角函数知识。
我们通过对三角函数定义的剖析，使学生理解从锐角三角函数到任意角三角函数中定义的变化，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解，从而掌握任意角的三角函数定义，这在平行班教学中是可行的。
【教学目标】：（1）理解并掌握任意角三角函数的定义；（2）理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；（3）理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.【教学重点】：理解并掌握任意角三角函数的定义；理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号；理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.【教学难点】：理解并掌握任意角三角函数的定义.【教学突破点】：借助平面直角坐标系，通过对三角函数定义的剖析，使学生理解从锐角三角函数到任意角三角函数中定义的变化，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解，达到突破难点之目的.【教法、学法设计】：采用观察法、对比法和定义法。
通过图示，使学生观察三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，在理解掌握定义的基础上，通过对比，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。
通过对定义的剖析，使学生对各种三角函数在各象限内的符号，以及终边相同的角的同一三角函数值相等有比较深刻的认识.【课前准备】：课件【教学过程设计】：二、探究新知对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1. 任意角的三角函数定义设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222>+=+=yxyxr.比值ry叫做α的正弦，记作：ry=αsin.比值rx叫做α的余弦，记作：rx=αcos.比值xy叫做α的正切，记作：xy=αtan.学生活动：学生阅读教材,自学有关概念.教师引导:对比锐角三角函数的定义, 任意角三角函数的定义有何变化?学生活动:独立思考后,分小组讨论.教师进一步引导学生：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为什么与什么的比？教师引导学生回答并归纳出:从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比.教师引导: 锐角三角函数与任意角三角函数之间有何联系?谁是谁的特殊情形？学生讨论归纳: 锐角三角函数是任意角三角函数的特殊情形.教师引导: 上述四个比值会不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？（教师画图示意，引导学生思考）学生活动：分小组讨论，并举手回答.教师归纳：根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述四个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.即对于确定的角α，上面的四个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数.注意：sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样.例1已知角α的终边经过点P(2，－3)(如右图)，求α的正弦、余弦、正切值.解：∵x＝2，ｙ＝－3∴13)3(222=-+=r引导学生阅读教材，培养自学能力引导学生思考,教师归纳，明晰概念学生口答，教师板书，巩固新学习的概念ry)(x,αP_x_y_P1_P22．终边相同的角的同一三角函数值相等引例 分别求出30°和390°的正弦、余弦、正切值.解: sin30°=sin390°=21cos30°=cos390°=23tan30°=tan390°=33学生活动：跃跃欲试,画图计算. 教师引导：(1)引导建立平面直角坐标系.（以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合） (2)根据定义找出一点P ． 学生活动：回答结果．教师引导：为什么30°和390°的三角函数值相等?学生活动:热烈讨论结果.教师引导: 三角函数定义中,OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的．学生归纳：390°和30°终边相同．教师引导：那么什么情况下，两个角的同一个三角函数值相等？ 学生猜想：终边相同的角的同一三角函数值相等． 教师总结：即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．例2 求下列三角函数的值(1) sin(-1320°) (2)49cosπ （3）)611tan(π-. 教师分析：关键找到角的终边位置，将问题化归为0°~360°内的角的三角函数问题，然后求出终边上一点P 的坐标.学生活动：画图计算(教师引导学生画出角的终边位置，利用定义代入).解:(1) sin(-1320°)＝sin(-4×360°+120°)＝sin120°＝230x yα2400-5100P(3,1) _2_ 1_ 30 ° _x_y(2) 224cos )24cos(49cos==+=ππππ (3).336tan )26tan()611tan(==-=-ππππ 3．正弦、余弦、正切函数的定义域你能根据任意角三角函数的定义，说说正弦、余弦、正切函数的定义域分别是什么吗？学生活动：独立思考后，在小组内讨论.教师引导学生紧扣定义，观察并归纳：对于正弦函数ry=αsin ，因为ｒ＞0，所以r y 恒有意义，即α取任意实数，ry恒有意义，也就是说sin α恒有意义，所以正弦函数的定义域是R ；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数x y =αtan ，因为x ＝0时，xy无意义，即tan α无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x ＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，xy恒有意义，即tan α恒有意义，所以正切函数的定义域是)(2Z ∈+≠k k ππα.从而有αααtan cos sin ===y y y )(2Z k k RR∈+≠ππα 例3 求下列各角的正弦、余弦、正切值. (1)0 (2)π (3)23π (4) 2π 教师分析：紧扣定义.学生活动：画图计算，分小组提交结果. 解：(1) ∵当α＝0时，x ＝ｒ，ｙ＝0∴sin0=0 cos0=1 tan0=0 (2) ∵当α＝π时，x ＝－ｒ，ｙ＝0∴sin π＝0 cos π＝－1tan π＝0(3) ∵当23πα=时，x ＝0，ｙ＝－ｒ ∴023cos 123sin =-=ππ 23tan π不存在 (4) ∵当α=2π时 r y x ==,0∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在4. 三角函数在各象限内的符号规律 我们知道，锐角三角函数值都是正的，那么任意角的三角函数值是否也都是正的呢？学生活动：观察，热烈讨论.提问学生回答：第一象限：0,0.>>y x ，则sin α>0,cos α>0,tan α>0 第二象限：0,0.><y x ，则sin α>0,cos α<0,tan α<0第三象限：0,0.<<y x ，则sin α<0,cos α<0,tan α>0第四象限：0,0.<>y x ，则sin α<0,cos α>0,tan α<0 教师归纳： 记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦 αsin 为正 全正 αtan 为正 αcos 为正 例4 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π学生活动：独立思考，画图计算. 教师引导：帮助学生突破难点——角的转化. 解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0 (2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π (3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48° 而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0 (4) 35tan )235tan(311tan ππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan <π. 教师小结：化归思想，将问题转化为0°~360°内的角的三角函数问题. cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0。
任意角的三角函数教案
1.2.1任意角的三角函数一、教学目标1、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。
2、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号，以及终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。
3、让学生在任意角三角函数知识的形成过程中，感悟数学概念的严谨性与科学性，体会函数思想，体会数形结合思想。
二、教学重点与难点1、教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。
2、教学难点：任意角的三角函数概念的理解。
三、教学方法引导法、讲授法。
四、教学过程 1、问题情境在初中学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的函数。
c b =αsin c a =αcos ab=αtan前几节课的内容我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来学习任意角的三角函数。
2、讲授新课对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来学习。
bacα设α是一个任意角，其顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的终边上任取（异于原点）一点P （x ,y ）， 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r ， 因此有比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作： x y =αtan单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆。
设α是一个任意角，它终边与单位圆交于点P （x ,y ），则： （1）y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）y x叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。
三角函数：是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案一、教学目标1、知识与技能目标理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
掌握各象限角的三角函数值的符号。
会根据角终边上的点坐标求该角的三角函数值。
2、过程与方法目标通过单位圆，经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想方法。
培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。
3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，体会数学的应用价值。
培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。
各象限角的三角函数值的符号。
2、教学难点任意角三角函数的定义的理解。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、讲授新课单位圆的定义：以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。
任意角三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y)，那么：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x（x≠0）强调三角函数值与点 P 的坐标之间的关系。
3、例题讲解例1：已知角α的终边经过点P(3, －4)，求sinα、cosα、tanα的值。
解：因为点 P 的坐标为(3, －4)，所以 x ＝ 3，y ＝－4，r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5sinα ＝ y/r ＝－4/5cosα ＝ x/r ＝ 3/5tanα ＝ y/x ＝－4/3例 2：确定下列各角的三角函数值的符号：210°315°－480°解：210°角的终边在第三象限，所以 sin210°＜ 0，cos210°＜ 0，tan210°＞ 0。
315°角的终边在第四象限，所以 sin315°＜ 0，cos315°＞ 0，tan315°＜ 0。
任意角的三角函数教学设计
“任意角的三角函数”教学设计一、教学目标1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．二、教学重难点重点：理解任意角三角函数的定义。
难点：引导学生将任意角的三角函数的定义强化，帮助学生真正理解定义。
三、教学过程设计（一）教学情境复习锐角三角函数的定义问题1 对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角α，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出sinα的值吗？（设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。
）(二) 认识任意角三角函数的定义问题2 你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？即将三角函数值用终边上点的坐标表示出来。
，对于这些比值 ，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数。
当角α确定后，比值xy r x r y ,,也是唯一确定的，而与P 点在角终边上的位置无关。
当α是锐角时，x y r x r y ,,（设计意图：比值“坐标化”，与点在终边上的位置无关。
）问题3 既然当角确定后，三角函数值与点P 在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？（设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆，同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系。
）当α是锐角时，设P (x ,y )是α的终边与单位圆的交点，那么当r=1,则y 就称为锐角α的正弦，x 就称为锐角α的余弦， 就称为锐角α的正切. 记为：类似地，我们可以将锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则y 叫做α的正弦,记作sin α= y . x 叫做α的余弦,记作c o s α=x ; 叫做α的正切,记作t a n α= 任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数.x y xy x y ===αααtan ,cos ,sin xy问题4 你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？ （设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案一、教学目标1、了解任意角的概念及其特点。
2、掌握任意角的三角函数的定义及其性质。
3、能够运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题。
二、教学重点与难点1、任意角的概念及其特点。
2、任意角的三角函数的定义及其性质。
三、教学准备1、教材：《数学教材》2、教具：黑板、粉笔等。
四、教学过程（一）任意角的概念及其特点（10分钟）1、引入：同学们，我们之前学过的三角函数是在直角三角形中定义的，那么在直角以外的三角形中，是否可以定义三角函数呢？请看下面的图形。
2、呈现：通过黑板上画出一般三角形，告诉同学们这样的三角形中可以定义任意角。
3、引导：我们称这样的角为任意角，那么任意角有什么特点呢？4、总结：任意角的特点是：角度大小可以是任意的，不限于某个固定角度。
（二）任意角的三角函数的定义及其性质（20分钟）1、引入：同学们，我们知道在直角三角形中，三角函数是通过三角比来定义的。
那么在任意角中，我们应该如何定义三角函数呢？2、定义：通过黑板上画出一个一般的任意角，引导同学们回忆起直角三角形中的正弦、余弦、正切三角比的定义，告诉同学们这些三角比的定义可以推广到任意角中。
3、总结：定义任意角的三角函数如下：正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。
4、性质：通过黑板上列举一些性质，告诉同学们这些性质与直角三角形中的三角函数性质相似，但是要根据勾股定理和正负分区来进行判断。
5、示例：通过黑板上画出一些示例题，引导同学们运用任意角的三角函数定义和性质进行计算。
（三）运用任意角的三角函数解决与实际问题相关的计算和应用题（40分钟）1、引入：同学们，任意角的三角函数不仅可以用来计算角度大小，还可以用来解决与实际问题相关的应用题。
请看下面的例子。
2、示例：通过黑板上列举一些实际问题相关的计算和应用题，引导同学们运用任意角的三角函数来解决这些问题。
3、练习：同学们进行课堂练习，通过黑板上列举一些练习题，让同学们在课堂上进行解答。
《任意角的三角函数》教案
《任意角三角函数》教案教学目标：知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，求出三角函数值；3、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、 探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到 一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：在探索任意角的三角函数的过程中，感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。
教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。
教学难点：三角函数值在各象限的符号；已知三角函数值来判断角的象限. 教具准备：直尺、多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练习法教学过程一、情景设置:问题1、初中时的锐角三角函数如何定义的？（学生上黑板画图，给出定义，教师根据学生展示情况进行点评） 锐角三角函数的定义：在直角△OAP 中，∠A 是直角，那么问题2、如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？ (学生分组讨论，展示成果，教师规范思路和解答步骤) 建立平面直角坐标系，设点P 的坐标为（x ，y ），那么22||y x OP +=，于是问题3、对于确定的锐角，其三角函数值与终边上选取的点P 有何关系？这说明三角函数值的决定量是什么？学生互动：锐角α的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P 的位置无关， 可以利用相似三角形证明.教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P 的位置无关，仅与角α有关.问题4、你能用学过的知识来刻画一下角与这个比值的关系吗？ 学生回答：对于确定的角α，比值xyr x r y ,,都惟一确定，故正弦、余弦、正切都是角α的OA Pα OA P αxy O A P α xyM N函数.问题5、终边落在第一象限内的角能用上述比值表示吗？任意角呢？ 请你给出任意角的三角函数定义。
任意角的三角函数听课笔录及随想
《任意角的三角函数》听课笔录及随想[1]课堂回顾一、情境创设师:在初中,我们学习了锐角,通过前面的学习我们已将角推广到任意角了. (板书:锐角任意角.)师:在初中,我们学了锐角之后,接下来研究了什么? 生:锐角的三角函数.师:包括哪几种三角函数? 生:正弦,余弦,正切.师:很好!那么,现在我们有了任意角,接下来该研究什么呢? 众生:任意角的三角函数.(由此引入课题) (点评:从大的框架入手,引入课题比较自然) 二、探究活动1、回顾锐角α的正弦sin α是如何来定义的? 生1到黑板上作图,在角α的一边上取点A,构造三角形OAB,过点A 作OB 的垂线AC,则sin ACAOα=. 师:这里所取点A 有何要求? 生1:任意取. 生2:不能与点O 重合.师:对,当点A 与点O 重合时,就不能构造直角三角形了.(点评:(1)从学生熟知的锐角三角形的三角函数出发,力求在最近发展区生长出新的知识.(2)三角形OAB 的构造有点多余,只要构造直角三角形OAC 就可以了.)2、任意角的正弦如何来定义呢?老师用几何画板画了一个任意角,看上去有点象钝角.学生自己讨论后,生3上黑板作图.在角AOB 的一边上任取一点A,由点A 向另一边OB 作垂线,交其反向延长线于点C,定义sin ACAOB AO∠=.(生3一边作图,一边作解说,她一直将角AOB 说成是钝角.)正弦,余弦,正切?αCOAC BAO生4:不是钝角,是任意角. 师:有别的想法吗?(点评:学生的想法如何?对还是不对?有没有道理?缺陷在哪里?老师未作任何评价,这是本节课的一个明显的失误.)生5:建立直角坐标系,将角的顶点O 与坐标原点重合,OB 边与x 轴的正半轴重合.作以原点O 为圆心的单位圆,设圆O 与另一条边相交于点A,由点A 向x 轴引垂线,垂足为C,定义sin ACAOB AO∠=. 生6:我不知道生3与生5的方法有何区别? 师:他们没有区别吗? 部分学生:有区别. 师:还有别的想法吗?(点评:这两种想法究竟有何区别?老师又未明确,这是本节课的又一个明显的失误.)生7:与生5一样,将角放在直角坐标系中,在角的终边上任取一点A(x,y),用该点的坐标来定义角的正弦,即sin yAOB AO∠=,这样就有正负之分了. 师:改变角所在的象限,该定义还成立吗?老师用几何画板演示角的终边在其它象限内的情况,特别地,还演示了角的终边落在坐标轴上的情况.(点评:学生终于说出了老师一直在等待的话,但这位学生是如何想的?可惜这个很关键的一点没能展示出来.)三、数学建构 1、正弦的定义:sin yrα=(详略). 师:与以前的定义相比,它们都是比值,但意义不同,而且新的定义包含了以前的定义.2、余弦与正切的定义又该如何来定义呢?生8:cos ,tan x yr xαα==.生9:在正切的定义中,应该满足0x ≠. 师:0x ≠是什么意思?生10:角的终边不能落在y 轴上. 师:那么角α不能等于哪些角? 生10:()2k k Z παπ≠+∈.师:上述比值与点A 的位置有没有关系? 众生:没有.师:当角α确定时,这几个三角函数值能唯一确定吗? 众生:能.师:这样一来,就与我们前面学习的哪一个知识有关了? 众生:函数.师:对.我们通常称它们为正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数. (点评:这里可顺提一下引入弧度制的目的之一:用实数表示角,使得三角函数符合了一般函数对定义域的要求.)四、数学应用1、已知角α的终边过点P(3,-4),求角α的正弦、余弦、正切值. 处理方法是生说师写.2、已知角α的终边落在直线y x =-上,求角α的正弦、余弦、正切值.处理方法是生说师写.sin tan 122ααα=±=±=-. (点评:这里最好分开写,即按α为第二象限角与α为第四象限角这两种情形分别求解) 五、拓展延伸通过前面的讨论,你发现了什么? 生11:22sin tan ,sin cos 1cos ααααα=+=. 生12: 0cos sin(90)αα=-.生13:以下三角函数在每个象限的符号如下:师: 考虑下列问题: (1)若sin 0,cos 0αα<>,则角α是第_______象限角. (2)若sin cos 0αα⋅<,则角α是第_______象限角. (3)若cos tan 0αα⋅<,则角α是第_______象限角.(点评:(1)“你发现了什么?”式的问题,好处在于不束缚学生的思维,缺点是指向性不明.(2)表格的制作力求规范,最好不好出现“sin ”的写法.)六、课堂小结 略 [2]听后随想1、尽管本节课上有几个明显的失误之处,但我们丝毫不应否定教者的教学思想与设计理念,教者力图通过学生的自主探究自然地建构出任意角的三角函数的定义,而不是将该定义直接强加于学生.2、导致本节课出现败笔的原因是多方面的,其中主要的可能是下面两点: (1)学生认知结构的不足.学生在初中只学习了锐角的三角函数,没有学过钝角的三角函数,因而生3与生5不知道他们给出的定义与已有的知识不符.(2)教者未能将三个函数一起研究.实际上,高一学生在物理中已用过01cos1202=-了,如果将三个函数一起研究,生3与生5可能会发现自己的想法与此结论有冲突了.3、改进的设想:(1)回顾任意角、象限角与轴线角的概念.(2)回顾锐角三角函数的定义,有了任意角之后,原来三角函数的定义有局限性,需要都其重新定义,以适用于任意的三角函数.(3)除了锐角的三角函数外,在其它学科中有没有接触到一些特殊角的三角函数值?(意图是让学生说出01cos1202=-)(4)重新定义的原则有哪些?①和谐的原则,新定义应该包含以前的定义,即当角为锐角时,其定义应与前面边的三角形边的比值等价.由此可以确定,新的定义仍应是比值的形式;②传承的原则,新定义应保留旧定义中的一些做法,如可以用样在角的终边上任取一点来定义,且所得结果应与所取点的位置无关.③相容的原则,新定义不能与一些熟悉的结论相矛盾.如当角为钝角时,其余弦值应为负值.由此可知,新的三角函数的定义应保证所得三角函数值有正负之分;④自然的原则,新定义不能出来得很奇怪,要让人接受必须顺其自然,可在我们前面讨论的象限角的基础上进行,换句话说,老师在给出一个任意角的时候,就可以将角直接放在直角坐标系下,因为前面已讨论过象限角.(5)按上述几个原则让学生自主探究.。
任意角的三角函数(教案)
任意角的三角函数(教案)一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学必修一的第四章第一节，主要内容包括任意角的三角函数的定义、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。
二、教学目标1. 让学生理解任意角的三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质。
2. 培养学生运用三角函数解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、探究学习的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解和应用。
2. 教学重点：任意角的三角函数的定义，正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的掌握。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室的布置，找出角的度量单位，引出角的概念。
2. 任意角的三角函数的定义：通过多媒体展示正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，让学生理解并掌握它们的定义。
4. 例题讲解：出示例题，让学生独立解答，然后讲解答案，讲解过程中强调解题思路和方法。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，让学生独立完成，然后批改并讲解答案。
8. 布置作业：布置相关的作业题目，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 任意角的三角函数的定义2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质七、作业设计1. 题目：已知一个角的度数为30°，求它的正弦值、余弦值和正切值。
答案：正弦值：1/2余弦值：√3/2正切值：√3/32. 题目：画出角α的正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。
答案：见附图。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课的教学过程中，学生对任意角的三角函数的定义掌握较好，但在正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质的理解上还有待加强。
2. 拓展延伸：让学生研究任意角的三角函数在实际问题中的应用，如测量大树的高度、计算物体在斜面上的速度等。
重点和难点解析一、任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义是本节课的核心内容，学生需要理解并掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案任意角的三角函数教案1一、教学目标1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的.定义。
2、经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程、领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验。
3、培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观。
4、培养学生求真务实、实事求是的科学态度。
二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法。
难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数。
关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化)。
三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。
四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域、现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域。
《任意角的三角函数》教学设计
《随意角的三角函数（第一课时）》教课方案随意角的三角函数（1）一、教课内容剖析：高一年《一般高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版 A 版）1.2.1 随意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主假如从通过问题指引学生自主研究随意角的三角函数的生成过程，进而很好理解随意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描绘周期现象的重要数学模型，在数学和其余领域中拥有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解随意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
在本模块中，学生将经过实例学习三角函数及其基天性质，领会三角函数在解决拥有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习状况剖析我们的讲堂教课常用“高起点、大容量、快推动”的做法，忽视了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以频频的训练，无形增添了学生的负担，消灭了学生学习的兴趣。
我们固然故意地去改变教课的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变为了幻影，失掉新课程自然与纯洁之味。
所以如何进行《一般高中数学课程标准(实验 )》(以下简称课程标准 )的教课设计就很值得思虑研究。
如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁徙到学习随意角的三角函数的定义中？《一般高中数学课程标准 (实验 )解读》中在三角函数的教课中，教师应当关注以下两点：第一、依据学生的生活经验，创建丰富的情境，比如单一弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波涛、潮汐、四时变化等实例，使学生感觉周期现象的宽泛存在，认识周期现象的变化规律，领会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。
第二、着重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描绘周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实质问题，这也是《课程标准》在三角函内容办理上的一个突出特色。
依据《课程标准》的指导思想，随意角的三角函数的教课应当帮助学生解决好两个问题：其一：能从实质问题中辨别并成立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解随意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
任意角的三角函数情景引入
【情景1】复习引入、回想再认。
我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调
【设计意图】
学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展）. 温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少。
【情景2】引伸铺垫、创设情景。
我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导。
能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.
设计意图：从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程.
教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！
师生共做（学生口述，教师板书图形和比值）：
把锐角α安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠MOP=α（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），α的临边OM =x、对边MP=y，斜边长|OP∣=r.
根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：
【设计意图】
此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数. 初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识,能够形成迁移能力,为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.。
【情景3】思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变？显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数。
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数。
先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识。
探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化。
【探究新知】
1．探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆。
2．思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点p(x,y) ,那么： (1)r
y 叫做α的正弦,记做αsin ,即r y =αsin ； （2）r x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos r
x =α；（其中22y x r +=）
（3）x y 叫做α的正切,记做tan α,即tan x y =α； 【注意】当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
【设计意图】
初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键. 这样做能够使学生有效地增强函数观念。
【情景4】、函数概念的三要素是什么？
函数三要素：对应法则、定义域、值域.
正弦函数sin α的对应法则是什么？
正弦函数sin α的对应法则，实质上就是sin α的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值y/r 与之对应，即α→ y/r= sin α.
2、布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表： 三角函数 sin α cos α tan α
定义域
【引导学生自主探索】
如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围.
关于sin α=y/r 、cos α=x/r ，对于任意角α（弧度数），r ＞0，y/r 、x/r 恒有意义，定义域都是实数集R 。
对于tan α=y/x ，α= k π+π/2 时x=0，y/x 无意义，tan α的定义域是：{α|α∈R ，且α≠k π+π/2 }。
教师指出：sin α、cos α、tan α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟。
【设计意图】
定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域. 指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握.
【情景5】符号判断、形象识记
能判断三角函数值的正、负吗？试试看！
引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r ＞0,三角函数值的符号决定于x 、y 值的正负，根
据终边所在位置总结出形象的识记口诀：sinα= y/r：上正下负横为0 cosα=x/r：左负右正纵为0
tanα=y/x：交叉正负
【设计意图】
判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键.。