小波分析的发展历程
小波变换发展史
小波变换发展史传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
1.从傅立叶分析到小波分析1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立分析。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反映了“整个”时间范围内信号的“全部”频谱成分，是研究信号的周期现象不可缺少的工具。
建立在傅立叶分析基础上的采样定理和FFT技术奠定了现代数字化技术的理论基础。
尽管傅立叶变换具有很强的频域局域化能力，但是它明显的缺点，那就是无法反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。
为了研究信号在局部时间范围内的频谱特征，1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT），但是STFT的窗口宽度是固定的（和频率无关），这使得它无法同时兼顾信号的低频和高频特征，在分析时变信号时也有一定的局限性。
另外，STFT的窗口函数或核函数不能提供一组离散正交基，所以给数值计算带来了不便，这也是导致STFT 没有得到广泛应用的重要原因。
从傅立叶分析演变而来的小波分析的优点恰恰可以弥补傅立叶变换中存在的不足之处。
小波分析简述第五章
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“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
高频 “滤波系24 数
5、小波基与滤波器系数
有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的 小波基是对称的，有的是非对称的。 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定 滤波系数生成。 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数 直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这 是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简 化，是快速小波分解和重建的基础。
的。小波变换既看到了森林（信号概貌），又看 到了树木（信号细节），能精确地在时间-频率 （时间-尺度）平面内刻画非平稳信号的特征，被 誉为“数学显微镜”。小波变换是迄今为止最优 秀的非平稳信号处理方法。
小波基的形状、紧支性、衰减性、对称性、光滑
性及正交性的不同决定了小波的千差万别，在小
波变换时，基函数的选择非常关键,在信号分解时，
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11
CWT & DWT
CWT
1. Scale
At any scale
2. Translation At any point
3. Wavelet
Any wavelet that satisfies minimum criteria
4. Computation Large
5. Detection
第三阶段：全面应用时期。
从1992年开始，小波分析方法进入全面应用阶段。 MATLAB中，特意把小波分析作为其“ToolBox” 的单独一个工具箱。
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4
二、小波定义
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5
因为小波 (t)只有在原点附近才会存在明显的起伏，在
远离原点的地方函数值将迅速“衰减”为零，所以我 们 (t)称 为“小波”
小波分析
小波学习总结小波分析理论和方法是从傅立叶分析分析演变而来的。
傅立叶分析揭示了时域与频域之间内在的联系，反应了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分，是研究周期现象不可缺少的工具。
傅立叶变换虽然有很强的频域局域化能力，但并不具有时间局域化能力，而后一点，对于很多信号处理工作而言，特别是对于涉及非平稳信号处理的任务而言，是至关重要的。
小波变换以牺牲部分频域定位性能来取得时-频局部性的折衷，其不仅能提供较精确的时域定位，也能提供较精确的频域定位。
我们所面对的真实物理信号，更多的表现出非平稳的特性，而小波变换恰恰是处理非平稳信号的有力工具。
从Fourier变换到小波变换，目的是要找到一组时频局域化特性都良好的正交基，即小波基它的伸缩和平移将形成一系列灵活窗，最终满足时频分析要求。
由Fourier变换、STFT和小波分析的基函数及相应的时间-频率窗可知，Fourier分析的基函数在时域上具有全局性，没有任何时间分辨特性，但在频域上是完全局部化的；短时Fourier 变换的基函数对信号进行等带宽分解，时频带宽恒定；小波分析的基函数由小波基伸缩而成，其时频窗宽度随信号自适应变化，高频时窗自动变窄，低频时窗自动变宽。
小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号，例如图像信号。
其核心就是对图像对应的像素值或者叫做图像位置的系数进行均值和差值的操作计算，产生新的由像素值的平均值和细节系数表示的图像，进一步去除一些微不足道的细节系数，从而提高小波图像的编码效率，达到取得较好的图像压缩率的目的。
小波分析中常用的三个基本概念是：连续小波变换、离散小波变换和小波重构。
（1）连续小波变换傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因此正弦波是傅立叶变换的基函数。
同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。
可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换的正弦波。
小波分析发展历史
“小波分析” 是分析原始信号各种 变化的特性，进一步用于数据压缩、噪 声去除、特征选择等。 例如歌唱信号：是高音还是低音， 发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳 的波形发现突变的尖峰。小波分析是利 用多种 “小波基函数” 对 “原始信号 ” 进行分解。
小波的时间和频率特性
时间A
时间B
运用小波基，可以提取信号中的“指定时间” 运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。 指定频率” 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾 名思义，小波在某时间发生的小的波动。 频率：提取信号中时间A 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而 提取信号中时间B 提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。
母小波的例子：
Harr小波： Harr小波：
1, 0 ≤ t ≤ 1/2 ψ(t) = - 1, 1/2 < t < 1 0, others 0,
母小波的例子：
Mexico草帽小波： Mexico草帽小波：
2 −1 / 4 2 -t 2 / 2 ψ(t) = π (1 - t ) e 3
连续小波变换：
− “恒Q性质”： “恒Q
的中心为ω 假设ψ t)的中心为t 有效宽度为D 假设ψ(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； Ψ(ω)的中心为ω0，有 效宽度为D 效宽度为Dω；则ψa,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2, (t)提取的是f(t)在窗口[ b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说Ψa,b(ω)提取地是 /2]|中的性质，相应地从频域上说Ψ F(ω)在窗口[ω0/a-Dω/(2a), ω0/a+Dω/(2a)]中的性质，因此对于 在窗口[ /(2a)] 小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为D 小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为DtDω。
小波分析全章节讲解
窗函数的中心和宽度，分别表征窗函数 的位置和集中程度的度量信息。
（三）窗口傅里叶变换的基本思想
1946年，Gabor提出了窗口傅里叶: 变换在传统的傅里叶分析之前，对信号 进行了加窗处理。这里的窗函数 g ( t ) 的 选择有些特殊：首先，它时实对称函数 ；其次，它在某个小区间内衰减很小， 而在区间外迅速衰减为 0。
Gabor在最初的处理中采用的时 Gauss窗 g(t) e 14 t22作为基本窗函 数，通过在时间轴上平移得到一组窗 函数 {g(t b)} 。
3.卷积 卷积特性分为时域卷积和频域 卷积，即
f1(t)*f2(t) F F 1()F 2()
f1(t)f2(t) F 21 F 1()F2()
4.Parseval定理（内积定理）
它表明两个信号在时域和频域中的 内积之间的关系，即
f1(t)f2 *(t)d t2 1 F 1()F 2 *()d
但是现实世界中的很多信号，例如，脑电波信号、地震信号 、语音信号等，都是非平稳的。这些信号的频率是时变的。 对于这种信号的准确描述，必须使用具有局部 性能的时域和频域的二维 ( t , )联合表示， 或者说必须提取特定时间段和频率段内的信号 特性。这时，传统的傅里叶分析就显得无能为力了。 傅里叶变换所描述的是整个时间段内频率 的特性，或者说它是一种全局的变换而没有 刻画出特定时间段或频率段的特性。
• 小波理论是建立在傅里叶分析和 泛函分析基础之上的视频分析工 具之一。
• 小波变换是对傅里叶变换与短时 傅里叶变换的发展，为信号分析、 图像处理、量子物理及其他非线 性科学的研究域带来革命的影响。
二、傅里叶分析(连续)
1、傅里叶变换
（1）傅里叶（FT）定义
F （）=f(t)ejtdt （1.1）
小波分析
非平稳信号的处理方法1、小波分析的诞生与发展1981年，法国的地质物理学家J.Morlet在寻求地质数据时，通过对傅里叶变换与短时傅里叶变换的异同、特点及函数构造进行了创造性的研究，首次提出了“小波分析”概念，建立了以他的名字命名的Morlet小波并在地质数据处理中取得巨大成功。
在此后，物理学家罗杰﹒巴里安、理论物理学家格罗斯曼、数学家梅耶先后对Morlet小波分析方法进行系统性的研究，为小波分析科学的诞生和发展作出了重要的贡献。
小波分析是近20多年来迅速发展起来的一门新兴科学，是Fourier分析划时代的发展成果，是目前国际上公认的最新时间频率分析工具，是架在各尺度之间的桥梁。
2、传统信号处理存在的问题在通信及计算机过程控制系统中，对信号进行实时采样是很重要的环节。
但由于信号在激励、传输和检测过程中，可能不同程度地受到随机噪声的污染，特别在小信号采集和测量中，噪声干扰显得尤其严重。
因此，如何消除实际信号中的噪声，从混有噪声的信号中提取有用信息一直是信息学科研究的焦点之一。
傅里叶变换是一种经典方法，适用于诸多场合。
但由于傅里叶变换是一种全局变换，无法表述信号的时域局部性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。
为了更有效地处理非平稳信号，人们提出了小波变换这种新的信号分析理论。
小波变换是一种信号的时频分析，它具有多分辨率的特点，可以方便地从混有强噪声的信号中提取原始信号，被誉为分析信号的显微镜。
本文主要讨论应用小波变换实现了信号的噪声消除，从混有噪声的实际信号中提取了原始信号，具有非常实用的意义。
3、小波分析的原理小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频局部信号，它都能自动调节时频窗，以适应实际分析的需要，具有很强的灵活性，能聚焦到信号时段和频段的细节，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，被誉为时频分析的显微镜。
4、小波去噪的特点在实际应用中，由于各种复杂的现场原因，我们接收到的信号总是夹杂着噪声，大大降低了信号的有效性，甚至会使它们失效，因此去噪是信号处理中一个尤为重要的问题。
小波分析小结
小波分析小结小波分析的形成小波分析是一门数学分支，是继Fourier 变换之后新的时频域分析工具。
小波理论的形成经历了三个发展阶段：Fourier 变换阶段：Fourier 变换是将信号在整个时间轴上进行积分，它将信号的时域特征和频域特征联系起来，分别进行分析。
设信号()f t ，其Fourier 变换为：()()i tF f t e dt ωω∞--∞=⎰()F ω确定了()f t 在整个时间域上的频谱特性。
但Fourier 变换不能对信号从时域和频域结合起来分析，它是一种全局变换，在时间域上没有任何分辨率。
例：()1,(22)f t t =-<=<=，其Fourier 变换对应图如下：短时Fourier 变换阶段：短时Fourier 变换即加窗Fourier 变换，其思想是把信号分成许多小的时间间隔，用Fourier 分析每个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，达到时频局部化目的。
其表达式为：(,)(),()()()j t j t f RG f t g t e f t g t e dtωωωτττ-=〈-〉=-⎰式中，()g t 为时限函数，即窗口函数，j te ω-起频限作用，(,)fGωτ大致反映了()f t 在τ时、频率为ω的信号成分含量。
由上式，短时Fourier 变换能实现一定程度上的时频局部化，但窗口函数确定时，窗口大小和形状固定，所得时频分辨率单一。
小波分析阶段：为了克服上述缺点，小波变换应运而生。
小波变换在研究信号的低频成分时其窗函数在时间窗长度上增加，即在频率宽上减小；在研究信号的高频成分时其窗函数在时间窗长度上减小，而在频率宽上增加。
对信号可以进行概貌和细节上的分析。
小波的定义：设2()()t L R ψ∈ （为能量有限的空间信号），其Fourier 变换为µ()ψω，若满足容许条件：·2|()|||d ψωωω∞-∞<+∞⎰则称()t ψ为母小波，由容许条件可得：µ(0)()0t dt ψψ∞-∞==⎰，说明()t ψ具有波动性，在有限区间外恒为0或快速趋近于0.以Marr 小波222())2tt t e ψπ-=-为例，如下图：将母小波进行伸缩平移所得小波系列称为子小波，定义式如下:,()(),0b a t b t a a aψψ-=>其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。
小波分析考试题及答案
一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。
这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。
这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。
在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。
如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。
这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。
为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。
其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。
短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。
但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。
小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。
小波理论的新进展和发展趋势
小波理论的新进展和发展趋势计研111 李宏涛1、引言传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。
小波理论是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
小波理论的新进展和发展趋势
小波理论的新进展和发展趋势计研111 李宏涛1、引言传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。
小波理论是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
小波变换的发展简史
从时频分析方法发展的角度出发（对比每种方法的优缺点），简述了小波变换的发展历史。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet 在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。
与Fourier 变换、窗口Fourier 变换相比，它是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，势必取代傅立叶分析的位置。
1．小波分析的3个特点：• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。
有利于分析确定时间发生的现象。
（傅里叶变换只具有频率分析的性质）• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）• 小波变换比快速Fourier 变换还要快一个数量级。
信号长度为M 时， Fourier 变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：M O M M O w f ==,log 2 小波基表示发生的时间和频率：4.信号的时频分析：• 信号时频分析的重要性：- 时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
- 信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
• 信号时频分析的主要方法：t d e (t)f )(F -t j -⎰+∞∞=ωω傅里叶变换（Fourier ）基小波基时间采样基ωωπωd e )(F 21(t)f -t j ⎰+∞∞= 3. 傅里叶变换（一）傅里叶变换伟大贡献及其局限性：傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。
小波分析的发展历程
小波分析的发展历程一、小波分析1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
（1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。
（2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。
（3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
小波分析PPT课件
一首数学史诗
• 多年的政治生涯及颠簸不定的生活，并没有使他放弃研究数学的强 烈兴趣．事实上，早在1807年他就研究了现在称之为Fourier分析的核 心内容．
• 1822年，正式出版推动世界科学研究进展的巨著——《热的解析理 论》(The Analytic Theory of Heat)．由于这一理论成功地求解了困扰 科学家150年之久的牛顿二体问题微分方程，因此Fourier分析成为几 乎每个研究领域科学工作者乐于使用的数学工具，尤其是理论科学家。
• 目前，Fourier的思想和方法被广泛用于线性规划、大地测量以及电 话、收音机、x射线等难以计数的科学仪器中，是基础科学和应用科 学研究开发的系统平台。所以物理学家Maxwell称赞Fourier 分析是一 首伟大的数学史诗。
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Fourier分析的核心内容
①用数学语言提出任何一个周期函数都能表示为一组正弦函数和余 弦函数之和。这一无限和现称之为Fourier级数。也就是说，任 何一条周期曲线，无论多么跳跃或不规则，都能表示成一组光滑 的曲线之和，见图。
实际上是将信 号投影在由正 弦和余弦函数 组成的正交基 上，对其实施 Fourier变换。
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Fourier分析的核心内容
②他解释了为什么这一数学论断是有用的。1807年，他显示任何周 期函数(最下图形)是由正弦和余弦函数叠加而成。 Fourier分析 从本质上改变了数学家对函数的看法．他提供了某些微分方程的 直接求解方法，为计算机和CD等数字技术的实现铺平了道路。
但FFT 的本质还是Fourier变换。
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Fourier变换的缺点
① Fourier分析对非线性问题感到力不从心。
因为非线性系统具有高度不可预测性，输入端微小的 变化会对输出端产生重大影响。例如牛顿定律方程是非线 性的，若用它来预测空间三个物体之间较长时间的行为是 十分困难的，甚至是不可能的，原因是该系统高度不稳定。 正如著名科学家Korner指出：“19世纪的伟大发现是证 明自然方程是线性的，20世纪的伟大发现是证明自然方程 是非线性的。” ② Fourier变换公式没有反映出随时间变化的频率。实际
小波分析结课作业——小波理论发展及应用综述
摘要摘要小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的应用。
研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。
本文在简述了小波发展历史和小波的基本理论知识后，对以小波为工具进行数字图像处理进行了有益的探索。
最后详细介绍了基于阈值的小波分析的图像去噪算法及其在信号处理中的应用。
关键字：小波分析研究现状应用图像去噪阈值ABSTRACTABSTRACTWavelet analysis is a rapidly developing and novel subject. Nowadays，it has been widely used in practical applications. To study the new theory，methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical value.After a brief description of the history of wavelet development and the basic theoretical knowledge of wavelet，this paper makes valid probe towards digital image processing using wavelet. Finally，this paper analysis and study of the classical thresholding denoising methods and the new scopes of wavelet applications.key word: Wavelet Analysis , Research Status , Application , Signal Denoising, Thresholding目录i目录第一章绪论 (1)1.1小波发展简史 (1)1.2 小波变换及应用 (1)1.3 论文的主要工作 (3)第二章小波及小波分析的理论基础 (5)2.1 小波分析 (5)2.2 正交小波 (6)第三章小波分析的应用 (9)3.1 小波分析的应用现状 (9)3.2 小波阈值去噪研究 (11)3.2.1 小波去噪算法的研究概况 (11)3.2.2 小波阈值去噪的算法原理 (12)3.2.3 小波去噪的应用及发展 (13)第四章总结和展望 (15)致谢 (17)参考文献 (19)ii目录第一章绪论1第一章绪论1.1小波发展简史小波分析是时频发展的新理论，是80年代后期发展起来的。
小波与小波分析初步4
1 da 1 ˆ ˆ (a) ˆ (a ) exp{ib( )}dbdd ˆ ( ) f () g 2 | a | 2
1 2
是Fourier逆变换 da ˆ ( ) g ˆ (a ) ˆ (a ) ( )dd ˆ ( ) f | a |
2012-2-23 Wavelets analysis 3
Haar 小波
• Haar小波 Haar小波函数定义为 1 ， 0 t 1 2 h(t ) 1 ， 1 t 1 2 0 ， 其它 • h(t) 的Fourier变换
ˆ( ) exp( i t )h(t )dt exp( i t )dt exp( i t )dt h
引入小波函数ψ(t) 的平移与伸缩构成函数族 1 b a ,b (t ) | a | 2 ( t ), a, b R, a 0, || a,b |||| || a 其中a 为尺度参数，b 为位移参数。
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连续小波变换
• 小波变换是对Fourier变换、Gabor变换的进 一步伸延。 2 f L ( R) ，称 • 连续小波变换 设
1 2
ˆ, g ˆ C f , g f
这就证明了第一式。 如果f 在 t R 连续，取 g ga gt 则由Gauss函数卷积结论，得 lim f , g lim ( f g )(t ) f (t )
而
0 0
0
lim g , a,b lim a ,b , g
W ( f )(a, b) f , a,b
1 2 F
1
ˆ , ˆ a,b f
小波分析
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0.1 小波分析的起源
1986年，Meyer在证明不可能存在时频域都具有一定 正则性的正交小波基时，却意外发现了具有一定衰减性的 光滑性函数 ，使 的伸缩、平移系列构成L2(R)的规范正 交基，从而证明了确实存在小波正交系。后来Lemarie和 Battle又分别独立地构造了具有指数衰减纳小波函数。 1987年，Mallat将计算机视觉领域内的多尺度分析思 想引入到小波分析中，提出多分辨率分析概念，统一了在 此之前的所有具体正交小波基的构造，并且提出相应的分 解与重构快速算法。
Fourier分析将待研究的内容从一个空间变换到另一个 空间研究的思想和方法是彻底重大的创新，随着后来量 子力学的发现，Fourier分析理所当然成为描述和求解自 然科学的语言。
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Fourier变换
Fourier分析理论是十分完善的，但实现尤其是数值实现并非 易事。 Shannon提出的采样定理打开了数字技术研究的大门，于 是离散Fourier变换(DFT)成为计算机实现Fourier变换的第一种形 式。 DFT的计算量为O(N2)，当N很大时，O(N2)是计算机无法接 受的。 1965年，美国两位工程师提出了O(NlgN)计算量的快速 Fourier变换(FFT)。 正是有了FFT ， Fourier分析才真正成为人 们认识自然、改造自然的流行工具。 但FFT 的本质还是Fourier变换。
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0.Fourier分析发展简史
法国革命暴发，Fourier于1793年参加Auxerre革命委员会， 1795年先后两次被捕。 革命结束后，他到巴黎教书，后随拿破仑到埃及并成为埃及研 究院的长久负责人。在那里写了一本关于埃及的书。直到今天，仍 然有人认为他是一位埃及学家，并不知道他对数学和物理学的重大 贡献。 1802年，回到法国，拿破仑任命他为巴黎警察局长达14年之久。 他工作十分出色，在政界享有祟高威望。 1817年，进入法国科学院，从此步入正规的学术研究阶段。
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小波分析的发展历程一、小波分析1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
（1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。
（2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。
（3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
它标志着第一代小波的开始？（1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。
（2）优点：Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。
它是小波分析从纯理论走向实际应用。
（3）缺点：以傅立叶变换为基础，直接在时（空）域中设计滤波器比较困难，并且计算量大。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
1992年，Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。
1992年3月，国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊，全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展，从此小波分析开始进入了全面应用阶段。
1992年，Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。
1992年，Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。
（1）操作过程：利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。
（2）优点：具有正交小波无法同时满足的对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。
1992年，Coifman和Wickerhauser提出了小波包（Wavelet Packet，WP）分析。
（1）操作过程：不仅对低通子带进行分解，而且也对高通分量分解，从而聚焦到感兴趣的任意频段。
（2）优点：突破了小波分析对信号频带进行等Q划分的局限性。
（3）缺点：最优基的搜索问题1992年，Zou等提出了多带小波（M-band Wavelet）理论，将人们对小波变换的研究从“二带”推广到“多带”情况。
基于“二带”小波变换的多分辨率分析中，尺度函数对应一个低通滤波器，而小波函数对应一个高通滤波器。
“二带”小波变换把信号分解成不同的通道，而这些通道的带宽相对于尺度函数的对数是相同的，因此高频通道具有较宽的带宽，而低频通道具有较窄的带宽。
1993年，Goodman等基于r阶多尺度函数及多分辨率分析建立了多小波（Multi-Wavelet）理论框架。
（1）操作过程：将单小波中由多个尺度函数生成的多分辨率空间扩展为由多个尺度函数生成，以此获得更大的自由度。
（2）优点：1994年，Geronimo等提出了多小波变换（Multi-Wavelet Transform，MWT），将单尺度小波变换推广到多尺度小波变换。
（1）操作过程：小波函数的构造是由多个尺度函数完成的。
（2）优点：与二带小波、小波包、多带小波等单尺度小波相比，多小波在非常窄的紧支范围内同时具有光滑性、正交性、对称性、利普希茨Lipschitz连续性（消失矩）等特性。
——发展中1991年，Alpert用多项式构造了第一个多小波。
Geronimo等利用分形插值函数构造了正交、对称、紧支撑、逼近阶位2的GHM多小波。
1995年，Sweldens等提出了一种新的小波构造算法——提升方案（Lifting Scheme）。
它标志着第二代小波的开始。
（1）操作过程：先将原始离散样本信号进行奇偶剖分，然后对奇偶样本点进行滤波处理。
（2）优点：所有的第一代小波都可以用提升方案构造出来。
具有运算速度快、对内存需求量小、能实现整-整变换等特点。
（3）缺点：对于边缘、轮廓和纹理等具有高维奇异性的几何特征，小波不是表示图像的最优基。
小波变换的局限性：1）二维小波变换只有2.5个方向选择性。
小波是表示具有点奇异性目标函数的最优基（能有效表示信号的零维奇异特征，反映奇异点的位置和特性），但是难以表示更高维的几何特征。
2）二维小波变换的基函数都是各向同性的。
二、超小波分析(X-let，或多尺度几何分析)1、自适应多尺度几何分析——指图像变换的基函数随图像内容变化而变化1997年，Meyer和Coifman提出了Brushlet变换，即一种自适应频带分割方法。
（1）操作过程：（2）优点：非常适合描述周期纹理图像。
（3）缺点：对于分片光滑图像的边缘不能提供稀疏表示。
1999年，美国学者Donoho提出了楔波（Wedgelet）变换。
（1）操作过程：Wedgelet是定义在正方形区域上的分片二值函数，该区域被一条直线分成两个楔块，直线的方向可以根据边缘的方向调节，用一系列不同尺寸不同方向的Wedgelet可以逼近图像的边缘轮廓。
（2）优点：使用多尺度Wedgelet对图像轮廓进行分段线性近似，能较好地捕捉图像中的“线”和“面”的特征。
（3）缺点：没有基于临界采样的滤波器组（临界采样对于压缩是很方便的）。
1999年，美国斯坦福大学的David L. Donoho教授提出了小线（Beamlets）变换。
（1）操作过程：以各种方向、尺度和位置信息的小线段为基本单元建立小线库，沿小线库中的小线段对目标图像进行线积分产生小线变换系数，以小线金字塔方式组织变换系数，再以小线图结构为驱动从小线金字塔中提取小线变换系数，从而实现多尺度分析。
（2）优点：对于处理强噪背景的图像有无可比拟的优势。
（3）缺点：小线库（字典）、小线金字塔扫描等小线变换的前期准备工作过于庞大，需要简化以利于研究。
2000年，法国学者Pennec和Mallat提出了第一代Bandelet变换。
（1）操作过程：根据图像内容将图像分割成大小不一的矩形块，变化剧烈的区域用多一些的小矩形块分割，而变化缓慢的区域用少一些的大矩形块分割。
对每一个矩形块应用和边缘同向的几何流对其进行描述。
把分割方式和几何流模型作为参数，去优化一个给定的目标函数，从而得到该图像的最优表示。
（2）优点：能够自适应地跟踪图像的几何正则方向，适合图像压缩应用。
能够对图像的不同变化区域给以不同的处理，并抛弃“边缘”这一不易于从数学上界定的概念，转而采用“几何流”这样一个反映图像连续区域变化的概念。
（3）缺点：没有基于临界采样的滤波器组。
2001年，Cohen和Matei提出了边缘自适应多尺度变换（Edge-Adapted Multiscale Transform）。
（1）操作过程：基于边缘方向检测的非线性多尺度变换。
（2）优点：用于图像压缩，重构图像边缘处的视觉效果明显优于小波变换。
2003年，Wakin等提出了Wedgeprint的图像稀疏表示方法。
（1）操作过程：利用Wedgelet字典（Wedgelet Dictionary）来描述图像边缘产生的小波系数。
（2）优点：能够得到比小波和Wedgelet更为稀疏的图像表示方法。
2005年，Peyre和Mallat提出了第二代Bandelet变换。
（1）操作过程：普通的二维小波变换+几何正交投影。
（2）优点：不需要计算几何流，算法更加简洁快速。
2005年，Velisavljevic等基于整数格点理论提出了一种可分离多方向多尺度图像表示方法——Directionlets。
（1）操作过程：利用拉格朗日优化算法对图像进行最优分块操作，每块图像采用不同方向的Directionlets来表示。
（2）优点：各向异性基函数Directionlets在沿着任何两个有着合理斜率的方向上都有方向消失矩（DVM）。
2、非自适应多尺度几何分析——指图像变换的基函数与图像内容无关1998年，Candès和Donoho提出了连续脊波（Ridgelet）变换。
（1）操作过程：利用Radon变换将一维奇异特征（线奇异）映射为零维奇异特征（点奇异），然后再进行小波变换。
（2）优点：Ridgelet变换是表示具有线奇异性的多变量函数的最优基。
（3）缺点：对于图像曲线边缘的描述，其逼近性能只相当于小波变换。
1998年，Donoho提出了正交Ridgelet变换的构造方法。
1999年，C andès提出的单尺度Ridgelet变换实现了含曲线奇异的多变量函数的构造方法。
2000年，Do和Vetterli提出了一种离散Ridgelet变换。
1999年，Candès和Donoho在Ridgelet变换的基础上提出了连续曲波（Curvelet）变换——第一代Curvelet变换中的Curvelet99。
操作过程：子带滤波+多尺度局部Ridgelet变换。