数学 平方差公式

(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98 =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996； （2）(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
当堂练习
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ A ）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1
D．4x2+1
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那 么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面 积，差是___1_0____．
解：李大妈吃亏了．
理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16， ∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了．
课堂小结
两个数的和与这两个数的差的
内
容
积，等于这两个数的平方差
平方差 公式
注
1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这
意
一特征，在应用时，只有两 个二项式的积才有可能应用
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差 公式的结构特征.（重点）
2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题. （难点）
导入新课
复习引入 多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？ 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差
例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y －x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
例4：先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋ x3，其中x＝2.
(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
计算： 20152 － 2014×2016. 解： 20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152－ （20152－12 )
= 20152 － 20152+12 =1
通过合理变形，利 用平方差公式，可 以简化运算.
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
典型例题 计算: (1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
解: (1) 原式=（50＋1）(50－1) = 502-12 =2500 – 1 =2499；
平方差公式；对于不能直接
应用公式的，可能要经过变
形才可以应用
拓展提升 8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋ x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝ (1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn) ＝__1_－__x_n_+1_；(n为正整数)
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2-_a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2-_b_2____. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2-_b_2___. (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2-_a_2___.
典例精析
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).
解：（1）原式=(3x)2－22 =9x2－4；
(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2 ＝x2 - 4y2.
方法总结：
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)
左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一 项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项 的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是 具体数，也可以是单项式或多项式．
对于不是这种格式的可以 适当变形，例如提出负号 相反为b，-b 或加括号 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
4.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)；
原式=(a)2－(3b)2
原式=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32 =4a2－9；
（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
原式=(-2x2 )2－
y2 =4x4－y2.
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6.利用平方差公式计算:
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
(3)通过以上规律请你进行下面的探索： ①(a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2__； ②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝_a_3_－__b_3__； ③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
（x ＋ 3)( x＋5） =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
讲授新课
一 平方差公式
探究发现
面积变了吗？ 没有
a米
5米
(a-5) a米
5米
相等吗？ 相等
算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）.
(2)根据你的猜想计算： ①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝___-6_3____； ②2＋22＋23＋…＋2n＝_2_n＋__1－__2__(n为正整数)； ③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝_x_1_00_－__1__；
备用复习题
例4 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－ (3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
针对训练 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)． 解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
例2 计算: (1) 102×98;
解：原式＝9n2－1－(9－n2) ＝10n2－10.
∵(10n2－10)÷10=n2-1. n为正整数，
∴n2-1为整数 即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．
方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数 问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结 果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
知识要点 平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式 相同为a
相同项的平方减去相反项的平方 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1.
将x＝2代入上式， 原式=2×22-1=7.
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给 了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把 这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租 给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你 认为李大妈吃亏了吗？为什么？