2013年高考理科数学全国卷1有答案

2013年高考数学理科全国卷1及答案

盐津二中卓余网2013年普通高等学校招生全国统一考试（1卷）数学（理科）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()P AB P A P B24SR如果事件相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么343VR 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p kn …第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

盐津二中卓余网一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（）A 、42B 、35C 、28D 、212、复数2(1)2i i-=（）A 、1B 、1-C 、iD 、i - 3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是（）A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0 4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（） ABCD5、函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（）盐津二中卓余网6、下列命题正确的是（）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b = 8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与标准答案解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷Ｉ）一、选择题:本大题共1２小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A =｛x |x 2－２x ＞0},B ={x |-5＜x <5}，则（ ). A ．A ∩Ｂ= B.A ∪B ＝R C ．B ⊆A D.A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－４i)z ＝｜４＋3i ｜,则z 的虚部为（ ). A ．－4 B.45-C ．４Ｄ.45 3.(2０13课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ).A ．简单随机抽样 B.按性别分层抽样Ｃ．按学段分层抽样 D.系统抽样４.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线Ｃ:2222=1x y a b-(a >0,b ＞０)的离心率为52,则C 的渐近线方程为( ).A.y ＝14x ±B ．y=13x ±C ．y ＝12x± D.y=±x5.(20１3课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈［－1,3]，则输出的s 属于( ).A.［-3,4]B.［－5，２]C.[－４,３]D ．[－2,５］6.(２013课标全国Ⅰ,理6）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 c ｍ,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为６ｃm ，如果不计容器的厚度,则球的体积为( )．Ａ．500π3ｃm3 Ｂ．866π3cm ３C ．1372π3ｃｍ3 Ｄ．2048π3cm37．(20１3课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{a n }的前ｎ项和为S n ,若S m －1=-2,S m =0，Sm＋1＝3,则m =( ).A.3 B ．４ C ．５ D.68．(2０13课标全国Ⅰ，理8）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ).A.16＋8πB ．8+8πC ．16+１6πＤ．8+16π９.(2013课标全国Ⅰ,理9）设m 为正整数，（x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(ｘ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为ｂ.若１3a =7b ，则m ＝( ).Ａ.5 B.6 Ｃ．7 D.8 10．（2013课标全国Ⅰ，理10）已知椭圆Ｅ:2222=1x y a b+(ａ＞ｂ>0)的右焦点为F (3，０），过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1),则E 的方程为( )．Ａ．22=14536x y + B.22=13627x y + C ．22=12718x y + D.22=1189x y +11．(２013课标全国Ⅰ,理1１)已知函数ｆ(x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是( ).A ．(-∞，0]B ．(-∞,1] Ｃ.[-2，１] D.［-2,0]12.（２０13课标全国Ⅰ，理12)设△A n Ｂn C ｎ的三边长分别为a n ，ｂn ，ｃｎ,△A n B ｎＣn 的面积为Ｓn ，n ＝１,2,3,…．若b 1＞c １，b 1+c 1＝2a 1,a n ＋1=a n ，ｂn +1＝2n n c a +,c ｎ＋1＝2n n b a +，则( ). A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列Ｃ.{Ｓ2n-1｝为递增数列，{S2n}为递减数列Ｄ．｛S2n-1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(1３)题～第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答．第(22)题～第（24)题为选考题,考生根据要求做答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分．1３．（２013课标全国Ⅰ，理13）已知两个单位向量ａ，ｂ的夹角为60°,c =ta ＋(１-t )ｂ.若ｂ·c ＝0,则t =_____＿__＿＿.1４.（2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{ａｎ｝的前n 项和2133n n S a =+,则{an}的通项公式是an ＝_＿___＿_.15.(2013课标全国Ⅰ，理15）设当x=θ时，函数f （x)=ｓin ｘ-2co ｓｘ取得最大值，则c ｏｓ θ＝___＿_＿＿＿＿_．16.(2013课标全国Ⅰ，理１6）若函数f(x)＝(１－ｘ2)（ｘ2＋ax ＋b)的图像关于直线ｘ＝-２对称,则f(x)的最大值为__＿＿___＿__.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(20１３课标全国Ⅰ，理17）(本小题满分12分)如图,在△ＡＢC 中,∠AB Ｃ＝9０°，AB，BC ＝１，P 为△ＡB Ｃ内一点,∠BPC ＝9０°.(1)若PB =12，求P Ａ； (２)若∠ＡPB ＝１50°，求ｔａn ∠PB Ａ.。

2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=其中x 为样本平均数球的面积公式24R S π=第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数ii++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．23 B ．21C ．3D ．1 2.已知R 是实数集，{}11,12+-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=x y y N x xM ，则=M C N R A ．)2,1(B ．[]2,0C .∅D ．[]2,13.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=24S S A ．5 B ．8 C ．8- D ．15 5.已知函数)62sin()(π-=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，则a的值是A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）7.已知平面上不共线的四点C B A O ,,,，若||,23BC AB OC OB OA -=等于A ．1B ．2C ．3D ．4 8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是A ．18B ．21C ．24D ．15 9.函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是 A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10 D ．),100(+∞ 10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为A ．22 B ． 223 C ．210 D ．211.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是A ．43 B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为A ．916 B ．59 C ．925 D ．516题图第13第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其在一个球面上，则该球的表面积为__________.15.地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为)4.11(lg 32-=E R ．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍． 16.给出下列命题： ①已知,,a b m都是正数，且bab a >++11，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1,1≤≤y x 且”是“2≤+y x ”的充要条件.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)第14题图三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量),2cos 2sin 3()2cos ,1(y xx b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，求函数)(B f 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知四棱锥BCDE A -，其中1====BE AC BC AB ，2=CD ，ABC CD 面⊥，BE∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；（Ⅱ）求证：面ACD ADE 面⊥；（III ）求四棱锥BCDE A -的体积.20.（本小题满分12分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方程26139134ˆ+=x y，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．AB CDEF已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.22.（本小题满分14分）实轴长为34的椭圆的中心在原点，其焦点1,2,F F 在x 轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A ,且12AF AF ⊥，△12AF F 的面积为3. （Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于C B ,,若AB AC 2=,求直线l 的斜率k .参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）B D B A D B B D BC C B二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．2 14.π31915. 2310 16. ①③三．解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵→a 与→b 共线∴yxx x 2cos 2cos2sin 31=+21)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分∴121)6sin()(=++=πx x f ，即21)6sin(=+πx …………………………………………4分211)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x…………………………………………6分（Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+由正弦定理得：CA C A C C A C ABC C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+∴21cos =A ，∴在ABC ∆中 ∠3π=A …………………………………………8分 21)6sin()(++=πB B f∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566πππ<+<B …………………………………………10分∴1)6sin(21≤+<πB ,23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]23,1( …………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………2分解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分(Ⅱ)13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………9分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AC 中点G,连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点∴FG ∥CD,且FG=21DC=1 ．∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等∴EF ∥BG ． ……………………………2分ABC BG ABC EF 面面⊂⊄,∴EF ∥面ABC ……………………………4分（Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BGABCDEF G∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴E F ⊥面ADC∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．43631232313114331=+=⨯⨯+⨯⨯=+=---ACD E ABC E BCDE A V V V ．………………………12分另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则BC AO ⊥，又⊥CD 平面ABC ,∴C CD BC AO CD =⊥ , , ∴⊥AO 平面BCDE ，∴AO 为BCDE A V -的高，43232331,2321)21(,23=⨯⨯=∴=⨯+==-BCDE A BCDE V S AO ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10种． …………………………………………3分所以321510)(==A P ．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是32． ………………………6分(Ⅱ) 当10=x 时，;2|1026219|,262192613910134ˆ<-=+⨯=y……………………………………9分当30=x 时，;2|1626379|,263792613930134ˆ<-=+⨯=y所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b ． …………………………………………2分 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ． …………………………………………4分解得：2,2-==b a∴122)(2+-=x x x f ． …………………………………………6分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立化简得22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立． …………………………………………8分设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ． …………………………………………10分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立． …………………………………………12分22．（本小题满分14分）解（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，12,AF m AF n ==由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+6344222mn n m c n m …………………………………………2分解得92=c ，∴39122=-=b ．∴椭圆的方程为131222=+y x …………………………………………4分 ∵3=⨯c y A ，∴1=A y ,代入椭圆的方程得22=A x ，将点A 坐标代入得抛物线方程为y x 82=． …………………………………………6分（2）设直线l 的方程为)22(1-=-x k y ，),(),,(2211y x C y x B2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)- 11 - / 11 由AB AC 2= 得)22(22212-=-x x ，化简得22221=-x x …………………………………………8分联立直线与抛物线的方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=-yx x k y 8)22(12，得0821682=-+-k kx x ∴k x 8221=+① …………………………………………10分联立直线与椭圆的方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)22(122y x x k y 得0821632)2168()41(2222=--+-++k k x k k x k ∴22241821622kk k x +-=+② …………………………………………12分 ∴2222418216)228(222221=++---=-kk k k x x 整理得：0)4121)(2416(2=+--k k k ∴42=k ，所以直线l 的斜率为42 ． …………………………………………14分。

2013年高考理科数学试题及答案(全国卷一)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）数学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么343V R p = 在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=…第一部分（选择题共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（）A 、42B 、35C 、28D 、212、复数2(1)2i i -=（）A 、1B 、1-C 、iD 、i -3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是（）A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于04、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（）ABCD5、函数1(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（）第 3 页共 16 页6、下列命题正确的是（）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b =成立的充分条件是（） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |＜x，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2. 14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=. 当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.而F(x1)＝2x1＋2－21故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，2013 全国新课标卷1理科数学第11页则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C ⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M ，解得k ＝当k y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x1,2＝47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|＝187.综上，|AB|＝|AB|＝187.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－21x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学第13页将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析

得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。
（21）【解析】（1）
例：瓶子里的水渐渐升高了。令得：
得：
六、看图写话
在上单调递增
红火——红红火火许多——许许多多来往——来来往往
9、区分以下形近字或音近字：得：的解析式为
三、词语。且单调递增区间为，单调递减区间为
金黄的秋天大大的公园绿色的小伞（2）得
（8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的
实轴长为
（A）（B）（C）4（D）8
（9）已知，函数在单调递减，则的取值范围
(A) (B) (C) (D)
（10）已知函数，则的图像大致为
（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为的直径，且，则此棱锥的体积为
（1）【解析】选
，，，共10个
（2）【解析】选
甲地由名教师和名学生：种
（3）【解析】选
，，的共轭复数为，的虚部为
（4）【解析】选
是底角为的等腰三角形
（5）【解析】选
，或
（6）【解析】选
（7）【解析】选
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
此几何体的体积为
（8）【解析】选
设交的准线于
（14）设满足约束条件则的取值范围为__________.
（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.

2013年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)数学(理科)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（1）已知集合{}022>-=x x x A ，{}55B <<-=x x ，则（A ）A B =ΦI （B ）A B =R U （C ）A B ⊆ （D ）B A ⊆（2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z（A ）4- （B ）54- （C ）4 （D ）54 （3）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单的随机抽样（B ）按性别分层抽样（C ）按学段分层抽样（D ）系统抽样（4）已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ） x y 21±= （D ）x y ±= （5）执行右面的程序框图，如果输入的[]31t ，-∈，则输出的s 属于（A ）[]43，- （B ）[]25，- （C ）[]34，- （D ）[]52，-（6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（A ）3cm 3500π （B ）3cm 3866π （C ）3cm 31372π （D ）3cm 32048π（7）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）8π16+（B ）8π8+（C ）π6116+（D ）16π8+（9）设m 为正整数，()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ，()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若b a 713=，则m ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。

2013年高考理科数学全国卷1(含详细答案)

数学试卷第1页（共48页）数学试卷第2页（共48页）数学试卷第3页（共48页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20{}|2A x x x =->,{|55}B x x <<=-,则( )A .AB =R B .A B =∅C .B A ⊆D .A B ⊆ 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为( )A .4-B .45-C .4D .453.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =±5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A .3866πcm 3 B .3500πcm 3 C .31372πcm 3D .32048πcm 37.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m =( )A .3B .4C .5D .68.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .810.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为( )A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 11.已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( )A .(,1]-∞B .(,0]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3,n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++=,12n nn b a c ++=,则( )A .{}n S 为递增数列B .{}n S 为递减数列C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________.14.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________.16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=,3AB =,1BC =,P 为ABC △内一点,90BPC ∠=.（Ⅰ）若12PB =,求PA ；（Ⅱ）若150APB ∠=,求tan PBA ∠.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共48页）数学试卷第5页（共48页）数学试卷第6页（共48页）18.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面11AA B B ,AB CB =,求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果3n =,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果4n =,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .21.（本小题满分12分）设函数2()f x x ax b =++,()e ()xg x cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a ,b ,c ,d 的值；（Ⅱ）若2x -≥时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.=|2A B x{A B=R，故选【提示】根据一元二次不等式的解法，求出集合，再根据的定义求出A B和A B．【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法【答案】D4i)34=+，故z的虚部等于i553/ 16故选A．=，解得1)1245 / 16故选A ．(2)(2+1)7!!!(+1)!m m m m m m =⨯，即13，再利用组合数的计算公式，解方程综上可知：[,0]2a∈-．（步骤4）67 / 16【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【答案】2t =【解析】∵(1)c ta t b =-＋，∴2(+1)||b t b ab t =-．（步骤又∵||||1a b ==，且a 与b 夹角为60，b c ⊥，∴0|cos6|||0+t a b =︒2【提示】由于0b c =，对式子(1)c ta t b =-＋两边与b 作数量积可得|cos6|||0+a b ︒【考点】平面向量的数量积．85)(22,--+)(25,-+5)单调递增，在5)2-+单调递增，在9 / 161OCOA O =，所以1OAC 平面两两相互垂直．为坐标原点，OA的方向为|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系则(1,0,BC=，11(1,BB AA==-，(0,3,AC=-设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩即可取,1(3,n=-10cos,5||||n ACn ACn AC=-〈〉=BB1C1C所成角的正弦值为51111得1AB AC⊥；（Ⅱ）易证OA，1OA，OC两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正向，||OA为单位长，建立坐标系，可得BC，1BB，AC的坐标，设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩，可解得,1(3,n=-,n AC〈〉，即为所求正弦值．1011 / 1622)()A B ，411161616⨯+1【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系．21.【答案】（Ⅰ）4a =2b =2c =2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+x g x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）13 / 16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的90，由勾股定理可得，故DG 60．30，所以CF ⊥BF ，故60．从而30．得到15 / 16【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。

2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)

2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )2013 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页．考试时间120 分钟．满分150 分．答题前，考生务必用0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ 卷答题卡和第Ⅱ 卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据x1 , x2 ,x n的标准差( x1x) 2(x2x) 2( x n x)2s n其中 x 为样本平均数球的面积公式S 4 R2第Ⅰ卷（选择题共 60 分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数12i（i是虚数单位）的虚部是1 iA ．31C．3 D ．1 B．222. 已知R是实数集，M x 21 , N y y x 1 1 ，则N C R M xA．(1,2)B．0,2 C.D．1,23.现有 10 个数，其平均数是 4 ，且这 10 个数的平方和是 200 ，那么这个数组的标准差是A．1B．2C．3D．44.设 S n为等比数列 { a n } 的前 n 项和， 8a2a50，则S4 S2A．5B．8C．8D． 155.已知函数 f ( x)sin(2x) ，若存在a(0,) ，使得 f (x a) f (x a) 恒成立，则 a6的值是A ．B ．3C ．4 D ．626. 已知 m 、 n 表示直线， , , 表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ 1） m,n , nm, 则（ 2） , m,n,则 nm（ 3） m , m , 则 ∥（ 4） m, n, mn,则A ．（ 1）、（2）B ．（3）、（ 4）C ．（2）、（ 3）D ．（2）、（ 4）7. 已知平面上不共线的四点O, A, B, C ，若 OA 3OB2OC,则| AB |等于|BC |A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48. 已知三角形ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为3，则这个三2角形的周长是A ． 18B ． 21C ． 24D ． 159. 函数 f ( x)lg x1的零点所在的区间是xA ． 0,1B ． 1,10C ． 10,100D ． (100, )10. 过直线 yx 上一点 P 引圆 x 2y 26x 7 0 的切线，则切线长的最小值为23210 D ． 2A ．B ．2C ．2211. 已知函数 f ( x)x 2 ax 2b . 若 a,b 都是区间 0,4 内的数，则使 f (1)0 成立的概率是3B ．13 5A ．4C ．D ．48812. 已知双曲线的标准方程为x 2 y 2 1 ，F 为其右焦点， A 1 , A 2 是实轴的两端点，设 P 为9 16双曲线上不同于A 1 , A 2 的任意一点，直线 A 1 P, A 2 P 与直线 xa 分别交于两点 M , N , 若FM FN0 , 则 a 的值为16B ．925 16A ．5C ．D ．995第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ 卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3．第Ⅱ 卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．开始13. 如图所示的程序框图输出的结果为__________.a2, i 1 否14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.i 10是1a1输出 aa111第14 题图i i1结束第13题图15. 地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为R 2(lg E 11.4)．2011 年 3 月 11日，日3本东海岸发生了9.0 级特大地震， 2008 年中国汶川的地震级别为8.0 级，那么 2011年地震的能量是 2008年地震能量的倍．16.给出下列命题：①已知都是正数，且a1a，则a b；1bb②已知 f ( x) 是 f ( x) 的导函数，若x R , f (x) 0 ，则 f (1) f (2)一定成立；③命题“x R ，使得x2 2 x 1 0 ”的否定是真命题；④“ x1, 且 y 1 ”是“ x y 2 ”的充要条件.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知向量 a(1, cos x ) 与 b ( 3 sin x cos x, y) 共线，且有函数 yf ( x) ．2 2 2（Ⅰ）若 f ( x) 1，求 cos(22x) 的值；3（Ⅱ）在ABC 中，角 A, B, C ,的对边分别是 a, b, c ，且满足 2a cosC c 2b ，求函数f ( B) 的取值范围 .18．（本小题满分 12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为n ，公差d 0,且3 5 1413 成等比数列．SS S50, a , a , a（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设b n 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列b n 的前 n 项和 T n .a n19.（本小题满分 12 分）已知四棱锥A BCDE ，其中AB BC AC，2，CD面ABC ，BE 1CD BE∥CD，F 为 AD的中点.D（Ⅰ）求证：EF ∥面 ABC ；（Ⅱ）求证：面ADE面ACD ；F（ III）求四棱锥 A BCDE 的体积.EC AB20. （本小题满分 12 分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x之间对应的一组数据：时间 x （秒）51015203040深度 y （微米）61010131617现确定的研究方案是：先从这 6 组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第 2 组和第 5 组数据，根据其它 4 组数据，求得y 关于x的线性回归方程 y?4 x 139，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326差均不超过 2 微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分 12 分）已知函数ax b1, f ( 1)) 的切线方程为x y 3 0 .f (x)2在点 (x1（Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式；（Ⅱ）设 g ( x) ln x ，求证： g (x) f ( x) 在 x [1, ) 上恒成立.22. （本小题满分14 分）实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点，其焦点F1,, F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为 y 轴，两曲线在第一象限内相交于点 A ,且AF1AF2，△ AF1 F2的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点 A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于B,C ,若 AC 2 AB ,求直线l的斜率k.yAF1 B o F2xC参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）BDBADBBDBC CB二．填空题（本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分．）313． 214.1915. 10216. ①③3三．解答题17．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵ a 与 b 共线1cos x∴xy 23 sin x cos2 2y3 sin x cosxcos 2x3sin x1(1 cos x) sin( x) 1 ⋯⋯⋯⋯ 3 分22 2226 2∴ f ( x)sin( x ) 1 1 ，即 sin(x) 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分62 2 cos(26 12x) cos2( x) 2cos 2 ( x) 1 2sin 2 ( x ) 1 33 3 62⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）已知2a cosC c2b由正弦定理得：2sin A cosC sin C2sin B 2 sin( A C )2sin A cosC sin C2sin A cosC2 cos Asin C∴ cosA1 ，∴在ABC 中 ∠ A231f (B)sin(B)26 25 ∵∠ A∴ 0 B ,B3 3 666∴1sin(B) 1, 1 f ( B) 32623∴函数f (B) 的取值范围为 (1, ]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分10 分12 分2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )18．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）依题意得3a132d5a1455022d⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分( a13d ) 2a1 ( a112d )解得 a13，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分d2a n a1，即2n 1． 6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( Ⅱ) bn3n1， bn a n3n1(2n 1) 3n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分a nT n353732(2n 1) 3n 13T n 3 3 5327 33(2n 1) 3n 1(2n 1) 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2T n 3 2 3 2 32 2 3n 1(2n1)3n32 3(13n 1 )( 2n 1)3n132n 3n∴ T n n 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）取AC 中点 G,连结 FG、 BG，∵F,G分别是 AD,AC的中点D1∴FG∥ CD,且 FG= DC=1 ．2∵ BE∥ CD ∴ FG 与 BE 平行且相等F∴ EF∥ BG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分EEF 面 ABC, BG面 ABC GC ∴ EF ∥面 ABC A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）∵△ ABC 为等边三角形∴ BG⊥ AC B 又∵ DC⊥面 ABC,BG面 ABC∴ DC⊥ BG2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )∴ BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线AC,DC，∴ BG⊥面 ADC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵EF∥ BG∴EF⊥面 ADC∵ EF面 ADE，∴面 ADE⊥面 ADC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（Ⅲ）连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和 E－ ADC ．V A BCDE V E ABC V E ACD131113333．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分34321264另法：取 BC 的中点为 O ，连结AO ，则 AO BC ，又 CD平面ABC ,∴CD AO, BC CD C , ∴AO平面，∴AO为V A BCDE的高，BCDEAO 3, S BCDE(12)1 3 ,V A BCDE1333．222322420．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）设 6 组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从 6组数据中选取 2 组数据共有15 种情况：（ 1,2 ）（ 1,3 ）（1,4 ）（ 1,5 ）（ 1,6 ）（ 2,3 ）（ 2,4 ）（ 2,5 ）（ 2,6 ）（ 3,4 ）（ 3,5 ）（ 3,6 ）（ 4,5）（ 4,6）（ 5,6），其中事件A包含的基本事件有10种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以P( A)102．所以选取的 2 组数据恰好不相邻的概率是2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分1533( Ⅱ )当 x10时， ?413921921910 |2;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分26261326当x30时， ?413937937916 |2;2626132612 分所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）将 x 1 代入切线方程得y2∴ f ( 1)b a2 ，化简得 b a 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分11f ( x)a( x21)(ax b) 2 x(1x 2 ) 22013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )f ( 1)2a2(b a)2b b1 ．442解得： a2, b2∴ f ( x)2x2x 2．12x2（Ⅱ）由已知得ln x在 [1,) 上恒成立x21化简得 ( x21) ln x2x2即 x2 ln x ln x 2 x20在 [1,) 上恒成立．设 h(x)x 2 ln x ln x 2x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分6分8分h (x)2xln x x 12x1∵ x 1∴ 2x ln x0,2，即 h ( x) 0 ．10 分x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x∴ h(x) 在 [1,) 上单调递增， h( x)h(1) 0∴ g(x) f (x) 在 x[1,) 上恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22．（本小题满分 14分）解（ 1）设椭圆方程为x2y21 (a b 0) ， AF1 m, AF2 n a2b2m 2n24c2由题意知m n 4 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分mn 6解得 c 29 ，∴ b 212 9 3 ．∴椭圆的方程为x 2y2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1213∵ y A c3，∴ y A1,代入椭圆的方程得x A 2 2 ，将点 A 坐标代入得抛物线方程为x 28 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）设直线l的方程为y 1 k ( x 2 2 ) ， B(x1, y1 ), C (x2 , y2 )---2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )由 AC 2AB得 x22 22( x 2 2)，1化简得 2x1x222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分联立直线与抛物线的方程y1k( x 2 2)，x 28 y得 x28kx162k80∴ x1 2 28k ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分联立直线与椭圆的方程y1k( x2 2 )x 24y 212得2)2(8 1622)32216 28 0k x k x k kk∴ x2 2 2162k 28k②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分14k2∴ 2x1x22(8k2 2 )162k 28k2 2 2 214k 2整理得： (16k42)(112k)0 4k 2∴ k2，所以直线 l的斜率为2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分44-11-/11。

2013年高考理科数学(全国新课标卷I)试题与参考答案

2013年高考理科数学(全国新课标卷I)试题与参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．810．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C mm ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩ ∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15] ＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=. 故PA. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBAsin sin(30)αα=︒-，α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11AC AC ⋅nn ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M ，解得k ＝4±当k＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±.所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF . 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |＜x，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y +D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，ABBC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C 解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±. 5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2. 14．答案：(－2)n －1 解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1. ∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2)上为减函数．∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(00)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C⋅n n ＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=. 当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.而F(x1)＝2x1＋2－21故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年高考理科数学全国卷1-答案

故选A．故选A．综上可知：[,0]2a ∈-．（步骤4）【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．51111得1AB AC ⊥；（Ⅱ）易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正向，||OA u u u r 为单位长，建立r u u u r【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）4a =2b = 2c = 2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+xg x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。

2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)

2013年高考数学全国卷1(完整试题+答案+解析)DD ．159.函数x x x f 1lg )(-=的零点所在的区间是(B) A ．(]1,0 B ．(]10,1 C ．(]100,10D ．),100(+∞10.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为(C)A ．22B ． 223C ．210D ．211.已知函数bax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率是 (C)A ．43B ．41 C ．83D ．8512.已知双曲线的标准方程为116922=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FM ,则a 的值为(B)A ．916 B ．59 C ．925D ．516 双曲线 x^2/9-y^2/16=1,右焦点F(5.0)，A1(-3,0)，A2(3,0) 设P(x,y) M (a,m),N(a,n) ∵P,A1,M 三点共线， ∴m/(a+3)=y/(x+3) ∴m=y(a+3)/(x+3)∵P,A2,N 三点共线， ∴n/(a-3)=y/(x-3) ∴n=y(a-3)/(x-3) ∵x^2/9-y^2/16=1 ∴(x^2-9)/9=y^2/16 ∴y^2/(x^2-9)=16/9FM 向量=(a-5,y(a+3)/(x+3)) FN 向量=(a-5,y(a-3)/(x-3)) FM 向量*FN 向量=(a-5)^2+y^2(a^2-9)/(x^2-9) =(a-5)^2+16(a^2-9)/9 ∵FM 向量*FN 向量=0 ∴(a-5)^2+16(a^2-9)/9=0 25a^2-90a+81=0 ∴a=9/5第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．题图第132．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共44分，共16分．13.如图所示的程序框图输结果为____2______.14. 若一个底面是正三角形的棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_π319_________.如图。

2013年全国卷Ⅰ高考数学试题及答案 (理科)

2013年全国卷Ⅰ高考数学试题及答案 (理科)一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝x }－5＜x ＜5，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝ C ．B ⊆A D ．A ⊆B1．B [解析] A ＝{x |x <0或x >2}，故A ∪B ＝2．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.452．D [解析] z ＝|4＋3i|3－4i ＝53－4i＝5（3＋4i ）25＝35＋45i ，故z 的虚部是45.3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样3．C [解析] 因为总体中所要调查的因素受学段影响较大，而受性别影响不大，故按学段分层抽样．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x4．C [解析] 离心率c a ＝52，所以ba ＝c 2－a 2a 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝12.由双曲线方程知焦点在x 轴上，故渐近线方程为y ＝±12x .图1－15．执行如图1－1所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于( ) A ．[－3，4] B ．[－5，2]C ．[－4，3]D ．[－2，5]5．A [解析] 由框图可知，当t ∈[－1，1)时，s ＝3t ，故此时s ∈[－3，3)；当t ∈[1，3]时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，故此时s ∈[3，4]，综上，s ∈[－3，4]．图1－26．如图1－2所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3cm 36．A [解析] 设球的半径为R ，则球的截面圆的半径是4，且球心到该截面的距离是R－2，故R 2＝(R －2)2＋42⇒R ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．C [解析] 设首项为a 1，公差为d ，由题意可知a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m＝3，故d ＝1.又S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，故a 1＝－a m ＝－2，又S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，∴－2m ＋m （m －1）2＝0⇒m ＝5.8．某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )图1－3A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π8．A [解析] 由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V ＝2×2×4＋12×π×22×4＝16＋8π.9．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则 m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．89．B [解析] (x ＋2y )2m 展开式的二项式系数的最大值是C m 2m ，即a ＝C m 2m ；(x ＋2y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值是C m 2m ＋1，即b ＝C m 2m ＋1，∵13a ＝7b ，∴13C m 2m ＝7C m2m ＋1，∴13（2m ）！m ！·m ！＝7（2m ＋1）！（m ＋1）！·m ！，易得m ＝6.10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 10．D [解析] 由题意知k AB ＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1⇒（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0.由AB 的中点是(1，－1)知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴b 2a 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，联立a 2－b 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9，故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1. 11．，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]11．D [解析] 方法一：若x ≤0，|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax ，可得a ≤ln （x ＋1）x 恒成立，令h (x )＝ln （x ＋1）x ，则h ′(x )＝xx ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g (x )＝xx ＋1－ln(x ＋1)，则 g ′(x )＝－x（x ＋1）2<0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝0，可得h ′(x )＝xx ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0，所以h (x )>0，a ≤0.综上可知，－2≤a ≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0与直线y ＝ax 的图像，如下图，要使|f (x )|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x 2－2x ，x ≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为y ′＝2x －2，所以y ′|x ＝0＝－2，所以－2≤a ≤0.12．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1，2，3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列12．B [解析] 因为a n ＋1＝a n ，所以a n ＝a 1.又因为b n ＋1＋c n ＋1＝12(b n ＋c n )＋a n ＝12(b n ＋c n )＋a 1，所以b n ＋1＋c n ＋1－2a 1＝12(b n ＋c n －2a 1)．因为b 1＋c 1－2a 1＝0，所以b n ＋c n ＝2a 1，故△A n B n C n 中边B n C n 的长度不变，另外两边A n B n ，A n C n 的和不变．因为b n ＋1－c n ＋1＝－12(b n －c n )，且b 1－c 1>0，所以b n －c n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1(b 1－c 1)，当n →＋∞时，b n →c n ，也就是A n C n →A n B n ，所以三角形△A n B n C n 中B n C n 边上的高随着n 的增大而增大．设三角形△A n B n C n 中B n C n 边上的高为h n ，则{h n }单调递增，所以S n ＝12a 1h n 是增函数．答案为B.13．已知两个单位向量，的夹角为60°，＝t ＋(1－t )，若＝0，则t ＝________．13．2 [解析] 因为||＝||＝1，·＝12，所以·＝·[t ＋(1－t )]＝12t ＋1－t ＝0，所以t ＝2.14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．14．(－2)n －1 [解析] 因为S n ＝23a n ＋13①，所以S n －1＝23a n －1＋13②，①－②得a n ＝23a n －23a n －1，即a n ＝－2a n －1，又因为S 1＝a 1＝23a 1＋13⇒a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.15．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．15．－2 55 [解析] 因为f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝－2，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以当x ＋φ＝π2＋2k π(k ∈)，即x ＝π2－φ＋2k π(k ∈)时，y ＝f (x )取得最大值5，则cos θ＝cos x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＋2k π＝sin φ，由⎩⎪⎨⎪⎧tan φ＝sin φcos φ＝－2，sin 2 φ＋cos 2 φ＝1，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0可得 sin φ＝－2 55，所以cos θ＝－2 55.16．若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为________．16．16 [解析] 方法一：因为f ′(x )＝－4x 3－3ax 2＋2(1－b )x ＋a ，函数f (x )是连续可导函数，且关于直线x ＝－2对称，所以f ′(－2)＝0，即f ′(－2)＝32－12a －4(1－b )＋a ＝0，可得11a －4b ＝28，①又因为f (0)＝f (－4)，所以15a －4b ＝60，② ①②联立方程组可得a ＝8，b ＝15，f (x )＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)，f ′(x )＝－4(x 3＋6x 2＋7x －2)，因为－2是函数f (x )的一个极值点，所以f ′(x )＝－4(x ＋2)()x ＋2－5()x ＋2＋5，可知当x ∈()－∞，－2－5时，f (x )单调递增，当x ∈()－2－5，－2时，f (x )单调递减，当x ∈()－2，－2＋5时，f (x )单调递增，当x ∈()－2＋5，＋∞时，f (x )单调递减，且f ()－2＋5＝f ()－2－5，所以f ()x max＝f ()－2＋5＝f ()－2－5＝()45－8()45＋8＝80－64＝16.方法二：令f ()x ＝0可得x ＝1或x ＝－1，因为函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，所以⎩⎨⎧f ()－5＝0f ()－3＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝15.以下同方法一．17．如图1－4所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .图1－4 17．解：(1)由已知得， ∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin （30°－α），化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 18．如图1－5所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．图1－518．解：(1)证明：取AB 的中点O ，联结OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA →的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1，0，0)，A 1(0，3，0)，C (0，0，3)， B (－1，0，0)．则BC →＝(1，0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝ (0，－3，3)．设＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧·BC →＝0，n ·BB 1→＝0.即 ⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取＝(3，1，－1)．故cos 〈，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105.所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.19．，一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4.再从这批产品中任取1件作检验；若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与 A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400，500，800，并且 P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为X 400 500 800 P111611614E (X )＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.20．，，，已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M, N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3. 若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4，0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝2 3或|AB |＝187. 21．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2. ①若1≤k <e 2，则－2<x 1≤0，从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )>0，即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)上的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－x 21－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x >－2时，F ′(x )>0，即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增，而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k >e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)<0，从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．图1－622．选修4－1：几何证明选讲如图1－6所示，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 22．解：(1)证明：联结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32. 设DE 的中点为O ，联结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于32. 23．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2. 24．选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43，从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.。

2013年高考理科数学全国卷1(含详细答案)

数学试卷第1页（共48页）数学试卷第2页（共48页）数学试卷第3页（共48页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20{}|2A x x x =->,{|55}B x x <<=-,则( )A .AB =R B .A B =∅C .B A ⊆D .A B ⊆ 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为( )A .4-B .45-C .4D .453.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =±5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A .3866πcm 3 B .3500πcm 3 C .31372πcm 3D .32048πcm 37.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m =( )A .3B .4C .5D .68.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .810.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为( )A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 11.已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( )A .(,1]-∞B .(,0]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3,n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++=,12n nn b a c ++=,则( )A .{}n S 为递增数列B .{}n S 为递减数列C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________.14.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________.16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________.三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图,在ABC △中,90ABC ∠=,3AB =,1BC =,P 为ABC △内一点,90BPC ∠=.（Ⅰ）若12PB =,求PA ；（Ⅱ）若150APB ∠=,求tan PBA ∠.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共48页）数学试卷第5页（共48页）数学试卷第6页（共48页）18.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面11AA B B ,AB CB =,求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果3n =,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果4n =,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立. （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .21.（本小题满分12分）设函数2()f x x ax b =++,()e ()xg x cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a ,b ,c ,d 的值；（Ⅱ）若2x -≥时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.=|2A B x{A B=R，故选【提示】根据一元二次不等式的解法，求出集合，再根据的定义求出A B和A B．【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法【答案】D4i)34=+，故z的虚部等于i553/ 16故选A．=，解得1)1245 / 16故选A ．(2)(2+1)7!!!(+1)!m m m m m m =⨯，即13，再利用组合数的计算公式，解方程综上可知：[,0]2a∈-．（步骤4）67 / 16【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【答案】2t =【解析】∵(1)c ta t b =-＋，∴2(+1)||b t b ab t =-．（步骤又∵||||1a b ==，且a 与b 夹角为60，b c ⊥，∴0|cos6|||0+t a b =︒2【提示】由于0b c =，对式子(1)c ta t b =-＋两边与b 作数量积可得|cos6|||0+a b ︒【考点】平面向量的数量积．85)(22,--+)(25,-+5)单调递增，在5)2-+单调递增，在9 / 161OCOA O =，所以1OAC 平面两两相互垂直．为坐标原点，OA的方向为|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系则(1,0,BC=，11(1,BB AA==-，(0,3,AC=-设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩即可取,1(3,n=-10cos,5||||n ACn ACn AC=-〈〉=BB1C1C所成角的正弦值为51111得1AB AC⊥；（Ⅱ）易证OA，1OA，OC两两垂直．以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正向，||OA为单位长，建立坐标系，可得BC，1BB，AC的坐标，设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩，可解得,1(3,n=-,n AC〈〉，即为所求正弦值．1011 / 1622)()A B ，411161616⨯+1【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系．21.【答案】（Ⅰ）4a =2b =2c =2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+x g x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）13 / 16（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的90，由勾股定理可得，故DG 60．30，所以CF ⊥BF ，故60．从而30．得到15 / 16【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )．A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45- C ．4 D ．453．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ±D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3 B ．866π3cm3 C ．1372π3cm3 D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16πD．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和2133n nS a=+，则{an}的通项公式是an＝_______. 15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是，且各件产品是否为优质品相互独优质品的概率都为12立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P 与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；CE交AB于点F，求(2)设圆的半径为1，BC△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D.3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 4．答案：C解析：∵2c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2. 故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A. 6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5，所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=.∴m ＝5.故选C.8．答案：A 解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C mm，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)，∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y+.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]． 12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：∵c ＝ta ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝ta ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ， ∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133nnS a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.②①－②，得12233n n n a a a -=-，即1n n a a -＝－2.∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5-解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，令cos αsin α＝则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z)时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z)，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称， ∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－2－2)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2－＝[1－(－22][(－22＋8(－2－＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15] ＝－3(4－16＋15) ＝－9.f (－2＋＝[1－(－2＋2][(－2)2＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA .(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA .18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB . 由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C . (2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB . 又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0)，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0)，1BB ＝1AA ＝(－10)，1AC ＝(0，．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝，1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A C A C⋅n n ＝.所以A 1C 与平面BB 1C1C 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQMr=，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M，解得k＝4±.当k＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±. 所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－2x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.1故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG 是BC 的中垂线，所以BG＝2.设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°. 从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF外接圆的半径等于2. 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤-⎥⎝⎦.。