对数运算、对数函数经典例题讲义全
对数运算、对数函数经典例题讲义全
1.对数的概念如果a x=N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做__________________,记作____________,其中a 叫做__________,N 叫做______.2.常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________,以e 为底的对数叫做____________,log 10N 可简记为______,log e N 简记为________. 3.对数与指数的关系若a >0,且a ≠1,则a x=N ⇔log a N =____.对数恒等式:a log a N =____;log a a x=____(a >0,且a ≠1). 4.对数的性质(1)1的对数为____; (2)底的对数为____; (3)零和负数__________.1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫做常用对数; ④以e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确命题的个数为( )A .1B .2C .3D .42.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x ,则x =100;④若e =ln x ,则x =e 2.其中正确的是( )A .①③B .②④C .①②D .③④ 3.在b =log (a -2)(5-a )中,实数a 的取值范围是( )A .a >5或a <2B .2<a <5C .2<a <3或3<a <5D .3<a <44.方程3l o g 2x=14的解是( )A .x =19B .x =33 C .x = 3 D .x =95.若log a 5b =c ,则下列关系式中正确的是( )A .b =a 5cB .b 5=a cC .b =5a cD .b =c 5a6.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A .6 B.72 C .8 D.377.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么12x -=________.8.若log 2(log x 9)=1,则x =________.9.已知lg a =2.431 0,lg b =1.431 0,则b a=________. 10.(1)将下列指数式写成对数式:①10-3=11 000;②0.53=0.125;③(2-1)-1=2+1.(2)将下列对数式写成指数式:①log 26=2.585 0;②log 30.8=-0.203 1; ③lg 3=0.477 1.11.已知log a x =4,log a y =5,求A =12232x xy ⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣的值.能力提升12.若log a 3=m ,log a 5=n ,则a 2m +n的值是( )A .15B .75C .45D .225 13.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x 的值:①log 2x =-25;②log x 3=-13.(2)已知6a=8,试用a 表示下列各式:①log 68;②log 62;③log 26.1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即a b=N ⇔log a N =b (a >0,且a ≠1),据此可得两个常用恒等式:(1)log a a b =b ;(2) log a Na =N .2.在关系式a x=N 中,已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算;而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运 算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化1.对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: (1)log a (M ·N )=____________________;(2)log a M N =____________________;(3)log a M n=__________(n ∈R ).2.对数换底公式log a b =log c b log c a(a >0,且a ≠1,b >0,c >0,且c ≠1);特别地:log a b ·log b a =____(a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1).一、选择题1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A .log a x ·log a y =log a (x +y )B .(log a x )n=n log a x C.log a x n=log a n xD.log a x log a y=log a x -log a y 2.计算:log 916·log 881的值为( )A .18 B.118 C.83 D.383.若log 513·log 36·log 6x =2,则x 等于( )A .9 B.19 C .25 D.1254.已知3a =5b=A ,若1a +1b=2,则A 等于( )A .15 B.15 C .±15 D .2255.已知log 89=a ,log 25=b ,则lg 3等于( )A.a b -1B.32(b -1)C.3a 2(b +1)D.3(a -1)2b6.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个根,则(lg a b)2的值等于( ) A .2 B.12 C .4 D.147.2log 510+log 50.25+(325-125)÷425=_____________________________________.8.(lg 5)2+lg 2·lg 50=________.9.2008年5月12日,四川汶川发生里氏8.0级特大地震,给人民的生命财产造成了巨大的损失.里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M =23lg E -3.2,其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量,那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹. 三、解答题10.(1)计算:lg 12-lg 58+lg 12.5-log 89·log 34;(2)已知3a =4b=36,求2a +1b的值.11.若a 、b 是方程2(lg x )2-lg x 4+1=0的两个实根,求lg(ab )·(log a b +log b a )的值.能力提升12.下列给出了x 与10x的七组近似对应值:A .二B .四C .五D .七13.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年的剩余质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的13?(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)1.对数函数的定义:一般地,我们把______________________叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是________.2.对数函数的图象与性质对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)和指数函数__________________互为反函数. 1.函数y =log 2x -2的定义域是( )A .(3,+∞)B .[3,+∞)C .(4,+∞)D .[4,+∞)2.设集合M ={y |y =(12)x,x ∈[0,+∞)},N ={y |y =log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )A .(-∞,0)∪[1,+∞)B .[0,+∞)C .(-∞,1]D .(-∞,0)∪(0,1) 3.已知函数f (x )=log 2(x +1),若f (α)=1,则α等于( ) A .0 B .1 C .2 D .3 4.函数f (x )=|log 3x |的图象是( )5.已知对数函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),且过点(9,2),f (x )的反函数记为y =g (x ),则g (x )的解析式是( )A .g (x )=4xB .g (x )=2xC .g (x )=9xD .g (x )=3x6.若log a 23<1,则a 的取值范围是( )A .(0,23)B .(23,+∞)C .(23,1)D .(0,23)∪(1,+∞)7.如果函数f (x )=(3-a )x,g (x )=log a x 的增减性相同,则a 的取值范围是______________. 8.已知函数y =log a (x -3)-1的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是________.9.给出函数则f (log 23)=________.三、解答题10.求下列函数的定义域与值域: (1)y =log 2(x -2);(2)y =log 4(x 2+8).11.已知函数f (x )=log a (1+x ),g (x )=log a (1-x ),(a >0,且a ≠1). (1)设a =2,函数f (x )的定义域为[3,63],求函数f (x )的最值. (2)求使f (x )-g (x )>0的x 的取值范围.能力提升12.已知图中曲线C 1,C 2,C 3,C 4分别是函数y =log a 1x ,y =log a 2x ,y =log a 3x ,y =log a 4x 的图象,则a 1,a 2,a 3,a 4的大小关系是( )A .a 4<a 3<a 2<a 1B .a 3<a 4<a 1<a 2C .a 2<a 1<a 3<a 4D .a 3<a 4<a 2<a 113.若不等式x 2-log m x <0在(0,12)内恒成立,求实数m 的取值范围.1.函数y =log m x 与y =log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系.当0<n <m <1时,如图①;当1<n <m 时,如图②;当0<m <1<n 时,如图③.2.由于指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)的定义域是R ,值域为(0,+∞),再根据对数式与指数式的互化过程知道,对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R ,它们互为反函数,它们的定义域和值域互换,指数函数y =a x的图象过(0,1)点,故对数函数图象必过(1,0)点.1.函数y =log a x 的图象如图所示,则实数a 的可能取值是( )A .5 B.15C.1eD.122.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A .y =x 2和y =(x )2B .|y |=|x |和y 3=x 3C .y =log a x 2和y =2log a xD .y =x 和y =log a a x3.若函数y =f (x )的定义域是[2,4],则y =f (12log x )的定义域是( )A .[12,1] B .[4,16]C .[116,14] D .[2,4]4.函数f (x )=log 2(3x+1)的值域为( )A .(0,+∞)B .[0,+∞)C .(1,+∞)D .[1,+∞)5.函数f (x )=log a (x +b )(a >0且a ≠1)的图象经过(-1,0)和(0,1)两点,则f (2)=________. 6.函数y =log a (x -2)+1(a >0且a ≠1)恒过定点____________.一、选择题1.设a =log 54,b =(log 53)2,c =log 45,则( ) A .a <c <b B .b <c <a C .a <b <c D .b <a <c2.已知函数y =f (2x)的定义域为[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域为( )A .[-1,1]B .[12,2]C .[1,2]D .[2,4]3.函数f (x )=log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)=3,则有( ) A .f (2)>f (-2) B .f (1)>f (2) C .f (-3)>f (-2) D .f (-3)>f (-4)4.函数f (x )=a x+log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A.14 B.12C .2D .4 5.已知函数f (x )=lg 1-x1+x,若f (a )=b ,则f (-a )等于( )A .bB .-b C.1b D .-1b6.函数y =3x(-1≤x <0)的反函数是( )A .y =13log x (x >0)B .y =log 3x (x >0)C .y =log 3x (13≤x <1)D .y =13log x (13≤x <1)7.函数f (x )=lg(2x-b ),若x ≥1时,f (x )≥0恒成立,则b 应满足的条件是________. 8.函数y =log a x 当x >2时恒有|y |>1,则a 的取值范围是______________. 9.若log a 2<2,则实数a 的取值范围是______________.10.已知f (x )=log a (3-ax )在x ∈[0,2]上单调递减,求a 的取值范围.11.已知函数f (x )=121log 1axx --的图象关于原点对称,其中a 为常数.(1)求a 的值;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+12log (1)x -<m 恒成立.求实数m 的取值范围.能力提升12.设函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 010)=8,则f (x 21)+f (x 22)+…+f (x 22 010)的值等于( ) A .4 B .8C .16D .2log 48 13.已知log m 4<log n 4,比较m 与n 的大小.1.在对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)中,底数a 对其图象的影响无论a 取何值,对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象均过点(1,0),且由定义域的限制,函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限,随着a 的逐渐增大,y =log a x (a >1,且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且当0<a <1时函数单调递减,当a >1时函数单调递增. 2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,对数函数的单调性由“底”的范围决定,若“底”的范围不明确,则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或01.已知m =0.95.1,n =5.10.9,p =log 0.95.1,则这三个数的大小关系是( ) A .m <n <p B .m <p <n C .p <m <n D .p <n <m 2.已知0<a <1,log a m <log a n <0,则( ) A .1<n <m B .1<m <n C .m <n <1 D .n <m <13.函数y =x -1+1lg(2-x )的定义域是( )A .(1,2)B .[1,4]C .[1,2)D .(1,2]4.给定函数①y =12x ,②y =()12log 1x +,③y =|x -1|,④y =2x +1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A .①②B .②③C .③④D .①④5.设函数f (x )=log a |x |,则f (a +1)与f (2)的大小关系是________________________. 6.若log 32=a ,则log 38-2log 36=________.一、选择题1.下列不等号连接错误的一组是( )A .log 0.52.7>log 0.52.8B .log 34>log 65C .log 34>log 56D .log πe>log e π2.若log 37·log 29·log 49m =log 412,则m 等于( )A.14B.22C. 2 D .43.设函数若f (3)=2,f (-2)=0,则b 等于( ) A .0 B .-1 C .1 D .24.若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间(0,12)内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为( )A .(-∞,-14)B .(-14,+∞)C .(0,+∞)D .(-∞,-12)5.若函数若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (13)=0,则不等式f (log 18x )<0的解集为( )A .(0,12)B .(12,+∞)C .(12,1)∪(2,+∞)D .(0,12)∪(2,+∞)7.已知log a (ab )=1p ,则log ab ab=________.8.若log 236=a ,log 210=b ,则log 215=________.9.设函数若f (a )=18,则f (a +6)=________.10.已知集合A ={x |x <-2或x >3},B ={x |log 4(x +a )<1},若A ∩B =∅,求实数a 的取值范围. 11.抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0)能力提升12.设a >0,a ≠1,函数f (x )=log a (x 2-2x +3)有最小值,求不等式log a (x -1)>0的解集.13.已知函数f (x )=log a (1+x ),其中a >1.(1)比较12[f (0)+f (1)]与f (12)的大小;(2)探索12[f (x 1-1)+f (x 2-1)]≤f (x 1+x 22-1)对任意x 1>0,x 2>0恒成立.Word格式1.比较同真数的两个对数值的大小,常有两种方法:(1)利用对数换底公式化为同底的对数,再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小;(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小.2.指数函数与对数函数的区别与联系指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)是两类不同的函数.二者的自变量不同.前者以指数为自变量,而后者以真数为自变量;但是,二者也有一定的联系,y=a x(a>0,且a≠1)和y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域.二者的图象关于直线y=x对称.完美整理。
对数的运算及对数函数
§2.2.1 对数与对数运算(一)¤知识要点:1. 定义:一般地,如果x a N =(0,1)a a >≠,那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数(logarithm ).记作 log a x N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm ),并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,并把自然对数log e N 简记作ln N3. 根据对数的定义,得到对数与指数间的互化关系:当0,1a a >≠时,log b a N b a N =⇔=.4. 负数与零没有对数;log 10a =, log 1a a = ,log a a N N = ¤例题精讲:【例1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)712128-=; (2)327a =; (3)1100.1-=; (4)12log 325=-; (5)lg0.0013=-; (6)ln100=4.606.【例2】计算下列各式的值:(1)lg0.001; (2)4log 8; (3).第14练 §2.2.1 对数与对数运算(一)※基础达标1.log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是( ). A. b a N = B. a b N = C. N a b = D. N b a = 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ). A. 01ln10e ==与 B. 1()381118log 223-==-与 C. 123log 9293==与 D. 17log 7177==与 3.设lg 525x =,则x 的值等于( ).A. 10B. 0.01C. 100D. 10004.设13log 82x=,则底数x 的值等于( ). A. 2 B. 12 C. 4 D. 145.已知432log [log (log )]0x =,那么12x -等于( ).A.13 B. C. D. 6.若21log 3x =,则x = ; 若log 32x =-,则x = .7.计算:= ; 6lg 0.1= .※能力提高8.求下列各式的值:(1)8; (2)9log9.求下列各式中x 的取值范围:(1)1log (3)x x -+; (2)12log (32)x x -+.※探究创新10.(1)设log 2a m =,log 3a n =,求2m n a +的值.(2)设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =,且A B =,求a 的值.第15讲 §2.2.1 对数与对数运算(二)¤知识要点:1. 对数的运算法则:log ()log log a a a M N M N =+,log log log aa a MM N N=-,log log n a a M n M =,其中0,1a a >≠且,0,0,M N n R >>∈. 三条法则是有力的解题工具,能化简与求值复杂的对数式.2. 对数的换底公式log log log b a b N N a =. 如果令b =N ,则得到了对数的倒数公式1log log a b b a=. 同样,也可以推导出一些对数恒等式,如log log n n a a N N =,log log m n a a nN N m=,log log log 1a b c b c a =等. ¤例题精讲:【例2】若2510a b ==,则11a b+= .【例4】(1)化简:532111log 7log 7log 7++; (2)设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=,求实数m 的值.第15练 §2.2.1 对数与对数运算(二)※基础达标 1.). A. 1B. -1C. 2D. -2 2.25log ()a -(a ≠0)化简得结果是( ).A. -aB. a 2C. |a |D. a3.化简3log 1的结果是( ). A.12B. 1C. 24.已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于( ). A. 1 B. 2 C. 8 D. 125.化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 ( ).A .1 B.32C. 2D.3 6.计算2(lg5)lg 2lg50+⋅= .7.若3a =2,则log 38-2log 36= .第16讲 §2.2.2 对数函数及其性质(一)¤知识要点:1. 定义:一般地,当a >0且a ≠1时,函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ; 函数的定义域是(0,+∞).2. 由2log y x =与12log y x =的图象,可以归纳出对数函数的性质:定义域为(0,)+∞,值域为R ;当1x =时,0y =,即图象过定点(1,0);当01a <<时,在(0,)+∞上递减,当1a >时,在(0,)+∞上递增.¤例题精讲:【例1】比较大小:(1)0.9log 0.8,0.9log 0.7,0.8log 0.9; (2)3log 2,2log 3,41log 3.【例2】求下列函数的定义域:(1)y =(2)y =【例4】求不等式log (27)log (41)(0,1)a a x x a a +>->≠且中x 的取值范围.第16练 §2.2.2 对数函数及其性质(一)※基础达标1.下列各式错误的是( ).A. 0.80.733>B. 0.10.10.750.75-<C. 0..50..5log 0.4log 0.6>D. lg1.6lg1.4>.2.当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是( ).AC3.下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数( )A.log (0,1)a xy aa a =>≠ B. y =2x xC. log (0,1)x a y a a a =>≠D. y4.函数y ).A. (1,)+∞B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (1,2] 5.若log 9log 90m n <<,那么,m n 满足的条件是( ).A. 1 m n >>B. 1n m >>C. 01n m <<<D. 01m n <<<6.函数y = . (用区间表示)7.比较两个对数值的大小:ln7 ln12 ; 0.5log 0.7 0.5log 0.8. ※能力提高8.求下列函数的定义域:(1) ()()3log 1f x x =++; (2)y =9.已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈,22()()[()]g x f x f x =-,求: (1)()f x 的值域; (2)()g x 的最大值及相应x 的值.第17讲 §2.2.2 对数函数及其性质(二)¤知识要点:1. 当一个函数是一一映射时, 可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量, 而把这个函数的自变量新的函数的因变量. 我们称这两个函数为反函数(inverse function ). 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称.2. 函数(0,1)x y a a a =>≠与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠互为反函数.3. 复合函数(())y f x ϕ=的单调性研究,口诀是“同增异减”,即两个函数同增或同减,复合后结果为增函数;若两个函数一增一减,则复合后结果为减函数. 研究复合函数单调性的具体步骤是:(i )求定义域;(ii )拆分函数;(iii )分别求(),()y f u u x ϕ==的单调性;(iv )按“同增异减”得出复合函数的单调性.¤例题精讲:【例1】讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.【例2】(05年山东卷.文2)下列大小关系正确的是( ). A. 30.440.43log 0.3<< B. 30.440.4log 0.33<< C. 30.44log 0.30.43<< D. 0.434log 0.330.4<<第17练 §2.2.2 对数函数及其性质(二)※基础达标 1.函数1lg1xy x+=-的图象关于( ). A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线y =x 对称2.函数212log (617)y x x =-+的值域是( ).A. RB. [8,)+∞C. (,3]-∞-D. [3,)+∞3.(07年全国卷.文理8)设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ,上的最大值与最小值之差为12,则a =( ).A.2B. 2C. 22D. 44.图中的曲线是log a y x =的图象,已知a 的值为2,43,310,15,则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为( ).A.2,43,15,310 B. 2,43,310,15 C. 15,310,43,2 D. 43,2,310,155.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ). A. 12log (1)y x =+ B. 22log 1y x =- C. 21log y x= D.20.2log (4)y x =-6. 函数2()lg(1)f x x x =+-是 函数. (填“奇”、“偶”或“非奇非偶”)7.函数x y a =的反函数的图象过点(9,2),则a 的值为 . ※能力提高8.已知6()log ,(0,1)a f x a a x b=>≠-,讨论()f x 的单调性.0 x C 1C 2C 4C 3 1y第18讲 §2.3 幂函数¤学习目标:通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x 2, y=x 3, y =1/x , y=x 1/2 的图像,了解它们的变化情况.知识要点:1. 幂函数的基本形式是y x α=,其中x 是自变量,α是常数. 要求掌握y x =,2y x =,3y x =,1/2y x =,1y x -=这五个常用幂函数的图象. 2. 观察出幂函数的共性,总结如下:(1)当0α>时,图象过定点(0,0),(1,1);在(0,)+∞上是增函数.(2)当0α<时,图象过定点(1,1);在(0,)+∞上是减函数;在第一象限内,图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象,在第一象限内,直线1x =的右侧,图象由下至上,指数α由小到大. y 轴和直线1x =之间,图象由上至下,指数α由小到大.¤例题精讲:【例1】已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3),试讨论其单调性.解:设y x α=,代入点(27,3),得327α=,解得13α=,所以13y x =,在R 上单调递增.【例2】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点,且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称,求m 的值.解:∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点,∴{6020m m -<-<,解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称, ∴ 2m -为偶数,即得4m =. 【例3】幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示,则( ). A .101n m -<<<< B .1,01n m <-<< C .10,1n m -<<> D .1,1n m <->解:由幂函数图象在第一象限内的分布规律,观察第一象限内直线1x =的右侧,图象由下至上,依次是n y x =,1y x -=,0y x =,m y x =,1y x =,所以有101n m <-<<<. 选B.点评:观察第一象限内直线1x =的右侧,结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【例4】本市某区大力开展民心工程,近几年来对全区2a m 的老房子进行平改坡(“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅平屋面改建成坡屋顶,并对外墙面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为),且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时,所用时间需10年. 已知到今年为止,平改坡剩余面积为原来的22. (1)求每年平改坡的百分比;(2)问到今年为止,该平改坡工程已进行了多少年? (3)若通过技术创新,至少保留24a m 的老房子开辟新的改造途径. 今后最多还需平改坡多少年? 解:(1)设每年平改坡的百分比为(01)x x <<,则101(1)2a x a -=,即11011()2x -=,解得11011()0.0670 6.702x =-≈=%.(2)设到今年为止,该工程已经进行了n 年,则2(1)2na x a -=,即110211()()22n=,解得n =5.所以,到今年为止,该工程已经进行了5年.(3)设今后最多还需平改坡m 年,则 51(1)4m a x a +-=,即521011()()22m +=,解得m =15. 所以,今后最多还需平改坡15年.点评:以房屋改造为背景,从中抽象出函数模型,结合两组改造数据及要求,通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数学方法的运用.第18练 §2.3 幂函数※基础达标1.如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)2,则(4)f 的值等于( ). A. 16 B. 2 C. 116 D. 122.下列函数在区间(0,3)上是增函数的是( ).A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--3.设120.7a =,120.8b =,c 3log 0.7=,则( ).A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4.如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±,12±四个值,与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为( ).A .112,,,222-- B. 112,,2,22--C. 11,2,2,22--D. 112,,,222--5.下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( ).A.12y x =B. 4y x =C. 2y x -=D.13y x = 6.幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2,则(8)f 的值为 . 7.比较下列各组数的大小: 32(2)a + 32a ; 223(5)a -+ 235-; 0.50.4 0.40.5.※能力提高8.幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数,且在(0,)+∞上为增函数,求函数解析式.9.1992年底世界人口达到54.8亿,若人口的平均增长率为x %,2008年底世界人口数为y (亿).(1)写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数; (2)求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?※探究创新4251c 4c 3c 2c 110.请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =; ② 2y x -=;③ 12y x =; ④ 1y x -=; ⑤ 13y x =;⑥ 43y x =;⑦ 12y x -=;⑧ 53y x =. 第19讲 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习¤学习目标:理解掌握指数函数、对数函数和幂函数的性质、图象及运算性质. 突出联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力. 通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究,加深对函数概念的理解.¤例题精讲:【例1】若()(0,1)x f x a a a =>≠且,则1212()()()22x x f x f x f ++≤. 证明:121212122()()()222x x x x f x f x x x a a f a++++-=-0==≥. ∴ 1212()()()22x x f x f x f ++≤. (注:此性质为函数的凹凸性) 【例2】已知函数2()(0,0)1bxf x b a ax =≠>+.(1)判断()f x 的奇偶性; (2)若3211(1),log (4)log 422f a b =-=,求a ,b 的值.解:(1)()f x 定义域为R ,2()()1bxf x f x ax --==-+,故()f x 是奇函数.(2)由1(1)12b f a ==+,则210a b -+=.又log 3(4a -b )=1,即4a -b =3.由{21043a b a b -+=-=得a =1,b =1.【例3】(01天津卷.19)设a >0, ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.(1)求a 的值; (2)证明()f x 在(0,)+∞上是增函数.解:(1)∵ ()x xe af x a e =+是R 上的偶函数,∴ ()()0f x f x --=.∴ 110()()x x x x x x e a e a a e a e a e a e a a ---+--=⇒-+-10()()0x x a e e a-=⇒--=.e x -e -x 不可能恒为“0”, ∴ 当1a-a =0时等式恒成立, ∴a =1.(2)在(0,)+∞上任取x 1<x 2,1212121212111()()()()x x x x x x x x e f x f x e e e a e e e e -=+--=-+-12121()(1)x x x x e e e e =--∵ e >1,x 1<x 2, ∴ 121x x e e >>, ∴12x x e e >1,121212()(1)x x x x x x e e e e e e --<0,∴ 12()()0f x f x -<, ∴ ()f x 是在(0,)+∞上的增函数.点评:本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识.此题中的函数,也可以看成指数函数xy a =与x a y a x =+的复合,可以进一步变式探讨x ay a x=+的单调性. 【例4】已知1992年底世界人口达到54.8亿.(1)若人口的平均增长率为1.2%,写出经过t 年后的世界人口数y (亿)与t 的函数解析式;(2)若人口的平均增长率为x %,写出2010年底世界人口数为y (亿)与x 的函数解析式. 如果要使2010年的人口数不超过66.8亿,试求人口的年平均增长率应控制在多少以内?解:(1)经过t 年后的世界人口数为 *54.8(1 1.2)54.8 1.012,t t y t N =⨯+%=⨯∈.(2)2010年底的世界人口数y 与x 的函数解析式为 1854.8(1)y x =⨯+%. 由1854.8(1)y x =⨯+%≤66.8, 解得1866.8100(1) 1.154.8x ≤⨯-≈. 所以,人口的年平均增长率应控制在1.1%以内.点评:解应用题应先建立数学模型,再用数学知识解决,然后回到实际问题,给出答案. 此题由增长率的知识,可以得到指数型或幂型函数,并得到关于增长率的简单不等式,解决实际中增长率控制问题.第19练 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 复习※基础达标 1.(06年全国卷II.文2理1)已知集合{}2{|3},|log 1M x x N x x =<=>,则M N =( ).A. ∅B. {}|03x x <<C. {}|13x x <<D. {}|23x x << 2.(08年北京卷.文2)若372log πlog 6log 0.8a b c ===,,,则( ).A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>3.(05年福建卷)函数()x b f x a -=的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( ). A. 1,0a b >< B. 1,0a b >> C. 01,0a b <<> D. 01,0a b <<<4.(06年广东卷)函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是( ).A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞-5.(06年陕西卷)设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a b +等于( ).A. 3B. 4C. 5D. 66.(06年辽宁卷.文14理13)设,0(),0x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩,则1(())2g g = .7.如图所示,曲线是幂函数y x α=在第一象限内的图象,已知α分别取11,1,,22-四个值,则相应图象依次为 .※能力提高8.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数. 求,a b 的值.9.已知函数y =24log log 42x x(2≤x ≤4). (1)求输入x =234时对应的y 值; (2)令2log t x =,求y 关于t 的函数关系式及t 的范围.※探究创新10.设121()log 1axf x x -=-为奇函数,a 为常数. (1)求a 的值; (2)证明()f x 在区间(1,+∞)内单调递增;(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 值,不等式()f x >1()2x m +恒成立,求实数m 的取值范围.。
对数及其运算基础知识及例题
对数及其运算基础知识及例题1、定义:对数是指用一个数b(b>0且不等于1)作为底数,将一个正数a表示成幂b的指数的形式,即a=b^x(x为实数),则x称为以b为底a的对数,记作logb a。
2、性质:①logb 1=0(b>0且不等于1)②logb b=1(b>0且不等于1)③logb (mn)=logb m+logb n(m>0,n>0,b>0且不等于1)④logb (m/n)=logb m-logb n(m>0,n>0,b>0且不等于1)⑤logb m^k=klogb m(m>0,b>0且不等于1,k为任意实数)3、对数的运算性质:①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b(b>0,且不等于1,c>0,且不等于1)4、换底公式:XXX b(b>0,且不等于1,c>0,且不等于1)5、对数的其他运算性质:①logb a=logb c,则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数:常用对数:以10为底数的对数,记作XXX。
自然对数:以自然常数e(e≈2.)为底数的对数,记作ln。
典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围:1)log2(x-5)≥0;(2)log(x-1)-log(x+2)0.改写为:1)x≥5;2)x>1且x<2;3)x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化:1)log2 16=4;(2)log1/27=-3;(3)log3 1/2= -1/log2 3;(4)53=125;(5)2^-1=1/2;(6)(1/3)^x=9.改写为:1)2^4=16;2)1/27=3^-3;3)3^-1/2=2/log2 3;4)5^3=125;5)2^-1=1/2;6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式:1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z;2)loga (xy)=loga x+loga y;3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z;4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1.对数的概念一般地,如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b =N ,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作log a N =b ,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a MN =log a M -log a N ;③log a M n =n log a M (n ∈R );④log am M n =nm log a M (m ,n ∈R ,且m ≠0).(2)对数的性质①a log a N =__N __;②log a a N =__N __(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式:log b N =log a Nlog a b (a ,b 均大于零且不等于1);②log a b =1log b a,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d . 3.对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)过定点(1,0),即x =1时,y =0当0<x <1时,y <0 (4)当x >1时,y >0 当0<x <1时,y >0 (6)在(0,+∞)上是增函数(7)在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数,它们的图象关于直线__y =x __对称. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0,则log a (MN )=log a M +log a N .( × ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ).( × )(3)函数y =log 2x 及y =log 133x 都是对数函数.( × )(4)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) (5)函数y =ln 1+x 1-x与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( √ )(6)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝⎛⎭⎫1a ,-1,函数图象只在第一、四象限.( √ )1.(2015·湖南改编)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号).①奇函数,且在(0,1)上是增函数; ②奇函数,且在(0,1)上是减函数; ③偶函数,且在(0,1)上是增函数; ④偶函数,且在(0,1)上是减函数. 答案 ①解析 易知函数定义域为(-1,1),f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),故函数f (x )为奇函数,又f (x )=ln 1+x 1-x=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1-2x -1,由复合函数单调性判断方法知,f (x )在(0,1)上是增函数.2.设a =log 1312,b =log 1323,c =log 343,则a ,b ,c 的大小关系是________.答案 c <b <a解析 ∵a =log 1312=log 32,b =log 1323=log 332,c =log 343.log 3x 是定义域上的增函数,2>32>43,∴c <b <a .3.函数f (x )=lg(|x |-1)的大致图象是________.(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )=lg(|x |-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为R .又当x >1时,函数单调递增,所以只有②正确.4.(2015·浙江)若a =log 43,则2a +2-a =________. 答案4 33解析 2a+2-a =4log 32+4log 32-=3log log 322+=3+33=4 33. 5.(教材改编)若log a 34<1(a >0,且a ≠1),则实数a 的取值范围是________________.答案 ⎝⎛⎭⎫0,34∪(1,+∞) 解析 当0<a <1时,log a 34<log a a =1,∴0<a <34;当a >1时,log a 34<log a a =1,∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0,34∪(1,+∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m =________.(2)lg 5+lg 20的值是________. 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a =5b =m ,∴a =log 2m ,b =log 5m , ∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2. ∴m =10.(2)原式=lg 100=lg 10=1.思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.(1)计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64=________.(2)已知log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m +n =________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式=1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+(1-log 63)(1+log 63)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.(2)∵log a 2=m ,log a 3=n ,∴a m =2,a n =3, ∴a 2m +n =(a m )2·a n =22×3=12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y =2log 4(1-x )的图象大致是________.(填序号)(2)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是____________.答案 (1)③ (2)(22,1) 解析 (1)函数y =2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除①、②; 又函数y =2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除④.故③正确.(2)构造函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,当a >1时不满足条件,当0<a <1时,画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0,12上的图象, 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12, 即2<log a 12,则a >22,所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22,1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.(1)已知lg a +lg b =0,则函数f (x )=a x 与函数g (x )=-log b x 的图象可能是________.(2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围是____________. 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a +lg b =0,∴ab =1,∵g (x )=-log b x 的定义域是(0,+∞),故排除①. 若a >1,则0<b <1,此时f (x )=a x 是增函数,g (x )=-log b x 是增函数,②符合,排除④.若0<a <1,则b >1,g (x )=-log b x 是减函数,排除③,故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略).由图象知,要使f (a )=f (b )=f (c ),不妨设a <b <c ,则-lg a =lg b =-12c +6,∴lg a +lg b =0,∴ab =1,∴abc =c .由图知10<c <12,∴abc ∈(10,12).题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则a ,b ,c 的大小关系为__________. 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a =log 36=1+log 32,b =1+log 52,c =1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是__________. 答案 (12,1)解析 由题意得a >0,故必有a 2+1>2a , 又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1, 同时2a >1,所以a >12.综上,a ∈(12,1).命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )=log a (3-ax ).(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1,设t (x )=3-ax , 则t (x )=3-ax 为减函数,x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3-2a , 当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3-ax >0恒成立. ∴3-2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1,∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1,32. (2)t (x )=3-ax ,∵a >0,∴函数t (x )为减函数. ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y =log a t 为增函数,∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x )最小值为3-2a ,f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,log a (3-a )=1,即⎩⎨⎧a <32,a =32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.(1)设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则a ,b ,c 的大小关系为____________.(2)若f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为__________. (3)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,log 12(-x ),x <0,若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是__________________.答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(-1,0)∪(1,+∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5,3>2,∴log 33<log 32<log 33,log 51<log 52<log 55,log 23>log 22, ∴12<a <1,0<b <12,c >1,∴c >a >b . (2)令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数在(-∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0,a ≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0,a ≥1,解得1≤a <2,即a ∈[1,2).(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0,log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0,log 12(-a )>log 2(-a ),解得a >1或-1<a <0.2.比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a =0.50.5,b =0.30.5,c =log 0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系是__________. (2)设a =log 2π,b =log 12π,c =π-2,则a ,b ,c 的大小关系为____________.(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5,=,=,=a b c 则a ,b ,c 大小关系为__________.思维点拨 (1)可根据幂函数y =x 0.5的单调性或比商法确定a ,b 的大小关系,然后利用中间值比较a ,c 大小.(2)a ,b 均为对数式,可化为同底,再利用中间变量和c 比较.(3)化为同底的指数式.解析 (1)根据幂函数y =x 0.5的单调性, 可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即b <a <1;根据对数函数y =log 0.3x 的单调性,可得log 0.30.2>log 0.30.3=1,即c >1.所以b <a <c . (2)∵a =log 2π>log 22=1,b =log 12π=log 21π<log 21=0,0<c =1π2<1,∴b <c <a .(3)c =(15)3log 0.3=53log 0.3-=5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y =log 2x ,y =log 3x ,y =log 4x 的图象,如图所示.由图象知:log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33=1,且103<3.4,∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44=1,log 3103>1,∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y =5x 为增函数, ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6,故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.[方法与技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时,log a b >0; 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时,log a b <0. 2.对数函数的定义域及单调性在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y =log a x 的定义域应为(0,+∞).对数函数的单调性和a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按0<a <1和a >1进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y =1交点的横坐标进行判定. [失误与防范]1.在运算性质log a M α=αlog a M 中,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M α=αlog a |M |(α∈N *,且α为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)1.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么x 12-=________.答案24解析 由条件知,log 3(log 2x )=1,∴log 2x =3, ∴x =8,∴x12-=24. 2.已知x =ln π,y =log 52,z =e 12-,则x ,y ,z 的大小关系为____________.答案 y <z <x解析 ∵x =ln π>ln e ,∴x >1. ∵y =log 52<log 55,∴0<y <12.∵z =e12-=1e >14=12,∴12<z <1.综上可得,y <z <x .3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +1, x ≤0,log 2x , x >0,则使函数f (x )的图象位于直线y =1上方的x 的取值范围是__________.答案 (-1,0]∪(2,+∞)解析 当x ≤0时,3x +1>1⇒x +1>0,∴-1<x ≤0;当x >0时,log 2x >1⇒x >2,综上所述:-1<x ≤0或x >2.4.设f (x )=lg ⎝⎛⎭⎫21-x +a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值范围是__________. 答案 (-1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a =-1,∴f (x )=lg 1+x 1-x,定义域为(-1,1). 由f (x )<0,可得0<1+x 1-x<1,∴-1<x <0. 5.定义在R 上的函数f (x )满足f (-x )=-f (x ),f (x -2)=f (x +2),且x ∈(-1,0)时,f (x )=2x +15,则f (log 220)=________.答案 -1解析 由f (x -2)=f (x +2),得f (x )=f (x +4),因为4<log 220<5,所以f (log 220)=f (log 220-4)=-f (4-log 220)=-f (log 245)=-(224log 5+15)=-1. 6.(2015·安徽)lg 52+2lg 2-⎝⎛⎭⎫12-1=________. 答案 -1解析 lg 52+2lg 2-⎝⎛⎭⎫12-1=lg 52+lg 22-2 =lg ⎝⎛⎭⎫52×4-2=1-2=-1.7.设函数f (x )满足f (x )=1+f (12)log 2x ,则f (2)=_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)=1-f (12)·log 22,则f (12)=12,则f (x )=1+12·log 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32.8.(2015·福建)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是_____________________________________.答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图,则⎩⎪⎨⎪⎧a >1,3+log a 2≥4,∴1<a ≤2. 9.已知函数y =log 12(x 2-ax +a )在区间(-∞,2)上是增函数,求a 的取值范围.解 函数y =log 12(x 2-ax +a )是由函数y =log 12t 和t =x 2-ax +a 复合而成.因为函数y =log 12t 在区间(0,+∞)上单调递减,而函数t =x 2-ax +a 在区间(-∞,a 2)上单调递减,又因为函数y =log 12(x 2-ax +a )在区间(-∞,2)上是增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2,(2)2-2a +a ≥0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22,a ≤2(2+1),即22≤a ≤2(2+1).10.设f (x )=log a (1+x )+log a (3-x )(a >0,a ≠1),且f (1)=2.(1)求a 的值及f (x )的定义域;(2)求f (x )在区间[0,32]上的最大值.解 (1)∵f (1)=2,∴log a 4=2(a >0,a ≠1),∴a =2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1+x >0,3-x >0,得x ∈(-1,3), ∴函数f (x )的定义域为(-1,3).(2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x )=log 2(1+x )(3-x )=log 2[-(x -1)2+4],∴当x ∈(-1,1]时,f (x )是增函数;当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,故函数f (x )在[0,32]上的最大值是f (1)=log 24=2. B 组 专项能力提升(时间:20分钟)11.(2015·陕西改编)设f (x )=ln x,0<a <b ,若p =f (ab ),q =f ⎝⎛⎭⎫a +b 2,r =12(f (a )+f (b )),则p 、q 、r 的大小关系是____________.答案 p =r <q解析 ∵0<a <b ,∴a +b 2>ab , 又∵f (x )=ln x 在(0,+∞)上为增函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2>f (ab ),即q >p . 又r =12(f (a )+f (b ))=12(ln a +ln b )=ln ab =p , 故p =r <q .12.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则f ⎝⎛⎭⎫13,f ⎝⎛⎭⎫12,f (2)的大小关系是______________.答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2-x )=f (x )知f (x )的图象关于直线x =2-x +x 2=1对称,又当x ≥1时,f (x )=ln x ,所以离对称轴x =1距离大的x 的函数值大,∵|2-1|>|13-1|>|12-1|, ∴f (12)<f (13)<f (2). 13.若函数f (x )=lg(-x 2+8x -7)在区间(m ,m +1)上是增函数,则m 的取值范围是__________. 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m +1≤4,-m 2+8m -7≥0,解得1≤m ≤3, 所以答案应填[1,3].14.已知函数f (x )=ln x 1-x,若f (a )+f (b )=0,且0<a <b <1,则ab 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫0,14 解析 由题意可知ln a 1-a +ln b 1-b =0, 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1-a ×b 1-b =0,从而a 1-a ×b 1-b=1,化简得a +b =1,故ab =a (1-a )=-a 2+a =-⎝⎛⎭⎫a -122+14, 又0<a <b <1,∴0<a <12,故0<-⎝⎛⎭⎫a -122+14<14. 15.设x ∈[2,8]时,函数f (x )=12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0,且a ≠1)的最大值是1,最小值是-18,求a 的值.解 由题意知f (x )=12(log a x +1)(log a x +2) =12(log 2a x +3log a x +2)=12(log a x +32)2-18. 当f (x )取最小值-18时,log a x =-32. 又∵x ∈[2,8],∴a ∈(0,1).∵f (x )是关于log a x 的二次函数,∴函数f (x )的最大值必在x =2或x =8时取得.若12(log a 2+32)2-18=1,则a =2-13, 此时f (x )取得最小值时,x =1332(2)=--2∉[2,8],舍去.若12(log a 8+32)2-18=1,则a =12,此时f(x)取得最小值时,x=(12)32=22∈[2,8],符合题意,∴a=12.。
专题4.3 对数与对数函数(精讲精析篇)(解析版)
专题4.3 对数与对数函数(精讲精析篇)提纲挈领点点突破热门考点01 对数的概念与性质1. 对数式log a N=b是由指数式a b=N变化得来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值,而对数值b是指数式中的幂指数,对数式与指数式的关系如图:并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有a>0且a≠1,N>0时,才有a x=N⇔x=log a N.2. 对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质:log a a=1,log a1=0.(2)使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于多重对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质.3. 运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式a log a N=N要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为对数的真数.(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.A.6 B.7 C.12 D.18【答案】C【解析】log 2,log 3m m a b ==,2,3a b m m ∴== 2222==()2312a b a b a b m m m m m +=⨯=故选:C【典例2】()52016? 1.2baa b a b log b log a a b 浙江卷已知>>若+=,=,则a = ,b = .【答案】4,2. 【解析】设log ,1b a t t =>则,因为21522t t a b t +=⇒=⇒=,因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==【典例3】对数式log (a -2)(5-a )=b 中,实数a 的取值范围是 ( ) A .(-∞,5) B .(2,5) C .(2,+∞) D .(2,3)∪(3,5)【错解】A由题意,得5-a >0,∴a <5. 【答案】D【解析】由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧5-a >0,a -2>0,a -2≠1,∴2<a <3或3<a <5.故选D.【易错提醒】对数的底数和真数都有范围限制,不能只考虑真数范围而忽视底数的范围.热门考点02 对数的化简、求值1.对数运算的一般思路(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式,注意转化与化归思想的运用. 3.对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征,分析找到实现转化的共同点进行转化. 4.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:思路一:用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数. 思路二:一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值. A .14B .4C .1D .4或1【答案】B 【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+,所以2log (2)log a a M N MN -=(), 2(2)M N MN -=,2540M MN N-+=(), 解得=1(舍去),=4,故选B.【答案】1-. 【解析】原式=33332log 2(log 32log 9)3log 23--+-,3332log 25log 223log 23=-++-1=-.【规律方法】(1)换底公式的本质是化异底为同底,这是解决对数问题的基本方法.(2)在运用换底公式时,若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论,如log a b =1log b a ;log a a n =n ,log am b n =nm log a b ;lg2+lg5=1等,将会达到事半功倍的效果. 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的,不能出现log 212=log 2[(-3)×(-4)]=log 2(-3)+log 2(-4)的错误. (2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.热门考点03 对数函数的图象及应用应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.A .B .C .D .【答案】C 【解析】当1a >时,对数函数log ay x =为增函数,当1x =时函数y x a =-的值为负.无满足条件的图像.当01a <<时,对数函数log a y x =为减函数,当1x =时函数y x a =-的值为正.C 满足.故选:CA .B .C .D .【答案】D【解析】 对于A 、B 两图, ,而ax 2+bx=0的两根为0和,且两根之和为,由图知0<<1得-1<<0,矛盾,对于C 、D 两图,0<<1,在C 图中两根之和<-1,即>1矛盾,C 错,D 正确.故选:D .A .(1,0)(1,)-⋃+∞B .(,1)(1,)-∞-+∞C .(1,0)(0,1)-D .(,1)(0,1)-∞-【答案】A 【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数,绘制函数图像如图所示,则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-,即()0f m >, 观察函数图像可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选:A . 【总结提升】log a y x =的底数变化,其图象具有如下变化规律:(1)上下比较:在直线1x =的右侧,1a >时,底大图低(靠近x 轴);01a <<时,底大图高(靠近x 轴).(2)左右比较(比较图象与1y =的交点):交点横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点:(1)在函数的定义中,a>0且a≠1.(2)在解析式y=log a x中,log a x的系数必须为1,真数必须为x,底数a必须是大于0且不等于1的常数.热门考点04 对数函数的性质及应用1.对数值log a x的符号(x>0,a>0且a≠1)规律:“同正异负”.(1)当0<x<1,0<a<1或x>1,a>1时,log a x>0,即当真数x和底数a同大于(或小于)1时,对数log a x>0,即对数值为正数,简称为“同正”;(2)当0<x<1,a>1或x>1,0<a<1时,log a x<0,即当真数x和底数a中一个大于1,而另一个小于1时,也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时,对数log a x<0,即对数值为负数,简称为“异负”.因此对数的符号简称为“同正异负”.2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0,-1等中间量进行比较.3. 解对数不等式的类型及方法(1)形如log a x>log a b的不等式,借助y=log a x的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a <1两种情况讨论.(2)形如log a x>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.A .0a b ab +<<B .0ab a b <+<C .0a b ab +<<D .0ab a b <<+【答案】B 【解析】 求出0.2211log0.3,0.3log a b ==,得到11a b+的范围,进而可得结果. 详解:.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B. A .34a >B .304a <<或43a > C .304a <<或1a > D .1a >【答案】C 【解析】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数,所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数,又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <, 由1log a a =,知3log log 4a a a <,当01a <<时,log a y x =在()0,∞+上单调递减,故34a <,从而304a <<;当1a >时,log a y x =在()0,∞+上单调递增,故34a >,从而1a >,综上所述, a 的取值范围是304a <<或1a >,故选C. 【答案】【解析】由题意可知20431x x <-≤,解得x ∈.【易错提醒】利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.热门考点05 对数函数、指数函数图象和性质的综合运用1. 对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)和指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称.2.复合函数y =f [g (x )]及其里层函数μ=g (x )与外层函数y =f (μ)的单调性之间的关系(见下表).函数 单调性 y =f (μ) 增函数 增函数 减函数 减函数 μ=g (x ) 增函数 减函数 增函数 减函数 y =f [g (x )]增函数减函数减函数增函数A. B.C. D.【答案】D 【解析】 当时,函数过定点且单调递减,则函数过定点且单调递增,函数过定点且单调递减,D 选项符合;当时,函数过定点且单调递增,则函数过定点且单调递减,函数过定点且单调递增,各选项均不符合.综上,选D.【典例13】满足()()0f x f x --=,且在0,单调递减,若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21log 9c =,则()f a ,()f b ,()f c 的大小关系为( )A .()()()f b f a f c <<B .()()()f c f b f a <<C .()()()f c f a f b <<D .()()()f b f c f a <<【答案】C 【解析】()()0()()f x f x f x f x --=∴=-∴()f x 为偶函数.21log 09c =<22211()(log )(log )(log 9)99f c f f f ∴==-=, 22log 9log 42>=,11114459799207977a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 9a b ∴>>. ()f x 在0,单调递减,∴()()()2log 9f f a f b <<,即()()()f c f a f b <<.故选:C .【答案】-3 【解析】因为()f x 是奇函数,且当0x >时0x ->,()()axf x f x e -=--=.又因为ln 2(0,1)∈,(ln 2)8f =,所以ln 28a e -=,两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=,所以3a -=,即3a =-.【答案】[1,3)或(1)3, 【解析】由题意,令223u x x =-++,由0>u , 解得13x,即函数()f x 的定义域为(1,3)-又根据二次函数的图象与性质可知,函数223u x x =-++在区间(]1,1-上单调递增, 在区间[1,3)上单调递减,又由函数()12log f x u =为单调递减函数,根据复合函数同增异减可得,函数()f x 的单调递增区间为[1,3).故答案为:[1,3)或(1)3, 【易错提醒】解答对数函数型问题,易忽视函数的定义域而导致错误. 【总结提升】(1)已知某函数是奇函数或偶函数,求其中某参数值时,常用方法有两种: ①由f (-x )=f (x )或f (-x )=-f (x )直接列关于参数的方程(组),解之得结果.②由f (-a )=f (a )或f (-a )=-f (a )(其中a 是某具体数)得关于参数的方程(组),解之得结果,但此时需检验. (2)用定义证明形如y =log a f (x )函数的单调性时,应先比较与x 1,x 2对应的两真数间的大小关系,再利用对数函数的单调性,比较出两函数值之间的大小关系.巩固提升A.B.y =C.D.【答案】A 【解析】函数, 在区间上单调递减, 函数 在区间上单调递增,故选A .2.已知a ,b 均为不等于1的正数,且满足lg lg 0a b +=,则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】lg lg 0a b +=,1ab ∴=,即1b a =, 1()log log a a g x x x ∴=-=,∴()f x 与()g x 互为反函数,图象关于y x =对称.故选B.A .(1,)+∞B .[1,)+∞C .(2,)+∞D .[2,)+∞【答案】C因为函数()lg f xx =,且由()()lg lg 1f a f b a b ab =⇔-=⇔=,(假设a<b ,)因此a+b 2ab ≥=2,但是等号取不到,因此选CA .ln(1)y x =-B .ln(2)y x =-C .ln(1)y x =+D .ln(2)y x =+【答案】B【解析】函数y lnx =过定点(1,0),(1,0)关于x=1对称的点还是(1,0),只有()y ln 2x =-过此点. 故选项B 正确A .B .C .D .【答案】B【解析】由()log a y x b =-的图象可知,1log (1)0log (2)0a a a b b >⎧⎪-<⎨⎪->⎩,所以101121a b b >⎧⎪<-<⎨⎪->⎩,得1a >,01b <<,所以01b a<<,所以幂函数b a y x =在第一象限的图象可能为B .A .B .C .D .【答案】D【解析】结合已知函数的图象可知,(1)1f b =<-,1a >, 则()g x 递增,且(0)10g b =+<,故D 符合题意. 故选:D.A.43-B.2332 C.34 D.38- 【答案】A【解析】由题意()(4)f x f x =+,故函数()f x 是周期为4的函数, 由23log 124<<,则21log 1240-<-<,即204log 121<-<,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-, 故选:A.A .(]0,2B .[)0,2C .[0,2]D .(2,2)【答案】A【解析】 由题意可得,020x x >⎧⎨-≥⎩, 解得02x <≤.所以函数的定义域为(]0,2,故选:AA .1010.1B .10.1C .lg10.1D .10–10.1 【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg ( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选:A.A.B. C.D.【答案】A【解析】;;. 故. 故选A.A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>【答案】D【解析】 由题意可知:3337392log log log <<,即12a <<,103111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,即01b <<, 133317552log log log =>,即c a >,综上可得:c a b >>.本题选择D 选项.【答案】()1,2【解析】函数()()log 2a f x ax =-,所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立, 由一次函数保号性可知,2a <,当01a <<时,外层函数log a y t =为减函数, 要使()()log 2a f x ax =-为减函数,则2t ax =-为增函数, 所以0a ->,即0a <,所以a ∈∅,当1a >时,外层函数log a y t =为增函数, 要使()()log 2a f x ax =-为减函数,则2t ax =-为减函数, 所以0a -<,即0a >,所以1a >,综上可得a 的范围为()1,2.故答案为:()1,2.【答案】(),3-∞【解析】要使函数表达式有意义,需满足: 30x ->,即:x <3,∴()2log 3y x =-的定义域为(),3-∞ 故答案为:(),3-∞14.函数log ()a y x k =+(0a >,且1a ≠)的图象恒过点()0,0,则函数1log ()a y x k =-的图象恒过点______.【答案】(2,0)【解析】由题意,得log 0a k =,1k ∴=,11log ()log (1)a ay x k x ∴=-=-的图象恒过点(2,0).故答案为:(2,0)【答案】13-【解析】 224222log 9log 3log 3log 10==>=,由题意得()221log log 3321log 3223f --===, 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数, 因此,()()()4221log 9log 3log 33f f f ==--=-. 故答案为:13-.(1)求当0x <时,函数()f x 的表达式;(2)解不等式()3f x ≤.【答案】(1)()()1313log 20log 20x x f x x x >⎧⎪=⎨--<⎪⎩,,(2)27{02x x -≤<或1}54x ≥ 【解析】(1)解:函数()f x 为奇函数, 当0x >时,()13log 2f x x =,所以,当0x <时,0x >-, ()()()()1133log 2log 2f x f x x x =--=--=--,所以()()1313log 20log 20x x f x x x >⎧⎪=⎨--<⎪⎩,,, (2)解:由题意:当0x >时有13log 23x ≤,解得154x ≥; 当0x <时有()13log 23x --≤, 即()13log 23x -≥-,解得2702x -≤<; 综上,原不等式的解集为27{02x x -≤<或1}54x ≥。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:)对数的定义:如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b . (2)指数式与对数式的关系:a b =N Ûlog a N =b (a >0,a ≠1,N >0).两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质: ①log a (MN )=log a M +log a N . ②log a NM =log a M -log a N . ③log a M n =n log a M .(M >0,N >0,a >0,a ≠1)④对数换底公式:log b N =bNN a a log log log (a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,N >0). 2.对数函数(1)对数函数的定义)对数函数的定义函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢?在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是,根据对数定义: : loglog a a=1;如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数(比如log 1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4;一个等于1/16,另一个等于-1/16) (2)对数函数的图象)对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. (3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R . ③过点(1,0),即当x =1时,y =0. ④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数. 基础例题1.函数f (x )=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析:f (x )=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案:A 2.若f --1(x )为函数f (x )=lg (x +1)的反函数,则f --1(x )的值域为___________________. 解析:f -1(x )的值域为f (x )=lg (x +1)的定义域.由f (x )=lg (x +1)的定义域为(-1,+∞),∴f --1(x )的值域为(-1,+∞). 答案:(-1,+∞)∞)3.已知f (x )的定义域为[0,1],则函数y =f [log 21(3-x )]的定义域是__________. 解析:由0≤log 21(3-x )≤1Þlog 211≤log 21(3-x )≤log 2121Þ21≤3-x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案:[2,25]4.若log x7y=z ,则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析:由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ,即y =x 7z. 答案:B 5.已知1<m <n ,令a =(log n m )2,b =log n m 2,c =log n (log n m ),则,则A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b解析:∵1<m <n ,∴0<log n m <1. ∴log n (log n m )<0. 答案:D 6.若函数f (x )=log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析:∵0<a <1,∴f (x )=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=-32.∴a =42. 答案:A 7.函数y =log 2|ax -1|(a ≠0)的对称轴方程是x =-2,那么a 等于A. 21 B.-21 C.2 D.-2 解析:y =log 2|ax -1|=log 2|a (x -a1)|,对称轴为x =a1,由a1=-2 得a =-21. 答案:B 注意:此题还可用特殊值法解决,如利用f (0)=f (-4), 可得0=log 2|-4a -1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=-1. ∵a ≠0,∴a =-21. 8.函数f (x )=log 2|x |,g (x )=-x 2+2,则f (x )·g (x )的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析:∵f (x )与g (x )都是偶函数,∴f (x )·g (x )也是偶函数,)111-1O xy注意:研究函数的性质时,利用图象会更直观. 【例3】 已知f (x )=log 31[3-(x -1)2],求f (x )的值域及单调区间. 解:∵真数3-(x -1)2≤3,∴log 31[3-(x -1)2]≥log 313=-1,即f (x )的值域是[-1,+∞).又3-(x -1)2>0,得1-3<x <1+3,∴x ∈(1-3,1]时,]时,3-(x -1)2单调递增,从而f (x )单调递减;x ∈[1,1+3)时,f (x )单调递增. 注意:讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a (3-ax )在[0,2]上是x 的减函数,求a 的取值范围. 解:∵a >0且a ≠1,∴t =3-ax 为减函数.依题意a >1,又t =3-ax 在[0,2]上应有t >0,∴3-2a >0.∴a <23.故1<a <23. 【例5】设函数f (x )=lg (1-x ),g (x )=lg (1+x ),在f (x )和)和 g (x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g (x )|的大小. 解:f (x )、g (x )的公共定义域为(-1,1). |f (x )|-|g (x )|=|lg (1-x )|-|lg (1+x )|. (1)当0<x <1时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=-lg (1-x 2)>0; (2)当x =0时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=0;(3)当-1<x <0时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=lg (1-x 2)<0. 综上所述,当0<x <1时,|f (x )|>|g (x )|;当x =0时,|f (x )|=|g (x )|;当-1<x <0时,|f (x )|<|g (x )|. 【例6】 求函数y =2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值. 解:定义域为x >3,原函数为y =lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x =3442-+-x x x =31)3(2)3(2-+-+-x x x =(x -3)+31-x +2≥4, ∴当x =4时,y min =lg4. 【例7】 (2003年北京宣武第二次模拟考试)在f 1(x )=x 21,f 2(x )=x 2,f 3(x )=2x ,f 4(x )=log 21x 四个函数中,x 1>x 2>1时,能使21[f(x 1)+f (x 2)]<f (221x xx x +)成立的函数是)成立的函数是A.f 1(x )=x 21B.f 2(x )=x 2C.f 3(x )=2xD.f 4(x )=log 21x解析:由图形可直观得到:只有f 1(x )=x 21为“上凸”的函数. 答案:A 探究创新1.若f (x )=x 2-x +b ,且f (log 2a )=b ,log 2[f (a )]=2(a ≠1). (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值;值;(2)x 取何值时,f (log 2x )>f (1)且log 2[f (x )]<f (1)?)? 解:(1)∵f (x )=x 2-x +b ,∴f (log 2a )=log 22a -log 2a +b . 由已知有log 22a -log 2a +b =b ,∴(log 2a -1)log 2a =0. ∵a ≠1,∴log 2a =1.∴a =2.又log 2[f (a )]=2,∴f (a )=4. ∴a 2-a +b =4,b =4-a 2+a =2.故f (x )=x 2-x +2,127m +m -+m )-+m+2m ≥+xm+2m )+x m ≥2m (当且仅当=xm ,即=m 时等号成立)+x m +2m )=4m ,即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较,分出正负;正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下,求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
对数函数考点分析及经典例题讲解
对数函数考点分析及经典例题讲解1. 对数函数的定义:函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0<a <1a >1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧,过定点(1,0)即x =1时,y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质(1)过定点(1,0),(2)在(0,+∞)上是减函数 (2)在(0,+∞)上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时,y ∈(0,+∞)当 x=1 时,y=0; 当 x>1 时, y<0.当 0<x<1 时,y<0;当x=1时, y=0 ; 当x>1时, y>0 .3.对数函数y=logax(a>0,且a ≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析:考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小:(1)log 23.4,log 23.8; (2)log 0.51.8,log 0.52.1;(3)log a 5.1,log a 5.9; (4)log 75,log 67.(5)6log ,7log 76; (6)8.0log ,log 23π变式训练:1、已知函数x y 2log =,则当1>x 时,∈y ;当10<<x 时,∈y . 解析:根据对数函数x y 2log =的图像可得当1>x 时,0y >;当10<<x 时,12y <<. 答案:(0,)+∞;(1,2).考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域(1)0.2log (4);y x =-; (2)log ay =(0,1).a a >≠;(3)2(21)log (23)x y x x -=-++ (4)y =例3、选择题:若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是( )A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数?在什么区间上是减函数?1、函数f (x )=log a [(a -1)x +1]在定义域上( )A .是增函数B .是减函数C .先增后减D .先减后增解析:选A.当a >1时,y =log a t 为增函数,t =(a -1)x +1为增函数,∴f (x )=log a [(a -1)x +1]为增函数;当0<a <1时,y =log a t 为减函数,t =(a -1)x +1为减函数, ∴f (x )=log a [(a -1)x +1]为增函数 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 .3、已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +1x ≤0log 2x x >0,则使函数f (x )的图象位于直线y =1上方的x 的取值范围是________.解析:当x ≤0时,3x +1>1⇒x +1>0,∴-1<x ≤0; 当x >0时,log 2x >1⇒x >2,∴x >2,综上所述:-1<x ≤0或x >2. 答案:-1<x ≤0或x >24、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ,则实数a 的取值范围是 .解析:本题实际含有两个不等式,即0)1(log 2>+a …①和)12(log )1(log 22-<+a a …②, 由①得0111log )1(log 22>⇒>+⇒>+a a a ; 由②得121-<+a a ,即2>a , 答案:2>a5、方程()lg 3x +-()lg 3x -=()lg 1x -的解是 .解析:根据对数运算法则,方程()lg 3x +-()lg 3x -=()lg 1x -可化为:lg 33xx+-=lg ()1x -, 即33xx+-= 1x -,解得:0x =或5x =,经验证,当5x =时,不满足题意.所以方程的解为:0.考点三、求值域例1、(1)、12);4x -(-x log y 221+=【解析】(1)∵-x 2-4x+12=-(x2+4x)+12=-(x+2)2+16≤16, 又∵-x 2-4x+12>0, ∴0<-x 2-4x+12≤16. ∵x y 21log =在(0,16]上是减函数,∴y ≥16log 21=y =-4. ∴函数的值域为[-4,+∞).(2)、3);-2x -(x log y 221=(3)y=log a (a-a x)(a>1).令u=a-a x,∵u>0,a>1,∴a x<a,x<1,∴y=log a (a-a x)的定义域为{x|x<1}, ∵a x<a,且a x>0,u=a-a x<a,∴y=log a (a-a x)<log a a=1,∴函数的值域为{y|y<1}.1、求下列函数的定义域、值域:⑴41212-=--x y ⑵)52(log 22++=x x y⑶)54(log 231++-=x x y ⑷)(log 2x x y a --=)10(<<a2.、求函数y =log 2(x 2-6x +5)的定义域和值域.[解析] 由x 2-6x +5>0得x >5或x <1因此y =log 2(x 2-6x +5)的定义域为(-∞,1)∪(5,+∞) 设y =log 2t ,t =x 2-6x +5∵x >5或x <1,∴t >0,∴y ∈(-∞,+∞) 因此y =log 2(x 2-6x +5)的值域为R .3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ,求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值. 解:令x y 21log =,则09922≤++y y ;解得233-≤≤-y ,即23log 321-≤≤-x ; ∴822≤≤x ,∴]3,23[log 2∈=x t . ∴)2)(log 3log (log )4(log )3(log )(22222--=⋅=x x xx x f 3log 2)3log 2(3log 2log )3log 2()(log 22222222++-=++-=t t x x ; ∴当]3,23[23log 22∈+=t 时,4)23(log )(22min --=x f . 4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ,求222log x 的值。
对数与对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理: 一、对数1、定义:一般地,如果()0,1x a N a a =>≠,那么实数x 叫做以a 为底N 的对数,记作a x log N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数,并把10log N 记为lgN ; ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数,并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算⑴运算性质:如果0,1,0,0a a M N >≠>>且,那么:①()a a a log MN log M log N =+;②a a a Mlog log M log N N=-;③()n a a log M nlog M n R =∈;④(),0m na a n log M log M n R m m=∈≠;⑤1a b log b log a =;⑥a log N a N =.⑵换底公式:c a c log blog b log a=.二、对数函数 1、定义:一般地,函数()01a y log x a a =>≠,且叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是()0,+∞.1>a10<<a图像性质定义域: 值域:过定点 ,即当1=x 时,0=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数a y =与对数函数x y a log =互为反函数,它们的图像关于直线x y =对称.【课前小测】1、2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式,正确的是( )A 、9123log =- B 、1392log =- C 、()1329log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点( )A 、()1,1B 、()1,0C 、()0,1D 、()0,0 3、49343log 等于( ) A 、7 B 、2 C 、23 D 、324、函数()()31f x lg x =+的定义域是( )A 、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数()21f x log x =+的定义域是( )A 、(),-∞+∞B 、()0,+∞C 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦考点一、化简和求值例1、⑴552log 10log 0.25+=( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、4解析:2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 525=2⑵计算:3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+. 解:原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=. 变式、⑴(辽宁卷文10)设25abm +=,且112a b+=,则m =( ) A 、10 B 、10 C 、20 D 、100⑵已知32a =,用a 表示33log 4log 6-;⑶已知3log 2a =,35b=,用a 、b 表示 30log 3.考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小:⑴6log 7,7log 6; ⑵3log π,2log 0.8; ⑶0.91.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8; ⑷5log 3,6log 3,7log 3. 答案:⑴>;⑵>;⑶>,>;⑷>,>. 变式、⑴已知函数()|lg |f x x =,若11a b c>>>,则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ;a c b <<⑵已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小. 解:∵log 4log 4m n <, ∴4411log log m n <,当1m >,1n >时,得44110log log m n<<,∴44log log n m <, ∴1m n >>.当01m <<,01n <<时,得44110log log m n<<,∴44log log n m <, ∴01n m <<<.当01m <<,1n >时,得4log 0m <,40log n <, ∴01m <<,1n >, ∴01m n <<<.综上所述,m ,n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<. 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x .解:原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得:4<x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4<x ≤5}⑵解关于x 的不等式:)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a . 解:原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x(其实中间一个不等式可省,为什么?让学生思考)当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a >1时不等式的解集为221<<x ;当0<a <1时不等式的解集为42<<x ⑶解不等式24log a x x xxa >解:两边取以a 为底的对数:当0<a <1时原不等式化为:2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a ,4log 21<<x a , ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为:2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ,∴ 21log 4log <>x x a a 或 ,∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域例4、⑴函数2()lg(31)f x x =++的定义域是( )A 、1(,)3-+∞B 、1(,1)3-C 、11(,)33-D 、1(,)3-∞-⑵函数(21)log x y -= )A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶函数()()2log 31x f x =+的值域为( )A 、()0,+∞B 、[)0,+∞C 、()1,+∞D 、[)1,+∞ 变式、求函数y =.② 单调性、奇偶性例5、⑴函数y =log 3(x 2-2x )的单调减区间是________. 解: 令u =x 2-2x ,则y =log 3u . ∵y =log 3u 是增函数,u =x 2-2x >0的减区间是(-∞,0),∴y =log 3(x 2-2x )的减区间是(-∞,0). ⑵设0<a <1,函数f (x )=log a (a 2x -2a x -2),则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A 、(-∞,0)B 、(0,+∞)C 、(-∞,log a 3)D 、(log a 3,+∞)解:由f (x )<0,即a 2x -2a x -2>1,整理得(a x -3)(a x +1)>0,则a x >3.∴x <log a 3. ⑶函数y =log 22-x2+x 的图象( )A 、关于原点对称B 、关于直线y =-x 对称C 、关于y 轴对称D 、关于直线y =x 对称解:∵f (x )=log 22-x 2+x,∴f (-x )=log 22+x 2-x=-log 22-x 2+x∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.故选A.变式、⑴若011log 22<++aa a,则a 的取值范围是( ) A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)21,0(⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ,则a 的取值范围是 .⑶若函数)2(log )(22a x x x f a ++= 是奇函数,则a = .③综合应用例6、设函数f (x )=log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-a x ,其中0<a <1.⑴证明:f (x )是(a ,+∞)上的减函数; ⑵解不等式f (x )>1.解析:⑴证明:设0<a <x 1<x 2,g (x )=1-a x,则g (x 1)-g (x 2)=1-a x 1-1+a x 2=a (x 1-x 2)x 1x 2<0,∴g (x 1)<g (x 2).又∵0<a <1,∴f (x 1)>f (x 2). ∴f (x )在(a ,+∞)上是减函数.⑵∵log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-a x >1,∴0<1-ax <a ,解得:⎩⎪⎨⎪⎧x >a ,x <a1-a,∴不等式的解集为:{x |a <x <a1-a}.变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域;⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数;⑶求函数()f x 的值域.随堂巩固1、6632log log +等于( )A 、6B 、5C 、1D 、65log 2、在()23a b log -=中,实数a 的取值范围是( )A 、2a <B 、2a >C 、23,3a a <<>或D 、3a > 3、下列格式中成立的是( )A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+ C 、()()()a a a log xy log x log y =• D 、a a a xlog log y log x y=- 4、213alog > ,则a 的取值范围是( ) A 、312a <<B 、30112a a <<<<或C 、213a <<D 、2013a a <<>或 5、已知ab M =()0,0,1a b M >>≠,且log M b x =,则log M a 等于( ) A 、1x - B 、1x + C 、1xD 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =,2log 5b =,则lg 3等于( ) A 、1ab - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b -7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ,函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为G ,那么( )A 、G F ≠⊂B 、G F =C 、F G ⊆D 、F G =∅I8、(08山东)已知函数()2300x x f x log x x ⎧≤=⎨>⎩,,,12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦( ) A 、1- B、log CD 、139、若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦,则12x -等于( )A 、9B 、91C 、3D 、3310、若M =⋅32log 4log 3log 3132ΛΛ,则M 的值是( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( )A 、2a -B 、5a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a --12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 21f 与)(π-f 的大小关系是( )A 、)8(log 21f >)(π-f B 、)8(log 21f =)(π-fC 、)8(log 21f < )(π-f D 、不能确定13、若312log 19x-=,则x = ; 14、已知:lg 21.3a =,则lg0.213=___________;15、()2211log log 1a a x x -->+,则a 的取值范围为________________; 16、比较大小⑴8.1log 3 7.2log 3;⑵5log 6 7log 6; 17、若14log 3=x ,则=+-xx44___________;18、已知log 1a x =,log 2b x =,log 4c x =,则log abc x =____________; 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=-,求xy的值.20、⑴已知a =2lg ,b =3lg ,试用b a 、表示5log 12;⑵已知a =3log 2,b =7log 3,试用b a 、表示56log 14.21、已知())lgf x x =.⑴求()f x 的定义域; ⑵求证:()f x 是奇函数.22、解关于x 的不等式:)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解:原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴ 当a >1时不等式的解集为221<<x ; 当0<a <1时不等式的解集为42<<x课后巩固1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是( ) A 、N a b= B 、N b a= C 、b aN= D 、a b N =2、设255lg =x,则x 的值等于( )A 、10B 、0.01C 、100D 、10003、()[]0log log log 234=x ,那么21-x 等于( )A 、2B 、21 C 、4 D 、41 4、化简9log 8log 5log 4log 8543•••的结果是( ) A 、1 B 、23C 、2D 、3 5、函数()1log 21-=x y 的定义域是( )A 、()+∞,1B 、()2,∞-C 、()+∞,2D 、(]2,1 6、若09log 9log <<n m ,那么n m ,满足的条件是( )A 、1>>n mB 、1>>m nC 、10<<<m nD 、10<<<n m 7、若132log <a,则a 的取值范围是( ) A 、()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,132,0Y B 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32 C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,32 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,3232,0Y8、函数()176log 221+-=x x y 的值域是( )A 、RB 、[)+∞,8C 、()3,-∞-D 、[)+∞,3 9、函数⎪⎭⎫⎝⎛--=112lg x y 的图像关于( ) A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称10、图中的曲线是x y a log =的图像,已知a 的值为51,103,34,2,则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为( )A 、103,51,34,2 B 、51,103,34,2 C 、2,34,103,51 D 、51,103,2,3411、比较两个对数值的大小:7ln 12ln ;7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=•+50lg 2lg 5lg 2.13、函数()()x xx f -+=1lg2是 函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”).14、函数xa y =的反函数的图像经过点()2,9,则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ,()()x x g a -=1log ()10≠>a a ,且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域;(10分) ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.(10分)16、已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小。
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点1.对数:(1) 定义:如果N a b =)1,0(≠>a a 且,那么称 为 ,记作 ,其中a 称为对数的底,N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数,N 10log 记作___________.② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数,N e log 记作_________. (2) 基本性质:① 真数N 为 (负数和零无对数);② 01log =a ;③ 1log =a a ; ④ 对数恒等式:N a N a =log . (3) 运算性质:① log a (MN)=___________________________; ② log a NM =____________________________;③ log a M n= (n ∈R).④ 换底公式:log a N = (a >0,a ≠1,m >0,m ≠1,N>0)⑤ log mna a nb b m = .2.对数函数:① 定义:函数 称为对数函数,1) 函数的定义域为( ;2) 函数的值域为 ;3) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数;4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( ),图象在 ;2) 对数函数以 为渐近线(当10<<a 时,图象向上无限接近y 轴;当1>a 时,图象向下无限接近y 轴);4) 函数y =log a x 与 的图象关于x 轴对称. ③ 函数值的变化特征:例1 计算:(1))32(log32-+(2)2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;(3)21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小.(1)log 332与log 556; (2)log 1.10.7与log 1.20.7;(3)已知log 21b <log 21a <log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1),如果对于任意x ∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立, 试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过A 、B 作y 轴的平行与 (1)证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上; (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标.1解:(1)方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=(2+3)-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.(2)原式=lg 2(2lg 2+lg5)+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1. (3)原式=21(lg32-lg49)-34lg821+21lg245 =21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 2解:(1)∵log 332<log 31=0, 而log 556>log 51=0,∴log 332<log 556.(2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2, ∴0>2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数,且c a b 212121log log log <<, ∴b >a >c,而y=2x 是增函数,∴2b >2a >2c .3解:当a >1时,对于任意x ∈[3,+∞),都有f(x)>0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x ∈[3,+∞),有f(x)≥log a 3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x ∈[3,+∞)都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可,∴1<a ≤3. 当0<a <1时,对于x ∈[3,+∞),有f(x)<0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f (x )=log a x 在[3,+∞)上为减函数,∴-f (x )在[3,+∞)上为增函数. ∴对于任意x ∈[3,+∞)都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x ∈[3,+∞)都成立, 只要-log a 3≥1成立即可, ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a <1. 综上,使|f(x)|≥1对任意x ∈[3,+∞)都成立的a 的取值范围是:(1,3]∪[31,1).例4(1)证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2, 由题设知x 1>1,x 2>1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上,所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上. (2)解: 由于BC 平行于x 轴,知log 2x 1=log 8x 2,即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2,得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1>1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为(3,log 83).训练1:化简求值. (1)log 2487+log 212-21log 242-1; (2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).训练2:已知0<a <1,b >1,ab >1,则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 ( )A.log a bb bba1loglog 1<< B.bbb baa1log 1log log << C.b bb aba1log 1log log << D.b bb aablog 1log 1log <<训练3:已知函数f (x )=log 2(x 2-ax-a)在区间(-∞, 1-3]上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4:已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). (1)求f(x)的定义域;(2)求f(x)的值域.1解:(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.(3)原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2解: C3解:令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=(x-2a )2-a-42a , 由以上知g(x )的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2>1, 在区间(-∞,1-3]上是减函数, 所以g(x)=x 2-ax-a 在区间(-∞,1-3]上也是单调减函数,且g(x)>0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ,即解得2-23≤a <2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a <2}.4解:(1)f(x)有意义时,有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x >1,由③得x <p,因为函数的定义域为非空数集,故p >1,f(x)的定义域是(1,p).(2)f(x)=log 2[(x+1)(p-x)] =log 2[-(x-21-p )2+4)1(2+p ] (1<x <p), ①当1<21-p <p ,即p >3时, 0<-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1,即1<p ≤3时, ∵0<-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x <1+log 2(p-1). 综合①②可知: 当p >3时,f(x)的值域是(-∞,2log 2(p+1)-2]; 当1<p ≤3时,函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1.处理对数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解.2.对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识,要达到熟练、运用自如的水平,使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3.含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4.含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注意知识的相互渗透或综合.。
对数及其运算讲义
授课内容:(一)对数1.对数的概念:一般地,如果Q=N(">O,"H1),那么数x叫做以"为底"的对数, 记作:x = b浜N(“_底数,N—真数,bg“N_对数式)说明:①注意底数的限制。
>°,且"工1;Q / =N oIog°N = x;lo。
N0注意对数的书写格式.两个重要对数:①常用对数:以10为底的对数IgN;0自然对数:以无理数0 = 2.7182&…为底的对数的对数InN.指数式与对数式的互化a b =Nolog“N= b(二)对数的运算性质如果。
>0,且"工1, M>0, N>0,那么:① log fl(M . N)=log“M+log“N;]M _Q◎亦一1呱必_1呱化③ log fl M,!= /2 log fl M (n e R)注意:换底公式】,log,log/= --------------log, (d>0,竺"Hl;C>0, g.cHl;b>0)利用换底公式推导下面的结论log h" = —log fl/? l°g°b =—(1)川;(2)吨/.(四)例题例1、设a, b, c都是正数,且3M b=6\那么()解:由 a, b, c 都是正数,且 3a =4b =6c =M,则 a=log 3\ b=logA c=log 6M 例2、若a>l, b>l,昨严吐,则『等于()A 、1B 、bC 、log h aD 、a ,OK b alog h (lo$h a)解:由对数的换底公式可以得出p 二 ------ T^~Q ----- =log it (log h a),因此,a"等于logi,a.1,则x 属于区间( 例4、若3牛9二10・3\那么x'+l 的值为( ) A 、1B 、2C 、5D 、1 或 5专题:数形结合。
2023年高考数学一轮复习讲义——对数与对数函数
§2.7 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y =a x 与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数.知识梳理 1.对数的概念一般地,如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数,记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数,记作ln N . 2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质:log a 1=0,log a a =1,log a Na =N (a >0,且a ≠1,N >0).(2)对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: ①log a (MN )=log a M +log a N ; ②log a MN =log a M -log a N ;③log a M n =n log a M (n ∈R ).(3)换底公式:log a b =log c blog c a (a >0,且a ≠1,b >0,c >0,且c ≠1).3.对数函数的图象与性质y =log a xa >10<a <1图象定义域 (0,+∞)值域R性质过定点(1,0),即x =1时,y =0当x >1时,y >0; 当0<x <1时,当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y <0y >0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y =a x (a >0且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称. 常用结论1.log a b ·log b a =1,log nm b a =n m log a b .2.如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),⎝⎛⎭⎫1a ,-1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0,则log a (MN )=log a M +log a N .( × )(2)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) (3)函数y =log a 1+x1-x 与函数y =ln(1+x )-ln(1-x )是同一个函数.( × )(4)函数y =log 2x 与y =121log x的图象重合.( √ ) 教材改编题1.函数y =log a (x -2)+2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点 . 答案 (3,2) 解析 ∵log a 1=0, 令x -2=1,∴x =3, ∴y =log a 1+2=2,∴原函数的图象恒过定点(3,2). 2.计算:(log 29)·(log 34)= .答案 4解析 (log 29)·(log 34)=lg 9lg 2×lg 4lg 3=2lg 3lg 2×2lg 2lg 3=4.3.若函数y =log a x (a >0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a = . 答案 12或2解析 当a >1时,log a 4-log a 2=log a 2=1, ∴a =2;当0<a <1时,log a 2-log a 4=-log a 2=1, ∴a =12,综上有a =12或2.题型一 对数式的运算例1 (1)设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m 等于( )A.10 B .10 C .20 D .100 答案 A解析 2a =5b =m , ∴log 2m =a ,log 5m =b ,∴1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5 =log m 10=2, ∴m 2=10,∴m =10(舍m =-10). (2)计算:log 535+122log 2log 5150-log 514= .答案 2解析 原式=log 535-log 5150-log 514+212log 2=log 535150×14+12log 2 =log 5125-1=log 553-1=3-1=2.教师备选计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64= .答案 1 解析 原式=1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.跟踪训练1 (1)已知a >b >1,若log a b +log b a =52,a b =b a ,则a +b = .答案 6解析 设log b a =t ,则t >1,因为t +1t =52,所以t =2,则a =b 2.又a b =b a , 所以b 2b =2b b ,即2b =b 2,又a >b >1,解得b =2,a =4. 所以a +b =6.(2)计算:lg 25+lg 50+lg 2·lg 500+(lg 2)2= . 答案 4解析 原式=2lg 5+lg(5×10)+lg 2·lg(5×102)+(lg 2)2 =2lg 5+lg 5+1+lg 2·(lg 5+2)+(lg 2)2 =3lg 5+1+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2=3lg 5+2lg 2+1+lg 2(lg 5+lg 2) =3lg 5+2lg 2+1+lg 2 =3(lg 5+lg 2)+1 =4.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )=log a (2x +b -1)(a >0,且a ≠1)的图象如图所示,则a ,b 满足的关系是( )A .0<a -1<b <1 B .0<b <a -1<1 C .0<b -1<a <1 D .0<a -1<b -1<1答案 A解析 由函数图象可知,f (x )为增函数,故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0,log a b ),由函数图象可知-1<log a b <0,解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)若方程4x =log a x 在⎝⎛⎦⎤0,12上有解,则实数a 的取值范围为 . 答案 ⎝⎛⎦⎤0,22解析若方程4x =log a x 在⎝⎛⎦⎤0,12上有解,则函数y =4x 和函数y =log a x 在⎝⎛⎦⎤0,12上有交点, 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,log a 12≤2,解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1,x 2分别是函数f (x )=e x +x -2,g (x )=ln x +x -2的零点,则1e x +ln x 2的值为( ) A .e 2+ln 2 B .e +ln 2 C .2D .4答案 C解析根据题意,已知x1,x2分别是函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x-2的零点,函数f(x)=e x+x-2的零点为函数y=e x的图象与y=2-x的图象的交点的横坐标,则两个函数图象的交点为(x1,1e x),函数g(x)=ln x+x-2的零点为函数y=ln x的图象与y=2-x的图象的交点的横坐标,则两个函数图象的交点为(x2,ln x2),又由函数y=e x与函数y=ln x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,而直线y=2-x也关于直线y=x对称,则点(x1,1e x)和(x2,ln x2)也关于直线y=x对称,则有x1=ln x2,则有1e x+ln x2=1e x+x1=2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.跟踪训练2(1)已知函数f(x)=log a x+b的图象如图所示,那么函数g(x)=a x+b的图象可能为()答案 D解析 结合已知函数的图象可知, f (1)=b <-1,a >1,则g (x )单调递增,且g (0)=b +1<0,故D 符合题意.(2)(2022·广州调研)设x 1,x 2,x 3均为实数,且1e x -=ln x 1,2e x -=ln(x 2+1),3e x -=lg x 3,则( ) A .x 1<x 2<x 3 B .x 1<x 3<x 2 C .x 2<x 3<x 1 D .x 2<x 1<x 3答案 D解析 画出函数y =⎝⎛⎭⎫1e x ,y =ln x ,y =ln(x +1),y =lg x 的图象,如图所示.数形结合,知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式、对数式大小 例3 (1)设a =log 3e ,b =e 1.5,c =131log 4,则( ) A .b <a <c B .c <a <b C .c <b <a D .a <c <b答案 D 解析 c =131log 4=log 34>log 3e =a . 又c =log 34<log 39=2,b =e 1.5>2, ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a =log 63,b =log 126,c =log 2412,则( )A .b <c <aB .a <c <bC .a <b <cD .c <b <a答案 C解析 因为a ,b ,c 都是正数, 所以1a =log 36=1+log 32,1b=log 612=1+log 62, 1c=log 1224=1+log 122, 因为log 32=lg 2lg 3,log 62=lg 2lg 6,log 122=lg 2lg 12,且lg 3<lg 6<lg 12,所以log 32>log 62>log 122, 即1a >1b >1c , 所以a <b <c .命题点2 解对数方程不等式例4 若log a (a +1)<log a (2a )<0(a >0,a ≠1),则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14,1解析 依题意log a (a +1)<log a (2a )<log a 1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1,a +1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a +1>2a >1,解得14<a <1.命题点3 对数性质的应用例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f (x )=ln|2x +1|-ln|2x -1|,则f (x )( ) A .是偶函数,且在⎝⎛⎭⎫12,+∞上单调递增 B .是奇函数,且在⎝⎛⎭⎫-12,12上单调递减C .是偶函数,且在⎝⎛⎭⎫-∞,-12上单调递增 D .是奇函数,且在⎝⎛⎭⎫-∞,-12上单调递减 答案 D解析 f (x )=ln|2x +1|-ln|2x -1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (-x )=ln|-2x +1|-ln|-2x -1| =ln|2x -1|-ln|2x +1|=-f (x ), ∴f (x )为奇函数,故排除A ,C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫-∞,-12时, f (x )=ln(-2x -1)-ln(1-2x )=ln -2x -11-2x=ln 2x +12x -1=ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+22x -1,∵y =1+22x -1在⎝⎛⎭⎫-∞,-12上单调递减, ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,-12上单调递减. 教师备选1.(2022·安徽十校联盟联考)已知a =log 23,b =2log 53,c =13log 2,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a >c >b B .a >b >c C .b >a >c D .c >b >a答案 B解析 ∵a =log 23>1,b =2log 53=log 59>1, c =13log 2<0,∴a b =log 23log 59=lg 3lg 2×lg 5lg 9=lg 3lg 2×lg 52lg 3 =lg 52lg 2=lg 5lg 4=log 45>1, ∴a >b ,∴a >b >c .2.若f (x )=lg(x 2-2ax +1+a )在区间(-∞,1]上单调递减,则a 的取值范围为( ) A .[1,2) B .[1,2] C .[1,+∞) D .[2,+∞)答案 A解析 令函数g (x )=x 2-2ax +1+a =(x -a )2+1+a -a 2,对称轴为x =a ,要使函数f (x )在(-∞,1]上单调递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0,a ≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0,a ≥1,解得1≤a <2,即a ∈[1,2).思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成.跟踪训练3 (1)若实数a ,b ,c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0,则下列关系中正确的是( ) A .a <b <c B .b <a <c C .c <b <a D .a <c <b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0,即log 2c <log 2b <log 2a <0, 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log a x ,x ≥2,-log ax -4,0<x <2存在最大值,则实数a 的取值范围是 .答案 ⎝⎛⎦⎤0,22解析 当a >1时,函数f (x )=log a x 在[2,+∞)上单调递增,无最值,不满足题意, 故0<a <1.当x ≥2时,函数f (x )=log a x 在[2,+∞)上单调递减,f (x )≤f (2)=log a 2; 当0<x <2时,f (x )=-log a x -4在(0,2)上单调递增,f (x )<f (2)=-log a 2-4, 则log a 2≥-log a 2-4,即log a 2≥-2=log a a -2, 即1a 2≥2,0<a ≤22, 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,22. (3)(2022·潍坊模拟)已知f (x )=1+log 3x (1≤x ≤9),设函数g (x )=f 2(x )+f (x 2),则g (x )max -g (x )min= .答案 5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤9,1≤x 2≤9,∴1≤x ≤3,∴g (x )的定义域为[1,3],g (x )=f 2(x )+f (x 2)=(1+log 3x )2+1+log 3x 2=(log 3x )2+4log 3x +2,设t =log 3x ,则0≤t ≤1,则y =t 2+4t +2=(t +2)2-2,在[0,1]上单调递增,∴当t =0即x =1时,g (x )min =2,当t =1即x =3时,g (x )max =7,∴g (x )max -g (x )min =5.课时精练1.(2022·重庆巴蜀中学月考)设a =12,b =log 75,c =log 87,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >b >aD .c >a >b答案 D解析 a =12=log 77>b =log 75,c =log 87>log 88=12=a ,所以c >a >b .2.若函数y =f (x )是函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数且f (2)=1,则f (x )等于() A .log 2x B.12x C .12log x D .2x -2答案 A解析 函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数是f (x )=log a x ,又f (2)=1,即log a 2=1,所以a =2.故f (x )=log 2x .3.(2022·昆明模拟)我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.一般地,声音的强度用(W/m 2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L 1=10 lg I I 0(单位:分贝,L 1≥0,其中I 0=1×10-12是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).某新建的小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,则声音强度I 的取值范围是( )A .(-∞,10-7)B .[10-12,10-5)C .[10-12,10-7)D .(-∞,10-5)答案 C解析 由题意可得,0≤10·lg I I 0<50, 即0≤lg I -lg(1×10-12)<5,所以-12≤lg I <-7,解得10-12≤I <10-7,所以声音强度I 的取值范围是[10-12,10-7).4.设函数f (x )=()212log ,0,log ,0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( ) A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)答案 C解析 由题意得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 或()()1220,log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩ 解得a >1或-1<a <0.5. (多选)函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .a >1B .0<c <1C .0<a <1D .c >1答案 BC解析 由图象可知函数为减函数,∴0<a <1,令y =0得log a (x +c )=0,x +c =1,x =1-c ,由图象知0<1-c <1,∴0<c <1.6.(多选)已知函数f (x )=ln(e 2x +1)-x ,则( )A .f (ln 2)=ln 52B .f (x )是奇函数C .f (x )在(0,+∞)上单调递增D .f (x )的最小值为ln 2答案 ACD解析 f (ln 2)=ln(e 2ln 2+1)-ln 2=ln 52, 故A 项正确;f (x )=ln(e 2x +1)-x =ln(e 2x +1)-ln e x=ln e 2x +1e x =ln(e x +e -x ), 所以f (-x )=ln(e x +e -x ),所以f (-x )=f (x ),所以f (x )为偶函数,故B 项错误;当x >0时,y =e x +e -x 在(0,+∞)上单调递增,因此y =ln(e x +e -x )在(0,+∞)上单调递增,故C 项正确;由于f (x )在(0,+∞)上单调递增,又f (x )为偶函数,所以f (x )在(-∞,0]上单调递减,所以f (x )的最小值为f (0)=ln 2,故D 项正确.7.(2022·海口模拟)log 327+lg 25+lg 4+27log 7+138的值等于 . 答案 152 解析 原式=323log 3+lg 52+lg 22+2+1332⨯ =32+2lg 5+2lg 2+2+2 =32+2(lg 5+lg 2)+2+2 =32+2+2+2 =152. 8.函数f (x )=log 2x ·()2x 的最小值为 .答案 -14 解析 依题意得f (x )=12log 2x ·(2+2log 2x )=(log 2x )2+log 2x =⎝⎛⎭⎫log 2x +122-14≥-14,当log 2x =-12,即x =22时等号成立,所以函数f (x )的最小值为-14. 9.设f (x )=log 2(a x -b x ),且f (1)=1,f (2)=log 212.(1)求a ,b 的值;(2)当x ∈[1,2]时,求f (x )的最大值.解 (1)因为f (x )=log 2(a x -b x ),且f (1)=1,f (2)=log 212,所以⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a -b )=1,log 2(a 2-b 2)=log 212,即⎩⎪⎨⎪⎧a -b =2,a 2-b 2=12,解得a =4,b =2.(2)由(1)得f (x )=log 2(4x -2x ),令t =4x -2x ,则t =4x -2x =⎝⎛⎭⎫2x -122-14, 因为1≤x ≤2,所以2≤2x ≤4,所以94≤⎝⎛⎭⎫2x -122≤494,即2≤t ≤12, 因为y =log 2t 在[2,12]上单调递增,所以y max =log 212=2+log 23,即函数f (x )的最大值为2+log 23.10.(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性并予以证明;(2)当a >1时,求使f (x )>0的x 的解集.解 (1)f (x )是奇函数,证明如下:因为f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1,f (x )的定义域为(-1,1).f (-x )=log a (-x +1)-log a (1+x )=-[log a (1+x )-log a (-x +1)]=-f (x ),故f (x )是奇函数.(2)因为当a >1时,y =log a (x +1)是增函数,y =log a (1-x )是减函数,所以当a >1时,f (x )在定义域(-1,1)内是增函数,f (x )>0即log a (x +1)-log a (1-x )>0,log a x +11-x >0,x +11-x >1,2x 1-x >0,2x (1-x )>0,解得0<x <1,故使f (x )>0的x 的解集为(0,1).11.设a =log 0.20.3,b =log 20.3,则( )A .a +b <ab <0B .ab <a +b <0C .a +b <0<abD .ab <0<a +b答案 B解析 ∵a =log 0.20.3>log 0.21=0,b =log 20.3<log 21=0,∴ab <0. ∵a +b ab =1a +1b=log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4, ∴1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,∴0<a +b ab<1,∴ab <a +b <0. 12.若实数x ,y ,z 互不相等,且满足2x =3y =log 4z ,则( )A .z >x >yB .z >y >xC .x >y ,x >zD .z >x ,z >y 答案 D解析 设2x =3y =log 4z =k >0,则x =log 2k ,y =log 3k ,z =4k ,根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ,4k >log 3k ,即z >x ,z >y .13.(2022·沈阳模拟)函数f (x )=|log 3x |,若正实数m ,n (m <n )满足f (m )=f (n ),且f (x )在区间[m 2,n ]上的最大值为2,则n -m 等于( ) A.83 B.809 C.154 D.25516答案 A解析 ∵f (x )=|log 3x |,正实数m ,n (m <n )满足f (m )=f (n ),∴0<m <1<n ,且|log 3m |=|log 3n |,∴log 3m =-log 3n ,∴log 3m +log 3n =0,解得mn =1,又∵f (x )在区间[m 2,n ]上的最大值为2,易知f (m 2)=-log 3m 2=2,此时⎩⎪⎨⎪⎧m =13,n =3,∴n -m =83. 14.(2022·惠州模拟)若函数f (x )=log a ⎝⎛⎭⎫x 2-ax +12有最小值,则实数a 的取值范围是 . 答案 (1,2)解析 令u =x 2-ax +12=⎝⎛⎭⎫x -a 22+12-a 24, 则u 有最小值12-a 24, 欲使函数f (x )=log a ⎝⎛⎭⎫x 2-ax +12有最小值, 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1,12-a 24>0,解得1<a <2,即实数a 的取值范围为(1,2).15.(2022·丽水模拟)已知log a (a +1)<log (a +1)a (a >0且a ≠1),则a 的取值范围是 . 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+52,1 解析 ∵log a (a +1)-log (a +1)a=lg (a +1)lg a -lg a lg (a +1)=lg 2(a +1)-lg 2a lg a lg (a +1)=[lg (a +1)-lg a ][lg (a +1)+lg a ]lg a lg (a +1)当a >1时,lg(a +1)>lg a >0,∴log a (a +1)>log (a +1)a ,不符合题意;当0<a <1时,lg a <0,lg(a +1)>0, lg(a +1)-lg a =lg a +1a>lg 1=0, lg(a +1)+lg a =lg [a (a +1)]=lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a +122-14, ∴log a (a +1)<log (a +1)a (0<a <1)即为lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a +122-14>0, 由于y =lg x (x >0)单调递增,∴⎝⎛⎭⎫a +122-14>1. 又0<a <1,解得-1+52<a <1, 综上有a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+52,1. 16.已知函数f (x )=log 2(2x +k )(k ∈R ).(1)当k =-4时,解不等式f (x )>2;(2)若函数f (x )的图象过点P (0,1),且关于x 的方程f (x )=x -2m 有实根,求实数m 的取值范围. 解 (1)当k =-4时,f (x )=log 2(2x -4).由f (x )>2,得log 2(2x -4)>2,得2x -4>4,得2x >8,解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3,+∞).(2)因为函数f (x )=log 2(2x +k )(k ∈R )的图象过点P (0,1), 所以f (0)=1,即log 2(1+k )=1,解得k =1.所以f (x )=log 2(2x +1).因为关于x 的方程f (x )=x -2m 有实根, 即log 2(2x +1)=x -2m 有实根. 所以方程-2m =log 2(2x +1)-x 有实根. 令g (x )=log 2(2x +1)-x ,则g (x )=log 2(2x +1)-x=log 2(2x +1)-log 22x=log 22x +12x =log 2⎝⎛⎭⎫1+12x . 因为1+12x >1,log 2⎝⎛⎭⎫1+12x >0, 所以g (x )的值域为(0,+∞). 所以-2m >0,解得m <0.所以实数m 的取值范围是(-∞,0).。
对数与对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数知识点与例题讲解知识梳理: 一、对数1、定义:一般地,如果()0,1x a N a a =>≠,那么实数x 叫做以a 为底N 的对数,记作a x log N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数.2、特殊对数⑴通常以10为底的对数叫做常用对数,并把10log N 记为lgN ; ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数,并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算⑴运算性质:如果0,1,0,0a a M N >≠>>且,那么:①()a a a log MN log M log N =+;②a a a Mlog log M log N N=-;③()n a a log M nlog M n R =∈;④(),0m na a n log M log M n R m m=∈≠;⑤1a b log b log a =;⑥a log N a N =.⑵换底公式:c a c log blog b log a=.二、对数函数1、定义:一般地,函数()01a y log x a a =>≠,且叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是()0,+∞.2、图像和性质1>a10<<a图像性质定义域: 值域:过定点 ,即当1=x 时,0=y在R 上是在R 上是非奇非偶函数3、同底的指数函数xa y =与对数函数x y a log =互为反函数,它们的图像关于直线x y =对称.【课前小测】1、2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭写成对数式,正确的是( )A 、9123log =- B 、1392log =- C 、()1329log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点( )A 、()1,1B 、()1,0C 、()0,1D 、()0,0 3、49343log 等于( ) A 、7 B 、2 C 、23 D 、324、函数()()31f x lg x =+的定义域是( )A 、1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5、函数()21f x log x =+的定义域是( )A 、(),-∞+∞B 、()0,+∞C 、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D 、10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦考点一、化简和求值例1、⑴552log 10log 0.25+=( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 解析:2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 525=2 ⑵计算:3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+. 解:原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=. 变式、⑴(辽宁卷文10)设25abm +=,且112a b+=,则m =( ) A 、10 B 、10 C 、20 D 、100 ⑵已知32a=,用a 表示33log 4log 6-;⑶已知3log 2a =,35b=,用a 、b 表示 30log 3.考点二、比较大小例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小:⑴6log 7,7log 6; ⑵3log π,2log 0.8; ⑶0.91.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8; ⑷5log 3,6log 3,7log 3. 答案:⑴>;⑵>;⑶>,>;⑷>,>.变式、⑴已知函数()|lg |f x x =,若11a b c>>>,则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为 ;a c b <<⑵已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小. 解:∵log 4log 4m n <, ∴4411log log m n <,当1m >,1n >时,得44110log log m n<<,∴44log log n m <, ∴1m n >>.当01m <<,01n <<时,得44110log log m n<<,∴44log log n m <, ∴01n m <<<.当01m <<,1n >时,得4log 0m <,40log n <, ∴01m <<,1n >, ∴01m n <<<.综上所述,m ,n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<. 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x .解:原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≥->->-2)3(11301x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<>-2)3(113001x x x x解之得:4<x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4<x ≤5}⑵解关于x 的不等式:)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a . 解:原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x(其实中间一个不等式可省,为什么?让学生思考)当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴当a >1时不等式的解集为221<<x ;当0<a <1时不等式的解集为42<<x ⑶解不等式24log ax x xxa > 解:两边取以a 为底的对数:当0<a <1时原不等式化为:2log 29)(log 2-<x x a a ∴0)1log 2)(4(log <--x x a a ,4log 21<<x a , ∴a x a <<4 当a >1时原不等式化为:2log 29)(log 2->x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ,∴ 21log 4log <>x x a a 或 ,∴a x a x <<>04或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<a a x a x 或}1,0|{4><<>a a x a x x 或考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域例4、⑴函数2()lg(31)f x x ++的定义域是( ) A 、1(,)3-+∞ B 、1(,1)3- C 、11(,)33- D 、1(,)3-∞-⑵函数(21)log x y -= )A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭⑶函数()()2log 31xf x =+的值域为( )A 、()0,+∞B 、[)0,+∞C 、()1,+∞D 、[)1,+∞ 变式、求函数y =的定义域.② 单调性、奇偶性例5、⑴函数y =log 3(x 2-2x )的单调减区间是________. 解: 令u =x 2-2x ,则y =log 3u . ∵y =log 3u是增函数,u =x 2-2x >0的减区间是(-∞,0),∴y =log 3(x 2-2x )的减区间是(-∞,0).⑵设0<a <1,函数f (x )=log a (a 2x -2a x -2),则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A 、(-∞,0) B 、(0,+∞) C 、(-∞,log a 3)D 、(log a 3,+∞)解:由f (x )<0,即a 2x -2a x -2>1,整理得(a x -3)(a x +1)>0,则a x >3.∴x <log a 3. ⑶函数y =log 22-x2+x 的图象( )A 、关于原点对称B 、关于直线y =-x 对称C 、关于y 轴对称D 、关于直线y =x 对称解:∵f (x )=log 22-x 2+x ,∴f (-x )=log 22+x 2-x =-log 22-x2+x∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.故选A .变式、⑴若011log 22<++aa a,则a 的取值范围是( ) A 、),21(+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)21,0(⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ,则a 的取值范围是 .⑶若函数)2(log )(22a x x x f a ++= 是奇函数,则a = .③综合应用例6、设函数f (x )=log a ⎝⎛⎭⎫1-ax ,其中0<a <1. ⑴证明:f (x )是(a ,+∞)上的减函数; ⑵解不等式f (x )>1.解析:⑴证明:设0<a <x 1<x 2,g (x )=1-ax ,则g (x 1)-g (x 2)=1-a x 1-1+a x 2=a (x 1-x 2)x 1x 2<0,∴g (x 1)<g (x 2).又∵0<a <1,∴f (x 1)>f (x 2). ∴f (x )在(a ,+∞)上是减函数.⑵∵log a ⎝⎛⎭⎫1-a x >1,∴0<1-ax <a ,解得:⎩⎪⎨⎪⎧x >a ,x <a 1-a ,∴不等式的解集为:{x |a <x <a1-a}.变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-.⑴求函数()f x 的定义域;⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数;⑶求函数()f x 的值域. 随堂巩固1、6632log log +等于( )A 、6B 、5C 、1D 、65log 2、在()23a b log -=中,实数a 的取值范围是( )A 、2a <B 、2a >C 、23,3a a <<>或D 、3a > 3、下列格式中成立的是( )A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+C 、()()()a a a log xy log x log y =•D 、a a a xlog log y log x y=- 4、213alog > ,则a 的取值范围是( ) A 、312a <<B 、30112a a <<<<或C 、213a <<D 、2013a a <<>或 5、已知ab M =()0,0,1a b M >>≠,且log M b x =,则log M a 等于( ) A 、1x - B 、1x + C 、1xD 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =,2log 5b =,则lg 3等于( ) A 、1ab - B 、()321a b - C 、()321a b + D 、()312a b -7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ,函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为G ,那么( )A 、G F ≠⊂B 、G F =C 、F G ⊆D 、FG =∅8、(08山东)已知函数()2300x x f x log x x ⎧≤=⎨>⎩,,,12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦( ) A 、1- B、log CD 、139、若()6430log log log x =⎡⎤⎣⎦,则12x -等于( )A 、9B 、91C 、3D 、3310、若M =⋅32log 4log 3log 3132 ,则M 的值是( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( )A 、2a -B 、5a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 21f 与)(π-f 的大小关系是( )A 、)8(log 21f >)(π-f B 、)8(log 21f =)(π-fC 、)8(log 21f < )(π-f D 、不能确定13、若312log 19x-=,则x = ; 14、已知:lg 21.3a =,则lg0.213=___________;15、()2211log log 1a a x x -->+,则a 的取值范围为________________; 16、比较大小⑴8.1log 3 7.2log 3;⑵5log 6 7log 6; 17、若14log 3=x ,则=+-xx44___________;18、已知log 1a x =,log 2b x =,log 4c x =,则log abc x =____________; 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=-,求的值.20、⑴已知a =2lg ,b =3lg ,试用b a 、表示5log 12;⑵已知a =3log 2,b =7log 3,试用b a 、表示56log 14.21、已知())lgf x x =.⑴求()f x 的定义域; ⑵求证:()f x 是奇函数.22、解关于x 的不等式:)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解:原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x当0<a <1时有42234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或∴ 当a >1时不等式的解集为221<<x ; 当0<a <1时不等式的解集为42<<x课后巩固1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是( )A 、N a b =B 、N b a =C 、b a N= D 、a b N =2、设255lg =x,则x 的值等于( )A 、10B 、0.01C 、100D 、1000 3、()[]0log log log 234=x ,那么21-x等于( )A 、2B 、21C 、4D 、414、化简9log 8log 5log 4log 8543•••的结果是( ) A 、1 B 、23C 、2D 、3 5、函数()1log 21-=x y 的定义域是( )A 、()+∞,1B 、()2,∞-C 、()+∞,2D 、(]2,1 6、若09log 9log <<n m ,那么n m ,满足的条件是( )A 、1>>n mB 、1>>m nC 、10<<<m nD 、10<<<n m7、若132log <a ,则a 的取值范围是( )A 、()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,132,0B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,32 D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,3232,08、函数()176log 221+-=x x y 的值域是( )A 、RB 、[)+∞,8C 、()3,-∞-D 、[)+∞,39、函数⎪⎭⎫⎝⎛--=112lg x y 的图像关于( ) A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称 10、图中的曲线是x y a log =的图像,已知a 的值为51,103,34,2,则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为( )A 、103,51,34,2B 、51,103,34,2C 、2,34,103,51D 、51,103,2,3411、比较两个对数值的大小:7ln 12ln ;7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=•+50lg 2lg 5lg 2.13、函数()()x xx f -+=1lg2是 函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”).14、函数xa y =的反函数的图像经过点()2,9,则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ,()()x x g a -=1log ()10≠>a a ,且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域;(10分) ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.(10分)16、已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小。
对数及对数函数 知识点总结及典例
对数及对数函数一.知识梳理 (一).对数的概念①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是ba = N ,那么数b 称以a 为底N 的对数,记作log a N = b 其中a 称对数的底,N 称真数。
1)以10为底的对数称常用对数,N 10log 记作N lg ;2)以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数,log e N ,记作N ln ;3)指数式与对数式的互化 ba = N ⇔log a N =b ②基本性质:1)真数N 为正数(负数和零无对数);2)log 10a =;3)1log =a a ;4)对数恒等式:N a Na =log 。
③运算性质:如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1)N M MN a a a log log )(log +=; 2)N M N M a a a log log log -=;3)∈=n M n M a na (log log R )。
④换底公式:),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1)1log log =⋅a b b a ;2)b mnb a na m log log =。
(二)对数函数1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).2三.【例1】比较下列各组数的大小:(1)3log 2与()23log 3x x -+(2) 1.1log 0.7与 1.2log 0.7(3)32log 3与56log 5【变式训练1】比较大小:4.0lg 4.0log 4.0log 4.0log 3211.0【变式训练2】已知01a <<,log log 0a a m n <<,则( ).A 1n m << .B 1m n << .C 1m n << .D 1n m <<【例2】下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ( ) A 、0lg11100==与 B 、3131log 31272731-==-与 C 、39921log 213==与 D 、5515log 15==与【变式训练1】.若()125log -=-x,则x 的值为 ( )A 、25-B 、25+C 、2525+-或D 、52- 【变式训练2】.若()log lg ,x ______x ==20则【变式训练3】=-+7log 3log 49log 212121 。
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对数及对数函数的综合运用一.基础知识 1.对数运算公式(1)零与负数没有对数 (2)01log =a (3)1log=a aN M MN aaalogloglog)4(+=N M N Maaalogloglog )5(-=Mn Manalog log)6(=(7) )10,10,0(loglog log≠>≠>>=m m a a N aN N mm a且且(8)lo g lo g 1a b b a ∙=(9)lo g lo glo g 1a bc b c a ∙∙=2.对数函数一般形式: y =alog x (a>0且a≠1)图象:定义域:(0,+ ∞) 值域:(0,+ ∞) 过定点:(1,0)单调性: a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数0<a<1, 在(-∞,+∞)上为减函数 奇偶性:非奇非偶值分布: 当时且1,1>>x a y>0 当时且1,10><<x a y<0时且10,1<<>x a y<0 时且10,10<<<<x a y>0二、题型剖析 对数运算⑴将下列指数式改写成对数式;1624=;27133=-;205=a;45.021=⎪⎭⎫ ⎝⎛b⑵将下列对数式改写成指数式; 3125log 5=; 23log 31-=;699.1lg -=a计算: (1)1lo g 2lo g 2a a+; (2)33lo g 18lo g 2-; (3)1lglg 254-;(4)552lo g 10lo g 0.25+; (5)522lo g 253lo g 64+; (6)22lo g (lo g 16)。
(7)2lg 50lg )5(lg 2⋅+ (8)12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+(9)3log 333558log 932log2log 2-+-; (10)2)2(lg 20lg 5lg 8lg 3225lg +∙++;换底公式的运用1.已知4.1log ,35log 75求m =2.若aa a +-==3)3(416log:,27log 612求证3.已知,518,9log 18==ba 求.45log36指对数互化1已知x,y,z 为正数,满足zyx 643==① 求证:xzy1121-=②比较3x 、4y 、6z 的大小对数方程1.方程12)321(log 3+=∙-x x 的解=x .2.方程3lg lg )2lg(2+=+x x 的解是 。
第09讲-对数与对数函数(讲义版)
第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;3.知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).二、知识梳理1.对数的概念一般地,对于指数式a b=N,我们把“以a为底N的对数b”记作log a N,即b=log a N(a>0,且a≠1).其中,数a叫做对数的底数,N叫做真数,读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质:①a log a N=N;②log a a b=b(a>0,且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①log a(MN)=log a M+log a N;②log a MN=log a M-log a N;③log a M n=n log a M(n∈R);④log a m M n=nm log a M(m,n∈R,且m≠0).(3)换底公式:log b N=log a Nlog a b(a,b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念:函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b =1log ba ;(2)log a mb n =n m log a b . 其中a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1,m ,n ∈R .2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,-1,函数图象只在第一、四象限.三、 经典例题考点一 对数的运算【例1-1】 (1)计算:⎝⎛⎭⎫lg 14-lg 25÷100-12=________. (2)计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64=________.【解析】 (1)原式=(lg 2-2-lg 52)×10012=lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.(2)原式=1-2log 63+(log 63)2+log 6 63·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.规律方法 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b =N ⇔b =log a N (a >0,且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )=a x -a -x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数,则函数y =log a (|x |-1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1,2)时,不等式(x -1)2<log a x 恒成立,则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2]D.⎝⎛⎭⎫0,12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数,知0<a <1.又y =log a (|x |-1)是偶函数,定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).∴当x >1时,y =log a (x -1)的图象由y =log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意,易知a >1.在同一坐标系内作出y =(x -1)2,x ∈(1,2)及y =log a x 的图象.若y =log a x 过点(2,1),得log a 2=1,所以a =2.根据题意,函数y =log a x ,x ∈(1,2)的图象恒在y =(x -1)2,x ∈(1,2)的上方. 结合图象,a 的取值范围是(1,2].规律方法 1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用【例3-1】 已知函数f (x )=ln x +ln(2-x ),则( ) A.f (x )在(0,2)上单调递增 B.f (x )在(0,2)上单调递减C.y =f (x )的图象关于直线x =1对称D.y =f (x )的图象关于点(1,0)对称解析 由题意知,f (x )=ln x +ln(2-x )的定义域为(0,2),f (x )=ln[x (2-x )]=ln[-(x -1)2+1],由复合函数的单调性知,函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除A ,B ;又f (2-x )=ln(2-x )+ln x =f (x ),所以f (x )的图象关于直线x =1对称,C 正确,D 错误. 答案 C【例3-2】 (1)(一题多解)已知a =log 2e ,b =ln 2,c =log 1213,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0,12 C.⎝⎛⎭⎫12,1D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】 (1)法一 因为a =log 2e>1,b =ln 2∈(0,1),c =log 1213=log 23>log 2e =a >1,所以c >a >b .法二 log 1213=log 23,如图,在同一坐标系中作出函数y =log 2x ,y =ln x 的图象,由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a , 又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1, 同时2a >1,∴a >12.综上,a ∈⎝⎛⎭⎫12,1. 【例3-3】 已知函数f (x )=log a (3-ax ).(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1,设t (x )=3-ax , 则t (x )=3-ax 为减函数,x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3-2a , 当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义, 即x ∈[0,2]时,3-ax >0恒成立.∴3-2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1,∴a 的取值范围是(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1,32. (2)t (x )=3-ax ,∵a >0, ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y =log a t 为增函数,∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x )最小值为3-2a ,f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,log a(3-a )=1,即⎩⎨⎧a <32,a =32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时,log a b >0; 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时,log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过比较图象与直线y =1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y =log a x 的定义域应为(0,+∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系,当底数a 与1的大小关系不确定时,要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α=αlog a M 中,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M α=αlog a |M |(α∈N +,且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.四、 课时作业1.(2020·土默特左旗金山学校高一开学考试(文))设82log 9log 3a=,则实数a 的值为( )A .32B .23C .1D .22.(2020·长春市第二十九中学高三期末(理))函数y =ln |x |+1的图象大致为 ( )A .B .C .D .3.(2020·陕西省高三开学考试(文))若24log log 1x y +=,则( )A .22x y =B .24x y =C .22xy =D .24xy =4.(2020·九台市第四中学高一期末)函数0.5log (43)y x =-的定义域为( )A .(34,1) B .(34,∞) C .(1,+∞) D .(34,1)∪(1,+∞) 5.(2020·海南省海南中学高三月考)已知实数ln22a =,22ln2b =+,2(ln2)c =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c a b << B .c b a << C .b a c <<D .a c b <<6.(2020·肥东县综合高中高三二模(理))已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠,若1234x x x x <<<,且()()()()1234f x f x f x f x ===,则12341111x x x x +++=( )A .2B .4C .8D .随a 值变化7.(2020·榆林市第二中学高三零模(理))等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=( )A .12B .10C .8D .32log 5+8.(2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试(理))已知0,0a b >>,且1ab =,则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是( )A .B .C .D .9.(2020·湖南省宁乡一中高一期末)设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()()2f f 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .310.(2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试)已知函数2()log (23)a f x x x =+-,若(2)0f >,则此函数的单调递增区间是( )A .(1,)(,3)+∞-∞- B .(,3)-∞-B .C .(,1)-∞-D .(1,)+∞11.(2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考(文))已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增,且()1y f x =-的图象关于1x =对称,若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭,则a 的取值范围是( )A .10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B .1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .1,44⎛⎫⎪⎝⎭D .()4,+∞12.(2020·甘肃省高三一模(文))若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数(其中a 为常数),则不等式()0f x ≥的整数解的个数是( ) A .1011B .1010C .2020D .202113.(2020·湖南省宁乡一中高一期末)计算:02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________. 14.(2020·江苏省盐城中学高三月考)已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,,,若[(0)]2f f =,则实数a 的值是_______.15.(2020·海南枫叶国际学校高一期末)不用计算器求下列各式的值 (1)()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)7log 23lg25lg472log +++16.(2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试)设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅,且199x ≤≤. (1)求(3)f 的值;(2)令3log t x =,将()f x 表示成以t 为自变量的函数;并由此,求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值.17.(2020·四川省乐山沫若中学高一月考)已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠=>且 .(1)当[]02x ∈,时,函数()f x 恒有意义,求实数a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[]12,上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.18.(2020·天水市第一中学高一月考)已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<.(1)当12m =时,求()f x 的定义域; (2)试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性,并给出证明; (3)若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值,求实数m 的取值范围.19.(2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试(文))已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠. (1)求函数()f x 定义域;(2)若(2)2f =,判断函数()f x 单调性,并用单调性定义证明; (3)解关于x 的不等式()0f x >.20.(2020·山西省大同一中高二月考(理))已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时,求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域;(2)如果对任意的[]1,4x ∈,不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立,求实数k 的取值范围.。
高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解
对数与对数函数1.对数(1)对数的定义:如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b .(2)指数式与对数式的关系:a b =N log a N =b (a >0,a ≠1,N >0).两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化.(3)对数运算性质:①log a (MN )=log a M +log a N .②log a =log a M -log a N .NM ③log a M n =n log a M .(M >0,N >0,a >0,a ≠1)④对数换底公式:log b N =(a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,N >0).bN a a log log 2.对数函数(1)对数函数的定义函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是,根据对数定义: log a a=1;如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数(比如log 1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4;一个等于1/16,另一个等于-1/16)(2)对数函数的图象11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.(3)对数函数的性质:①定义域:(0,+∞).②值域:R .③过点(1,0),即当x =1时,y =0.④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数.基础例题1.函数f (x )=|log 2x |的图象是?2.若f-1(x )为函数f (x )=lg (x +1)的反函数,则f-1(x )的值域为___________________.3.已知f (x )的定义域为[0,1],则函数y =f [log(3-x )]的定21义域是__________.4.若log x =z ,则x 、y 、z 之间满足7y A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x zD.y =z x5.已知1<m <n ,令a =(log n m )2,b =log n m 2,c =log n (log n m ),则A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.c <a <b6.若函数f (x )=log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 等于A.B.C. D.422241217.函数y =log 2|ax -1|(a ≠0)的对称轴方程是x =-2,那么a 等于 (x=-2非解)A.B.-C.2D.-221218.函数f (x )=log 2|x |,g (x )=-x 2+2,则f (x )·g (x )的图象只可能是AB9.设f-1(x )是f (x )=log 2(x +1)的反函数,若[1+ f-1(a )][1+ f -1(b )]=8,则f (a +b )的值为A.1B.2C.3D.log 2310.方程lg x +lg (x +3)=1的解x =___________________.典型例题【例1】 已知函数f (x )=则f (2+log 23)的值为⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,21(x x f x xA.B.C.D.3161121241【例2】 求函数y =log 2|x |的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间.【例3】已知f (x )=log [3-(x -1)2],求f (x )的值域及单31调区间.【例4】已知y =log a (3-ax )在[0,2]上是x 的减函数,求a 的取值范围.【例5】设函数f (x )=lg (1-x ),g (x )=lg (1+x ),在f (x )和g (x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g (x )|的大小.【例6】 求函数y =2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值.【例7】 在f 1(x )=x ,f 2(x )=x 2,f 3(x )=2x ,f 4(x )=log x 四2121个函数中,x 1>x 2>1时,能使[f (x 1)+f (x 2)]<f ()成21221x x 立的函数是A.f 1(x )=x(平方作差比较)B.f 2(x )21=x 2C.f3(x)=2xD.f4(x)=log x12探究创新1.若f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2[f(a)]=2(a≠1).(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值;(2)x取何值时,f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]<f(1)?2.已知函数f(x)=3x+k(k为常数),A(-2k,2)是函数y=f -1(x)图象上的点.(1)求实数k的值及函数f-1(x)的解析式;(2)将y= f-1(x)的图象按向量a=(3,0)平移,得到函数y=g(x)的图象,若2f-1(x+-3)-g(x)≥1恒成立,试求m实数m的取值范围.。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质相关知识点总结:1.对数的概念一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数与指数间的关系3.对数的基本性质(1)负数和零没有对数.(2)log a1=0(a>0,a≠1).(3)log a a=1(a>0,a≠1).10.对数的基本运算性质(1)log a(M·N)=log a M+log a N.(2)log a=log a M-log a N.(3)log a M n=n log a M(n∈R).4.换底公式(1)log a b=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1,b>0).(2)5.对数函数的定义一般地,我们把函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).6.7.反函数对数函数y=log a x(a>0且a≠1)和指数函数y=a x(a>0且a≠1)互为反函数.基础练习:1.将下列指数式与对数式互化:(1)2-2=;(2)102=100;(3)e a=16;(4)64-=;2.若log3x=3,则x=_________3.计算:(1);(2);(3)24.(1)=________.(2)5.设a=log310,b=log37,则3a-b=_________.6.若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为______________.7.(1)如图2-2-1是对数函数y=log a x的图象,已知a值取,,,,则图象C1,C2,C3,C4相应的a值依次是______________(2)函数y=lg(x+1)的图象大致是()4.求下列各式中的x的值:(1)log8x=-;(2)log x27=;8.已知函数f(x)=1+log2x,则f()的值为__________.9.在同一坐标系中,函数y=log3x与y=log x的图象之间的关系是_______________10.已知函数f(x)=那么f(f())的值为___________.例题精析:例1.求下列各式中的x值:(1)log3x=3;(2)log x4=2;(3)log28=x;(4)lg(ln x)=0.变式突破:求下列各式中的x的值:(1)log8x=-;(2)log x27=;(3)log2(log5x)=0;(4)log3(lg x)=1.例2.计算下列各式的值:(1)2log510+log50.25;(2)lg-lg+lg(3)lg25+lg8+lg5×lg20+(lg2)2.变式突破:计算下列各式的值:(1)3log4;(2)32+log35;(3)71-log75;(4)4(log29-log25).例3.求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=;(3)y=log(2x-1)(-4x+8).变式突破:求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=;(3).例4.比较下列各组中两个值的大小:(1)ln0.3,ln2;(2)log a3.1,log a5.2(a>0,且a≠1);(3)log30.2,log40.2;(4)log3π,logπ3.变式突破:若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为________.例5.解对数不等式(1)解不等式log2(x+1)>log2(1-x);(2)若log a<1,求实数a的取值范围.变式突破:解不等式:(1)log3(2x+1)>log3(3-x).(2)若log a2>1,求实数a的取值范围.课后作业:1.已知log x16=2,则x等于___________.2.方程2log3x=的解是__________.3.有以下四个结论:①lg(lg10)=0;②ln(lne)=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是_____________.4.函数y=log a(x+2)+1的图象过定点___________.5.设a=log310,b=log37,则3a-b=()6.若log a=-2,log b9=2,c=log327,则a+b+c等于___________.7..设3x=4y=36,则+=___________.。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质相关知识点总结:1.对数的概念一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.a叫做对数的底数,N叫做真数.2. 对数与指数间的关系3.对数的基本性质(1)负数和零没有对数. (2)log a1=0(a>0,a≠1). (3)log a a=1(a>0,a≠1).10.对数的基本运算性质(1)log a(M·N)=log a M+log a N.(2)log a MN=log a M-log a N.(3)log a M n=n log a M(n∈R).4.换底公式(1)log a b=log c blog c a(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1,b>0).(2)log b a=1logab5.对数函数的定义一般地,我们把函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).6.7.反函数对数函数y=log a x(a>0且a≠1)和指数函数y=a x(a>0且a≠1)互为反函数.基础练习:1.将下列指数式与对数式互化:(1)2-2=14; (2)102=100; (3)e a =16; (4)64-13=14;2. 若log 3x =3,则x =_________3.计算:(1)log 216=_________; (2) log 381=_________; (3)2log 62+log 69=__________4.(1) log 29log 23=________. (2)log 23log 34log 48=________________5. 设a =log 310,b =log 37,则3a -b =_________.6.若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为______________.7.(1)如图2-2-1是对数函数y =log a x 的图象,已知a 值取3,43,35,110,则图象C 1,C 2,C 3,C 4相应的a 值依次是______________(2)函数y =lg(x +1)的图象大致是( )4. 求下列各式中的x 的值:(1)log 8x =-23;(2)log x 27=34;8.已知函数f (x )=1+log 2x ,则f (12)的值为__________.9. 在同一坐标系中,函数y =log 3x 与y =log 13x 的图象之间的关系是_______________10. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤0),log 2x (x >0),那么f (f (18))的值为___________. 例题精析:例1.求下列各式中的x 值:(1)log 3x =3; (2)log x 4=2; (3)log 28=x ; (4)lg(ln x )=0. 变式突破:求下列各式中的x 的值:(1)log 8x =-23; (2)log x 27=34; (3)log 2(log 5x )=0; (4)log 3(lg x )=1.例2.计算下列各式的值:(1)2log 510+log 50.25; (2)12lg 3249-43lg 8+lg 245 (3)lg 25+23lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.变式突破:计算下列各式的值:(1)312log 34; (2)32+log 35; (3)71-log 75; (4)412(log 29-log 25). 例3.求下列函数的定义域:(1)y =lg (2-x ); (2)y =1log 3(3x -2); (3)y =log (2x -1)(-4x +8). 变式突破:求下列函数的定义域:(1)y =log 12(2-x ); (2)y =1log 2(x+2) ; (3)√1−log 2x .例4.比较下列各组中两个值的大小:(1)ln 0.3,ln 2; (2)log a 3.1,log a 5.2(a >0,且a ≠1);(3)log 30.2,log 40.2; (4)log 3π,log π3.变式突破:若a =log 0.20.3,b =log 26,c =log 0.24,则a ,b ,c 的大小关系为________. 例5.解对数不等式(1)解不等式log 2(x +1)>log 2(1-x );(2)若log a 23<1,求实数a 的取值范围.变式突破:解不等式:(1)log 3(2x +1)>log 3(3-x ).(2)若log a 2>1,求实数a 的取值范围. 课后作业:1. 已知log x 16=2,则x 等于___________.2. 方程2log 3x =14的解是__________.3. 有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x ,则x =10;④若e =ln x ,则x =e 2.其中正确的是_____________.4.函数y =log a (x +2)+1的图象过定点___________.5. 设a =log 310,b =log 37,则3a -b =( )6. 若log 12a =-2,logb 9=2,c =log 327,则a +b +c 等于___________.7.. 设3x =4y =36,则2x +1y =___________.。
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1.对数的概念 如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做__________________,记作____________,其中a 叫做__________,N 叫做______.2.常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做____________,以e 为底的对数叫做____________,log 10N 可简记为______,log e N 简记为________. 3.对数与指数的关系若a >0,且a ≠1,则a x =N ⇔log a N =____.对数恒等式:a log a N =____;log a a x =____(a >0,且a ≠1). 4.对数的性质(1)1的对数为____; (2)底的对数为____; (3)零和负数__________.1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫做常用对数; ④以e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确命题的个数为( )A .1B .2C .3D .42.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x ,则x =100;④若e =ln x ,则x =e 2.其中正确的是( )A .①③B .②④C .①②D .③④ 3.在b =log (a -2)(5-a )中,实数a 的取值围是( )A .a >5或a <2B .2<a <5C .2<a <3或3<a <5D .3<a <44.方程3log 2x=14的解是( )A .x =19B .x =33 C .x = 3 D .x =95.若log a 5b =c ,则下列关系式中正确的是( ) A .b =a 5c B .b 5=a c C .b =5a c D .b =c 5a6.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A .6 B.72 C .8 D.377.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么12x -=________.8.若log 2(log x 9)=1,则x =________.9.已知lg a =2.431 0,lg b =1.431 0,则b a=________. 10.(1)将下列指数式写成对数式:①10-3=11 000;②0.53=0.125;③(2-1)-1=2+1.(2)将下列对数式写成指数式:①log 26=2.585 0;②log 30.8=-0.203 1; ③lg 3=0.477 1.11.已知log a x =4,log a y =5,求A =121232x xy -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的值.能力提升12.若log a 3=m ,log a 5=n ,则a 2m +n 的值是( )A .15B .75C .45D .225 13.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x 的值:①log 2x =-25;②log x 3=-13.(2)已知6a =8,试用a 表示下列各式:①log 68;②log 62;③log 26.1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即a b=N ⇔log a N =b (a >0,且a ≠1),据此可得两个常用恒等式:(1)log a a b =b ;(2) log a Na =N .2.在关系式a x =N 中,已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算;而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运 算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化1.对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: (1)log a (M ·N )=____________________;(2)log a MN=____________________;(3)log a M n =__________(n ∈R ).2.对数换底公式log a b =log c b log c a (a >0,且a ≠1,b >0,c >0,且c ≠1);特别地:log a b ·log b a =____(a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1).一、选择题1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( ) A .log a x ·log a y =log a (x +y ) B .(log a x )n =n log a x C.log a x n=log a n xD.log a x log a y=log a x -log a y 2.计算:log 916·log 881的值为( )A .18 B.118 C.83 D.383.若log 513·log 36·log 6x =2,则x 等于( )A .9 B.19 C .25 D.1254.已知3a =5b =A ,若1a +1b=2,则A 等于( )A .15 B.15 C .±15 D .2255.已知log 89=a ,log 25=b ,则lg 3等于( )A.a b -1B.32(b -1)C.3a 2(b +1)D.3(a -1)2b6.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x +1=0的两个根,则(lg ab)2的值等于( ) A .2 B.12 C .4 D.147.2log 510+log 50.25+(325-125)÷425=_____________________________________. 8.(lg 5)2+lg 2·l g 50=________.9.2008年5月12日,汶川发生里氏8.0级特震,给人民的生命财产造成了巨大的损失.里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的.它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关.震级M =23lg E -3.2,其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量,那么汶川震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹. 三、解答题10.(1)计算:lg 12-lg 58+lg 12.5-log 89·log 34;(2)已知3a =4b =36,求2a +1b的值.11.若a 、b 是方程2(lg x )2-lg x 4+1=0的两个实根,求lg(ab )·(log a b +log b a )的值.能力提升12.下列给出了x 与10x 的七组近似对应值:A .二B .四C .五D .七13.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年的剩余质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的13?(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)1.在运算过程中避免出现以下错误: log a (MN )=log a M ·log a N .log a M N =log a M log a N.log a N n =(log a N )n .log a M ±log a N =log a (M ±N ).2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式:log a b =log c b log c a (a >0且a ≠1,c >0且c ≠1,b >0).由对数换底公式又可得到两个重要结论: (1)log a b ·log b a =1;(2) log n ma b =mnlog a b .3.对于同底的对数的化简常用方法:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).对于常用对数的化简要创设情境,充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题.1.对数函数的定义:一般地,我们把______________________叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是________.2.对数函数的图象与性质定义 y =log a x (a >0,且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1图象定义域 ________ 值域 ________单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数共点性 图象过点________,即log a 1=0函数值 特点 x ∈(0,1)时, y ∈________; x ∈[1,+∞)时, y ∈________ x ∈(0,1)时, y ∈________; x ∈[1,+∞)时, y ∈________ 对称性函数y =log a x 与y =1log ax 的图象关于____对称3.反函数对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)和指数函数__________________互为反函数. 1.函数y =log 2x -2的定义域是( )A .(3,+∞)B .[3,+∞)C .(4,+∞)D .[4,+∞)2.设集合M ={y |y =(12)x ,x ∈[0,+∞)},N ={y |y =log 2x ,x ∈(0,1]},则集合M ∪N 等于( )A .(-∞,0)∪[1,+∞)B .[0,+∞)C .(-∞,1]D .(-∞,0)∪(0,1) 3.已知函数f (x )=log 2(x +1),若f (α)=1,则α等于( )A .0B .1C .2D .3 4.函数f (x )=|log 3x |的图象是( )5.已知对数函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),且过点(9,2),f (x )的反函数记为y =g (x ),则g (x )的解析式是( ) A .g (x )=4x B .g (x )=2x C .g (x )=9x D .g (x )=3x6.若log a 23<1,则a 的取值围是( )A .(0,23)B .(23,+∞)C .(23,1)D .(0,23)∪(1,+∞)7.如果函数f (x )=(3-a )x ,g (x )=log a x 的增减性相同,则a 的取值围是______________. 8.已知函数y =log a (x -3)-1的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是________. 9.给出函数则f (log 23)=________. 三、解答题10.求下列函数的定义域与值域: (1)y =log 2(x -2); (2)y =log 4(x 2+8).11.已知函数f (x )=log a (1+x ),g (x )=log a (1-x ),(a >0,且a ≠1). (1)设a =2,函数f (x )的定义域为[3,63],求函数f (x )的最值. (2)求使f (x )-g (x )>0的x 的取值围.能力提升12.已知图中曲线C 1,C 2,C 3,C 4分别是函数y =log a 1x ,y =log a 2x ,y =log a 3x ,y =log a 4x 的图象,则a 1,a 2,a 3,a 4的大小关系是( )A .a 4<a 3<a 2<a 1B .a 3<a 4<a 1<a 2C .a 2<a 1<a 3<a 4D .a 3<a 4<a 2<a 113.若不等式x 2-log m x <0在(0,12)恒成立,数m 的取值围.1.函数y =log m x 与y =log n x 中m 、n 的大小与图象的位置关系.当0<n <m <1时,如图①;当1<n <m 时,如图②;当0<m <1<n 时,如图③.2.由于指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)的定义域是R ,值域为(0,+∞),再根据对数式与指数式的互化过程知道,对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R ,它们互为反函数,它们的定义域和值域互换,指数函数y =a x 的图象过(0,1)点,故对数函数图象必过(1,0)点.1.函数y =log a x 的图象如图所示,则实数a 的可能取值是( )A .5 B.15C.1eD.12 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x 2和y =(x )2 B .|y |=|x |和y 3=x 3 C .y =log a x 2和y =2log a x D .y =x 和y =log a a x3.若函数y =f (x )的定义域是[2,4],则y =f (12log x )的定义域是( )A .[12,1] B .[4,16]C .[116,14] D .[2,4]4.函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为( )A .(0,+∞)B .[0,+∞)C .(1,+∞)D .[1,+∞)5.函数f (x )=log a (x +b )(a >0且a ≠1)的图象经过(-1,0)和(0,1)两点,则f (2)=________. 6.函数y =log a (x -2)+1(a >0且a ≠1)恒过定点____________.一、选择题1.设a =log 54,b =(log 53)2,c =log 45,则( ) A .a <c <b B .b <c <a C .a <b <c D .b <a <c2.已知函数y =f (2x )的定义域为[-1,1],则函数y =f (log 2x )的定义域为( )A .[-1,1]B .[12,2]C .[1,2]D .[2,4]3.函数f (x )=log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)=3,则有( ) A .f (2)>f (-2) B .f (1)>f (2) C .f (-3)>f (-2) D .f (-3)>f (-4)4.函数f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为( ) A.14 B.12 C .2 D .4 5.已知函数f (x )=lg 1-x 1+x ,若f (a )=b ,则f (-a )等于( )A .bB .-b C.1b D .-1b6.函数y =3x (-1≤x <0)的反函数是( ) A .y =13log x (x >0)B .y =log 3x (x >0)C .y =log 3x (13≤x <1)D .y =13log x (13≤x <1)7.函数f (x )=lg(2x -b ),若x ≥1时,f (x )≥0恒成立,则b 应满足的条件是________. 8.函数y =log a x 当x >2时恒有|y |>1,则a 的取值围是______________. 9.若log a 2<2,则实数a 的取值围是______________.10.已知f (x )=log a (3-ax )在x ∈[0,2]上单调递减,求a 的取值围.11.已知函数f (x )=121log 1axx --的图象关于原点对称,其中a 为常数. (1)求a 的值;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+12log (1)x -<m 恒成立.数m 的取值围.能力提升12.设函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),若f (x 1x 2…x 2 010)=8,则f (x 21)+f (x 22)+…+f (x 22 010)的值等于( ) A .4 B .8C .16D .2log 48 13.已知log m 4<log n 4,比较m 与n 的大小.1.在对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)中,底数a 对其图象的影响无论a 取何值,对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象均过点(1,0),且由定义域的限制,函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限,随着a 的逐渐增大,y =log a x (a >1,且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列,且当0<a <1时函数单调递减,当a >1时函数单调递增.2.比较两个(或多个)对数的大小时,一看底数,底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小,对数函数的单调性由“底”的围决定,若“底”的围不明确,则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论;二看真数,底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象,或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小;三找中间值,底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.1.已知m =0.95.1,n =5.10.9,p =log 0.95.1,则这三个数的大小关系是( ) A .m <n <p B .m <p <nC .p <m <nD .p <n <m 2.已知0<a <1,log a m <log a n <0,则( )A .1<n <mB .1<m <nC .m <n <1D .n <m <13.函数y =x -1+1lg(2-x )的定义域是( )A .(1,2)B .[1,4]C .[1,2)D .(1,2]4.给定函数①y =12x ,②y =()12log 1x +,③y =|x -1|,④y =2x +1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A .①②B .②③C .③④D .①④5.设函数f (x )=log a |x |,则f (a +1)与f (2)的大小关系是________________________. 6.若log 32=a ,则log 38-2log 36=________.一、选择题1.下列不等号连接错误的一组是( )A .log 0.52.7>log 0.52.8B .log 34>log 65C .log 34>log 56D .log πe>log e π2.若log 37·log 29·log 49m =log 412,则m 等于( )A.14B.22C. 2 D .43.设函数若f (3)=2,f (-2)=0,则b 等于( )A .0B .-1C .1D .24.若函数f (x )=log a (2x 2+x )(a >0,a ≠1)在区间(0,12)恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为( )A .(-∞,-14)B .(-14,+∞)C .(0,+∞)D .(-∞,-12)5.若函数若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值围是( ) A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (13)=0,则不等式f (log 18x )<0的解集为( )A .(0,12)B .(12,+∞)C .(12,1)∪(2,+∞)D .(0,12)∪(2,+∞) 7.已知log a (ab )=1p ,则log ab a b=________. 8.若log 236=a ,log 210=b ,则log 215=________.9.设函数若f (a )=18,则f (a +6)=________. 10.已知集合A ={x |x <-2或x >3},B ={x |log 4(x +a )<1},若A ∩B =∅,数a 的取值围.11.抽气机每次抽出容器空气的60%,要使容器的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次?(lg 2≈0.301 0)能力提升12.设a >0,a ≠1,函数f (x )=log a (x 2-2x +3)有最小值,求不等式log a (x -1)>0的解集.13.已知函数f (x )=log a (1+x ),其中a >1.(1)比较12[f (0)+f (1)]与f (12)的大小; (2)探索12[f (x 1-1)+f (x 2-1)]≤f (x 1+x 22-1)对任意x 1>0,x 2>0恒成立.1.比较同真数的两个对数值的大小,常有两种方法:(1)利用对数换底公式化为同底的对数,再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小;(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小.2.指数函数与对数函数的区别与联系指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)是两类不同的函数.二者的自变量不同.前者以指数为自变量,而后者以真数为自变量;但是,二者也有一定的联系,y=a x(a>0,且a≠1)和y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域.二者的图象关于直线y =x对称.。