材料成形数值模拟

值解将越逼近精确解。有限元法适应任何复杂的和变动的边界。
三、材料成形数值模拟基础
1、数值模拟方法 （2）有限差分法
以差分代替微分，将求解对象在时间及空间上进行离散，对
每个离散单元进行各种物理场分析（如温度场、流动场及应力场 等），然后将所有单元的求解结果汇总，得到整个求解对象在不
同时刻的行为变化，并对分析对象的可能变化趋势作出预测。具
2008

王刚，单岩等. Moldflow模具分析应用实例.清华大学出版社，2005
完成题目要求
1、掌握Dynaform、Pamstamp2G等有限元分析软件，完成金属板 料成形零件的数值模拟分析。要求针对多次拉延工艺进行参数优 化，设计出模拟方案，分析后获得结论。最后提交详细分析过程 1份，完成标准论文1篇。 2、掌握Moldflow模流分析软件，自选塑料产品，完成其三维造型， 注射过程分析。提交详细分析过程1份。完成标准论文1篇。
三、材料成形数值模拟基础
节点1：R 1－k1 (u2 u1 ) 0 节点2：k1 (u2 u1 ) k 2 (u 3 u2 ) 0 节点3：k 2 (u 3 u2 ) k3 (u 4 u3 ) 0 节点4：k3 (u 4 u3 ) P 0
重组方程，得方程组：
考虑节点的温度，必须满足以下条件
将节点值代入方程，有
(3) 等参单元 使用一组参数（一组形函数）定义u、v、T等未知变量，并
使用同样的参数（同样的形函数）表示几何关系，则可使用等 参公式。用这种方式表示的单元称为等参单元。
使用四边形单元，实体单元的位移可以根据节点的值表示为：
矩阵形式
3、三维单元
三、材料成形数值模拟基础
3、直接公式法 例：考虑带有负荷P的变横截面杆。如图所 示，杆的一端固定，另一端承受负荷P，以 ω1代表杆的上端宽度，ω2代表杆的下端宽度， 杆的厚度为t，长度为L。弹性模量用E表示。
确定当杆承受负荷P时，在沿杆长度的不同点
上位移、应变、应力大小。忽略杆重。
三、材料成形数值模拟基础
的初始条件和边界条件。由于假设解不精确，将解带入微分方
程将会产生误差。加权余数法要求误差在一些选定的区域或点 上消失。 以前述例题为例,问题中控制微分方程和相应的边界条件如下：
du A( y ) E P0 dy
承受的边界条件为u(0)=0
假设一个近似解。假设的解必须满足边界条件，选择
u ( y ) c1 y c2 y c3 y
2
误差函数为：
3
(1 (
或
2 1
L
) y)tE (c1 2c2 y 3c3 y 2 ) P
(1 (
2 1
L
P ) y)t (c1 2c2 y 3c3 y ) / E E
2
1）配置法
在配置法中，误差或剩余量、函数 在与未知系数一样多
三、材料成形数值模拟基础
每一个单元弹性行为可由相应的线性弹簧模型描述：
f keq (ui 1 ui )
Aavg E l
Ai 1 Ai (ui 1 ui ) E (ui 1 ui ) 2l
式中：f为i＋1点所受的拉力。等价的弹簧元刚度为
Ai 1 Ai keq E 2l
L 2 1 P 2 y ( ( ) y ) t ( c 2 c y 3 c y ) }dy 0 1 2 3 0 1 L E L 2 2 1 P 2 ) y )t (c1 2c2 y 3c 3 y ) }dy 0 0 y {1 ( L E 2 1 P L 3 2 0 y {1 ( L ) y )t (c1 2c2 y 3c 3 y ) E }dy 0
有求解简单、速度快、前后置处理易于实现等优点。
三、材料成形数值模拟基础
2、有限元法的基本步骤
（1）建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解为节点和单元 。
（2）假设代表单元物理行为的形函数。 （3）对单元建立方程。
（4）将单元组合成总体的问题，构造总体刚度矩阵。
（5）应用边界条件、初值条件和负荷。 （6）求解线性或非线性微分方程组，以得到节点的值。 （7）后处理。
（1）材料液态成形
二、材料成形数值模拟
（1）材料液态成形
二、材料成形数值模拟
（2）材料塑性成形
二、材料成形数值模拟
（2）材料塑性成形
二、材料成形数值模拟
（3）材料黏流态成形
二、材料成形数值模拟
（4）材料焊接成形
二、材料成形数值模拟
5、材料成形数值模拟的发展趋势 （1）模拟分析由宏观进入微观
②形函数的和为1.
例：如图所示为节点的位移和它们沿悬臂梁的分 布位置，求悬臂梁在（a）X＝4cm和（b） X＝ 8cm处的位移。
解：（a）悬臂梁在X＝4cm处的位移由单元（2） 来表示。
（b）悬臂梁在X＝8cm处的位移由单元（3）来 表示。
（2）整体、局部和自然坐标
2 、二维单元
（1）、矩形单元
二、材料成形数值模拟概述
4、材料成形数值模拟的工程意义：
（1）制定和优化材料成形方案与模具设计方案。
①选择最佳成形工艺方法；②制定成形工艺流程与工艺参数；③确定或改进模 具设计方案；④预测在已知条件下产品成形的可行性及其成形质量，为成形方案 及模具设计方案的改进与优化提供依据；⑤确定成形设备及其辅助设备必须具备 的生产能力；⑥改善和优化成形制件的工艺结构。
材料成形数值模拟技术
主要参考书目

董湘怀主编.材料成形计算机模拟. 机械工业出版社 ,2002 余世浩，朱春东.材料成形CAD／CAE／CAM基础. 北京大学出版社，
2008

付建，彭必有，曹建国.材料成形过程数值模拟.化学工业出版社，2009 李泷杲等编.金属板料成形有限元模拟基础.北京航空航天大学出版社，
第一章 绪论
一、CAE技术的发展
CAE 泛指包括分析、计算和仿真在内的一切研发活动，是由
计算力学、计算数学、结构动力学、数字仿真技术、工程管理学 与计算机技术相结合，而形成的一种综合性、知识密集型信息产
品。其核心是有限元理论和数值计算方法。
一、CAE技术的发展
Байду номын сангаас
20世纪60年代
CAE软件出现
20世纪70 ～80年代 CAE技术蓬勃发展 20世纪90年代 CAE技术成熟壮大
（1）4节点四面体单元
最简单的三维有限元单元，仅有4个节点，每个节点有3个
自由度，分别沿X、Y、Z方向。
设有如下位移函数
应用节点位移条件，求解系数C，则方程可简化为
二、材料成形数值模拟
4、数值模拟方法的基本特点及应用现状 将微分方程边值问题的求解域进行离散化，将原来欲求得在 求解域内处处满足场方程、在边界上处处满足边界条件的要求降 低为求得在给定的离散点（节点）上满足由场方程和边界条件所 导出的一组代数方程的数值解。
二、材料成形数值模拟
（1）材料液态成形
二、材料成形数值模拟
的点上为零。
(c, y ) y L /3 0 (c, y ) y 2 L /3 0 ( c , y ) 0 y L
2）迦辽金方法
迦辽金方法要求对于权函数Φi，误差是正交的，根据如下公
式

b
a
i Rdy 0
（i=1,2, …,n)
假设解为u(y)=c1y+c2y2+c3y3,权函数选为Φ 1＝y ,Φ 2 ＝y2 ,Φ 3 ＝y3 。
（e )

v
E 2 d dV 2 2 v
由n个单元和 m个节点组成的物体的总势能为：
＝ e Fu i i
i 1 i 1
n
m
由最小势能原理有：
ui ui
e ui e 1
n
F u
k 1 k
m
k
0(i 1, 2,3 , n)
（6）求解代数方程
杆在y方向横截面面积的变化由下式表示
每个单元的对等刚度系数可以由下式计算出
（6）获取其它信息
4、最小总势能公式法
物体在外力作用下产生变形，在变形期间，外力作的功以弹 性能的方式储存在物体中，即为应变能。考虑承受集中力F的物 体的应变能：
AE F( )l ky l
1
当实体拉伸量为dy’时，物体内储存的能量为：
再来看例子，任意单元的应变能为
对ui与ui＋1求最小化应变能有：
写成矩阵形式为
对于任意单元，最小化节点i和i＋1处的外力所作的功有：
对于上述例子，用最小总势能公式和直接公式法得到的总体 刚度矩阵是完全一致的。
进一步应用边界条件和负荷，有
5.加权余数法
为控制微分方程假设一个合理解，假设解必须满足给定问题
四、有限元单元类型及形函数
1、一维单元
（1）一维一次单元及形函数 1）形函数的概念
（1）一维一次单元及形函数
T
(e)
c1 c2 X
将节点值代入方程，得
Ti c1 c2 X i T j c1 c2 X j
2）形函数的性质 ①在相应节点上值为1，而在另一个相应节点上值为
0.
3、材料成形数值模拟含义 通过数值计算得到用微分方程边值问题来描述的具体材料成 形问题中工件和模具的速度场（位移场）、应变场、应力场、温 度场等，据此预测工件中组织性能的变化及可能出现的缺陷；利 用计算机图形技术将这些分析结果直观的、动态的呈现在设计人 员面前，使他们能通过这个虚拟的材料加工过程检验工件的最终 形状、尺寸、性能是否符合设计要求，正确选用机器设备和模具 材料。
（1）将问题域离散成有限的单元
三、材料成形数值模拟基础
（2）假设近似单元行为的近似解
考虑一个等横截面为A的实体的位移量，单
元的长度为l,承受的外力为F，如图所示。
三、材料成形数值模拟基础
AE F＝（ )l l
上式与线性弹性方程F＝kx相似。因此上述单 元可以视为一个弹簧，其等价刚度为
AE keq l
（2）解决工模具调试或产品成形过程中的技术问题。 （3）解决成形制品批量生产中的质量控制问题。
二、材料成形数值模拟
4、数值模拟方法的基本特点 将微分方程边值问题的求解域进行离散化，将原来欲求得在 求解域内处处满足场方程、在边界上处处满足边界条件的要求降 低为求得在给定的离散点（节点）上满足由场方程和边界条件所 导出的一组代数方程的数值解。
二、材料成形数值模拟概述
1、材料加工的含义 材料加工是人类利用自然，创造有用产品的基本生产活动。 2、材料成形的基本规律描述 （1）流动方程、热传导方程、平衡方程或运动方程等微分方程描
述。
（2）具体成形问题给定由该问题特点所确定的定解条件，包括 边值条件条件和初值条件等。
二、材料成形数值模拟概述
1 2 1 d Fdy kydy ky ( ky) y 2 2 0 0
1
写成标准应变和应力形式：
1 1 1 d (ky)y ( dxdz) dy dV 2 2 2
对于轴向载荷下的单元的实体来说，变形能由下式给出：
d
一维的解是由线段近似的，二维的解是由平面片近似的。
考虑节点的温度，必须满足以下条件
代入求得
得到对于典型单元由形函数表示的温度
应用这些形函数表示任意未知参数Ψ，即
自然坐标是局部坐标的无量纲形式，局部坐标系x、y的原点取 在自然坐标的ξ＝－1，η＝－1处，如下图。
（2）线性三角形单元
三角形内部的变量变化表示为下式
（2）加大多物理场的耦合分析
（3）不断拓宽数值模拟在特种成形中的应用
（4）强化基础研究
（5）关注反向模拟技术应用
（6）模拟软件的发展 （7）协同工作 （8）模拟结果与设备控制的关联
三、材料成形数值模拟基础
1、数值模拟方法 （1）有限元法
将求解域离散为一组有限个形状简单且仅在节点处相互连接
的单元的集合体，在每个单元内用一个满足一定要求的插值函数 描述基本未知量在其中的分布。随着单元尺寸的缩小，近似的数
将作用力和负荷区分，方程组可化为：
（3） 对单元建立方程
将作用力和负荷区分，方程组可化为：
（4）将单元组合起来表示整个问题
单元（1）的刚度矩阵表示如下：
它在总体刚度矩阵中的位置如下：
对于单元（2）、（3），有
最终总体刚度矩阵为：
（5）应用边界条件和负荷
有限元公式可写成如下形式：
位移矩阵＝负荷矩阵 ［刚度矩阵］