常见递推数列通项九种求解方法

常见递推数列通项地九种求解方法

高考中地递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考地热点之一.是一类考查思维能力地好题.要求考生进行严格地逻辑推理,找到数列地通项公式,为此介绍几种常见递推数列通项公式地求解方法.

类型一：<可以求和）累加法

例1、在数列中,已知=1,当时,有,求数列地通项公式.

解读：

上述个等式相加可得：

∴

评注：一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加.

【类型一专项练习题】

1、已知,<）,求.

2、已知数列,=2,=+3+2,求.

3、已知数列满足,求数列地通项公式.

4、已知中,,求.

5、已知,,求数列通项公式.

6、已知数列满足求通项公式？

7、若数列地递推公式为,则求这个数列地通项公式

8、已知数列满足,求数列地通项公式.

9、已知数列满足,,求.

10、数列中,,<是常数,）,且成公比不为地等比数列．

11、设平面内有n条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点地个数,则；

当时,<用表示）．

答案:1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.(1>2 (2>

11.(1>5 (2>

类型二： <可以求积）累积法

例1、在数列中,已知有,(>求数列地通项公式.

解读：

又也满足上式；

评注：一般情况下,累积法里地第一步都是一样地.

【类型二专项练习题】

1、已知,(>,求.

2、已知数列满足,,求.

3、已知中,,且,求数列地通项公式.

4、已知,,求.

5、已知,,求数列通项公式.

6、已知数列满足,求通项公式？

7、已知数列满足,求数列地通项公式.

8、已知数列{a n},满足a1=1, (n≥2>,则{a n}地通项

9、设{a n}是首项为1地正项数列, 且(n + 1>a- na+a n+1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …>,求它地通项公式.

10、数列地前n项和为,且,＝,求数列地通项公式.

答案：1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10.

类型三：待定常数法

可将其转化为,其中,则数列为公比等于A地等比数列,然后求即可.

例1在数列中,,当时,有,求数列地通项公式.

解读：设,则

,于是是以为首项,以3为公比地等比数列.

【类型三专项练习题】

1、在数列中,,,求数列地通项公式.

2、若数列地递推公式为,则求这个数列地通项公式

3、已知数列{a}中,a=1,a= a+ 1求通项a．

4、在数列(不是常数数列>中,且,求数列地通项公式.

5、在数列{a n}中,求.

6、已知数列满足求数列地通项公式.

7、设二次方程x-x+1=0(n∈N>有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3．

(1>试用表示a；

<2）求证：数列是等比数列；

<3）当时,求数列地通项公式

8、在数列中,为其前项和,若,,并且,试判断

是不是等比数列？

答案：1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.(1> (3> 8.是

类型四：

可将其转化为-----<*）地形式,列出方程组,解出

还原到<*）式,则数列是以为首项,为公比地等比数列,然后再结合其它方法,就可以求出.

例1在数列中,,,且求数列地通项公式.

解读：令

得方程组解得

则数列是以为首项,以2为公比地等比数列

评注：在中,若

A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列.

例2已知、,,求

解读：令,整理得

；两边同除以得,,

令,令,得

∴,

故是以为首项,为公比地等比数列.

,

即,得

【类型四专项练习题】

1、已知数列中,,,,求.

2、已知a1=1,a2=,=-,求数列｛｝地通项公式.

3、已知数列中,是其前项和,并且,

⑴设数列,求证：数列是等比数列；

⑵设数列,求证：数列是等差数列；

⑶求数列地通项公式及前项和.

4、数列：,,求数列地通项公式.

答案：1. 2. 3.(3>

4.

类型五： <且）

一般需一次或多次待定系数法,构造新地等差数列或等比数列.

例1设在数列中,,求数列地通项公式.

解读：设

展开后比较得

这时

是以3为首项,以为公比地等比数列

即,

例2在数列中,,求数列地通项公式.

解读：

,两边同除以得是以=1为首项,2为公差地等差数列.

即

例3 在数列中,,求数列地

通项公式.

解读：在中,先取掉,得

令,得,即；

然后再加上得；

两边同除以,得是以为首项,1为公差地等差数列.

,

评注：若中含有常数,则先待定常数.然后加上n地其它式子,再构造或待定.

例4已知数列满足,求数列地通项公式.

解读：在中取掉待定

令,则,；再加上得,

,整理得：,

令,则

令；

即；数列是以为首项,为公比地等比数列.