对勾函数

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。

中文名

对勾函数

别称

耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数

表达式

f(x)=ax+b/x (a>0)

1定义

定义

所谓的对勾函数（双曲函数），是形如

（a>0)的函数。

名称

由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。

2性质

图像

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线最值

当x>0时，

有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。

奇偶性、单调性

奇偶性双勾函数是奇函数。

单调性令k=，那么：

增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0

变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。

渐近线

对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一

对勾函数

点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。

3对勾函数最小值与均值不等式

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道

展开，得，即

两边同时加上2ab，整理得，

两边开平方，就得到了均值定理的公式：

将中看做a，看做b代入上式，得

这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

4导数求解

其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。x为分母的时候可以转化成负指数幂。

那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x²，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用哪个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。[1]

上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。

事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变换也是可以得到的。

另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。

由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。[1]

5其它解法

面对这个函数f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：⑴它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；

⑶众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由

特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。能否与均值有关系。

6重点

其实对勾函数的一般形式是：

f(x)=ax+b/x(a>0) 不过在高中文科数学中a多半仅为1，b值不定。理科数学变化更为复杂。

定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）

值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞）

当x>0，有x=根号b/根号a，有最小值是2根号ab

当x<0，有x=-根号b/根号a，有最大值是：－2根号ab

对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下：

设x1

下面分类进行讨论：

⑴当

时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）

⑵当

时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数

⑶当

时，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数

⑷当

时，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）

解题时常利用此函数的单调性求最大值（max）与最小值（min）。

7例题

2006年高考上海数学试卷（理工农医类）

已知函数y=x+a/x 有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,√a] 上是减函数，在，[√a,+∞）上是增函数．

⑴如果函数y=x+（2^b)/x （x>0）的值域为[6,+∞），求b 的值；

⑵研究函数y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由；

⑶对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a >0）作出推广，使它们都是你所推广的函

数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x)

=(x^2+1/x)^n+（1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[½,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）

当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值；当x<0时，f(x)=ax+b/x有最大值

f(x)=x+1/x