解析结构模型

（3）共同集合T——可达集R(Si)与先行集A(Sj)的交集等于先行集 A(Sj)的要素集合，即：
T Si N R(Si ) A(S j ) A(S j )
（4）确立不同区域
任取属于共同集的两要素Su ,Sv，
若 R(
一区域；
S
u
)
R(Sv )
， 则Su ,Sv属同
若
属于不R同(区S域u。)
、 • 新中国成立以来，人们的期望寿命有了较大提高，相对死亡率降低了，国民
解
收入的不断增长，生活水平不断提高，计划生育政策贯彻不力等等，导致我
析
国人口速度增长过快。为此，成立了各方面人员参加的研究小组对人口增长
结
问题进行了研究，主要任务为：
构 • 应用ISM讨论和确定我国总人口增长的影响因素；
模 • 根据经验和对话建立可达矩阵，解析结构模型；
出生率
总人口
死亡率
生育能力
思想风俗
计生政策
期望寿命
保健水平
营养水平
国民收入
国民素质
人口系统解析结构模型
环境污染
已知可达矩阵M，试用规范方法建立其递阶结构模型。
1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0
M 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 0
型 • 通过模型中各因素分析，为制定有关人口政策、控制人口等政策
的 提供依据。
应 • 经ISM小组讨论后，认为主要影响因素有11个，并经多次讨论后确定它们之间
用 的关系。
×： Si 与Sj互有 关系；∨：
Sj与Si有关 系； ∧：
Si 与Sj有 关系
∨ ∧
∨∨∨
∧ ∧ S1期望寿命
∧ ∧ S2保健水平
（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}
2020年5月21日2时58分
30
1
2
3
4
5
6
7
1
2 3
1 1
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
4 0
0
1
1
1
1
0
M=
5 6
0 0
0 0
0 0
1 0
1 1
1 0
0 0
7
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
2020年5月21日2时58分
31
0 0 0 1 0 1 1
（三）建立递阶结构模型的规范方法
• 建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵 M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取 和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本 方法。
• 现以例3.8.3所示问题为例说明： • 与图3.8.3对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：
11
11,12
1,2,6,7,8,10
12
12
1------12
R(Si) ∩A(Sj)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
R(2)∩R(6)∩R(7)∩R(8)∩R(9)≠ φ 共同集合不存在空集，所以没有区域之分。 首先找出R（12）= R（12） ∩ A（12） 所以第一层次为要素12 第二层次为要素10，11 第三层次为要素1，3，4 第四层次为要素2，6，7，8，9
动
谐震动。
T 2
L G
的
类
mg
似
模
型
• L-C电路，电路中q(t)st:
L
d 2q dt 2
1 LC
q
0
L
C
• 解简谐是以震动。T 2 LC 为周期的
L-C电路图
Ll
1 C
g
一一对q应(t)模拟。 (t)
启 发 性
• 蒙特卡罗的特点是在所研究系统的模型中模拟随机事件，即对 于所求的值应该设定什么样的概率过程为题进行求解的技术方 法。
R(Si) ∩ A(Sj) = R(Si)
1
5
1 (P) P1 , P2 s3 , s4 , s5 , s6 ,s1 , s2 , s7
接
因 所为 以： ，SS1，1，SS5满5分足属：两区域的最高R层( S次i。)
R(
即；
S
i
)
A(S j )
例 • L1 ={S1，S5}
• 再有N-L0 –L1进行第二级分解。
数。
A
建立可达矩阵R。经计算后得： (A+I)1 ≠ (A+I)2 = (A+I)3 ∴ R= (A+I)2
1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 R 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1
（1）要素Si的可达集R(Si)——R中第Si行矩阵元素为1对应的列要 素的集合。即：
(N为节点R集(S合i ，) rij=S1表j 示
N
Si
与rijSj关1联)
（2）要素Sj的先行集A(Sj)——R中第Sj 列矩阵元素为1所对应的行要 素的集合。即：
A(S j ) Si N rij 1
分接 ）例
可 达 矩 阵 分 解 （ 区 域 划
I=(j) R(Si)
A(Sj)
R(Si) ∩ A(Sj)
T= A(Sj)
11
1,2,7
1
2 1,2
2,7
2
3 3,4,5,6 3
3
3
4 4,5,6
3,4,6
4,6
55
3,4,5,6 5
6 4,5,6
3,4,6
4,6
7 1,2,7
7
7
7
因为：R(3) ∩ A(7)=φ，则S3，S7分属不同区域，所以，区域划分为：
S2
S3
S4
S1
S5
2
（1）结构模型是一种几何模型：节点表示系统的要素，有向边表
示要素间的关系。
基 本 性
（2）结构模型是以定性分析为主的模型。 （3）结构模型可以用矩阵形式描述，进行定性与定量分析。
质 • 结构模型的建模方法很多，其中一种为解析结构模型法
（Interpret Structure Model）.
思 考 法
在边长为1的的正方形中任意打N个点，并将n个 点置于扇形部分，如使点数N足够大，则认为近
似等于正方形和扇形面积之比，即：
—
蒙
特 卡
1
N/n= 12/ (π×12 ×1/4) 即： π≈4n/N
罗 法 计 算
1
与概率现象本身没有任何关系的问题，也可用
概率的方法来解决，是一种“想法的转换”，
即启发性思考方法。
• A1≠ A2≠ ····· ≠ An-1 =An • 则有R= An-1 =(A+I)n-1 • R----可达矩阵，它表明各节点间经过长度不大于(n-1)条通道可
以到达的程度。对于节点数n为个的图，最长的通路长度肯定不超 过(n-1).
例：现有如下图所示7个要素组成的系统，试建立它 的关系，并求邻接矩阵和可达矩阵。
7
4 5
6 3
2 1
• 有向连接图
由此可得邻接矩阵A
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
矩 • A的元素全为零的行所对应的节点为汇点。 阵 • A的元素全为零的列所对应的节点为源泉。 的 • 对应每一节点的行中元素值为1的数量，是离开该节点的有向边 特 数。 性 • 对应每一节点的列中元素值为1的数量，是进入该节点的有向边
值
一
第8节 结构模型（Structure Model）
结
构 模 型
• 在开发和改造一个系统时，首先需要了解系统中各要素间存在 怎样的关系，即了解和掌握系统的结构，即建立系统的结构模 型。
的 概 念
1 结构模型——就是用有向连接图来描述系统各要素间的关系， 以表示一个作为要素集合体的系统模型。
及
性
质
3可达矩阵R——用矩阵形式反映有向连接图各节点之间通过一定
路 Sj 径可以到达的a程ij度。01,,
si si
Rs j Rs j
Si经若干路径到达
否则
建
立
rij 10
• 可达矩阵=邻接矩阵A+单位矩阵I，并经过一定的运算后求得。
• 即有 A1 =A+I • 再设 A2 =(A+I)2 (用布尔代数运算规则) • 一般地，通过依此运算后，可得：
，其中K为级次
Lk Si P L0 L1 Lk1 Rk1(Si ) Ak1(S j ) Rk1(Si )
其中：
分别是由
Rk1 (Si ), Ak1 (S j )
要素组成的子图求得的可
达P集和L先0行集L。1 Lk 1
强 • 强连通划分π3(L)：级间分解后，每级要素中可能有强连通要素， 连 一般构成一个回路，只需选择一个要素即可。 通 划 分
A(Sj)
R(Si) ∩ A(Sj)
3
3
3
3
7
7
7
7
该表的最高级，即为可达矩阵的第三级要素为：L3={3,7} 这样，经过三级划分，将R中的7个单元划分成三层次，即
(
强
π2(P)={L1，L2，L3}
连
通
划 分
{4，6 }属强连通块。
)
作出递阶有向图（层次结构图）
L1
1
L2
2
L3
7
5
4
6
3
三
案例：人口系统影响总人口增长问题
➢ISM是美国华费尔特教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统有 关问题而开发的一种方法。其特点是把复杂的系统分解为若干子系
统或要素，利用人们的实践经验和知识，以及计算机的帮助，最终
3
解 析
将系统构造成多级递阶的结构模型。ISM的程序为： • 组织构造ISM小组（ 10人左右）
结 • 设定问题
构 • 选择系统要素，制定系统明细表。
可
达
矩 阵
i=(j)
R(Si)
A(Sj)
R(Si) ∩ A(Sj) 该表的最高
分 解
2
（3
2
2，7
2
3，4，6 3
3
级，即为可 达矩阵的第 二级要素
级4
间6
分 解
7
4，6 4，6 2，7
3，4，6 3，4，6 7
4，6 4，6 7
L2={2,4,6}
• 由N-L0-L1-L2,得：
i=(j)
R(Si)
∨∨∨
∧
∧ S3生育能力
×
∨∨∧
∧ S4计生政策
∨∨∧
∧ S5思想风格
∧
∧ S6营养
∧ ∧ S7环境污染 ∧ ∧ ∧ S8国民收入
∧
∧ S9国民素质
∧ S10出生率
∧ S11死亡率
S12总人口
1
11
根
111
11
据
以
1
1
1
上
11
1
1
对
话
11
1
1
过
1
1
程 ，
1
1 1
111 1
建
1
111
立 可
11
1
111
#布尔代数运算规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，
0 ×0 =0，0 ×1 =0，1 ×0 =0， 1× 1=1
4 可达矩阵的分解（建立ISM模型)
区 域 分 解
• 区域分解π1(S)——将要素分成区域，不同区域的要素相互间 是没有关系的。
• 首先将R中的元素划分为可达集和先行集
第
三
系统模型概述
章
系
统
结构模型
模
型
层次分析法
模型概念及特征 系统模型的分类
建模原则及常用方法
结构模型概念及特征 解析结构模型的建立
应用案例
建
立 单 摆
• 设一个质量为m，长度为l的摆，其偏离中心线 的角度为θ(θ 很小)， θ(t)st:
简
θ
谐
l
运
ml d 2 dt 2
mg
0
• 方程的解是以
为周期的简
间 分
一级可能到达的要素以及Si的强连通要素组成。若Si是最上层单元， 需满足：
解
• 找 剩出 下最 的高 可一达级矩R要阵(素中S后寻i ，找) 将新其的R从最(可 高S达 级i矩 要)阵 素 中 ，A划 依去 此(S相 类j应 推)的 。行与列，在从
• 级间划分可用下式表示：
• 若定义2 (：PL)0 =φ，L则1 ：, L2 , , Lk
R(Sv )
，则Su ,Sv
• 这样运算后的集合称区域分解，可写成：其中M为区域数。
(S ) P1 , P2 , , Pm
• 级间分解π2 (P)——将系统中的所有要素，以可达矩阵为准则划 分不同层次。
• 在一个多级结构中，它的最上层要素Si的R(Si)，只能由Si自身和Si
级 的强连通要素组成；同时Si的先行集只能由由Si自身和结构中的下
2020年5月21日2时58分
29
• 例3.8.3
某系统由七个要素（S1，S2，…，S7）组成。经过两两 判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、 S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集 合S和二元关系集合Rb来表达，其中：
S = {S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7} Rb = {（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），
11
1
达
1
1
矩 阵
11
1
I=j
R(Si)
Aபைடு நூலகம்Sj)
1
1,11,12
1,2,6,7,8
2
1,2,3,11,12
2
3
3,10,12
2,3,6,8
4
4,10,12
4,8,9
5
6
1,3,6,10,11,12
6
7
1,7,11,12
7
8
1,3,4,8,10,11,12
8
9
4,9,10,12
9
10
10,12
3,4,6,8,9,10
模 • 构思有向图，建立连接矩阵和可达矩阵。
型 • 对可达矩阵进行分解，建立结构模型。
• 由结构模型转化为解析结构模型。
1有向连接图——由若干节点和有向边连接而成的图象，即为节点
二
和有向边的集合。表示为：G={S，E}
、 2邻接矩阵A——描述图中节点两两之间的直接关系。A中元素
解
析
结 构 模 型 的