第 三 章 控制系统的时间响应分析

常用的典型输入信号有下面几种：
3.3 典型输入信号
1．脉冲函数
脉冲函数的定义为 r (t ) A (t ) （3.3.1） 其中，A为脉冲函数的阶跃值，A=1的阶跃函数称为 单位阶跃函数，是狄拉克－函数，它的定义为
）
t0 0 (t ) t 0 (t )dt 1
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1 瞬态性能指标 瞬态响应指的是一个控制系统在过渡过程中的状态和 输出的行为。所谓过渡过程，是指系统在外力的作用下 从一个稳态转移到另一个稳态的过程。下面我们着重分 析零状态下，线性定常连续系统受到单位阶跃函数输入 作用时，输出响应的瞬态性能指标。在控制系统中，把 阶跃信号当作对系统性能考验最为严重的输入信号。若 系统对该类输入信号的响应良好，则该系统对其它信号 的响应一般也是良好的。为了定量地说明控制系统对单 位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用一些瞬态性 能指标。 一个稳定的线性定常连续系统对单位阶跃函数的响应 通常有衰减振荡和单调变化两种类型。具有衰减振荡的 瞬态过程如图3.11所示。
3.4 控制系统瞬态性能分析
对于任何一个控制系统，如果其数学模型及初始条件 、外界输入给定，我们总可以通过求出其时域响应表达 式来对其瞬态响应特性和稳态响应特性进行分析。粗略 地说，在控制系统的全部响应过程里，系统的瞬态性能 表现在过渡过程完结之前的响应中。系统性能的分析， 又以准确的定量方式来描述而被称为系统的性能指标。 在系统分析中，无论是本章介绍的时域分析法，还是后 面各章的其它系统分析方法，都是紧密地围绕系统的性 能指标来分析控制系统的。 需要指出的是，只有稳定系统，对于其瞬态特性和稳 态特性的研究才是有意义的。 本节将讨论控制系统的瞬能性能分析，下一节介绍稳 态性能分析。
3.1 时域分析的提法
系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些储 能元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立 即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前 逐渐趋近于稳态响应的变化过程。 值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响 应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运 动状况对系统的运动性能进行分析。
峰值时间t p （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。
3.4 控制系统瞬态性能分析
调节时间 t s（Settling Time） ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需 的最短时间。用稳态值的百分数（通常取 5%或 2%） 作为误差范围;
超调量 Mp或σ% （Maximum Overshoot） % ： 超出稳态值（为1）的最大偏离量Mp
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.11 具有衰减振荡的单位阶跃响应
根据图中所显示的响应特性，我们来定义常用的瞬态性能指标，
3.4 控制系统瞬态性能分析
h(t)
σ
1
超调量
允 许 误 差± Δ
0.9
td
0.5
0.02 或 0.05
0.1 0
tr tp ts
t
3.4 控制系统瞬态性能分析
延迟时间t d （Delay Time） ： 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间t r （Rising Time ）: 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间 (对于无振荡系统)。上升时间越短，响应速度越快 。 对于震荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态 值所需的时间。
4T ts 3T
(取＝2) (取＝5)
（3.4.3）
另外，我们还可以根据时间常数T去度量系统输出的数 值。例如,t=T时，c(t ) 0.632 ，而当t分别等于2T、3T、4T 时，c(t ) 数值将分别达到稳态值的86.5％，95％和98％。 根据这一特点，可以用实验方法测定一阶系统的时间常 数，或者判定所测系统是否属于一阶系统。
%
h(t p ) h() h()
100%
⑥ 稳态误差e ss ： 期望值与实际值之差。
3.4 控制系统瞬态性能分析
tr
ts
或
tp
评价系统的响应速度；
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体 上反映系统的快速性。 直接反映了系统的相对稳定性。
%
ess 稳定性能指标和抗干扰能力。越小，系统精度越。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4 控制系统瞬态性能分析
根据响应曲线，我们可以得到一阶系统可以实现的瞬态性能指标 以及定量描述。 首先分析快速性。 描述系统的快速性使用的是时间指标。因为一阶系统的运动是单 调的，只考虑调节时间 ts 即可。一阶系统只有一个系统参数T，即 系统时间常数。当以时间常数 T为参变量来考查系统的运动时，由 图3.12(c)，可以得到下列结论：
(t ) 显然，当 0 时，实际脉冲 (t ) 的极限即为理想脉冲 。 r(t)
1

图3.1 实际单位脉冲函数
t
3.3 典型输入信号
单位脉冲函数的拉氏变换为1，即 L (t ) 1
2．阶跃函数
阶跃函数的定义为
0 t 0 r (t ) A t 0
（3.3.2
工程中常常用实际脉冲近似地表示理想脉冲。如图 3.1 (t ) 所示，实际的单位脉冲 的数学关系为 0 , t 0与t 时 (t ) 1 ， 0 t 时 （3.3.3
）
3.3 典型输入信号
其中,


1 (t )dt 1
1 1 1 C (s) R( s) Ts 1 Ts 1 s
c(t ) L1 C(s) 1 e

t T
,t 0
（3.4.2）
3.4 控制系统瞬态性能分析
图3.12（c）为一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线。
(a)
(b)
Hale Waihona Puke Baidu
(c)
图3.12 一阶系统及其单位阶级阶跃响应曲线
（3.3.4）
其中，A为阶跃函数的阶跃值（见图3.2）。A＝1的阶 跃函数为单位阶跃函数，记为1(t)，其一次微分为 (t )
图3.2 阶跃函数
3.3 典型输入信号
单位阶跃函数的拉氏变换为
1 Lr (t ) s
3．斜坡函数（或速度阶跃函数）
斜坡函数的定义为
0 t 0 r (t ) Bt t 0
t
(t 0)
t T
1 e
t 0
t T
t
t T Te
t 0
1 2 t 2
1 2 t Tt T 2 (1 e T ) t 0 无穷大 2
等价关系： 1) 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响 应的导； 2) 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
3.4 控制系统瞬态性能分析
其次分析平稳性。 平稳性的指标为超调量 δ ％。因为一阶系统是没有超调量的，因 此认为其平稳性是好的。 最后来看准确性。 由于时间趋于无穷大时，输出响应可以趋于稳态值。虽然在理论 是永远达不到的，但是在给定了允许误差范围后，即认为过了调节 时间 ts 之后，系统就进入了稳态，所以一阶系统的准确性也是可以 满足的。
t0 t0
（3.3.6）
其中， C为加速度阶跃值（见图 3.4）， C＝ 1 的抛物线 函数为单位抛物线函数，其一次微分为单位斜坡函数。
图3.4 抛物线函数
3.3 典型输入信号
单位抛物线函数的拉氏变换为
1 Lr (t ) 3 s
5．正弦函数 正弦函数的定义为
0 r (t ) A sin t
（3.4.5）
许多控制系统的设计准则是建立在这些信号的基础上。因
为系统对典型输入信号的响应特性与系统对实际输入信号 的响应特性之间存在一定的关系，所以采用典型输入信号 来评价系统性能是合理的。选择典型输入信号的原则是：
1) 反 映 最 恶 劣 的 工 作 情 况 ； 2) 反 映 实 际 的 工 作 情 况 ； 3) 在数学上和实验中比较容易得到。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1. 1 一阶系统瞬态性能分析 典型一阶系统的结构如图 3.12 （a）所示。在物理上，这个系统可 以表示一个R－C电路，也可以表示一个热系统。其闭环传递函数为
( s)
T 1 K
C ( s) 1 R( s) Ts 1
（3.4.1）
其中，称 为系统的时间常数，－K为系统的极点 值。凡是具有（3.4.1）式形式传递函数的系统为一阶惯性 系统，它在S平面上的极点分布为 s K 1 , 如图3.12（b T ）所示。 一阶系统的单位阶跃响应可由下式求出
t0 t0
（3.3.7）
其中，A为正弦函数的阶跃值；为频率（见图3.5）。 A＝1的正弦函数为单位正弦函数。
图3.5 正弦函数
3.3 典型输入信号
单位正弦函数的拉氏变换为
Lr (t )

s2 2
通常，我们用单位阶跃函数作为典型输入信号，则可 以在一个统一的基础上对各种系统的特性进行比较和研 究。
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1.2 典型二阶系统瞬态性能分析 二阶系统的研究具有重要意义，它不仅在工程实际中比较常见，而 且许多高阶系统在一定的条件下也可以近似为二阶系统。二阶系统的 单位阶跃响应有振荡和非振荡两种情况，可以满足不同系统的要求。 此外，工程上还采用所谓二阶系统的最佳工程参数作为设计系统的依 据。 一、典型二阶系统的传递函数 设有一随动系统如图3.15所示，其闭环传递函数为
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位脉冲响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位斜坡（速度）响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
一阶系统的单位加速度响应
3.4 控制系统瞬态性能分析
闭环传递
函数
输入信号
时域
输出响应
ess
0 0 T
(t )
1 TS 1
1(t) t
1 T e T
图3.15 随动系统方块图
3.4 控制系统瞬态性能分析
3.4.1.2 典型二阶系统瞬态性能分析
C ( s) K ( s ) R( s) s(Ts 1) K
（3.4.4）
其中，K 为系统的开环增益，T 为执行电动机的时间常数。 由（3.4.4）式可以求得系统的运动方程
d 2 c(t ) dc(t ) T Kc(t ) Kr (t ) 2 dt dt
第三章 控制系统的时间响应分析
线性系统的时域分析法 引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析
3.1 时域分析的提法
3.1.1 时域分析的基本思想
时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用 下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。
3.1.2 系统的时域响应
（3.3.5）
其中， B为速度阶跃值（见图 3.3）。 B＝ 1 的斜坡函数 为单位斜坡函数，其一次微分为单位阶跃函数。
图3.3 斜坡函数
3.3 典型输入信号
单位斜坡函数的拉氏变换为 1 Lr (t ) 2 s
4．抛物线函数（或加速度阶跃函数） 抛物线函数的定义为
0 r (t ) 1 2 Ct 2
通常人们关心的和便于直观分析的往往是系统对于外加作用的反 应情况，也就是当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间 的变化规律，我们称其为系统的“时域响应”。系统的时域响应由 两部分组成：瞬态响应和稳态响应。（这是从稳定性角度分析）。 瞬态响应是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到 达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡 过程。它还可以细分为状态响应和输出响应，通常用瞬态性能指标 描述，它反映了系统的品质。 稳态响应是指当时间t趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了 系统的精度。
3.2 时间响应及其组成
（从外作用力与系统本身固有特性对微分方程的解的 影响分析）。（讲解）
3.3 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，我们需要有一个对各种控制 系统性能进行分析的基础。这种基础可以这样来实现：预 先规定一些特殊的试验输入信号（我们称之为典型输入信 号），然后比较各种系统对这些输入信号的响应。(输入 分为确定性信号和非确定性信号)。