函数的对称性专题练习试卷及解析

函数的对称性专题练习试卷及解析

1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题

已知抛物线和214y x =

21

516

y x =-+所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)A a ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数的取值a 范围是 ( )

A. (1,3)

B. (2,4)

C. 3

(,3)2 D. 5(,4)2

2.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题

下图展示了一个由区间到实(0,1)数集的映射过R 程：如图1，在区间中数轴(0,1)上的点对应实M 数m ；如图2，将线段围成一AB 个圆，使两端点A 、B 恰好重合；如图3，将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴y 上，点A 的坐标为(0,1)，射线与轴交于AM x 点(,0)N n ．则n 就是m 的象，记作()f m n =．下列说法：

① ()f x 的定义域为(0,1)，值域为R ； ②()f x 是奇函数；

③ ()f x 在定义域上是单调函数； ④11()42

f =

； ⑤ ()f x 的图象关于点1(,0)2

对称． 其中正确命题的序号是（ ）

A. ②③⑤

B. ①③⑤

C. ①③④

D. ③④⑤

3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题 定义在上的函R 数的图像关于()f x 直线3

2

x =

对称，且对任意实数x 都有3

()(),(1)1,(0)22

f x f x f f =-+-==-，则(2013)(2014)(2015)f f f ++=（ ）

A. 0

B. 2-

C. 1

D. 2

4.2015年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第14题 已知函数1sin ()()x x

x

f x x R πππ-=

∈+，下列命题：

①函数既有最大()f x 值又有最小值； ②函数的图象是()f x 轴对称图形；

③函数在区间上()f x [,]ππ-共有7个零点； ④函数在区间上()f x (0,1)单调递增．

其中真命题是______．（填写出所有真命题的序号）

5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题

已知定义在上R 的函数满足：22

2,[0,1)()2,[1,0)x x f x x x ⎧+∈=⎨-∈-⎩，且(2)()f x f x +=，25

()2

x g x x +=

+，则方程在区间()()f x g x =[8,3]-上的所有实根之和为________．

6.2012年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试D 数学试题第15题

已知函数()()5sin 2f x x φ=+，若对任意x R ∈，都有()()f x f x αα+=-，则_____

4f a π⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭

7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题 已知函数3

2

()1f x x ax =+-（a R ∈是常数）．

(1)设3a =-，1x x =、2x x =是函数的极值()y f x =点，试证明曲线关()y f x =于点

1212(

,())22

x x x x

M f ++对称； (2)是否存在常数a ，使得[1,5]x ∀∈-，|()|33f x ≤恒成立？若存在，求常数的值或取值

范围；若不存在，请说明理由．

（注：，对于曲线上任()y f x =意一点P ，若点关于的对P M 称点为Q ，则Q 在曲线()y f x =上．）

8.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题 已知函数的图(),x

f x e x R =∈象与的图象关()

g x 于直线y x =对称.

(1)若直线与的图1y kx =+()g x 像相切, 求实数k 的值； (2)判断曲线与曲()y f x =线公共点的个2

112

y x x =

++数. (3)设a b <，比较与的大小

()()2f a f b +()()

f b f a b a

--，并说明理由.

9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题

如果函数的定()y f x =义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数使得

a ()()f x a f x +=-成立，则称此函数具有“()P a 性质”．

(1)判断函数是否sin y x =具有“()P a 性质”，若具有“()P a 性质”求出所有的值；若不

具有“()P a 性质”，请说明理由．

(2)已知()y f x =具有“(0)P 性质”，且当0x ≤时2

()()f x x m =+，求在上的最大

()y f x =[0,;1]amp 值．

(3)设函数()y g x =具有“(1)P ±性质”，且当1122

x -≤≤时，()g x x =．若与交点个数

()y g x =y mx =为2013个，求m 的值．

答案和解析

1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题 答案：D

分析：转化为方程有解问题求解，由选项可知实数的最大取值a 范围是(1,4)，则必有一对

关于轴对称的点y 满足；联立214y x =和21

516

y x =-+，解得4x =或4-，则另外一对是抛物线214y x =，(4,0)x ∈-上的一点和2

1516

y x =-+，(0,4)x ∈，

再将这两点关于y 轴对称，共3对，设 20001(,),(4,0)4P x x x ∈-，则点关于点的P A 对称点2

001(,2)

4

Q x a x --在21516y x =-+，(0,4)x ∈上，所以222000113

25,25(5,8)41616a x x a x -=-+=+∈，

则5

(,4)2

a ∈，故选D .

2.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题 答案：B 分析：

3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题 答案：A

分析：由3()()2f x f x =-+得3()()2

f x f x +=-， 即3(3)()()2

f x f x f x +=-+=， 即函数的周期是3， 则

(2013)(2014)(2015)(6713)(67131)(67132)

f f f f f f ++=⨯+⨯++⨯+