数学分析课本(华师大三版)-习题及答案20+22

习 题 二十、二十二
1．计算下列第一型曲线积分．
(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫
x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫
s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22
+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象
限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．
x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L
∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．
(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．
)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,
0>a π20≤≤t .
(7) ，其中L 是螺旋线弧段
(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．
(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点
(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)
ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．
(1)
,其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.
2x y =(2) ，其中L 为
xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；
)00)12② 沿抛物线x y =2
4
从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．
)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针
方向的矩形回路．
x y x y ====004，，，2
(4) x dy y dx
x y L 225
353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33
，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．
(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111
B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+L
ydz zdy dx x 2
θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.
3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．
(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；
x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．
4．利用格林公式计算下列积分．
(1) ()()x y dx x y dy L +++∫
222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)
()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．
(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点
的一段弧．
(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫
,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a y
x . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫
,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2
(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点
(0,0)到点(1,1)的一段弧.
5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．
(1) ，L 是从点经圆周
上半部到点的弧段．
()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)
，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．
(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．
()(x y xdx ydy L
22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdx
ydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．
(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．
x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．
(1) ．
()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．
(3) ．
()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．
(1) ; (2)
x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．
(1)
，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)
(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，
其中S 是锥面(x
y z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．
z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．
∫∫+S
ds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0
(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx ds
S ++∫∫)z x y =+22x 被柱面
所截得的部分．
x y a 222+=(6) ∫∫S
xyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的
四面体的整个边界曲面.
(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =
+22x ）0被柱面
所截得的有限限部分.
x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．
(1) ， 其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．
()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S
222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，
其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S
++∫∫x y z ===00，，
与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．
(3)
，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．
z z ==12
， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S
333++∫∫，其中S 是球面：
的外侧．
x y z a a 22220++=>（） (2) x
dydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面
所围成的立体表面的外侧．
x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S
−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．
x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平
()()()x y z dxdy y z z dzdx S
+++++−∫∫23212
面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．
（5）∫∫++S yzdxdy dzdx y
xzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，
所围成的立方体的表面外侧.
1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫
，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与
三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫
()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．
x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．
(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫
(cos )sin (,,)
(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)
(,,) 14．求下列各式的原函数．
(1) yzdx xzdy xydz ++．
(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222
222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.
0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L Y
X YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=L
ds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．
a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)
应满足怎样的条件？
20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．
x y z a z 22220++=≥，。