《线性代数》模拟试卷B及答案
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故 可逆且 ………………………………………..6分
四、综合题（25分）
第1小题15分，第2小题10分，共25分。
1、计算线性方程组的系数行列式
……………..6分
当 ，方程组有唯一解，即
（1） ，方程组有唯一解；…………………………….8分
（2）当 ，方程组的增广矩阵为
，
则 ，方程组无解；………………………………10分
（8）设 为 矩阵，齐次方程组 仅有零解的充要条件是 的（ ）
(A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关
(C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关
（9）已知矩阵A= ,下列向量是A的特征向量的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（10）二次型 为正定二次型，则 的取值围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(A) (B) (C) (D)
（5）线性方程组 有唯一解，则 为（ ）
(A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0
（6）若A为可逆阵，则 =（ ）
(A) (B) (C) (D)
（7）含有4个未知数的齐次方程组 ，如果 ，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
……........5分
= ……………………………………..8分
则， = …………………………………………..…10分
4、作矩阵 经过初等行变换可化为行最简形矩阵 ，得 ，即向量组 的秩为2，……….6分
可取 为向量组的一个最大无关组…………………………….10分
由题意可知向量组中的任何两个（因对应分量不成比例）都可以做为它的一个最大无关组。
则 ，所以 ，由 ，…………... 3分
得 ………………………………........5 分
二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分）
1、计算行列式 。（5分）
2、设 ，求 的逆 。（5分）
3、求矩阵方程 ，其中 。（10分）
4、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个最大无关组。（10分）
三、证明题（第1小题9分，第2小题6分，共15分）
1、已知向量组 线性无关， ，试证向量组 线性无关。（9分）
（3）当 ，方程组的增广矩阵为
， ，……….12分
方程组有无穷多个解，可得通解为
即： ……………….…15分
2、（1）证明：由 ，得 ，则………….…..1分
由A为n阶方阵， ，………………….....3分
， 可逆，由上可得： ，
…………………………………………………....….5 分
（2）由 ，可得 ，………………………... .1分
2、设A、B分源自文库为m，n阶可逆矩阵，证明：
可逆，且 。（6分）
四、综合题（第1小题15分，第2小题10分，共25分）
1、 取何值时，非齐次线性方程组 ，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。（15分）
2、已知A为n阶方阵，且满足
（1）证明： 可逆，并求 。（5分）
三、证明题（15分）
第1小题9分，第2小题6分，共15分。
1、证明：设有 使 ，……………………….........2分
即 ，……………………….4分
亦即 ，…………………………….6分
因 线性无关，故有 ，……………………………8分
故方程组只有零解 ，所以向量组 线性无关。…..9分.
2、证明： …………………..4分
《线性代数》模拟试卷B及答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
（1）若A为4阶矩阵，则 =（ ）
(A) 4 (B) (C) (D)
（2）设A，B 为n 阶方阵， 且 ，则（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（3）A，B，C均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（4） 成立的充要条件是（ ）
1、 = =
=
或以其它方式计算视情况酌情给分，结果正确得5分。
2、对 作初等行变换，当 变为 时， 则变为 ,
……4分
则 ……………………………………………………. 5分
也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆，视情况都可酌情给分。
3、由 ，得 ，求 ，我们同样可以用上面题目的方法，对 进行初等变换，当 变为 时， 则变为 ，
（2）若 ，求 的值。（5分）
《线性代数》模拟试卷四参考答案与评分标准
一、选择题（30分）
每题3分，共10题，共30分
(1) B （2） D （3） C （4）A （5） B
(6) C (7) D (8) A (9) D （10）A
二、计算题（30分）
第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分。
四、综合题（25分）
第1小题15分，第2小题10分，共25分。
1、计算线性方程组的系数行列式
……………..6分
当 ，方程组有唯一解，即
（1） ，方程组有唯一解；…………………………….8分
（2）当 ，方程组的增广矩阵为
，
则 ，方程组无解；………………………………10分
（8）设 为 矩阵，齐次方程组 仅有零解的充要条件是 的（ ）
(A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关
(C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关
（9）已知矩阵A= ,下列向量是A的特征向量的是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（10）二次型 为正定二次型，则 的取值围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(A) (B) (C) (D)
（5）线性方程组 有唯一解，则 为（ ）
(A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0
（6）若A为可逆阵，则 =（ ）
(A) (B) (C) (D)
（7）含有4个未知数的齐次方程组 ，如果 ，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
……........5分
= ……………………………………..8分
则， = …………………………………………..…10分
4、作矩阵 经过初等行变换可化为行最简形矩阵 ，得 ，即向量组 的秩为2，……….6分
可取 为向量组的一个最大无关组…………………………….10分
由题意可知向量组中的任何两个（因对应分量不成比例）都可以做为它的一个最大无关组。
则 ，所以 ，由 ，…………... 3分
得 ………………………………........5 分
二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分）
1、计算行列式 。（5分）
2、设 ，求 的逆 。（5分）
3、求矩阵方程 ，其中 。（10分）
4、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个最大无关组。（10分）
三、证明题（第1小题9分，第2小题6分，共15分）
1、已知向量组 线性无关， ，试证向量组 线性无关。（9分）
（3）当 ，方程组的增广矩阵为
， ，……….12分
方程组有无穷多个解，可得通解为
即： ……………….…15分
2、（1）证明：由 ，得 ，则………….…..1分
由A为n阶方阵， ，………………….....3分
， 可逆，由上可得： ，
…………………………………………………....….5 分
（2）由 ，可得 ，………………………... .1分
2、设A、B分源自文库为m，n阶可逆矩阵，证明：
可逆，且 。（6分）
四、综合题（第1小题15分，第2小题10分，共25分）
1、 取何值时，非齐次线性方程组 ，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。（15分）
2、已知A为n阶方阵，且满足
（1）证明： 可逆，并求 。（5分）
三、证明题（15分）
第1小题9分，第2小题6分，共15分。
1、证明：设有 使 ，……………………….........2分
即 ，……………………….4分
亦即 ，…………………………….6分
因 线性无关，故有 ，……………………………8分
故方程组只有零解 ，所以向量组 线性无关。…..9分.
2、证明： …………………..4分
《线性代数》模拟试卷B及答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
（1）若A为4阶矩阵，则 =（ ）
(A) 4 (B) (C) (D)
（2）设A，B 为n 阶方阵， 且 ，则（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（3）A，B，C均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（4） 成立的充要条件是（ ）
1、 = =
=
或以其它方式计算视情况酌情给分，结果正确得5分。
2、对 作初等行变换，当 变为 时， 则变为 ,
……4分
则 ……………………………………………………. 5分
也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆，视情况都可酌情给分。
3、由 ，得 ，求 ，我们同样可以用上面题目的方法，对 进行初等变换，当 变为 时， 则变为 ，
（2）若 ，求 的值。（5分）
《线性代数》模拟试卷四参考答案与评分标准
一、选择题（30分）
每题3分，共10题，共30分
(1) B （2） D （3） C （4）A （5） B
(6) C (7) D (8) A (9) D （10）A
二、计算题（30分）
第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分。