求定积分的方法

系（院）数学与信息科学学院

专业数学与应用数学

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姓名

论文题目求定积分的若干方法指导教师职称副教授

2010 年5月20日

1

目录

摘要 (3)

关键词 (3)

Abstract (3)

Keywords (3)

前言 (3)

1. 定义法求定积分 (3)

1.1 定义法 (3)

1.2 典型例题 (4)

2. 换元法求定积分 (5)

2.1 换元积分法 (5)

2.2 典型例题 (5)

3. 分部法求定积分 (8)

3.1 分部积分法 (8)

3.2 典型例题 (8)

4. 区间性质求定积分 (9)

4.1 常见的三种题型 (9)

4.2 典型例题 (9)

5. 有理函数求积分 (11)

5.1 有理函数积分法 (11)

5.2 典型例题 (11)

参考文献 (13)

2

3

求定积分的若干方法

摘 要：本文主要考虑定积分的计算方法，对一些常用的方法和技巧进行归纳和总结，主要方法包括定义法、换元积分法、分部积分法等，并对每种方法给出了典型例题．

关键词：定积分；换元积分法；分部积分法；有理函数积分

Methods of Calculation on Definite Integral

Abstract: In this paper, we study the calculation of definite integral and some usual methods and techniques for computation and described. The chief methods include definition integration, act-for-Yuan integration, and integration by parts and so on. So, different subjects should use different calculation methods in order to simplify the calculation.

Key Words: definite integral ；act-for-Yuan integration ；integration by parts ； integral rational function ．

前言

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的

数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学．微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造．一个定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有好的方法和技巧．本文主要以求解定积分的各种方法为主线，对其分别概述，举例，并加以分析说明，从而得出对于不同的题型应当运用合适的方法来解决的结论．学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出技巧．

1 定义法求定积分

1.1 定义法

已知函数()f x 在],[b a 上可积，由于积分和的极限唯一性，可做],[b a 的一个

4

特殊分法T （如等分法等），在[]1,k k x x -上选取特殊的k ξ（如取k ξ是[]1,k k x x -的左端点、右端点、中点等），做出积分和，然后再取极限，就得函数()f x 在],[b a 的定积分． 1.2 典型例题

例1]1[ 求sin b a xdx ⎰， b a <

解 因为函数sin x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的方法作积分和． 取h =

n

a

b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ⋅=+<<+<+

1

1

sin lim sin()lim sin()n n

b

a

h h k k xdx a kh h h a kh →→===+=+∑∑⎰

，

其中，

1

1

1sin()2sin()sin()22sin()

2

n

n

k k h

a kh a kh h ==+=

+∑∑

=

1

12121

[cos()cos()]22

2sin()

2

n

k k k a h a h h =-++

-+∑ 1

133

5

[c o s ()c o s ()c o s ()c o s (

)

22222s i n ()

2

2121

c o s ()c o s ()]

22

a h a h a h a h h k k a h a h =

+-+++-+-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+

=

)()21

cos()21cos()

2

sin(21

b nh a h b h a h =＋］＋－＋［ 将此结果代入上式之中，有

.cos cos )2

cos()2cos()2/sin(2/lim

sin 0b a h

b h a h h xdx h b

a

-=-=→⎰

］＋＋［