求定积分的方法
求定积分的四个步骤
求定积分的四个步骤
求定积分是一种完成微积分运算的重要方法，它是积分学中最基本的概念。
求定积分包括四个步骤，分别为：确定积分区间、选择积分公式、求出积分值和最后验证结果。
首先，在求定积分时，我们要确定积分的区间，即被积函数的定义域以及它的上下限。
这一步很重要，因为积分的结果取决于被积函数的取值范围，只有确定了积分区间才能进行下一步。
其次，选择合适的积分公式。
这里，我们可以根据被积函数的形式，选择合适的积分公式。
比如，如果被积函数是多项式，我们可以采用多项式积分公式；如果被积函数是指数函数，我们可以采用指数积分公式。
然后，根据确定的积分区间和所选择的积分公式，我们可以求出积分值。
在这一步，我们要对被积函数进行替换，把它变换为积分公式，然后求出积分值。
最后，我们要验证结果。
在求定积分时，我们可以把原来的积分区间划分为多个小区间，然后分别求出这些小区间的积分值，最后再把它们相加，求出原来的积分值。
如果结果与我们所求的积分值相符，则说明我们的计算是正确的。
总之，求定积分包括确定积分区间、选择积分公式、求出积分值和最后验证结果。
这些步骤都很重要，只有按照正确的步骤完成求定积分，才能得出正确的结果。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分的重要概念之一，它可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积、求解物体的体积、求解平均值等问题。
计算定积分的方法有一些常见的技巧，如换元法、分部积分法、利用对称性和利用定积分的性质等。
下面将逐一介绍这些方法。
第一种方法是换元法。
当被积函数中存在一部分可以通过一次函数替换来简化时，可以使用换元法。
换元法通过变量替换的方式将原函数简化为具有更简单形式的函数，从而更容易求解。
一般来说，有两种常用的换元方法：一种是代数换元法，即通过引入新的代数变量来替换函数中的一部分；另一种是三角换元法，即通过引入三角函数来替换函数中的一部分。
第二种方法是分部积分法。
分部积分法是利用导数的乘积法则将一个积分转化为另一个积分的方法。
具体来说，当被积函数中存在一部分可以看作是一个函数的导数与另一个函数的乘积时，可以使用分部积分法。
分部积分法的公式为：$$\int u \,dv = uv - \int v \, du$$ 通过适当选择$u$和$dv$，可以将原积分化简为更易求解的形式。
第三种方法是利用对称性。
当被积函数具有一定的对称性时，可以利用这种对称性来简化计算过程。
例如，当被积函数为偶函数时，可以将积分区间从$(-a,a)$缩小为$(0,a)$，然后将被积函数乘以2进行积分。
当被积函数为奇函数时，可以利用奇函数的性质进行化简。
第四种方法是利用定积分的性质。
定积分具有一些特殊的性质，如线性性质、additivity性质和区间可加性质等。
通过利用这些性质，可以将原积分化简为更容易求解的形式。
例如，可以将一个复杂的定积分分解为多个简单的定积分相加，或者利用区间可加性质将一个积分区间分成多个小区间，然后对每个小区间进行积分。
以上所提到的方法只是定积分计算中常用的一些方法，实际上还有其他一些求解定积分的技巧和方法。
在解决具体问题时，需要根据问题的特点和需要选择合适的方法。
另外，在实际计算中，还可以借助计算工具如数值积分、计算机软件等来求解定积分，特别是当被积函数很复杂或求解过程较为繁琐时，这些工具可以提供更便捷和准确的解决方案。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4．∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法 例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0． 小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
求解定积分的技巧与方法
求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。
对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。
本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。
当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。
例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。
2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。
通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。
例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。
计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。
一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。
常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。
二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。
常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。
三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。
常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。
2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。
四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。
常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。
2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。
以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。
定积分求法
定积分求法一、定积分求法定积分是指把一段区间内的一种函数值相加以求出总和的方法。
它是微积分中的一种重要运算，可以用来解决一些微分方程的问题，也应用于电力学、力学、热学等领域。
1.求面积定积分的一个重要应用就是求一维函数在一段区间上的积分值，假定函数y=f (x)的定积分表示为∫a bf (x)dx，a、b是两个定义域，f (x)为一个定义域上的函数，这个函数的积分值可以用来表示其定义域内的面积。
2.求曲线的长度定积分也可以用来求出曲线的长度。
假设曲线由一个自变量x描绘出，那么曲线长度就等于∫a b(1+y' )^ dx，其中y'=dy/dx，同样可以利用定积分求出。
3.求体积定积分也可以用来求函数描绘的物体的体积。
假设物体的高度为z=f (x,y)，那么物体的体积就等于∫a b∫a bf (x, y) dx dy，这也是定积分的应用。
4.求重心定积分也可以用来求函数描绘的物体的重心坐标。
假设物体的重量为w=f (x,y,z)，那么物体的重心坐标就是(∫a b∫a b∫a bxf (x, y, z) dx dy dz / ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz, ∫a b∫a b∫a byf (x, y, z) dx dy dz/ ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz,∫a b∫a b∫a bzf (x, y, z) dx dy dz/ ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz)，同样也是定积分的应用之一。
二、定积分求法的两种类型定积分求法一般分为两类，一类是区间定积分，一类是积分形式定积分。
1.区间定积分所谓区间定积分，是指在一个定义域上，由两个端点定义的定义域内的函数求积分。
比如，假定函数y=f (x)在[a, b]上是定义的，求函数f (x)在[a, b]上的定积分，称为区间定积分。
2.积分形式定积分积分形式定积分是指在一个定义域上，由函数f (x)和定义域上的函数值g (x)求函数f (x)在定义域内的定积分。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是微积分中的重要概念之一，可以用不同的方法来求解。
下面将介绍四种常用的方法：基本函数法、换元法、分部积分法和定积分的性质。
第一种方法是基本函数法。
基本函数法是指利用基本函数的积分表达式求解定积分。
在基本函数法中，通过查表或记忆基本函数的积分公式，将被积函数转化为基本函数的积分形式，从而求解定积分。
例如，要求解$\int (x^2+2x+1)dx$，可以将被积函数分解为$(x^2+2x+1)=x^2+2x+1=\frac{1}{3}x^3+x^2+x$，由基本函数的积分表达式，可知$\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4+C_1$，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C_2$，$\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C_3$。
因此，$\int (x^2+2x+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+C$，其中C为常数。
第二种方法是换元法。
换元法是指通过变量代换，将原来的积分转化为更简单的形式。
在换元法中，通过选择合适的变量代换来使被积函数的形式简化，然后求解新变量下的积分，最后再将变量代换回原来的变量。
例如，要求解$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx$，可以令$u=x+1$，则有$du=dx$。
将变量代换后的积分形式$\int \frac{1}{u^2}du$，由基本函数的积分表达式可得$\int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{x+1}+C$，其中C为常数。
最后将变量代换回原来的变量，得到$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+C$。
第三种方法是分部积分法。
分部积分法是指利用函数的乘积积分的性质，将原来的积分转化为两个函数的乘积积分的形式。
在分部积分法中，通过选择乘法中的两个函数，并将被积函数分解为这两个函数的乘积形式，然后利用乘积积分公式求解。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分的计算方法
定积分的计算方法定积分是微积分中重要的概念之一，用于计算曲线下面的面积、求函数的平均值等。
在本文中，将介绍一些常见的定积分计算方法，并结合例子进行说明。
1. 定积分的定义定积分可以理解为将一个函数在区间[a, b]上的曲线下方的面积进行求和。
用数学符号表示，可以写作∫[a, b]f(x)dx，其中f(x)是要进行积分的函数，[a, b]表示积分的区间。
2. 几何法几何法是一种简单直观的计算定积分的方法。
它基于几何图形的面积计算方法，通过将曲线下方的区间划分为若干个矩形、梯形或三角形来逼近曲线下方的面积。
例如，我们要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分。
首先，将区间[0, 1]平均划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n=(1-0)/n=1/n。
然后，在每个小区间上取一个点xi，并计算出相应的函数值f(xi)。
接着，将矩形的高度设定为f(xi)，则每个小区间上的矩形的面积为f(xi)Δx。
最后，将所有小矩形的面积相加即可得到近似的定积分值。
3. 不定式法不定式法是一种通过求解原函数来计算定积分的方法。
如果给定函数f(x)在[a, b]上连续，并假设F(x)是它的一个原函数，则根据微积分基本定理，可得到∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这意味着我们只需要找到函数f(x)的一个原函数F(x)，并计算F(b)和F(a)的差值，即可求得定积分的值。
举个例子，考虑要计算函数f(x) = x²在区间[1, 3]上的定积分。
首先，求出函数f(x)的一个原函数F(x)。
由f(x) = x²可知，F(x) = (1/3)x³ + C 是f(x)的一个原函数。
根据不定式法，定积分的值为∫[1, 3]x²dx = F(3) - F(1) = (1/3)(3³) + C - [(1/3)(1³) + C] = 9/3 - 1/3 = 8/34. 分部积分法分部积分法是一种利用积分的性质来计算定积分的方法。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法在微积分中，确定定积分的值是一个重要的问题。
定积分是一个实函数在给定区间上的积分，表示该函数在该区间上的总体积。
在本文中，我将介绍四种常见的方法来确定定积分的值。
这些方法分别是：几何解释法、Riemann和法、换元积分法和分部积分法。
一、几何解释法例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成无限个小矩形，并计算每个小矩形的面积。
然后将所有小矩形的面积相加，即可得到定积分的值。
对于该例子，我们可以将区间[0,1]分成无限个宽度为dx的小矩形，其高度为f(x)=x^2、因此，定积分的值为∫[0,1]x^2dx=1/3二、Riemann和法Riemann和法是一种将定积分转化为求和的方法。
它使用一个区间分割，把整个区间分成无限个小区间。
然后，通过对每个小区间让其长度趋近于零，计算每个小区间的函数值和相加，从而求得定积分的近似值。
当小区间的数量无限增加时，所得的近似值将趋近于定积分的真正值。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成n个小区间，每个区间的宽度为Δx=(1-0)/n，其中n为正整数。
然后，我们可以计算每个小区间的函数值并相加，即可得到定积分的近似值。
当使用Riemann和法时，分割区间的选择对于确定近似值的精确性非常重要。
如果区间分割得足够细，近似值将趋近于定积分的真正值。
三、换元积分法换元积分法是一种通过进行变量替换来简化定积分的方法。
它利用函数的链式法则，将原函数中的自变量替换为新的变量，然后计算新函数的微分。
通过进行适当的变量替换，我们可以将原本复杂的定积分转化为更简单的形式，从而易于计算。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以进行变量替换，令u=x^2，则du=2xdx。
通过将原函数中的自变量替换为新变量，我们可以将原本的定积分转化为∫[0,1]u(1/2√u)du。
定积分的五种求法
上 学 期 期 中 考 试 理 科 已 知 函 数 厂 一
当 １≤ ＜√ 时， 厂，（ ）＜ｏ，此时
（１）若 “一 ２，求 证 ：函 数 ｆ（ｚ）在 （１， ｆ（ｘ）是 减 函 数 ；
＋～）上是增 数
当√ ＜ ≤ 时，厂，（ ）＞ｏ，此时
（２）求 函 数 ｆ（ ）在 ［１，ｅ］上 的 最 小 值 及
质 ，则 能 迎 刃 而 解 。
解 ：由 于 被 积 ／Ｎ数 ｔ
及
是 奇
Ｚ 十 １
函 数 ，所 以 其 在 对 称 区 间 的 积 分 值 均 为 零 。
１ ２ 求定积分 ｆ （ ｚ＋２ ＋１）ｄｊ：的
值 。 分 析 ：可 允 求 出 原 函 数 ，再 利 用 微 积 分 基
Ｉ （、／『二 ）ｄ 一 。
（４） 取 极 限 ： ｓ — ｌｉｍ 三 ．
［（ ｝（ ＋…＋（ ）。］
四 性 质 法 侧 求 下 列定 积分 ：
① 』 ｔａｎ ｚｄ－ｚ；② Ｉ
ｄ 。
一 ｌｉｒ ａ ［１ ＋ ２。＋ … ＋ ”。］
分 析 ：对 于 ① 用 微 积 分 的 基 本 定 理 可 以
分 析 ：用 定 义 法 求 积 分 司 分 四 步 ：分 割 ，
以 直 代 曲 ，作 和 ，求 极 限 。
解：（１）分割：把区间［ｏ，２］分成 等份，
。
Ｕ△‘ｚ．一 。
”
（２） 近 似 代 替 ：△Ｓ 一
（∈ ）△ｚ 一
（ ３＋ 。＋）ｆ １一（＼３＋４＋ ／一（＼ ３＋ ＋ ）一
－＝ －＝ ＝ ［｝×÷ ｃ”＋ ］
解 决 ，而 ② 的 原 函 数 很 难 找 到 ，几 乎 不 能 解 决 。若 运 用 奇 偶 函 数 在 对 称 区 间 的 积 分 性
定积分的计算方法
则F[ (t )] 是 f [ (t )] (t )的一个原函数, 从而
f [ ( t )] ( t )dt F [ ( t )]
由此可得
F [ ( )] F [ ( )] F (b) F (a )
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
证
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
设F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
因为当 x ( t ) 时, 有 F ( x) F (t ) , 则有复合函数求导法 则, 有
d F [ ( t )] F [ ( t )] ( t ) f [ ( t )] ( t ) dt
§ 定积分的计算方法
一. 换元积分法 二. 分部积分法
由牛顿—莱布尼茨公式知: 计算定积分
b
a
f ( x )dx 的关键在
于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 从而不定积分的换元 积分法和分部积分法在求定积分时仍适用. 本节讨论在一定 条件下, 如何利用换元积分法和分部积分法计算定积分.
1 2
2
1
1 ln 2 2
注 如果不明确写出新的变量, 则定积分的上、下限就不需要 变更. 如
1 x 1 1 2 2 ln 1 x dx d( x 1) 2 0 1 x2 0 2 2 1 x
1
1
1
0
1 ln 2 2
例4
计算 I 0 sin3 x sin5 xdx
定积分的求解方法及其应用
定积分的求解方法及其应用摘要：在数学分析这门课程里,定积分是最普遍而又重要的内容之一,同时也是数学研究中的重要工具,随着数学在生活中的广泛应用,定积分的相关解法和应用所蕴藏的巨大潜力越来越引起人们的关注.本论文从定积分的基本理论出发,系统阐述了牛顿莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、凑微分法等几种常见的求解方法,并列举了相关的例子,更直观的了解求解定积分的方法的精髓.另外本文又介绍了定积分在数学、物理学和经济学当中的应用,实现了定积分在实际生活中的应用.通过这一系列的总结,可以进一步提升对定积分的认识,为以后的学习奠定了基础.关键词：定积分；求解方法；应用一、定积分的求解方法1.1 定积分概念定义1 不妨设在闭区间[m ,n ]中，不包含两个端点，共有1-k 个点,按照大小分别为m =0x <1x <2x <…<1-k x <k x =n ,这些点将闭区间[m ,n ]分割为大小不一的子区间，共有k 个，用i ∆表示这些子区间，即i ∆=[1-i x ,i x ],i =1,2, …,k 。
可以将k x x x ......,10点或[]n i xi x i i ......12,,1==∆-子区间视为分割了闭区间[m ,n ]，令集合=A {0x ,1x ,…,k x }或{1∆,2∆,…,k ∆}.定义2 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]。
将区间[m ,n ]分割为k 个，得分割区间的集合=A {1∆,2∆,…,k ∆}，在区间i ∆上随意取点i ψ，即i ψ∈i ∆,i =1,2, …,k ，将该点函数值与自变量之差做乘积，累次相加得()iki ix g ∆∑=1ψ，该式是函数g 在定义域[m ,n ]上的积分和.定义3 假设函数g 的定义域为 [m ,n ]，S 是给定的实数。
假如总能找到某个的正数θ，以及任何正数σ，在定义域 [m ,n ]进行任意大小的分割A ，并且在分割出来的区间中随意选择一个点组成集合{i φ}，当A <θ时，存在σφ<-∆∑=S xg ni ii1)(，则函数g在定义域[m ,n ]上可积，即⎰=nmdx x g S )(。
定积分的定义与计算方法
定积分的定义与计算方法定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下某一区间的面积或者曲线长度等物理量。
本文将介绍定积分的定义以及常用的计算方法。
一、定积分的定义定积分的定义是通过极限的思想来进行建立的。
假设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将[a, b]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间内任意一点ξi。
定义n趋于无穷大时的极限值为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b] f(x)dx。
二、定积分的计算方法1. 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线下面积。
当被积函数f(x)在区间[a, b]上大于等于0时，定积分∫[a, b] f(x)dx就是曲线y=f(x)、x轴以及直线x=a和x=b所围成的曲边梯形的面积。
2. 定积分的基本性质定积分具有一些基本的性质，包括线性性、区间可加性、保号性等。
其中，线性性指出定积分具有线性运算的特点，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx；区间可加性指出定积分的区间可以分割为若干子区间进行计算，并将结果相加；保号性指出当被积函数在[a, b]上恒大于等于0时，定积分的值也大于等于0。
3. 定积分的计算方法（1）基本初等函数的定积分对于一些简单的基本初等函数，我们可以通过查表或者利用反求导法来得到它们的原函数，并通过定积分的定义来计算定积分的值。
（2）换元法对于一些复杂的函数积分，使用换元法可以将复杂的函数转化为简单的形式。
通过选取合适的代换变量，使被积函数的形式简化，并将积分转化为求解简单的积分。
（3）分部积分法分部积分法是求解复杂函数积分的一种常用方法。
通过选择合适的u和dv，利用分部积分公式∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) - ∫v(x)du(x)，将原来的积分转化为更简单的积分形式。
（4）数值方法当函数难以求得原函数表达式时，可以利用数值方法对定积分进行近似计算。
几种求定积分的方法
乙 的圆的面积的 1 ，即 πa2 。因而
4
4
a
姨a2-x2
0
dx（a＞0）= πa2 4
。
解：该题目可以用牛顿—莱布尼兹公式，先求出不定积分，再
这两种解法和思路相比较，显而易见，数形结合的方法简单容
代值求定积分。但是这种方法的解题步骤不如直接用定积分的换 易得多。
元积分法来求解。下面我们比较一下这两种方法。
掌握以上三种不定积分的求法，通过牛顿—莱布尼兹公式就
π
π
π
乙 乙 乙 乙 是
a
姨a2-x2 dx=
0
2
姨a2-a2sin2 tgacostdt=
0
2
a2cos2tdt=a2
0
2 1+cos2t dt 02
然后再用积分法则和第一类换元法来解决。
方法二：数形结合思想解题
乙a
解：由定积分的定义及几何意义可知， 姨a2-x2 dx（a＞0）表 0
的形式，也可以用分部积分法。
定积分还可以用数形结合思想来求解。其实这根据的是定积
乙 乙 分部积分公式： udv=uv- vdu。它的作用在于：把比较难求 分的几何意义。
乙 乙 的 udv 化为比较容易求的 vdu 来计算，可化难为易。
乙a
例 7.求 姨a2-x2 dx（a＞0） 0
分部积分的解题步骤：
］40 =4-2ln3
方法二：定积分的换元积分法
设 姨 x =t，则 x=t（2 t≥0）。且当 x=0 时，t=0；当 x=4 时，t=2。
乙 乙 乙 于是
4 dx 0 1+ 姨 x
=
2 2t dt=2 0 1+t
2
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系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级姓名论文题目求定积分的若干方法指导教师职称副教授2010 年5月20日1目录摘要 (3)关键词 (3)Abstract (3)Keywords (3)前言 (3)1. 定义法求定积分 (3)1.1 定义法 (3)1.2 典型例题 (4)2. 换元法求定积分 (5)2.1 换元积分法 (5)2.2 典型例题 (5)3. 分部法求定积分 (8)3.1 分部积分法 (8)3.2 典型例题 (8)4. 区间性质求定积分 (9)4.1 常见的三种题型 (9)4.2 典型例题 (9)5. 有理函数求积分 (11)5.1 有理函数积分法 (11)5.2 典型例题 (11)参考文献 (13)23求定积分的若干方法摘 要：本文主要考虑定积分的计算方法，对一些常用的方法和技巧进行归纳和总结，主要方法包括定义法、换元积分法、分部积分法等，并对每种方法给出了典型例题．关键词：定积分；换元积分法；分部积分法；有理函数积分Methods of Calculation on Definite IntegralAbstract: In this paper, we study the calculation of definite integral and some usual methods and techniques for computation and described. The chief methods include definition integration, act-for-Yuan integration, and integration by parts and so on. So, different subjects should use different calculation methods in order to simplify the calculation.Key Words: definite integral ；act-for-Yuan integration ；integration by parts ； integral rational function ．前言由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学．微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造．一个定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有好的方法和技巧．本文主要以求解定积分的各种方法为主线，对其分别概述，举例，并加以分析说明，从而得出对于不同的题型应当运用合适的方法来解决的结论．学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出技巧．1 定义法求定积分1.1 定义法已知函数()f x 在],[b a 上可积，由于积分和的极限唯一性，可做],[b a 的一个4特殊分法T （如等分法等），在[]1,k k x x -上选取特殊的k ξ（如取k ξ是[]1,k k x x -的左端点、右端点、中点等），做出积分和，然后再取极限，就得函数()f x 在],[b a 的定积分． 1.2 典型例题例1]1[ 求sin b a xdx ⎰， b a <解 因为函数sin x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的方法作积分和． 取h =nab -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ⋅=+<<+<+<b nh a h a h a a 2 取k ξ是小区间的右端点，即k a kh ξ=+，于是，11sin lim sin()lim sin()n nbah h k k xdx a kh h h a kh →→===+=+∑∑⎰，其中，111sin()2sin()sin()22sin()2nnk k ha kh a kh h ==+=+∑∑=112121[cos()cos()]222sin()2nk k k a h a h h =-++-+∑ 11335[c o s ()c o s ()c o s ()c o s ()22222s i n ()22121c o s ()c o s ()]22a h a h a h a h h k k a h a h =+-+++-+-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+=)()21cos()21cos()2sin(21b nh a h b h a h =＋］＋－＋［ 将此结果代入上式之中，有.cos cos )2cos()2cos()2/sin(2/limsin 0b a hb h a h h xdx h ba-=-=→⎰］＋＋［5从上面的例题可见，按照定积分的定义计算定积分要进行复杂的计算，在解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法．2 换元法求定积分2.1 换元积分法换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来简化积分计算的一种积分方法．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的上下限，这样可以简化计算．设()x f 在[]b a ,上连续，()t x x =满足(1)()()(),,,b t x a b x a x ≤≤==βα且()βα≤≤t ； (2)()t x '存在并在[]βα,上可积．则⎰⎰=βα＇dt t x t x f dx x f ba)())(()(上述条件(1)是保证被积函数的取值不致越出积分区间．换元的简单情况就是凑微分法，同时，它也是其他方法的基础和优先思路．通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应变换积分上下限，这样可以简化计算．利用换元法的关键在于选择恰当的变换方式()t x x =，否则可能使变换后的积分更加复杂，难以计算，然而我们没有一般的原则，只能依据被积函数的特点来确定． 2.2 典型例题 例2]4[求0⎰解 应用定积分换元积分公式设,cos ,sin tdt a dx t a x ==,当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t⎰=2/22(cos )at dt π⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin 22t t a 20π=42a π．显然，上述计算方法使用定积分换元公式简便，从而体现了换元积分法的优6越性． 例3 求dx x a a⎰+022解 设,sec ,tan 2tdt a dx t a x == 当0=x 时，0=t ；当a x =时，4π=t=+⎰dx x a a22⋅+⎰4022tan 1πt atdt 2sectdt a 3402sec ⎰=πt td atan sec 402⎰=π⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅=⎰t td t t a sec tan tan sec 40402ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰dt t t a 32402cos sin 2π ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰dt t t a 32402cos cos 12π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰tdt tdt a sec sec 2403402ππ所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰tdt tdt a tdt a sec sec 2sec 4034023402πππ则，tdt tdt sec 2sec 240340⎰⎰+=ππ4tan sec ln 2πtt ++=()12ln 2++=所以，()12ln 2122sec 340++=⎰tdt π则，7()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⎰12ln 21222220a dx x a a ．例4]5[ 求dx a x a a 222-⎰ 解 设t a x sec =，dt tt a dx 2cos sin =，当ax =时，0=t ；当a x 2=时，4π=t dt ttadx a x a a3242222cos sin ⎰⎰=-πdt tta⎰-=32402cos cos 1π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰tdt tdt a sec sec 403402ππ()()12ln 12ln 212222+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=a a()12ln 22222+-=a a ． 例5 求dx x 33122+⎰-解 令223-=t x ，dt t dx 223=，当1-=x 时，0=t ；当3=x 时，2=t6423232224320331=⋅==+⎰⎰-t dt t dx x ．例6]5[求21⎰分析：由于被积函数中同时含有2次和3次根式，为去掉根号作幂函数代换，幂函数取两个根指数的最小公倍数．解 令6x t = (0>t )，先求不定积分，于是，52346616(1)11t t dt dt t dt t t t t ===-++++⎰⎰⎰ C t t t +++-=1ln 6632C t x x +++-=1ln 663638所以，()()2166332211ln 663xx x xx dx ++-=+⎰3221ln 62623663+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=．由上面的例子可以看出：(1)0 a )时，为了去掉根号,相应地分别实施弦换法(t a x sin =或t a x cos =)，切换法(t a x tan =或t a x cot =)，割换法(t a x sec =或t a x csc =)，这统称为三角变换法，对三角函数构成的定积分，将区间变换与三角函数诱导公式结合起来，往往是非常有效的，如前面的例2，例3，例4．(2)被积函数中含有根式()N n b ax n ∈+，或同时含有两个根式，m nx x 与()N n m ∈,时，为了去掉根号相应地作变换t =n b ax ＋，即()a b t x n -=，如例5，或px t =，即p t x =，p 为m 与n 的最小公倍数，如例6．3 分部法求定积分3.1 分部积分法分部积分法是与微分学中乘积的求导法则相对应的，它需注意积分的上下限，与不定积分的分部积分法相类似. 设函数()x u ，()x v 在[]b a ,上有连续函数，则⎰⎰-=bababax du x v x v x u x dv x u )()()]()([)()(称为定积分的分部积分公式. 3.2 典型例题 例7]8[ 求⎰2/0cos πxdx x解 令u x =，cos xdx dv =，则sin v x =，根据分部积分法公式，得⎰2/0cos πxdx x =⎰2/0)(sin πx xd2200sin sin x xxdx ππ=-⎰920cos 2xππ=+12π=-． 刚看到此题时，我们可能会选择cos u x =，xdx dv = (则22x v ⎛⎫=⎪⎝⎭)，此时，我们有2220cos cos 2x x xdx xd ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰2222001cos sin 22x xx xdx ππ=+⎰， 不难看到，上式右端反而比原积分更复杂了(幂函数的次数增大了)，照这样继续做下去是无法得到结果的，因此这种选择不恰当. 例8]8[ 计算32121arcsin 1x x I --=⎰解 令1x t -=，则dx dt =-，于是得到1212arcsin I td -=-⎰11220arcsin 2tdt =-+⎰1π=-⎝⎭．此题不仅用到凑微分法，还用到了偶对称的性质，简化了计算．在求积分时，很多情况下往往需要将换元法和分部积分法相结合，至于偏重于哪种方法，要视具体的题目而定.我们在应用分部积分法时，()u x ，()v x 的选择对做题是相当重要的，一般地，如果被积函数是幂函数与指数函数，幂函数与三角函数的乘积，在分部积分时应将幂函数看作()u x ，指数函数看作()v x ，否则会使积分更加复杂.4 区间性质求定积分104.1 常见的三种题型设函数()f x 在区间[],a a -上连续，则有下列积分公式：(1)()()()00a a a a f x dx f x dx f x dx -+-=⎰⎰⎰；(2)当()f x 为奇函数时，()0a a f x dx -=⎰； (3)当()f x 为偶函数时，⎰-aadx x f )(=2⎰adx x f 0)(.4.2 典型例题 例9]9[ 计算4411sin dx x ππ-+⎰解 由公式(1)知，44041111sin 1sin 1sin dx dx x x x πππ-⎡⎤=+⎢⎥++-⎣⎦⎰⎰ 422c o s dx xπ=⎰ 2402sec xdx π=⎰402t g x π= 2=．例10]8[计算121(x dx -⎰分析 此题看起来有些复杂，在做题时首先应把被积函数整理，然后再根据对称区间上定积分公式进行计算. 解 将被积函数化简整理,得((211221112x dx xx dx --+=+-+⎰⎰11112dx --=+⎰⎰由于11-⎰的被积函数为奇函数，积分区间为对称区间，由公式(2)知11-⎰=0.所以，121(x dx -⎰=⎰-11dx =2.例11 计算112x xe e dx --+⎰分析 显然被积函数作为偶函数，可根据对称区间上定积分公式进行计算． 解 由公式(3)知，1110222x x x xe e e e dx dx ---++=⎰⎰ ()10x x e e dx -=+⎰ 1100x x e dx e dx -=+⎰⎰110xxe e -=-111e e ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭1e e=-．综上可知，上述三题的解法巧妙之处在于利用了对称区间上积分的性质来简化了计算，在很大程度上减少了工作量，因此，记住这些性质对我们解题是非常有帮助的．5 有理函数求定积分5.1 有理函数积分法由于任意一个有理函数通过多项式的除法都能化为一个多项式（包括零）与一个真分式的和，而多项式的积分很容易计算，因此求有理函数积分的重点应放在如何求真分式的积分这一问题．据代数学理论，任意一个真分式总可以分解成下面四种部分分式之和的形式：①)A x a -；②/()nx a A -；③()()2nAX B x px q +++④(Ax ＋B)/2()n x px q ++式中n 为大于1的正整数，042<-q p ，因此求真分式的积分有下列两个步骤：一是将真分式分解为上述四种部分分式的和；二是求相应上述部分分式的积分． 5.2 典型例题例12]9[]1[ 求222143(22)x dx x x +++⎰解 先求不定积分：2222433/44(22)(22)x x dx dx x x x x ++=++++⎰⎰=42211/4(22)x dx x x +-++⎰=4221(22)x dx x x +++⎰-221(22)dx x x ++⎰ =2222(22)(22)d x x x x ++++⎰-22(1)[1(1)]d x x +++⎰ =2222x x -++-22(1)[1(1)]d x x +++⎰对于22(1)[1(1)]d x x +++⎰，令1tan x t +=，得 22(1)[1(1)]d x x +++⎰=22211(cos )arctan(1)22(22)x t dt x x x +=++++⎰C + 因此，()()()22112222243211arctan 122222222x x dx x x x x x x x ⎛⎫++ ⎪=---+ ⎪++++++⎝⎭⎰()91arctan 3arctan 2402=--． 虽然求有理函数的定积分总可以按照上述程序进行, 但在积分时仍要依据被积函数的特点, 如果有简便的积分方法, 未必一定都按上述程序的每一个步骤执行, 要和其他积分方法结合起来综合使用.我们已经学习了多种计算定积分的方法, 那么面对()b a f x dx ⎰如何合理地利用这些积分方法呢?首先看积分区间[],a b , 如果是对称区间, 就利用对称区间上积分的性质来化简, 接着分析被积函数()f x 的特点, 如果是有理函数，就利用有理函数积分法化简, 然后再利用换元积分法和分部积分法并结合牛顿—莱布尼茨公式就可以求出定积分()b a f x dx ⎰的精确值, 而利用定积分的定义求定积分()ba f x dx ⎰的值时, 除了几个特殊的情况需要求积分和而比较困难, 一般很少用.参考文献[1]刘玉琏，傅沛仁．《数学分析讲义》[M ]上册．北京，高等教育出版社．2003.7. [2]刘坤林，谭泽光．《大学数学》[M ]．清华大学出版社．2001.7.[3]王绵森，马知恩．《工科数学分析基础》[M ]上册．北京，高等教育出版社．2002.1. [4]张银生，安建业．《实用积分法》[M ]．中国人民大学出版社．2002.7. [5]陈兰祥．《高等数学典型题精解》[M]．北京，学苑出版社．2000.10. [6]翟连林，姚正安．《数学分析方法论》[M]．北京，农业大学出版社．1992. [7]刘国钧，陈绍业．《数学分析简明教程》[M]．北京，高等教育出版社．1957. [8]郝涌，李学志，陶有德，彭玉成．《数学分析考研精编》[M]．信阳师范学院数学系出版．2003.6.[9]华东师范大学数学系编.《数学分析下册》[M]．华东师范大学数学系出版．2001. [10]裘兆泰，王承国．《数学分析指导》[M]．北京，科学出版社．2004.。