功率谱分析

d
（2.36）
其逆变换为

R
xy
( )
S

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xy
( f )
e
j 2 f
df
（2.37）
功率谱密度函数的定义
S( f ) 由于S ( f ) 与 R( ) 的傅里叶变换对的关系，两者是唯一对应的。 中包含着 R( ) 的全部信息。因为 R ( )为实偶函数， S ( f ) 亦为实偶 函数。互相关函数 R ( ) 并非偶函数，因此 S ( f ) 具有虚、实两个部 分，同样 S ( f ) 保留了 R ( ) 的全部信息。


模拟信号互谱的估值计算式：
1 S xy( f ) T X ( f )Y ( f ) 1 G yx( f ) T X ( f ) Y ( f )
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Page 14
x
2
T
x
T 0
(t ) dt T
2
（2.40）
上式表明：S
2
( f ) 曲线下的总面积与 x
2
(t ) T
曲线下的总面积相等，如图2.17所示
T
2 (t ) ( t ) 从物理意义讲， 是信号 x （ t ）的能量， x x
是信号x（t）的功率，从而，
T 0
lim
T
x (t )dt 是信号x（t）的总功率。
1 R x (0) lim T

T
0
x(t ) x(t 0)dt
2
T (t ) 1 T 2 x lim x (t )dt lim dt T T 0 T 0 T
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（2.39）
功率谱密度函数的物理意义
比较以上两式可得：
S


x
( f )df lim
功率谱分析及其应用
主讲人：冯启涛 导师：蔡明仪
随机信号的功率谱密度
随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能 直接进行傅里叶变换。又因为随机信号的频率、幅值、相 位都是随机的，因此从理论上讲，一般不作幅值谱和相位 谱分析，而是用具有统计特性的功率谱密度(power spectral density)来作谱分析。
T
2
1 (t )dt lim | X ( f T T

)| df
2
（2.41）
S
x
1 lim | X ( T T
f )|
2
自功率谱密度函数是偶函数，频率范围 (, ) ，故称双边自功率谱密度函 数。它的频率范围在(,0) 的函数值是在 (0, ) 频率范围内函数值的对称映射。 因此可在 (0, ) 频率范围内 G ( f ) 2 S ( f ) 表示信号的全部功率谱。 G ( f ) 称为x（t） 信号的单边功率谱密度函数。如下图所示：
x x
x
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功率谱密度函数的物理意义
S x ( f ),Gx ( f ) Gx ( f )
0
Sx ( f )
f

单边谱和双边谱
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功率谱的计算
布拉克-杜开法：首先根据原始信号计算出相关函数，然后进行傅里叶变 换而得到相应的功率谱函数； 模拟滤波器法：采用模拟分析仪进行分析计算； 库利-杜开法 ：即用FFT（快速傅里叶变换）计算功率谱。 以下是库利-杜开法的估值计算式：
T
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功率谱密度函数的物理意义
这一总功率与 S x ( f ) 曲线下 的总面积相等，故 S x ( f )曲 线下的总面积就是信号的总 功率。 这一总功率由无数不同频率 上的频率元 S x ( f )df 组成， S x ( f ) 表示总功率在不同频率 处的功率分布，因此 S x ( f ) 表示信号功率密度沿着频率 轴的分布，所以称 S x ( f ) 为功 率谱密度函数。
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function) 互功率谱密度函数(cross-power spectral density function)
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功率谱密度函数的定义
随机信号的自功率谱密度函数（自谱）是该随机信号自相关函数的傅 里叶变换，记为 S ( f )
模拟信号自谱的估值计算式：
2 1 S x( f ) T | X ( f )| 2 2 G x ( f ) T | X ( f )|
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功率谱的计算
数字信号自谱的估值计算式：
2 1 S x ( k ) N | X (k )| k 0,1,2.....N 1 2 其中 2 G x ( k ) N | X (k )|
X

)e S (f ) R (
X X

j2 f
d
（2.34）
其逆变换为
R
X
( )
S


X
( f )e
j 2f
df
（2.35）
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功率谱密度函数的定义
随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为

S
(f) xy



R xy ( ) e
j 2 f
X

x
xy
xy
xy
xy
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功率谱密度函数的物理意义
S ( f ) 和 S ( f ) 是随机信号的频域描述函数。因为随机信号的积分不收敛， 不满足狄里赫利条件，因此其傅里叶变换不存在，无法直接得到频谱。 但均值为零的随机信号的相关函数 时是收敛的，即
x
xy
R
时，满足傅里叶变换条件

x
( ) 0
| R ( ) | d
x
根据傅里叶变换理论，自相关函数 Rx ( ) 绝对可积。
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功率谱密度函数的物理意义
所以对于式子（2.35），当 0 时，有
R
x
(0)


S
x
( f )df
（2.38）
由相关函数定义得， 0 时，有
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功率谱密度函数的物理意义
下面说明自功率谱密度函数 S x ( f ) 和幅值谱 X ( f ) 或能谱 | X ( f )| 之间的关 系。由巴塞法尔定理，在整个时间轴上的信号平均功率为
2
再由式（2.38）、（2.39）、（2.41）得：
1 Pav Tlim T
x
0