2008年辽宁省高考文科数学试卷及答案

2008年（辽宁卷）数学（文科考生使用）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =-≤，则M N = （ ） A ．∅
B ．{}3x x -≥
C ．{}1x x ≥
D ．{}1x x <
2．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
3．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）
A ．(k ∈
B ． (k ∈
C ．()k ∈--
+ ∞，∞
D ．()k ∈--
+ ∞，∞
4．已知01a <<，log log a a x =+1log 52
a y =，log log a a
z =，
则（ ） A ．x y z >>
B ．z y x >>
C ．y x z >>
D ．z x y >>
5．已知四边形A B C D 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =
，则顶点
D 的坐标为（ ）
A ．722⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
B ．122⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
， C ．(32)， D ．(13)，
6．设P 为曲线C ：2
23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为
04π⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--
⎢⎥⎣
⎦
， B ．[]10-，
C ．[]01，
D ．112
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡
片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
8．将函数21x
y =+的图象按向量a 平移得到函数1
2x y +=的图象，则（ ）
A ．(11)=--，a
B ．(11)=-，a
C ．(11)=，a
D ．(11)=-，a
9．已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪
--⎨⎪-+⎩
≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．4-
10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种
11．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15
，则m =
（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．在正方体1111ABC D A B C D -中，E F ，分别为棱1A A ，1C C 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，E F ，C D 都相交的直线（ ） A ．不存在
B ．有且只有两条
C ．有且只有三条
D ．有无数条
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数21()x y e x +=-<<+∞∞的反函数是 ．
14
．在体积为的球的表面上有A 、B ，C 三点，AB =1，BC
，A ，C 两点的球面距
离为3
π，则球心到平面ABC 的距离为_________．
15．6
321(1)x x x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为 ．
16．设02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则函数2
2sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） 在A B C △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=．
（Ⅰ）若A B C △
，求a b ，；
（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求A B C △的面积． 18．（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
周销售量 2 3 4
频数
20 50 30
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； （Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率； （ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率． 19．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体A B C D A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥A D '．
（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，
并求出这个值； （Ⅲ）若12
b =
，求D E '与平面PQEF 所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
在数列||n a ，||n b 是各项均为正数的等比数列，设()n n n
b c n a =
∈*
N ．
（Ⅰ）数列||n c 是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列|ln |n a ，|ln |n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若12a =，
21
n n
S n T n =
+，求数
列||n c 的前n 项和． 21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点P
到两点(0-，
，(0的距离之和等于4，设点P 的轨
迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时O A ⊥O B ？此时A B 的值是多少？
22．（本小题满分14分）
设函数322
()31()f x ax bx a x a b =+-+∈R ，在1x x =，2x x =处取得极值，且
122x x -=．
（Ⅰ）若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求b 的取值范围．
A B
C
D
E F
P
Q H A ' B '
C '
D ' G
2008年（辽宁卷）数学文科参考答案和评分参考．
1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．A
9．B 10．B
11．D
12．D ． 13．1(ln 1)(0)2
y x x =
-> 14．
32
15．35
16
17．本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，224a b ab +-=， 又因为A B C △
1sin 2
ab C =
4ab =．·
··························· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，
解得2a =，2b =．······················································ 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ································································· 8分 联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，
解得3a =
3b =．
所以A B C △
的面积1sin 2
3
S ab C =
=
．·······························································12分
18．本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分
12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ························· 4分 （Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为
（ⅰ）4
110.70.7599P =-=． ············································································· 8分
（ⅱ）334
240.50.30.30.0621P C =⨯⨯+=． ·······················································12分
19．本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥， 又由已知可得
PF A D '∥，PH AD '∥，PQ AB ∥，
所以PH PF ⊥，PH PQ ⊥， 所以PH ⊥平面PQEF ．
所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直．·································································· 4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
PF PH '==，，又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形，且PQ =1，所以截面
PQEF 和截面PQGH 面积之和是
)P A P Q '+
⨯=
·
···································································· 8分 （Ⅲ）解：设A D '交P F 于点N ，连结E N ， 因为AD '⊥平面PQEF ，
所以D E N '∠为D E '与平面PQEF 所成的角． 因为1
2
b =
，所以P Q E F ，，，分别为A A '，B B '，B C ，A D 的中点．
可知4
D N '=，32
D E '=．
所以4sin 32
2
D EN '=
=
∠． ················································································12分
解法二：
以D 为原点，射线DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D －xyz ．由已知得1D F b =-，故
(100)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，
(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，， (100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
(010)(0)PQ PF b b ==-- ，，，，，， (101)P H b b =--
，，，
(101)(101)AD A D ''=-=-- ，，，，，．
因为00A D P Q A D P F ''== ，
，所以AD '
是平面PQEF 的法向量． 因为00A D PQ A D PH ''== ，
，所以A D ' 是平面PQGH 的法向量． 因为0AD A D ''= ，所以A D AD ''⊥ ，
所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直． ···································································· 4分
（Ⅱ）证明：因为(010)E F =- ，
，，所以EF PQ EF PQ ∥，=，又PF PQ ⊥
，所以PQEF
A B
C
D
E
F
P Q H
A '
B '
C '
D '
G
N
为矩形，同理PQGH 为矩形．
在所建立的坐标系中可求得)PH b =-
，PF =
，
所以PH PF +=
1PQ =
，
所以截面PQEF 和截面PQGH
············································· 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知(101)AD '=-
，，是平面PQEF 的法向量．
由P 为A A '中点可知，Q E F ，，分别为B B '，B C ，A D 的中点．
所以1102E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1112D E ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭ ，
，，因此D E '与平面PQEF 所成角的正弦值等于
|cos |2
AD D E ''<>=
，． ··························································································12分
20．本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）n c 是等比数列． ·························································································· 2分 证明：设n a 的公比为11(0)q q >，n b 的公比为22(0)q q >，则
1112111
0n n n n n n
n n n n c b a b a q
c a b b a q +++++=
==≠ ，故n c 为等比数列．·
·········································· 5分 （Ⅱ）数列ln n a 和ln n b 分别是公差为1ln q 和2ln q 的等差数列．
由条件得
11
12
(1)ln ln 22
(1)21
ln ln 2
n n n a q n n n n b q -+
=-++
，即
1112
2ln (1)ln 2ln (1)ln 21
a n q n
b n q n +-=
+-+． ···················································································· 7分
故对1n =，2，…，
2
12111211(2ln ln )(4ln ln 2ln ln )(2ln ln )0q q n a q b q n a q -+--++-=．
于是
121112112ln ln 04ln ln 2ln ln 02ln ln 0.
q q a q b q a q -=⎧⎪
--+=⎨⎪-=⎩
，
，
将12a =代入得14q =，216q =，18b =． ································································10分
从而有1
1
816424
n n
n n c --=
= ．
所以数列n c 的前n 项和为 24444(41)
3
n
n
+++=
-
…． ·······································12分 21．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：
（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C
是以(0(0-，，为焦点，长半
轴为2
的椭圆．它的短半轴1b =
=，
故曲线C 的方程为2
2
14
y
x +
=． ·
················································································· 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足
2
214 1.y x y kx ⎧+
=⎪⎨
⎪=+⎩
， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故12122
2
234
4
k x x x x k k +=-
=-
++，．······································································· 6分
OA OB ⊥
，即12120x x y y +=． 而2
121212()1y y k x x k x x =+++，
于是2
2
2
12122
2
2
2
3324114
4
4
4
k
k
k x x y y k k k k -++=--
-
+=
++++．
所以12
k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥
． ······················································· 8分
当12k =±时，12417
x x +=
，121217
x x =-
．
AB =
=
而22
212112()()4x x x x x x -=+-
23
2
2
4
43413417
17
17
⨯⨯=
+⨯
=
，
所以17
AB = ····································································································12分
22．本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分
解：22()323f x ax bx a '=+-．① ··············································································· 2分 （Ⅰ）当1a =时， 2()323f x x bx '=+-；
由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以
123
x x -=
由122x x -=，得0b =． ··························································································· 4分 从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．
当(11)x ∈-，时，()0f x '<；当(1)(1)x ∈--+ ∞，，∞时，()0f x '>．
故()f x 在(11)-，单调递减，在(1)--∞，，(1)+，∞单调递增．···································· 6分 （Ⅱ）由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，
所以123x x a
-=
．
从而2
2
1229(1)x x b a a -=⇔=-，
由上式及题设知01a <≤． ························································································· 8分 考虑23()99g a a a =-，
2
2()1827273g a a a a a ⎛⎫
'=-=--
⎪⎝
⎭． ········································································10分 故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，单调递增，在213
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，单调递减，从而()g a 在(]01，
的极大值为24
33g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
又()g a 在(]01，
上只有一个极值，所以24
33
g ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()g a 在(]01，
上的最大值，且最小值为(1)0g =．
所以2
403b ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，即b 的取值范围为33⎡-⎢⎣⎦
． ·
··············································14分。