有限元期末复习题资料
有限元复习题及答案
1.弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚至是三维物体等，研究对象要广泛得多。
2.理想弹性体的五点假设？连续性假设，完全弹性假设，均匀性假设，各向同性假定，小位移和小变形的假定。
3.什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为什么？工程实际中，对于一些几何形状、载荷以及约束条件都对称于某一轴线的轴对称体，其体内所有的位移、应变和应力也都对称于此轴线，这类问题称为轴对称问题。
通常采用圆柱坐标系r、θ、z分析。
这是因为，当弹性体的对称轴为z轴时，所有的应力分量、应变分量和位移分量都将只是r和z的函数，而与无θ关。
4.梁单元和杆单元的区别？杆单元只能承受拉压荷载，梁单元那么可以承受拉压弯扭荷载。
具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承当的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元那么根本上适用于各种情况〔除了楼板之类〕，且经过适当的处理〔如释放自由度、耦合等〕，梁单元也可以当作杆单元使用。
5.薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。
平面应力问题有三个独立的应力分量和三个独立的应变分量，薄板弯曲问题每个结点有三个自由度，但是只有一个是独立的其余两个可以被它表示。
6.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。
7.有限单元法的收敛性准那么？完备性要求，协调性要求。
完备性要求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，那么有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式，或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项，单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。
有限元期末复习
9、形函数的概念
形函数：形状函数的简称，是坐标的函数，反映单元的位移状态。
二、小计算
等参元
形函数求解
刚度矩阵
三、大计算
平面问题的计算
二、三题计算参考p83也的计算实例，可能会从中截取一部分进行求解
等参单元：进行有限元分析时，其坐标变换式和位移模式采用同样的形函数和相同的参数，这种单元叫做～。
优点：（1）应用范围广。在平面和空间连续体、杆系结构和板壳问题中都可应用；
（2）易于构造位移模式；
（3）易于适用边界的形状和改变单元的大小；
（4）可以灵活的增减节点，容易构造各种过渡单元；
（5）推导过程具有通用性。
6、等效节点载荷概念、有几种情况
等效节点载荷：是由作用在单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到节点上，再逐点加以合成求得。
包括集中力、表面力、体积力三种
7、有限元完备性、相容性概念
完备性：位移模式必须包含刚体位移和常应变；
相容性：位移模式在单元内要连续，且位移在相邻单元之间要协调；
各向同性：所选的位移模式应该跟局部坐标系的方位无关。
4、雅克比矩阵的概念，为什么要引入雅克比矩阵
在等参变换中，形函数是局部坐标的函数，所以在求单元应变矩阵时需要进行偏导数的变换，雅可比矩阵就是在这个过程中引入的。通过引入雅可比矩阵把求单元应变矩阵时要用的 和 转化成了局部坐标的函数，从而保证能够求出单元应变矩阵 和单元应变 。
5、等参元的概念、优点、适用什么单元
有限元算，计算三大题
老师没说具体出几道题，让大家好好看看印的那本书
一、简答、填空：
1、节点力，节点载荷，节点位移概念
答：节点力是单元与节点之间的作用力，如果取整个结构为研究对象，节点力是内力。
有限元基础(期末考试题)
《有限元基础》期末测试一、结构线性静力分析如图所示的托架，其顶面承受2lbf in的均匀分布载荷。
托架通过有孔的表面50/ν=，托架尺固定在墙上，托架是钢制的，弹性模量6=⨯，泊松比0.3E psi2910寸如图，单位为英寸。
试通过ANSYS求其变形图及von Mises应力分布图。
对题目分析。
进行建模，网格划分托架网格图施加约束后，就可以对实体进行加载求解，托架变形图托架变形图输出的是原型托架和施加载荷后托架变形图的对比，虚线部分即为托架的原型，托架变形图可看出，由于载荷的作用，托架上面板明显变形了，变形最严重的就是红色部分，这是因为其离托板就远，没有任何物体与其分担载荷，故其较容易变形甚至折断。
这是我们在应用托架的时候应当注意的。
节点位移图托架von Mises 应力分布图上面两个图为托架的应力分布图，由图可看出主要在两孔处出现应力集中，也就是说这些地方所受的应力的最大的，比较容易出现裂痕。
我们在应用托架的时候，应当注意采取一些设施，以便减缓其应力集中。
特别是在施加载荷时，绝对不能够超过托架所能承受的极限，否则必将导致事故的发生。
二、动力分析如图1有一梁板结构，板的四角由四根梁固定支撑，板质量集中于中央。
梁板材料相关参数为弹性模量112210/E Nm =⨯，泊松比0.3ν=，密度337.810/kg m ρ=⨯。
板的厚度0.02t =，板长2000L mm =，宽1000B mm =，板的质量100M kg =。
梁长1000h mm =，截面面积为42210A m -=⨯，惯性矩为84210J m -=⨯，现在板的表面施加均匀压力载荷如图2。
试研究该梁板结构的瞬态动力响应。
图1图2建立有限元分析模型并附加动力节点146的位移时间历程结果三、非线性屈曲分析如图，一根长200L in =，截面高度0.5h in =，截面面积20.25A in =，惯性矩24/120.0052083J Ah in ==的细长杆受轴向载荷的作用，若沿X 方向取10个主自由度，求其屈曲模态。
有限元考试复习资料(含计算题)
有限元考试复习资料（含计算题）1试说明用有限元法解题的主要步骤。
（1）离散化：将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上互相联系，即只有结点才能传递力。
（2）单元分析：根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元结点力和结点位移之间的关系。
（3）整体分析：根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件，解线性方程组以及计算单元应力。
（4）求解方程，得出结点位移（5）结果分析，计算单元的应变和应力。
2.单元分析中,假设的位移模式应满足哪些条件,为什么?要使有限元解收敛于真解，关键在于位移模式的选择，选择位移模式需满足准则：（1）完备性准则：（2）连续性要求。
P210面简单地说，当选取的单元既完备又协调时，有限元解是收敛的，即当单元尺寸趋于0时，有限元解趋于真正解，称此单元为协调单元；当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全满足单元之间的位移及其导数连续条件时，称为非协调单元。
3什么样的问题可以用轴对称单元求解？在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。
则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。
这种问题就称为轴对称问题。
可以用轴对称单元求解。
4什么是比例阻尼?它有什么特点?其本质反映了阻尼与什么有关?答:比例阻尼:由于多自由度体系主振型关于质量矩阵与刚度矩阵具有正交性关系，若主振型关于阻尼矩阵亦具有正交性,这样可对多自由度地震响应方程进行解耦分析。
比例阻尼的特点为具有正交性。
其本质上反应了阻尼与结构物理特性的关系。
5何谓等参单元?等参单元具有哪些优越性?①等参数单元(简称等参元)就是对坐标变换和单元内的参变量函数(通常是位移函数)采用相同数目的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
②优点:可以很方便地用来离散具有复杂形体的结构。
由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。
有限元基础期末试题
有限元基础期末试题
1、简述单元分析的四个主要环节。
对于三结点三角形单元，写出单元分析各环节最终结果
的矩阵表达式。
2、以三结点三角形单元为例，解释位移模式概念并写出三结点三角形单元位移模式的具体
表达式。
3、结合三结点三角形单元位移模式的具体表达式，解释型函数概念并简述型函数的主要性
质。
4、写出推导单元刚度矩阵时所使用的虚功方程并解释其物理意义。
5、对下图所示离散化后的弹性平面应力问题，设弹性模量为E ，泊桑比为零，厚度为1：
a. 写出单元③由9个子矩阵组成、字符表达形式的单元刚度矩阵；
b. 按课堂教学时规定的原则，写出单元③的单元定位向量；
c. 写出单元③的单元刚度矩阵中所有子矩阵在总刚度矩阵中的位置；
d. 设所论平面应力问题中6个结点的位移解为：123456[,,,,,]T
∆=∆∆∆∆∆∆，计算单
元③的应变和应力。
有限元参考复习题
有材料属性：密度、弹性、屈服极限等
有约束信息：约束条件（固定、支撑条件）
有载荷信息：受力情况
(2)几何模型：只有几何形状信息
4.有限元分析在机械设计中能起到什么作用 机械设计方面主要用的多的就是对机械产品做受力分析、看看产品在承受
载荷之后的变形情况、从而验证设计是否合理.
就是设计的产品仿真它的运行情况，看他的受力变形，震动等实际相比符 不符合，或者对新设计的产品进行改进后进行分析仿真
② 有限元方法的实施主要是依靠手工计算还是商业软件？
③ 有限元法能够用于固体结构的分析，是否可以用于流体、热、电磁场、声 场的分析？ ④ 传统的机械零件强度校核中，一般要求零件形状简单，可以简化成杆或 者梁，有限元方法有这方面的要求么？ ⑤ CAD建模得到的模型与有限元的模型之间有什么联系？
三 ① 列举常用的5个常用有限元软件？ ② 工程中常用的模拟、仿真技术除了有限元方法以外，还有哪几种？ ③ 主流的有限元软件架构一般是怎样的？ ④ CAD软件经常在有限元软件中经常扮演什么角色？ ⑤ 有限元分析在机械设计中能起到什么作用？ 四
7.什么是 Tresca 应力和 Mises 应力？分别说明其应用场合。 第三强度理论的等效应力（Tresca stress，stress intensity, 应力强度,
最大
剪应力理论，1864，1773，库伦）s 1 2 1， 2，3 0
第四强度理论的等效应力（Von Mises stress，equinvalent stress, 等
减缩积分即选取高斯积分点的数目少于精确积分要求的积分点数。 9. 什么是有限元位移解的下限性质？
有限元解的特点:过刚，变形小于实际结果; 有意识地软化结构刚度，可以 改善解的精度; 连续结构上任意一点都可以变形;有限元模型的变形只在单元尺 度上 10. 雅可比矩阵对单元形状的要求是什么？ 11. 什么是应力磨平？
有限元复习题及答案
1.两种平面问题的根本概念和根本方程；答：弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
平面应力问题设有张很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此在整块板上有：，，剩下平行于XY面的三个应力分量未知。
平面应变问题设有很长的柱体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。
平面问题的根本方程为：平衡方程几何方程物理方程〔弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到〕•平面应力问题的物理方程平面应力问题有•平面应变问题的物理方程平面应变问题有在平面应力问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应变问题的物理方程；在平面应变问题的物理方程中，将E替换为、替换为，可以得到平面应力问题的物理方程。
2弹性力学中的根本物理量和根本方程；答：根本物理量有：空间弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。
其中包括6个应力分量，6个应变分量，3个位移分量。
平面问题共8个方程，2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程，相应3个应力分量，3个应变分量，2个位移分量。
根本方程有：1.平衡方程及应力边界条件：平衡方程：边界条件：2.几何方程及位移边界条件：几何方程：边界条件：3.物理方程:3.有限元中使用的虚功方程。
对于刚体，作用在其上的平衡力系在任意虚位移上的总虚功为0，这就是刚体的平衡条件，或者称为刚体的虚功方程。
对于弹性变形体，其虚位移原理为：在外力作用下处于平衡的弹性体，当给予物体微小的虚位移时，外力的总虚功等于物体的总虚应变能。
设想一处于平衡状态的弹性体发生了任意的虚位移,相应的虚应变为,作用在微元体上的平衡力系有〔X,Y,Z〕和面力。
外力的总虚功为实际的体力和面力在虚位移上所做的功，即：在物体产生微小虚变形过程中，整个弹性体内应力在虚应变上所做的功为总虚应变能，即：其中为弹性体单位体积内的应力在相应的虚应变上做的虚功，由此得到虚功方程：4.节点位移，单元位移及它们的关系。
有限元期末考试题及答案
有限元期末考试题及答案一、选择题1. 有限元方法是一种数值分析方法，主要用于求解什么类型的数学问题？A. 线性代数方程B. 微分方程C. 积分方程D. 代数方程答案：B2. 在有限元分析中，单元的划分是基于什么原则？A. 单元数量B. 单元形状C. 问题域的几何特性D. 计算资源答案：C3. 下列哪项不是有限元分析中常用的单元类型？A. 三角形单元B. 四边形单元C. 六面体单元D. 圆形单元答案：D二、填空题4. 有限元方法中，______是指将连续的物理域离散成有限数量的小区域，这些小区域称为单元。
答案：离散化5. 在进行有限元分析时，通常需要定义材料属性，包括______、密度和弹性模量等。
答案：泊松比三、简答题6. 简述有限元方法的基本步骤。
答案：有限元方法的基本步骤包括：定义问题域、离散化问题域、选择单元类型、定义材料属性、构建全局刚度矩阵、施加边界条件、求解线性代数方程、提取结果。
7. 解释什么是有限元分析中的收敛性，并说明影响收敛性的因素。
答案：收敛性是指随着单元数量的增加，有限元分析结果逐渐接近真实解的性质。
影响收敛性的因素包括单元的类型、形状、大小以及网格的布局等。
四、计算题8. 假设有一个长度为2米的杆，两端固定，中间施加了一个向下的力F=1000N。
如果杆的材料是钢，其弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，请计算杆的弯曲位移。
答案：首先，根据Euler-Bernoulli梁理论，可以写出弯曲位移的方程为：\[ w(x) = \frac{F}{384EI} L^3 \]其中，\( w(x) \) 是位移，\( F \) 是施加的力，\( L \) 是杆的长度，\( E \) 是弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。
对于一个矩形截面，\( I \) 可以表示为：\[ I = \frac{bh^3}{12} \]假设杆的截面宽度为b，高度为h，代入上述公式，可以计算出位移。
有限元复习精彩试题库
有限元复习一、选择题（每题1分，共10分）二、判断题（每空1分，共10分）三、填空题（每空1分，共10分）三、简答题（共44分）共6题四、综述题（共26分）两题一．基本概念1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线性与非线性问题平面应力问题（1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。
一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。
于是只需要考虑x y xy εεγ、、三个应变分量即可。
平面应变问题（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。
（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。
也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可轴对称问题物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。
轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。
在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。
板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。
如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。
杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。
在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。
平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
有限元课程考试复习资料
r1 q1 2aq3 r2 q2 r3 q1 aq3 r4 q2 r5 q1 r6 q2 r7 q1 r8 q2 aq3
②消去刚体自由度，得到多点约束方程：
r2 r6 r4 r6 r5 r7 r1 r5 2r6 2r8 r3 r5 r6 r8
hAe BT cB 3、过渡单元（拉线法求形函数+载荷移植） 。
关于载荷移植的计算：
4、多点约束方程的计算。 【 PS-1：课本例题】
N|多点约束方程= N|由刚体连接的所有节点的总自由度－ N|刚体的自由度 【 PS-2：课后题】 ①选 3 节点为参考点，且刚体对于节点 3 有运动 q1 、q2 、q3 ，则：
Ah Ah Ah k e BT cB e 1 e 2 e 3 3 3 3 Ae h1 Ae h2 Ae h3 T T k e B cB hAe B cB 3 3 3 同理可得其他几个积分的值，所以：
Ae
N1h1 dA
Ah 1!0!0! 2 Ae h1 e 1 (1 0 0 2)! 3
选择题： 1、空间桁架，整体坐标系中单元刚度矩阵是 6 阶方阵。 2、二维固体中，节点 4 处水平位移为 0，则引入支承时划去总刚中的第 7 行、第 7 列。 3、平面桁架中，坐标转换矩阵 T 的阶数是 2×4；空间桁架中，坐标转换矩阵 T 的阶数是 2×6。 4、3 节点三角形单元，局部编码为 1、2、3，总体编码为 4、6、8，则 k46 在第 12 行、第 16 列。 5、坐标转换矩阵是正交矩阵【T TT=I】 。 6、5 节点 4 个单元组成的平面刚架，总刚矩阵大小为 15×15。 【节点数×自由度（平面刚架 DOF=3） 】 7、与平面刚架单元刚度矩阵有关的材料常数为弹性模量。 8、8 节点六面体单元，每个单元节点位移总量为 24。 【每个节点有 3 个自由度】 9、二维 4 节点四边形单元，每节点的位移总数为 2。 【每个节点自由度 DOF=2，单元自由度总数为 8】 10、满足形函数的点是单元内任意点。 填空题： 1、可将 ke 表示成分块形式，则各子矩阵按节点局部编号排序。 2、总刚矩阵得到之后，即使已知节点载荷仍不能求位移，因为总刚是奇异性的，为此必须施加位移约束。 3、总刚中各矩阵按节点总体编码排序。 4、哈密尔顿原理位移的容许条件：①协调性方程；②本质边界条件或运动边界条件；③在初始刻和末时刻的条件。 5、形函数的性质：①再生性和连续性；②线性无关性；③德尔塔函数性质；④单位分解性；⑤线性场再生性。 6、单刚的性质：对称性、奇异性、分块性；总刚的性质：对称性、奇异性、稀疏性、非零元素的带状分布性。 7、任何载荷可以分为对称载荷和非对称载荷。 8、二维固体中，宽度为 16，最大节点差值为 7。 【带宽=（最大节点差值+1）×自由度】 9、固体力学中，本构方程中各向同性材料涉及的两个材料常数为杨氏模量 E 和泊松比γ。 10、节点总数为 10，带宽为 15 的平面刚架压缩之后，存储单元个数为 450。 【存储单元=节点总数×自由度×带宽】 简答题： 1、强形式和弱形式的区别： 答：①“强”形式相关的场变量要求强的连续性，定义这些场变量的所有函数必须可微，而可微的次数必须等于存 在于强形式的系统方程中的偏微分方程的次数。 ②“弱”形式通常是积分形式，且对场变量要求较弱的连续性，弱形式通常能得到更精确的解。 2、有限元法的步骤： 答：①域的离散； ②位移插值； ③构造形函数； ④坐标变换； ⑤整体有限元方程的组装；⑥位移约束的施加；⑦求解整体有限元方程。 3、平面桁架单元在局部坐标系和整体坐标系中分别有几个自由度？为什么会不同？ 答：①局部坐标系 DOF=2，整体坐标系 DOF=4. ②在局部坐标系中，桁架单元仅仅考虑轴向变形，因此一个节点仅有一个自由度，即轴向位移；整体坐标系用于描 述桁架结构的所有单元，不能保证桁架结构的所有单元坐标轴总是沿着轴向变形的方向，因此，一个节点的自由度 需要 X、Y 两个方向的位移分量来描述，所以在整体坐标系中，一个节点有两个自由度。 4、桁架引入局部坐标系为什么？为什么进行坐标变换？描述一下如何组装。 答：①减少初步计算过程中的自由度数量，使计算变得简单方便。 ②在实际桁架中，由许多不同方向和不同位置的杆件组成，为了把所有的单元方程组合起来构成整体的系统方程， 必须对每个单元进行坐标变换。 ③组装过程就是把与某个节点相连的所有单元的贡献相加。 5、线性矩形单元 h=Ni hi ，me 和 ke 各需要多少个高斯点？ 答：①由单元刚度矩阵 ke 的计算公式 ke=∫VBTcBdV=∫A hBTcBdA，被积函数为 hBTc B. 应变矩阵 B 是和的线性 函数，厚度能用线性形函数和节点处的厚度值得到。因此，在每个方向上被积函数是一个立方函数，只需要 2 个高 斯点就可以计算出含有最高次数为 3 次的多项式刚度矩阵，因此需要 2×2 个高斯点。 T T T ②由质量矩阵的计算公式 me=∫VρN NdV=∫A ρhN NdA， 被积函数为 hN N 。 厚度能用线性形函数和节点处的厚 度值得到。因此，在每个方向上被积函数是一个立方函数，只需要 2 个高斯点就可以计算出含有最高次数为 3 次的 多项式质量矩阵，因此需要 2×2 个高斯点。 6、罚因子法的优缺点： 答：优点：①未知量的总数不变；②系统方程的性能通常很好；③计算效率不会降低； 缺点：只能近似满足约束方程，且正确的罚因子不好选择。
有限元考试复习题
第1章 杆件结构1.1 单元刚度如何叠加成结构的整体刚度矩阵？为什么这样叠加？如何从刚度矩阵的物理意义去理解此叠加关系？叠加成的整体刚度矩阵又有什么特点？答：（1）首先对杆件结构进行自然离散，并对其进行节点编号和单元编号，然后通过坐标转换公式将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
将所得的单元刚度矩阵按节点编号进行组装，即可形成整体刚度。
（2）这样的叠加方法条理清晰，便于电脑程序编程，分块进行，效率较高，且尤其适用于大量杆件结构体系，将所有的计算程序化后，大大节省了时间，并且精度较高。
（3）刚度矩阵的物理意义是表示结构或构件单元在单位位移或变形下所能承受的力的大小。
通过单元刚度矩阵建立单元节点力与节点位移之间的关系，通过整体刚度矩阵建立所受外荷载与整体位移之间的关系。
通过单元刚度矩阵叠加构建整体刚度矩阵，则建立起了结构整体外荷载与整体位移之间的方程，进而通过求得的整体位移进一步求出单元之间的节点位移，并最终求得各单元之间的节点力。
（4）特点：1）对称性。
由于杆单元的单刚是对称矩阵，则由它们集成的总刚也具有对称性。
2)奇异性。
即无论是单刚还是总刚都是奇异的，它们不存在逆阵。
3)存在相当数量的零元素。
由于杆系结构的特点，一个节点可能只连接少数几个单元，因此可能与周围邻近的几个节点之间存在非零的元素。
1.2 如图所示的圆杆，由两个不同截面的杆件（1）与（2）组成，在节点1，2，3上作用有轴向节点载荷1Q 、2Q 、3Q 而平衡。
试写出3个轴向载荷与节点的轴向位移1u 、2u 、3u 之间的矩阵关系。
解：杆件1的单元刚度矩阵为：[]1111111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；杆件2的单元刚度矩阵为：[]2221111EA k l -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； 结构的整体刚度矩阵为：1111111112112211222122111211222221222222EA EA l l k k EA EA EA EA K k k k k l l l l k k EA EA l l ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦而又12l l L ==，所以11112222A A E K A A A A L A A -⎡⎤⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦令节点位移向量为{}123,,Tu u u δ=，节点力为{}123,,TF Q Q Q =，从而可得3个轴向载荷与节点的轴向位移其关系为11112112223223Q A A u E Q A A A A u L Q A A u -⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-+-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎣⎦⎩⎭1.3 如图所示为三角桁架，已知25/101.2mm N E ⨯=，两直边的长度m l 1=，各杆的截面积21000mm A =，求此结构的整体刚度矩阵[]K ，若节点的编号改变后，问[]K 的有无变化？解：杆件的单元刚度矩阵为：[]1111ii iEA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦，从而可得各个单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵为：[]11111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]21111EA k l -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦；[]31111k -⎡⎤'=⎢⎥-⎣⎦平面杆单元坐标转置矩阵：cos sin cos sin T αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，而又00012390045ααα===-、和，从而各个单元的坐标转置矩阵分别为：10101T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；21010T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；3222T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢-⎢⎣⎦根据上面给出的坐标转置矩阵，可得各个单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵为[][]1111000000101101000101001100010000010101T EA EA k T k T l l ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[][]2222101010001110000000011100101010000000T EA EA k T k T l l -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤'⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][]3333101111101111001111011100111111011111T k T k T --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎡⎤⎡⎤'⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦令节点位移向量为{}112233,,,,,Tu v u v u v δ=，节点力为{}112233,,,,,Tx y x y x y F q q q q q q =，按照整体刚度矩阵的拼装原则，可得[]1010000100011010000011 EAKl-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦若节点的编号改变后，[]K会发生变化，但是并不影响最终的计算结果。
《有限元》期末考题
一、填空（共10个空，每空2分，共20分）11、有限元法是近似求解连续场问题的数值方法。
2、有限元法将连续的求解域离散，得到有限个单元，单元和单元之间用节点相连。
3、直梁在外力作用下，横截面上的内力有剪力和弯矩两个。
4、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有剪力、弯矩和轴力。
5、进行直梁的有限元分析，梁单元上每个节点的节点位移为挠度和转角。
、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及局部坐标系x´O´y ´下的单元刚度矩阵[K´]e，则单元在整体坐标系xOy下的单元刚度矩阵为 P31 。
7、平面刚架结构中，已知单元e的坐标变换矩阵[T e]及整体坐标系xOy下的单元节点力矩阵{p}e，则单元在局部坐标系x´O´y´下的单元节点力矩阵为 P30 。
8、在弹性范围和小变形的前提下，节点力和节点位移之间是线性系。
9、弹性力学问题的方程个数有 15个，未知量个数有 15 个。
10、弹性力学平面问题的方程个数有个，未知量个数有个。
11、把经过物体内任意一点各个截面的应力状况叫做一点的应力状态。
12、形函数在单元节点上的值，具有本点为 1 、它点为零的性质，并且在三角形单元的任一节点上，三个形函数之和为 1 。
13、形函数是定义于元内部坐标连续函数。
14、在进行节点编号时，要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能小，以便最大限度地缩小刚度矩阵带宽，节省存储、提高计算效率。
15、三角形单元的位移模式为。
16、矩形单元的位移模式为。
17、在选择多项式位移模式的阶次时，要求所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。
18、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系。
19、在选择多项式作为单元的位移模式时，多项式阶次的确定，要考虑解答的收敛性，即要满足单元的完备性和协调性的要求。
20、三节点三角形单元内的应力和应变是常数，四节点矩形单元内的应力和应变是线性变化的。
有限元期末考试试题
有限元期末考试试题有限元期末考试试题有限元分析是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、热传导、流体力学等问题。
作为有限元分析的基础，期末考试试题将涵盖有限元的基本原理、方法和应用。
本文将以期末考试试题为主线，深入探讨有限元分析的相关知识。
一、选择题1. 有限元分析的基本思想是什么？A. 将连续体划分为有限个单元B. 将连续体划分为无限个单元C. 将连续体划分为两个单元D. 将连续体划分为三个单元2. 有限元分析中，单元是指什么？A. 物理实体B. 离散区域C. 数学模型D. 计算节点3. 有限元分析的目的是什么？A. 求解连续体的精确解B. 求解连续体的近似解C. 求解连续体的数值解D. 求解连续体的解析解二、填空题1. 有限元分析中，单元的划分应满足什么条件？单元的划分应满足连续性和完整性的条件。
2. 有限元分析中，刚度矩阵的维度是多少？刚度矩阵的维度与单元自由度的个数相关。
三、简答题1. 有限元分析的步骤是什么？有限元分析的步骤包括建立有限元模型、确定边界条件、求解方程、后处理结果。
2. 有限元分析中，如何选择适当的单元类型？选择适当的单元类型需要考虑问题的特点、几何形状和边界条件等因素。
四、计算题1. 对于一个矩形截面的梁，长度为L，宽度为b，高度为h，杨氏模量为E，应力为σ，根据弹性力学理论，梁的弯曲刚度EI与梁的几何尺寸和材料性质有关。
请推导出梁的弯曲刚度的表达式。
解：根据弹性力学理论，梁的弯曲刚度EI与梁的几何尺寸和材料性质有关。
对于矩形截面的梁，弯曲刚度的表达式为：EI = (E * b * h^3) / 12其中，E为杨氏模量，b为梁的宽度，h为梁的高度。
通过以上计算题，我们可以看出有限元分析的应用范围广泛，可以用于解决各种工程问题。
通过对试题的分析和解答，我们对有限元分析的基本原理、方法和应用有了更深入的了解。
总结：本文以有限元期末考试试题为主线，辅以相关知识的解析和讨论，深入探讨了有限元分析的基本原理、方法和应用。
有限元复习题
有限元法基本原理复习资料1、线性弹性力学中一般哪些基本假设 ?什么是理想弹性体？2、线弹性材料物体内任意一点，一定存在三个相互垂直的主应力σ1、σ2、σ3，假设材料的柏松比为μ，弹性模量为E，则三个应变ε1、ε2、ε3可以表达为：3、弹性力学基本方程的导出，可从三方面分析：通过平衡微分方程建立了应力、体力和面力之间的关系。
通过几何方程建立了应变、位移和边界位移之间的关系。
通过物理方程建立了应变与应力之间的关系。
4、写出并理解弹性力学的基本方程。
a．平衡微分方程：b．几何方程：1. 平面问题中的几何方程：2. 空间问题的几何方程：c、物理方程：或者：为体积应变即：简写成：{σ}=[D]{ε} 式中[D]称为弹性矩阵，它完全由弹性常数E 和μ 决定。
4、请表述如图所示边界条件：5、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应力问题，其不为零的应力分量有：6、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应变问题，其不为零的应变分量有：εx ，εy，γxy7、描述并理解平面问题的基本方程平面应力问题和平面应变问题都只有8 个独立的未知量，它们只是x 和y 的函数，因此统称平面问题。
1. 平面问题的平衡微分方程2. 平面问题中的几何方程：3. a.平面应力问题中的物理方程：记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。
b.平面应变问题中的物理方程：记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。
比较两种平面问题的弹性矩阵，可以发现，将平面应力问题物理方程中的弹性常数E 、μ 换成就可得到平面应变问题物理方程。
8、结构的分类与基本特征（1） 按结构在空间的位置分结构可分为平面结构和空间结构两大类(2) 按结构元件的几何特征分① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等 。
② 板壳结构③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。
④ 混合结构 (3) 按结构自由度分① 静定结构——自由度为零的几何不变结构。
有限元期末考试试题
有限元期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 在有限元分析中，单元的刚度矩阵通常通过以下哪种方式计算？A. 直接积分B. 线性插值C. 经验公式D. 试验数据2. 以下哪个选项不是有限元分析中的边界条件？A. 固定边界B. 自由边界C. 周期边界D. 热边界3. 有限元方法中，节点的自由度数量取决于什么？A. 单元类型B. 材料属性C. 几何形状D. 载荷类型4. 在进行热传导问题的有限元分析时，以下哪个方程是正确的？A. 牛顿第二定律B. 热平衡方程C. 动量守恒定律D. 质量守恒定律5. 以下哪个不是有限元分析中常用的单元类型？A. 四节点矩形单元B. 三角形单元C. 六面体单元D. 八节点等参单元二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述有限元方法的基本步骤，并举例说明其在工程中的应用。
2. 解释什么是等参单元，并说明它在有限元分析中的重要性。
3. 描述在有限元分析中如何处理非线性问题，并给出一个具体的例子。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个由四个节点构成的二维平面应力问题，节点坐标如下：节点1: (0, 0)节点2: (1, 0)节点3: (1, 1)节点4: (0, 1)已知材料的弹性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3。
若在节点1和节点3上施加单位力（1 N），试求该结构的位移场和应力场。
2. 考虑一个长方体热传导问题，其尺寸为Lx=0.5m，Ly=0.3m，Lz=0.2m。
该长方体的热导率为k=50 W/m·K，初始温度分布为T(x, y, z, 0) = 300 K。
若在x=0和x=Lx的面上施加恒定的边界温度T=400 K，试求经过时间t=10s后长方体内部的温度分布。
四、论述题（共30分）1. 论述有限元分析在结构优化设计中的作用，并讨论其在现代工程设计中的重要性。
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1、弹性力学与材料力学主要不同在于：研究方法。
2、利用Ansys 进行结构分析时，结果文件是什么文件：jobname.rst文件。
3、在Ansys单元库中，Plane42属于结构实体单元。
4、在一个分析中可能有多个材料特性组，Ansys通过独特的（ C ）来识别每个材料的特性组。
A. 特性B. 说明C. 参考号D. 方法5、载荷包括所有边界条件以及外部或者内部的作用效应，下列不属于Ansys载荷的是（ D ）。
A. DOF约束B. 力C. 体载荷D. 应力【解析】：应力是结果，不是条件。
6、（ B ）什么要求面或者体有规则的形状，即必须满足一定的准则。
A. 自由网格B. 映射网格C. Sweep网格D. 其他7、什么样的载荷独立于有限元网格，即可以改变单元网格而不影响施加的载荷（ C ）。
A. 阶跃载荷B. 有限元模型载荷C. 实体模型载荷D. 斜坡载荷8、有限元法首先把求解出的解是（ D ），单元应变和应力都可以由它来求得。
A. 节点坐标B. 节点自由度C. 节点载荷D.节点位移9、下列不属于Ansys产品当中求解联立方程的方法是（ C ）。
A. 稀疏矩阵直接解法B. 直接解法C. 变分法D. 雅可比共轭梯度法10、下列不属于/post1显示的图形类别的是（ B ）。
A. 等直线图B. 灰度图C. 形状变形图D. 矢量图11、对二维桁架进行强度校核时，选择的单元类型是（ C ）。
A. plane82B. Beam3C. Link2DSPrlD. Shell63δ12、δ为板的厚度，b为长度的最小值，当满足8/1<-b<1/1005/1/1/80-时，这样的板属于（ B ）。
A. 薄膜B. 薄板C. 厚板D. 壳13、下列哪个布尔运算的结果是由每个初始输入的图元的共同部分形成的新图元（ A ）A. 交运算B. 加运算C. 减运算D. 分割14、在整个有限元分析过程中，离散化是分解的基础。
15、典型的Ansys文件包括：数据库文件，日志文件，结果文件。
16、Ansys提供两种工作方法：人机交互方式（GUI），命令流输入方式（Batch方式）。
17、在固体力学有限元分析中，四节点四面体单元是最简单的三维有限元单元。
18、平面应力问题和薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者的受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内，后者的受力特点是垂直于板面的力的作用，板将变成有弯曲有扭曲的曲面。
19、有限元法起源于弹性力学，基本方程主要有平衡方程，几何方程和物理方程20、整体刚度矩阵有哪些性质？（1）整体刚度矩阵[K]中每一列元素的物理意义：欲使弹性体的某一节点沿x 坐标轴方向发生单位位移，而其它节点位移为零时，在各节点所需要施加的节点力。
（2）[K]中对角元素总是正的；（3）[K]是一个对称矩阵；（4）[K]是稀疏矩阵，非零元素呈带状分布；（5）[K]是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵。
21、弹性力学的基本假设有哪些？答：连续性假设，完全弹性假设，均匀性假设，各向同性假设，小变形假设，无初始应力假设。
22、描述一点的应力状态需要几个应力分量，为什么？答：在弹性力学中，弹性体被假设是连续的，整个弹性体可看作为由无数个微小的正方体元素组成。
在正方体各面上的应力按坐标轴方向分解为一个正应力，两个剪应力。
由于物体内各点的内力平衡，所以作用在正方体两面上的应力分量均大小相等、方向相反。
因此，可用9个应力分量表示作用正方体在各面上的应力。
23、叙述Ansys软件进行结构分析的基本流程？（1）创建有限元模型：1、定义单元类型；2、定义实常数；3、定义材料属性；4、建立几何模型；5、划分网格，生成有限元模型。
（2）施加载荷并求解：1、选择求解类型；2、施加载荷及约束；3、求解。
（3）查看结果。
24、位移插值函数应该满足那三个条件？（1）位移插值函数应能反映单元的刚体位移。
位移函数中必须包含常数项，该常数项是提供刚体位移的。
单元内各点的位移包括两部分：一部分由单元自身变形引起；另一部分是由于其它单元变形时，通过节点传递过来的，这部分位移与单元本身变形无关，它使单元发生整体移动，各点位移大小相等，故称刚体位移。
（2）位移插值函数应能反映常量应变即常应变准则。
单元内应变也包括两部分：一部分是与点的位置有关的变量应变，一部分是与坐标位置无关的常应变。
（3）位移插值函数应能保证单元内及相邻单元间位移的连续性，即变形协调性（相容性）准则。
单元中任一条直线在位移函数变换后仍然是一条直线。
第（1）、（2）项条件是有限元解收敛的必要条件，称为完备性条件，满足这种条件的单元称为完备单元。
第（3）项条件是收敛的充分条件，又称协调条件，满足该条件的单元称为协调单元。
25、分别叙述一下三角形单元和矩形单元的优缺点？答：三角形单元的位移模式是线性的，位移是连续的，应变和应力在单元内是常数，在单元的公共边界上应力和应变的值将会有突变。
另外，三角形单元的边界适应性好，较容易进行网格划分和逼近边界形状，其缺点是他的位移模式是线形函数，单元的应力和应变都是常数，精度不够理想。
矩形单元的位移模式是双线性模式，单元内的应力和应变是线性变化的，精度比三角形单元高，在两相邻矩形单元的公共边界上，其位移是连续的。
其缺点是矩形单元不能适就斜交的边界和曲线边界，而且不便于对结构的不同部位采用不同大小的单元，从而不易达到提高有限元分析计算的效率的精度的目的。
26、二维桁架选用2D单元。
27、下面哪种单元的单元刚度矩阵必须通过积分计算才能用到（ D ）。
A. 杆单元B. 梁单元C. 等厚度三角形单元D. 矩阵单元28、单元的刚度不取决于下列哪种因素（ B ）。
A. 单元大小B. 单元位置C. 弹性常熟D. 单元方向29、可以证明，在给定载荷作用下，有限元计算模型的变形小于实际结构变形。
30、ANSYS按功能作用可分为若干个处理器，其中用于施加载荷及边界条件的属于求解器。
31、下面关于有限元分析法的描述中，哪种说法是错误的（ B ）。
A. 分布载荷与自由边界的分界点，支撑点等应取为节点。
B. 单元之间通过其边界连接成组合体。
C. 应力变化梯度较大的部位划分的单元可小一些。
D. 单元各边的长度以及各内角不应相差太大。
32、在划分单元时，下列哪种说法是错误的（ A ）。
A. 一般首选矩阵单元。
B. 可以同时选用两种或两种以上的单元。
C. 节点与节点相连。
D. 划分单元的数目，视要求的计算精度和计算机性能而定。
33、位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。
（√）34、变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。
（√）35、变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。
（ √ ）36、常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。
（ ╳ ）37、对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。
（ √ ）38、单元刚度矩阵的性质及其元素的物理意义？单元刚度矩阵的性质特点：(1)对称性；（2）奇异性，|K|=0；（3）主对角线元素恒为正值；（4）奇偶行元素之和分别为零（各行或各列元素之和为零）。
物理意义：单元刚阵[K]的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。
其中分块矩阵[K ij ]的物理意义为：当在j 节点处产生单位位移而其他节点位移为零时，在i 节点上需要作用力的大小。
其中元素K ij 表示在第j 号自由度上产生单位位移时，其他自由度位移为零时，在i 号自由度上所需要施加的力的大小。
单元刚度矩阵的元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。
39、简述一下平面应力问题？发生条件：（1）均匀薄板。
（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布。
在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x σ、y σ、yx xy ττ=（0=z σ，0==xz zx ττ，0==yz zy ττ）。
一般0=z σ，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。
于是只需要考虑x ε、y ε、xy γ三个应变分量即可。
40、里兹法的基本思想和有限元的区别？里兹法的基本思想：先根据描述问题的微分方程和相应定解条件构造等价的泛函变分形式，然后在整个求解区域上假设一个试探函数（或近似函数），通过求解泛函极值来获得原问题的近似解。
与有限元法的区别：里兹法是整体场函数用近似函数代替，有限元法是离散求解域，分片连续函数来近似整体未知场函数。
41、位移函数的收敛性条件，以及单位协调矩阵的判断？位移函数的收敛性条件：（1）位移函数应包含刚体位移（2）位移函数应包含常量应变（反映单元的常应变状态）（3）位移函数在单元内连续，在单元之间的边界上要协调满足1和2称为完备单元，满足1，2，3称为协调单元。
单元协调性的判断：以3节点三角形单元为例，位移分量在每个单元中都是坐标的线性函数的话，在公共边界上也会是线性变化的，那么相邻单元在公共边界上的任意一点都具有相同的位移，也就是协调单元。
有限元法中，假设一种位移函数近似表达单元内部的真实位移分布，该位移函数可表示为位移函数和节点位移的线性插值。
42、弹性力学基本假设？(1) 物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。
(2) 物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。
这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。
(3) 物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。
这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数（弹性模量和波桑系数）才不随位置座标而变。
(4) 物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
(5) 物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。
43、对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。