常用的几种地图投影

在割圆锥投影上，两条纬线投影后 没有变形，是双标准纬线，两条割线符 合主比例尺，离开这两条标准纬线向外 投影变形逐渐增大，离开这两条标准纬 线向里投影变形逐渐减小，凡是距标准
纬线相等距离的地方，变形数量相等，
因此圆锥投影上等变形线与纬线平行。
③圆锥投影按变形性质分为等角、等积和
等距圆锥投影三种。
在这些公式中略去六次以上各项的 原因，是因为这些值不超过0.005m，这 样在制图上是能满足精度要求的。实用 上将化为弧度，并以秒为单位，得：
xs y
"
N
"2
2
"2
sin cos
"3
N
"4
24
"4
sin cos3 (5 tan 2 9 2 4 4 )
般都是正轴圆锥投影。
②按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影
切圆锥投影，视点在球心，纬线投影
到圆锥面上仍是圆，不同的纬线投影为不同
的圆，这些圆是互相平行的，经线投影为相
交于圆锥顶点的一束直线，如果将圆锥沿一
条母线剪开展为平面，则呈扇形，其顶角小
于360度。
在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥 顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆 锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹 角与相应的经差成正比，但比经差小。
2.λ均以偶次方出现，且各项均为正号， 所以在本投影中，除中央经线上长度比为1以 外，其它任何点上长度比均大于1。
3.在同一条纬线上，离中央经线愈远，则 变形愈大，最大值位于投影带的边缘。
4.在同一条经线上，纬度愈低，变形愈大， 最大值位于赤道上。 5.本投影属于等角性质，故没有角度变形， 面积比为长度比的平方。 6.长度比的等变形线平行于中央轴子午线。
由于1:100万地图采用的等角圆锥投 影是对每幅图单独进行投影，因此同纬 度的相邻图幅在同一个投影带内，所以， 东西相邻图幅拼接无裂隙。但上下相邻 图幅拼接时会有裂隙，裂隙大小随纬度 的增加而减小。见图5－5。相邻带两幅 图以中央经线为准拼接时，裂隙在赤道 附近约为0.6mm，在中纬度地区约为 0.3～0.4mm。
这个投影可由下述三个条件确定：
1．中央经线和赤道投影后为互相垂直
的直线，且为投影的对称轴； 2．投影具有等角性质； 3．中央经线投影后保持长度不变。
根据以上三个投影条件可得高斯－
克吕格投影的直角坐标公式：
2 N 4 N xs sin cos sin cos3 (5 tan 2 9 2 4 4 ) 2 24 3 N 3 5 N 5 y N cos cos (1 tan 2 2 ) cos (5 18 tan 2 tan 4 ) 6 120
在切圆柱投影中，赤道上没有变形，自
赤道向两侧随着纬度的增加而增大。
在割圆柱投影中，在两条标准纬线 (±)上没有变形，自标准纬线向内(向赤 道)及向外(向两极)增大。
圆柱投影中经线表象为平行直线，
这种情况与低纬度处经线的近似平行相
一致。因此，圆柱投影一般较适宜于低
纬度沿纬线伸展的地区。
第三节
高斯-克吕格投影
投影。
K ， U K K x s cos a ，y sin a U U K m n ； 0 rU
根据等角条件代入 m n(a b)，或＝0 （5－1），可得到等角圆锥投影的一般 公式：
1．单标准纬线等角圆锥投影
第五章常用的几种地图投影
第一节
圆锥投影
一、圆锥投影的基本概念 1．圆锥投影的定义 圆锥投影的概念可用图5-1来说明：设
想将一个圆锥套在地球椭球上而把地球
椭球上的经纬线网投影到圆锥面上，然
后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开
面展成平面，就得到圆锥投影。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．圆锥投影的分类
①按圆锥面与地球相对位臵的不同，可分 正轴、横轴、斜轴圆锥投影，见图5－2， 但横轴、斜轴圆锥投影实际上很少应用。 所以凡在地图上注明是圆锥投影的，一
构成圆锥投影需确定纬线的半径ρ和经线
间的夹角δ，ρ是纬度的函数用公式表
示为
公式表示为
f ( )
。δ是经差λ的函数。用

，对于不同的圆锥
投影它是不同的。
但对于某一具体的圆锥投影（0 1 ）， 它的值是相同的。当

=1时（圆锥顶
角为180 度），为方位投影； =0 时 （圆锥体的顶角小到0度），为圆柱投影。 方位投影和圆柱投影都可看成是圆锥投 影的特例。
三、圆柱投影变形分析及其应用 由研究圆柱投影长度比的公式(指正 轴投影)可知，圆柱投影的变形，象圆锥 投影一样，也是仅随纬度而变化的。在 同纬线上各点的变形相同而与经度无关。 因此，在圆柱投影中，等变形线与纬线
相合，成为平行直线(图5－13)。
圆柱投影中变形变化的特征是以赤道 为对称轴，南北同名纬线上的变形大小相 同。 因标准纬线不同可分成切(切于赤道)圆 柱及割(割于南北同名纬线)圆柱投影。
对正轴圆锥投影而言，设区域中央 经线投影作为X轴，区域最低纬线与中央 经线交点为原点，则根据定义，正轴圆 锥投影的坐标及变形计算一般公式为：
f ( )； x s cos；y sin d m ；n Md r mn a sin 或 tan(45 ) 2 mn 4 b
3．基本公式
在制图实践中，广泛采用正轴圆锥投影。
对于斜轴、横轴圆锥投影，由于计算时需经 过坐标换算，且投影后的经纬形状均为复杂 曲线，所以较少应用。因此本文只研究正轴 圆锥投影。
下面研究正轴圆锥投影的一般公式。 圆锥投影中纬线投影后为同心圆圆弧， 经线投影后相交于一点的直线束，且夹 角与经差成正比见图5-3。
"5
N N N cos "3 cos3 (1 tan 2 2 ) cos5 (5 18 tan 2 tan 4 ) 5 " 6 120 "
高斯－克吕格投影长度比公式为：
1
1 2
"2
cos (1 )
五、圆锥投影变形分析及其应用
从圆锥投影长度比一般公式（5－1） 可以看出，正轴圆锥投影的变形只与纬 度发生关系，而与经差无关，因此同一 条纬线上的变形是相等的，也就是说， 圆锥投影的等变形线与纬线一致。
根据圆锥投影的变形特征可以得出结
论：圆锥投影最适宜于作为中纬度处沿纬 线伸展的制图区域之投影。 圆锥投影在编制各种比例尺地图中均 得到了广泛应用，这是有一系列原因的。
(
数值小的为 b 。考虑到 的数值由圆心
a, b
)，
m, n
中数值大的为 a ，
起算，而地球椭球纬度由赤道起算，两
者方向相反，故在m式子前面加上负号。
二、等角圆锥投影
1．基本概念和公式 在等角圆锥投影中，微分圆的表象保 持为圆形，也就是同一点上各方向的长 度比均相等，或者说保持角度没有变形。
本投影亦称为兰勃脱(Lambert)正形圆锥
首先是地球上广大陆地位于中纬地区；
其次是这种投影经纬线形状简单，经线 为辐射直线，纬线为同心圆圆弧，在编 图过程中比较方便，特别在使用地图和 进行图上且算时比较方便，通过一定的 方法，容易改正变形。
第二节 圆柱投影
一、正轴圆柱投影的一般公式
在正常位臵的圆柱投影中，纬线表象
为平行直线，经线表象也是平行直线，且与 纬线正交。从几何意义上看，圆柱投影是圆 锥投影的一个特殊情况，设想圆锥顶点延伸 到无穷远时，即成为一个圆柱面。
二、圆柱投影的分类 圆柱投影可以按变形性质而分为等 角、等面积和任意投影(其中主要是等距 离投影)见图。此外尚有所谓透视圆柱投 影，其特点是建立x坐标的方法不同，从 变形性质上看，也是属于任意投影。见
图5－10
按“圆柱面”与地球不同的相对位臵 可分为正轴、斜轴和横轴投影。又因 “圆柱面”与地球球体相切(于一个大圆) 或相割(于两个小圆)而分为切圆柱或割 圆柱投影。见图5－11，5－12。
三、正轴等面积圆锥投影
在等面积圆锥投影中，制图区域的 面积大小保持不变，也就是面积比等于 1(P=ab=1)。因为在正轴圆锥投影中沿经 纬线长度比就是极值长度比， 故:P=ab=mn=1。
2 (c S ), x s cos , y sin
n2 1

K
r1U 1


r2U 2


2．正轴等角圆锥投影的应用 现行百万分一地图投影采用双标准 纬线等角圆锥投影。百万分一地图具有 一定的国际性，在同一时期内各国编制 出版的百万分一地图，采用相同的规格， 即地图投影、分幅编号、图式规范等基 本上一致，可促使该比例尺地图得到较 广泛的国际应用和交往。
三、高斯投影分带 因高斯投影的最大变形在赤道上，并 随经差的增大而增大，故限制了投影的精
度范围就能将变形大小控制在所需要的范
围内，以满足地图所需精度的要求，因此
确定对该投影采取分带单独进行投影。
根据0.138％的长度变形所产生的误 差小于1:2.5万比例尺地形图的绘图误差， 决定我国1:2.5万至1:50万地形图采用6 度分带投影，考虑到1:1万和更大比例尺 地形图对制图精度有更高的要求，需要 进一步限制投影带的精度范围，故采用3 度分带投影。分带后，各带分别投影， 各自建立坐标网。
一、高斯－克吕格投影的条件和公式
高斯-克吕格(Gauss—Krü ger)投影是等角 横切椭圆柱投影。从几何意义上来看，就是假 想用一个椭圆柱套在地球椭球体外面，并与某 一子午线相切(此子午线称中央子午线或中央 经线)，椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道上， 如图5－14所示，再按高斯-克吕格投影所规定 的条件，将中央经线东、西各一定的经差范围 内的经纬线交点投影到椭圆柱面上，并将此圆 柱面展为平面，即得本投影。
这种情况下通常制定制图区域内中间 的一条纬线上无长度变形。这条无变形 的纬线称为标准纬线，用 0 表示标准纬 线的纬度，则可确定
sin 0，K N 0 cot 0U 0

式中： 0 为标准纬线的卯酉圈曲率半径。 N
2．双标准纬线等角圆锥投影
这种情况下通常制定制图区域内某两
条纬线 1 , 2 ，要求在这两条纬线上没 有长度变形，即长度比为1，1 , 2 为标 准纬线。由条件n1 可确定投影 常数： lg lg r1 lg r2 lg U 2 lg U 1
2
1 n ,m r n P 1, tan(45 ) a 4

四、等距离圆锥投影 正轴等距离圆锥投影沿经线保持等 距离，即 m 1 ，根据此条件可推导出 正轴等距离投影的公式。
, c s x s cos , y sin (c s) a b m 1, P n , sin r r 2 ab
显然在圆柱面展开成平面以后，纬圈
成了平行直线，经线交角等于0，经线也 是平行直线并且与纬线正交。图5－8为 正轴圆柱投影的经纬线形状图，图5－9 为正轴圆柱投影示意图。
x f ( ), y dx m ,n Md r
ab P a b m n, sin 2 ab a tan(45 ) 4 b
式中： 为纬线投影半径，函数 f 取决
于投影的性质(等角、等积或等距离投
影)，它仅随纬度的变化而变化； 是地
球椭球面上两条经线的夹角； 是两条 常数。
经线夹角在平面上的投影； 是小于1的
在正轴圆锥投影中，经纬线投影后正
交，故经纬线方向就是主方向。因此经
纬线长度比(
m, n )也就是极值长度比
2 2
"2
1 24
"4
cos (5 4 tan )
4 2
"4
高斯－克吕格投影子午线收敛角公式为：
sin
3
3
sin cos2 (1 3 2 )
二、高斯-克吕格投影的变形分析及应用
由长度比公式可知，可得到高斯－克吕 格投影的变形规律：
1.当λ=0时，μ=1，即中央经线上没有任 何变形，满足中央经线投影后保持长度不变 的条件。