拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用

10071051朱海云

应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。

1.电路定律的运算形式

基尔霍夫定律的时域表示：

把时间函数变换为对应的象函数：

得基尔霍夫定律的运算形式：

2.电路元件的运算形式

根据元件电压、电流的时域关系，可以

推导出各元件电压电流关系的运算形式。

图1（a）

1)电阻R的运算形式

图1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：

u=Ri，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR

的运算形式：

或

根据上式得电阻R的运算电路如图（b）

所示。

图1（b）

2)电感L的运算形式

图2(a)所示电感元件的电压电

流关系为

两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR的运算形式：

或

根据上式得电感L的运算电路如图(b)和图(c)所示。图中

表示附加电压源的电压，

表示附加电流源的电流。

式中图2（a）图2（b）

图2（c）

分别称为电感的运算阻抗和运算

导纳。

3)电容C的运算形式

图3(a)所示电容元件的电压电流关系为：

两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR的运算形式：

或

根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示。

图中表示附加电流源的电

流，表示附加电压源的电压。

式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。图3（a）图3（b）图3（c）

4)耦合电感的运算形式

图4（a）所示耦合电感的电压电流

关系为：

图4（a）

两边取拉普拉斯变换，得耦合电感VCR

的运算形式：

根据上式得耦合电感的运

算电路如图(b)所示。图中

和都是附加电

压源。式中

分别

称为互感运算阻抗和互感运算

导纳。

5)受控源的运算形式

图5（a）所示VCVS的电电

流关系为：

两边取拉普拉斯变换，得运算

形式为：

根据上式得VCVS的运算电路如图（b）所示。

图5（a）图5（b）

3.运算电路模型

图6（a）图6（b）

图6为RLC串联电路，设电容电压的初值为，电感电流的初值为，其时域方程为：

取拉普拉斯变换，得运算方程

或写为

即：

上式称运算形式的欧姆定律，式中称运算阻抗。根据上式得图（b）所示的运算电路。因此，运算电路实际是：

（1）电压、电流用象函数形式

（2）元件用运算阻抗或运算导纳表示；

（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。