4-2011-11-岩体力学-3岩石的强度理论
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2 2 2 2
1 17 1 147 0
2
解得：σ1=23.3Mpa, －6.3Mpa（舍去） 所以： σ1 = 23.3Mpa。
3.6
Griffith强度理论
3.6.1 概述 • 对岩石来说：从变形到破坏过程，大体经历了：裂隙闭 合；弹性变形和应变强化或软化现象；裂纹稳定扩展，裂纹 加速扩展到贯通阶段； • 对于岩体：裂隙闭合、错动、扩展，结构体位置调整； 结构体变形破坏等； • 无论岩石或岩体，在变形和破坏过程中，都要或者可能 经过裂纹扩展、贯通过程。显然，研究裂纹产生、扩展的、 启动（条件）或扩展规律，对于认识岩体的变形破坏机理及 规律，具有十分重要的意义。
f ( )
（3-11）
岩石摩尔包络线的量化表达，有多种型式：直线型、 抛物线型、双曲线型或摆线型。
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
（一）直线型 （1）摩尔—库仑强度线 当压力不大时，可采用直线型包络线。公式如下：
f c tg
这个方程首先是由库仑 (Coulomb ) 提出，后来摩 尔用新的理论加以解释，因 此，直线型摩尔强度线也叫 做摩尔—库仑强度线。
3 岩石的强度理论
3.1 概述
破坏判据：表征岩石破坏条件的函数（应力及应变函 数），也称为破坏判据或强度准则。破坏判据应反映岩石 的破坏机理。 强度理论：所有研究岩石破坏的原因、过程及条件的理 论，称为强度理论。 岩石的破坏机理很复杂，受多种因素影响。 目前建立了多种强度理论，其中，岩石力学中应用较多 的强度理论有： （1）最大正应变理论，（2）莫尔强度理论，（2）格 里菲斯强度理论，（4）应变能理论等。 实际上，各种强度理论都有一定的使用范围。
（3-8a）
| 3 ( 1 2 ) | c
（3-8b）
如果是常规三轴试验，则（3-8）式改写为：
| (1 ) 3 1 | t | (1 ) 3 1 | c 1 1 1 3 t
1
1
3 ( 1 2 ) E 0 E t
E Leabharlann Baidut
（3-6）
联立（3-3）和（3-5）式，可得强度条件： c 3 ( 1 2 ) E c
E
（3-7）
3.2 最大正应变理论
（3）破坏判据 根据上两式，可得岩石破坏判据： | 3 ( 1 2 ) | t 由 0 得：
霍克、布朗在研究岩石破坏的经验判据时，提出以下原则： （1）破坏判据应与试验的强度值相吻合； （2）破坏判据的数学表达式应尽可能简单； （3）岩石的破坏判据能延伸用到节理化岩体和各向异性情况。 霍克、布朗在研究了大量岩石的抛物线型破坏包络线后， 得到如下岩石破坏经验判据： 1 ' ' ' (m s ) 2 （3-47）
（3-11）
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
摩尔包络线可以描述材料的破坏判据，反映破坏面上 的剪应力τ与面上正应力σ之间的关系。 判别：对 给定的应力状态，若位于摩尔包络线之内， 没有破坏；位于包络线上，处于极限平衡状态；位于之外 （与摩尔包络线相交），材料已经破坏，不能稳定存在。 一般情况下，摩尔包络线不是线性的，可以用下式表达：
| 3 ( 1 2 ) | 0 0.18(25 10) 6.3(MPa)
岩石抗拉强度为4.5Mpa，小于6.3MPa。 故按照岩石抗拉强度判断，坝基岩体将发生破坏。 而抗压强度，有 ： c 0.18 140 25.2(MPa) 25.2MPa>6.3MPa，故根据抗压强度判断，坝基 岩石将不会破坏。 综上，由于岩石抗压强度不满足强度要求，坝基岩 石将破坏。
式中，m=b/a
2 2 y xy
m=b/a
(3.6-1)
xy
y
3.6.3裂纹扩展机制分析
（一）基本假定 现象：一般呈脆性破坏的材料，其强度与强度理论存在 着不成程度的离散性。 Griffith于1920年首次指出，这种不同起因于固体内存 在许多随机分布的微小裂纹。在受荷条件下，裂纹尖端附近 会产生显著的应力集中，并导致附近岩石破坏，裂纹扩展。 因此，岩石（材料）的破坏往往取决于材料内部裂纹周边的 应力状态。 裂纹扩展的条件，可从两个角度来分析， （1）应力分析角度：裂纹周边最大拉应力超过岩石（材 料）的抗拉强度； （2）能量观点：裂纹尖端储存的弹性势能大于使裂纹开 裂扩展必须做的阻力功时，裂纹扩展开裂。
1 3 c 3 c
式中: σc 为完整岩体的单轴抗压强度； ' 1 为破坏时最大有效主应力；
3
'
为破坏时最小有效主应力；
m 、s 为经验系数， m=0.001(高度破碎岩体)~25(坚硬完整岩 石)； S=0 (完全破损岩体)~1(完整岩石)。
3.5 考虑中间主应力的强度理论简介
• （一）剪应变能理论 • 基本假定为：当材料剪应变能达到一定值时就引起屈 服（或破裂），具体说来，即材料在三向应力作用下，单 位体积的形变能V与材料单纯受拉（或受压）达到的形变 能相等，材料就屈服了。 • （二）八面体应力理论（米塞斯屈服准则） • 基本假定：材料的破坏是由于八面体上剪应力达到临 界值引起。属于应力强度理论
3.2 最大正应变理论
基本假设：材料张性破坏的原因是最大延伸应变ε达 到了一定的极限应变ε0，即强度条件为：
0
（1）最大延伸应变ε计算
（3-1）
假定破坏前材料处于弹性状态，为均质 各向同性材料，根据广义胡克定律：
1
2
3
1 E
1 E
[ 1 ( 2 3 )]
[ 2 ( 1 3 )]
（3-2） 最大延伸应变
1 E
[ 3 ( 1 2 )]
3.2 最大正应变理论
（2）极限应变计算ε0， t 根据单轴拉伸试验确定，即： 0 E 根据单轴压伸试验确定，即： 0 c
E
（3-4）
（3-5）
联立（3-3）和（3-4）式，可得强度条件：
（二） 裂纹扩展的应力准则
（1）当 1 3 3 0 时
1 2
2
β
3
arccos
1 3
2( 1 3 )
(3.6-13)
( 1 3 ) 8 t ( 1 3 ) 0
1
3 t
（2）当
1 3 3 0 时
1 0
2
) 2c tg( 45
2
)
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
（一）直线型 （2） 直线型摩尔—库仑破坏判据：
f c tg
sin sin f
1 3 1 3 2c ctg
2
1 1 f 3tg (45
3.6.2 裂纹周边的应力
岩石材料中存在大量微裂纹，现分析微裂纹周边的应力， 尤其是裂纹尖端附近。 力学模型：将微裂纹视为张开的扁平椭圆，不考虑岩石性 质的局部变化和裂纹之间的相互影响，从而建立力学模型。 力学模型中，裂隙长轴与最大主应力的夹角为β。 则裂纹尖端极值切向应力σb为：
bm y
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
摩尔（莫尔）强度理论是摩尔在1900年提出的，在岩 石（体）力学中，目前应用最广。 基本假定：材料的破坏主要 取决于它的最大主应力和最小主 应力，与中间主应力无关。 摩尔强度理论，还不能从基 本假定直接推导出来。 需要采用不同大、小主应力 比例的材料强度试验，在τ—σ平 面上，绘制一系列极限应力圆 （摩尔圆），这些极限应力圆的 外包络曲线，即为摩尔包络线。
0
3 t
或 1 c
(3.6-14)
格里菲斯准则
格里菲斯应力强度准则
（二） 裂纹扩展的应力准则
（3-12）
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
（一）直线型 直线型摩尔—库仑强度线还有如下表达形式：
sin
1 3 1 3 2c ctg
2
1 3tg ( 45
2
) 2c tg( 45
2
)
3 1tg ( 45
2
2
2
) 2c tg( 45
2
)
带入已知数据，得：σ1=10.84Mpa。
（3）根据八面体强度理论，有：
( 1 2 ) ( 2 3) ( 3 1) 2 y
2 2 2 2
已知：σ3=5Mpa，σ2= 12Mpa，σy=σc=16Mpa
( 1 12) (12 5) (5 1) 2 16
•
•
这两个理论均可以考虑中间主应力对变形破坏的影响。 它们所得的屈服判据式是一样的： 2 2 2 2 式中， y 为屈服强度。 (1 2 ) ( 2 3) ( 3 1) 2 y
例题2
页岩的σc=16Mpa,σt=5Mpa,E =20000MPa,μ=0.4。如果岩 石在三轴试验中破坏，破坏时σ3=5Mpa,σ2= 12Mpa，问： （1）根据最大正应变理论，计算最大主应力？ （2）如果已知页岩破坏时剪切面与最大主应力夹角为35°， 试用直线型摩尔-库伦强度理论求最大主应力？ （3）根据八面体强度理论计算此时的最大主应力？
（3-9a） （3-9b）
（3-10a） （3-10b）
3 c
例题3-1
• 小湾河床建基面基岩为黑云花岗片麻岩，单轴抗压强度 为140Mpa，抗拉强度4.5Mpa，波松比为0.18。经有限元分 析，开挖后坝基面处地应力为σ1=25MPa, σ2=10Mpa， σ3=0。试用最大正应变理论判断坝基面岩层是否会破坏? 解，根据坝基应力条件，有：
解：
（1）根据最大正应变理论，有：
E 3 ( 1 2 ) E 0
如根据单轴抗压强度确定最大延伸应变，则有：
E 3 ( 1 2 ) E 0 E
c
E
c
（1） （2）
如根据单轴抗拉强度确定最大延伸应变，则有：
3 3 f
2
) 2c tg( 45
)
2 2 1tg ( 45 ) 2c tg( 45 ) 2 2
根据已知条件，可以选择上面任一式进行岩体是否破坏判断。 右式为由应力状态决定的给定面上的极限状态值。 左式为可以提供的值。
3.4 霍克—布朗岩石破坏经验判据
3.岩石的强度理论
主讲： 林锋
• • • • • •
3.1 概述 3.2 最大正应变理论 3.3 摩尔强度理论 3.4 霍克—布朗岩石破坏经验判据 3.5 考虑中间主应力的强度理论简介 3.6 Griffith强度理论
3 岩石的强度理论
3.1 概述
岩石的应力、应变增加到一定程度，岩石就会发生破坏。 • • • • • • 大量的试验和观察发现，各种类型破坏岩石的基本 破坏机理（机制）可以归纳为三类： ① 拉（张）破坏 ② 剪切破坏 ③ 塑性流动 张破坏包括轴向拉裂和压致拉裂； 剪切破坏包括岩石剪切破坏和沿弱面剪切破坏。
E 3 ( 1 2 ) E 0 E
t
E
t
将已知条件：σ3=5Mpa,σ2= 12Mpa，σc=16Mpa, σt=5 Mpa ，μ=0.4, 带入（1）式，得：σ1=11.5Mpa。 带入（2）式，得：σ1=13Mpa。
（2）根据直线型摩尔库伦强度理论，首先求内摩擦角： 45 35 （1）
2
所以，υ=20°。 再由单轴抗压强度条件，求内聚力，有下式
sin
1 3 1 3 2c ctg
16 0 16 0 2c ctg 20
sin 20
（2）
由（2）式得到 c= 5.17Mpa。 下面求最大主应力：
1 3tg ( 45
1 17 1 147 0
2
解得：σ1=23.3Mpa, －6.3Mpa（舍去） 所以： σ1 = 23.3Mpa。
3.6
Griffith强度理论
3.6.1 概述 • 对岩石来说：从变形到破坏过程，大体经历了：裂隙闭 合；弹性变形和应变强化或软化现象；裂纹稳定扩展，裂纹 加速扩展到贯通阶段； • 对于岩体：裂隙闭合、错动、扩展，结构体位置调整； 结构体变形破坏等； • 无论岩石或岩体，在变形和破坏过程中，都要或者可能 经过裂纹扩展、贯通过程。显然，研究裂纹产生、扩展的、 启动（条件）或扩展规律，对于认识岩体的变形破坏机理及 规律，具有十分重要的意义。
f ( )
（3-11）
岩石摩尔包络线的量化表达，有多种型式：直线型、 抛物线型、双曲线型或摆线型。
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
（一）直线型 （1）摩尔—库仑强度线 当压力不大时，可采用直线型包络线。公式如下：
f c tg
这个方程首先是由库仑 (Coulomb ) 提出，后来摩 尔用新的理论加以解释，因 此，直线型摩尔强度线也叫 做摩尔—库仑强度线。
3 岩石的强度理论
3.1 概述
破坏判据：表征岩石破坏条件的函数（应力及应变函 数），也称为破坏判据或强度准则。破坏判据应反映岩石 的破坏机理。 强度理论：所有研究岩石破坏的原因、过程及条件的理 论，称为强度理论。 岩石的破坏机理很复杂，受多种因素影响。 目前建立了多种强度理论，其中，岩石力学中应用较多 的强度理论有： （1）最大正应变理论，（2）莫尔强度理论，（2）格 里菲斯强度理论，（4）应变能理论等。 实际上，各种强度理论都有一定的使用范围。
（3-8a）
| 3 ( 1 2 ) | c
（3-8b）
如果是常规三轴试验，则（3-8）式改写为：
| (1 ) 3 1 | t | (1 ) 3 1 | c 1 1 1 3 t
1
1
3 ( 1 2 ) E 0 E t
E Leabharlann Baidut
（3-6）
联立（3-3）和（3-5）式，可得强度条件： c 3 ( 1 2 ) E c
E
（3-7）
3.2 最大正应变理论
（3）破坏判据 根据上两式，可得岩石破坏判据： | 3 ( 1 2 ) | t 由 0 得：
霍克、布朗在研究岩石破坏的经验判据时，提出以下原则： （1）破坏判据应与试验的强度值相吻合； （2）破坏判据的数学表达式应尽可能简单； （3）岩石的破坏判据能延伸用到节理化岩体和各向异性情况。 霍克、布朗在研究了大量岩石的抛物线型破坏包络线后， 得到如下岩石破坏经验判据： 1 ' ' ' (m s ) 2 （3-47）
（3-11）
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
摩尔包络线可以描述材料的破坏判据，反映破坏面上 的剪应力τ与面上正应力σ之间的关系。 判别：对 给定的应力状态，若位于摩尔包络线之内， 没有破坏；位于包络线上，处于极限平衡状态；位于之外 （与摩尔包络线相交），材料已经破坏，不能稳定存在。 一般情况下，摩尔包络线不是线性的，可以用下式表达：
| 3 ( 1 2 ) | 0 0.18(25 10) 6.3(MPa)
岩石抗拉强度为4.5Mpa，小于6.3MPa。 故按照岩石抗拉强度判断，坝基岩体将发生破坏。 而抗压强度，有 ： c 0.18 140 25.2(MPa) 25.2MPa>6.3MPa，故根据抗压强度判断，坝基 岩石将不会破坏。 综上，由于岩石抗压强度不满足强度要求，坝基岩 石将破坏。
式中，m=b/a
2 2 y xy
m=b/a
(3.6-1)
xy
y
3.6.3裂纹扩展机制分析
（一）基本假定 现象：一般呈脆性破坏的材料，其强度与强度理论存在 着不成程度的离散性。 Griffith于1920年首次指出，这种不同起因于固体内存 在许多随机分布的微小裂纹。在受荷条件下，裂纹尖端附近 会产生显著的应力集中，并导致附近岩石破坏，裂纹扩展。 因此，岩石（材料）的破坏往往取决于材料内部裂纹周边的 应力状态。 裂纹扩展的条件，可从两个角度来分析， （1）应力分析角度：裂纹周边最大拉应力超过岩石（材 料）的抗拉强度； （2）能量观点：裂纹尖端储存的弹性势能大于使裂纹开 裂扩展必须做的阻力功时，裂纹扩展开裂。
1 3 c 3 c
式中: σc 为完整岩体的单轴抗压强度； ' 1 为破坏时最大有效主应力；
3
'
为破坏时最小有效主应力；
m 、s 为经验系数， m=0.001(高度破碎岩体)~25(坚硬完整岩 石)； S=0 (完全破损岩体)~1(完整岩石)。
3.5 考虑中间主应力的强度理论简介
• （一）剪应变能理论 • 基本假定为：当材料剪应变能达到一定值时就引起屈 服（或破裂），具体说来，即材料在三向应力作用下，单 位体积的形变能V与材料单纯受拉（或受压）达到的形变 能相等，材料就屈服了。 • （二）八面体应力理论（米塞斯屈服准则） • 基本假定：材料的破坏是由于八面体上剪应力达到临 界值引起。属于应力强度理论
3.2 最大正应变理论
基本假设：材料张性破坏的原因是最大延伸应变ε达 到了一定的极限应变ε0，即强度条件为：
0
（1）最大延伸应变ε计算
（3-1）
假定破坏前材料处于弹性状态，为均质 各向同性材料，根据广义胡克定律：
1
2
3
1 E
1 E
[ 1 ( 2 3 )]
[ 2 ( 1 3 )]
（3-2） 最大延伸应变
1 E
[ 3 ( 1 2 )]
3.2 最大正应变理论
（2）极限应变计算ε0， t 根据单轴拉伸试验确定，即： 0 E 根据单轴压伸试验确定，即： 0 c
E
（3-4）
（3-5）
联立（3-3）和（3-4）式，可得强度条件：
（二） 裂纹扩展的应力准则
（1）当 1 3 3 0 时
1 2
2
β
3
arccos
1 3
2( 1 3 )
(3.6-13)
( 1 3 ) 8 t ( 1 3 ) 0
1
3 t
（2）当
1 3 3 0 时
1 0
2
) 2c tg( 45
2
)
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
（一）直线型 （2） 直线型摩尔—库仑破坏判据：
f c tg
sin sin f
1 3 1 3 2c ctg
2
1 1 f 3tg (45
3.6.2 裂纹周边的应力
岩石材料中存在大量微裂纹，现分析微裂纹周边的应力， 尤其是裂纹尖端附近。 力学模型：将微裂纹视为张开的扁平椭圆，不考虑岩石性 质的局部变化和裂纹之间的相互影响，从而建立力学模型。 力学模型中，裂隙长轴与最大主应力的夹角为β。 则裂纹尖端极值切向应力σb为：
bm y
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
摩尔（莫尔）强度理论是摩尔在1900年提出的，在岩 石（体）力学中，目前应用最广。 基本假定：材料的破坏主要 取决于它的最大主应力和最小主 应力，与中间主应力无关。 摩尔强度理论，还不能从基 本假定直接推导出来。 需要采用不同大、小主应力 比例的材料强度试验，在τ—σ平 面上，绘制一系列极限应力圆 （摩尔圆），这些极限应力圆的 外包络曲线，即为摩尔包络线。
0
3 t
或 1 c
(3.6-14)
格里菲斯准则
格里菲斯应力强度准则
（二） 裂纹扩展的应力准则
（3-12）
3.3 摩尔(Mohr)强度理论
（一）直线型 直线型摩尔—库仑强度线还有如下表达形式：
sin
1 3 1 3 2c ctg
2
1 3tg ( 45
2
) 2c tg( 45
2
)
3 1tg ( 45
2
2
2
) 2c tg( 45
2
)
带入已知数据，得：σ1=10.84Mpa。
（3）根据八面体强度理论，有：
( 1 2 ) ( 2 3) ( 3 1) 2 y
2 2 2 2
已知：σ3=5Mpa，σ2= 12Mpa，σy=σc=16Mpa
( 1 12) (12 5) (5 1) 2 16
•
•
这两个理论均可以考虑中间主应力对变形破坏的影响。 它们所得的屈服判据式是一样的： 2 2 2 2 式中， y 为屈服强度。 (1 2 ) ( 2 3) ( 3 1) 2 y
例题2
页岩的σc=16Mpa,σt=5Mpa,E =20000MPa,μ=0.4。如果岩 石在三轴试验中破坏，破坏时σ3=5Mpa,σ2= 12Mpa，问： （1）根据最大正应变理论，计算最大主应力？ （2）如果已知页岩破坏时剪切面与最大主应力夹角为35°， 试用直线型摩尔-库伦强度理论求最大主应力？ （3）根据八面体强度理论计算此时的最大主应力？
（3-9a） （3-9b）
（3-10a） （3-10b）
3 c
例题3-1
• 小湾河床建基面基岩为黑云花岗片麻岩，单轴抗压强度 为140Mpa，抗拉强度4.5Mpa，波松比为0.18。经有限元分 析，开挖后坝基面处地应力为σ1=25MPa, σ2=10Mpa， σ3=0。试用最大正应变理论判断坝基面岩层是否会破坏? 解，根据坝基应力条件，有：
解：
（1）根据最大正应变理论，有：
E 3 ( 1 2 ) E 0
如根据单轴抗压强度确定最大延伸应变，则有：
E 3 ( 1 2 ) E 0 E
c
E
c
（1） （2）
如根据单轴抗拉强度确定最大延伸应变，则有：
3 3 f
2
) 2c tg( 45
)
2 2 1tg ( 45 ) 2c tg( 45 ) 2 2
根据已知条件，可以选择上面任一式进行岩体是否破坏判断。 右式为由应力状态决定的给定面上的极限状态值。 左式为可以提供的值。
3.4 霍克—布朗岩石破坏经验判据
3.岩石的强度理论
主讲： 林锋
• • • • • •
3.1 概述 3.2 最大正应变理论 3.3 摩尔强度理论 3.4 霍克—布朗岩石破坏经验判据 3.5 考虑中间主应力的强度理论简介 3.6 Griffith强度理论
3 岩石的强度理论
3.1 概述
岩石的应力、应变增加到一定程度，岩石就会发生破坏。 • • • • • • 大量的试验和观察发现，各种类型破坏岩石的基本 破坏机理（机制）可以归纳为三类： ① 拉（张）破坏 ② 剪切破坏 ③ 塑性流动 张破坏包括轴向拉裂和压致拉裂； 剪切破坏包括岩石剪切破坏和沿弱面剪切破坏。
E 3 ( 1 2 ) E 0 E
t
E
t
将已知条件：σ3=5Mpa,σ2= 12Mpa，σc=16Mpa, σt=5 Mpa ，μ=0.4, 带入（1）式，得：σ1=11.5Mpa。 带入（2）式，得：σ1=13Mpa。
（2）根据直线型摩尔库伦强度理论，首先求内摩擦角： 45 35 （1）
2
所以，υ=20°。 再由单轴抗压强度条件，求内聚力，有下式
sin
1 3 1 3 2c ctg
16 0 16 0 2c ctg 20
sin 20
（2）
由（2）式得到 c= 5.17Mpa。 下面求最大主应力：
1 3tg ( 45