6.1排列组合(完整)
排列组合ppt课件
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
初中数学排列组合教案设计参考
初中数学排列组合教案设计参考第一章：排列组合基本概念1.1 排列教学目标：让学生理解排列的定义和排列数公式。
培养学生运用排列知识解决实际问题的能力。
教学内容：排列的定义：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序排列。
排列数公式：An = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘。
教学活动：引入实例，让学生感受排列的意义。
引导学生通过列举法得出排列数公式。
练习运用排列数公式解决实际问题。
1.2 组合教学目标：让学生理解组合的定义和组合数公式。
培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
教学内容：组合的定义：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合。
组合数公式：Cn = n! / [m!(n-m)!]，其中n!表示n的阶乘。
教学活动：引入实例，让学生感受组合的意义。
引导学生通过列举法得出组合数公式。
练习运用组合数公式解决实际问题。
第二章：排列组合的应用2.1 排列组合的综合应用教学目标：让学生掌握排列组合的综合应用方法。
培养学生运用排列组合知识解决复杂问题的能力。
教学内容：排列组合的综合应用方法：根据问题的实际情况，选择合适的排列组合公式进行计算。
教学活动：练习运用排列组合的综合应用方法解决实际问题。
2.2 排列组合在实际问题中的应用教学目标：让学生学会运用排列组合知识解决实际问题。
培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：实际问题中的排列组合应用：如人员安排、活动组织等。
教学活动：引入实际问题，让学生感受排列组合在实际中的应用。
第三章：排列组合的扩展3.1 多重排列教学目标：让学生理解多重排列的定义和多重排列数公式。
培养学生运用多重排列知识解决实际问题的能力。
教学内容：多重排列的定义：多重排列是指在排列中允许元素重复的情况。
多重排列数公式：对于k个相同的元素，其排列数为k^m，其中m为元素个数。
教学活动：引入实例，让学生感受多重排列的意义。
引导学生通过列举法得出多重排列数公式。
小学六年级数学第讲：排列组合(教师版)
第十九讲排列组合一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n个不同的元素中取出m(m n≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素P．的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做mn根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(1n-)种方法；n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅（）（） ．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =． 五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a -- 个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
python 排列组合的算法
主题：Python中常用的排列组合算法内容：1. 简介：Python是一种功能强大且易于学习的编程语言，其内置的库和模块使得许多复杂的算法变得易于实现。
在本文中，我们将讨论Python 中常用的排列组合算法，这些算法对于解决许多实际的问题都非常有用。
2. 排列算法：2.1 字符串的全排列：Python中可以使用`itertools`库中的`permutations`函数来获取一个字符串的所有排列。
2.2 数组的全排列：利用递归和交换元素的方式可以实现数组的全排列算法，该算法可以用来解决诸如旅行商问题等实际问题。
3. 组合算法：3.1 组合的生成：使用`itertools`库中的binations`函数可以获取一个序列的所有组合。
3.2 组合的求解：通过递归和回溯的方式可以实现组合的求解，这种方法在解决组合优化问题时非常有用。
4. 应用实例：4.1 排列和组合在密码学中的应用：排列和组合算法可以用来生成各种密码的可能组合，这对于破解密码以及设计安全的密码系统都非常重要。
4.2 排列和组合在商品排列组合的应用：在电商领域，排列和组合算法可以用来对商品进行排序和组合，以实现更好的推荐系统。
5. 总结：Python中的排列组合算法在解决实际问题中具有重要的作用，通过充分利用Python的内置库和函数，我们可以快速高效地实现各种排列组合算法。
这些算法不仅可以用来解决计算问题，还可以应用于密码学、商业推荐等实际场景中。
通过以上内容，我们可以了解Python中常用的排列组合算法以及它们在实际应用中的重要性，相信这些知识对于读者来说将是非常有价值的。
6. 代码示例：6.1 字符串的全排列示例：```pythonimport itertoolss = "abc"perm = itertools.permutations(s)for p in perm:print(''.join(p))```6.2 数组的全排列示例：```pythondef permute(nums):def backtrack(start):if start == len(nums):result.append(nums[:])returnfor i in range(start, len(nums)):nums[i], nums[start] = nums[start], nums[i] backtrack(start + 1)nums[i], nums[start] = nums[start], nums[i]result = []backtrack(0)return resultnums = [1, 2, 3]print(permute(nums))```6.3 组合的生成示例：```pythonimport itertoolss = "abcd"b = itertoolsbinations(s, 2)for c inb:print(''.join(c))```6.4 组合的求解示例：```pythondefbine(n, k):def backtrack(start, path): if len(path) == k:result.append(path[:]) returnfor i in range(start, n + 1): path.append(i)backtrack(i + 1, path) path.pop()result = []backtrack(1, [])return resultn = 4k = 2printbine(n, k))```7. 进阶应用：7.1 排列组合在数据挖掘中的应用：在数据挖掘领域，排列组合算法常常用于特征选择和模式发现，通过对特征的各种排列组合进行分析可以发现隐藏在数据中的规律和趋势。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
6.1排列组合(完整)
各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,
不同的选法共有多少种? .
2520
21
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接
力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多
少种选法？
分析：（一）直接法 （二）间接法
A41 A42 A53 A42
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字
6.1 排列组合
.
1
一、回顾
(一)、知识结构
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
.
2
(二)、重点难点
1. 两个基本原理 2. 排列、组合的意义 3. 排列数、组合数计算公式 4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
.
3
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：
Cm n
C . m1 n
.
10
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。
（2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。
（3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
.
11
二、例题选讲： 例1 学生要从六门课中选学两门：
解法一：(分类法) A88 A71 A71 A77 287280
解法二：(排除法) A99 2A88 A77 287280
.
13
⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起；
A66 A22 A72 60480
点评：小团体排列问题中，先整体后局部， 再结合不相邻问题的插空处理.
排列组合问题(教案
排列组合问题(教案)第一章：排列与组合的基本概念1.1 排列的概念：排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列的过程。
1.2 组合的概念：组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，但与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
1.3 排列数与组合数的表示：排列数用符号A(n,m)表示，组合数用符号C(n,m)表示。
第二章：排列数的计算方法2.1 排列数的直接计算方法：A(n,m) = n ×(n-1) ×(n-2) ××(n-m+1)，当n≥m时成立。
2.2 排列数的递推计算方法：A(n,m) = A(n-1,m-1) ×(n-m+1)，当n≥m时成立。
2.3 排列数的周期性：对于任意的正整数n和m，A(n,m)与A(n,n-m)相等。
第三章：组合数的计算方法3.1 组合数的直接计算方法：C(n,m) = A(n,m) / m!，当n≥m时成立。
3.2 组合数的递推计算方法：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，当n≥m时成立。
3.3 组合数的性质：C(n,m) = C(n,n-m)，且C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)。
第四章：排列组合的应用实例4.1 人员选拔问题：从n个人中选拔m个人，有多少种不同的选拔方式？4.2 活动安排问题：有n个活动，每个活动可以独立进行或进行，有多少种不同的安排方式？4.3 物品分配问题：有n个相同的物品，需要分成m组，每组至少有一个物品，有多少种不同的分配方式？第五章：排列组合问题拓展5.1 错位排列问题：将一个长度为n的序列中的每个元素错位排列，求错位排列的总数。
5.2 循环排列问题：将一个长度为n的序列进行循环排列，求循环排列的总数。
5.3 限制条件的排列组合问题：在排列组合问题中，添加一些限制条件，如元素不可重复使用等，求解符合条件的排列组合总数。
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
初中数学排列组合习题课教案指导
初中数学排列组合习题课教案指导第一章：排列组合基本概念1.1 排列与组合的定义引导学生回顾排列与组合的定义，理解排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的顺序，而组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的非顺序组合。
通过举例让学生区分排列和组合的概念。
1.2 排列数公式介绍排列数公式：A(n,m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。
让学生通过计算一些简单的排列数来理解排列数公式的含义。
第二章：组合数公式2.1 组合数公式介绍组合数公式：C(n,m) = n! / (m!×(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)××2×1。
让学生通过计算一些简单的组合数来理解组合数公式的含义。
2.2 组合数的性质引导学生探究组合数的性质，如C(n,m) = C(n,n-m)、C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)等。
通过举例让学生理解组合数的性质。
第三章：排列组合的应用3.1 排列组合在实际问题中的应用通过举例让学生了解排列组合在实际问题中的应用，如排列组合问题、概率问题等。
引导学生运用排列组合知识解决实际问题。
3.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。
对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。
第四章：排列组合的拓展4.1 排列组合的拓展知识引导学生了解排列组合的一些拓展知识，如多重排列、排列组合的极限等。
通过举例让学生了解这些拓展知识的应用。
4.2 排列组合的综合练习提供一些综合性的排列组合练习题，让学生独立解答。
对学生的解答进行指导和讲解，帮助其理解和掌握排列组合的知识。
第五章：总结与复习5.1 排列组合的总结对排列组合的知识进行总结，包括排列与组合的定义、排列数公式、组合数公式、排列组合的性质和应用等。
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
组合数学(第6章6.1)
2 (1)k m k+…+ k 3 (1)mm
应 用
例. 从0到99999中有多少含有数字2, 5和8的整数。 解：设A1，A2 和A3分别是不包含数字2, 5和8的集合， 需要计算 | A1 A2 A3 | 0到99999的整数个数：0=105 1=|A1|=|A2|=|A3|=95 2=|A1A2|=85 3=|A1A2 A3|=75 因此，答案为：105395+385-75
因此：对于sS
—
—
S
A1A1A2 A2
一般情形：容斥原理计数
定理6.1.1 集合S不具有性质P1,P2,…,Pm的物 体的个数：
+…+(1)m|A1A2…Am|
| A1 A2 Am |＝|S||Ai|+|Ai Aj||Ai Aj Ak |
其中，第一个求和对集合{1,2,…,m}的所有的1-组合 进行, 第二个求和对集合{1,2,…,m}的所有的2பைடு நூலகம்组合 进行,依此类推.
|A1A2A3|=1000/120=8 由容斥原理， | A1 A2 A3 | =1000(200+166+125)+(33+25+41)8 =600
例2
字母M,A,T,H,I,S,F,U,N存在多少排列使得单 词MATH, IS和FUN都不出现？ 解：9个字母组成所有排列集合为S。 A1是MATH出现的排列集合； A2是IS出现的排列集合； A3是FUN出现的排列集合。 运用容斥原理。
这样S的每个元素在两边具有相同的计数。证明 了定理。
推论6.1.2 具有性质P1,P2,…,Pm的物体的个数：
| A1 A2 Am |＝|Ai||Ai Aj|+|Ai Aj Ak |
湘少版小学数学课件简单的排列组合
游戏策略：在棋牌类游戏中，利用排列组合制定最优的出牌策略
在数学问题中的实际应用
排列组合在解决 数学问题中的应 用
排列组合在数学 游戏中的应用
排列组合在数学 建模中的应用
排列组合在数学 竞赛中的应用
在其他学科中的实际应用
数学建模：利用排列组合建立数学模型，解决实际问题 统计学：排列组合在统计学中用于描述和预测数据分布 计算机科学：排列组合在算法设计和数据结构中有着广泛的应用 物理学：排列组合在物理学中用于描述量子态和波函数等复杂系统
湘少版小学数学课件中 简单的排列组合的练习 题及解析
练习题
题目：将3个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 题目：将4个不同的小球放到5个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 题目：将7个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______．
组合的定义
组合是指从n个不同元素中取出m个元素的所有取法。 组合数表示为C(n,m)，计算公式为C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]。 组合与排列的区别在于，排列需要考虑取出元素的顺序，而组合则不考虑顺序。 组合在实际生活中有着广泛的应用，如概率论、统计学等领域。
排列与组合的区别与联系
添加副标题
湘少版小学数学课件简单的 排列组合
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 排列组合的基本概 念
03 湘少版小学数学课件 中简单的排列组合内 容
markdown 排列组合数学公式 语法
排列组合数学公式1. 介绍1.1 排列组合数学公式在数学中扮演了重要的角色，它们被广泛应用于概率论、组合数学、统计学等领域。
排列组合数学公式用于计算一系列对象的排列和组合方式，它们可以帮助我们解决许多实际问题，如随机事件的概率计算、组合物品的排列方式等。
1.2 本文旨在介绍排列组合数学公式的基本概念和常见公式，帮助读者更深入地理解和运用排列组合数学公式。
2. 排列的定义和公式2.1 排列是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排列的方式。
排列的总数可以用公式表示为：A(n,m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×…×2×1。
3. 组合的定义和公式3.1 组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑元素的顺序。
组合的总数可以用公式表示为：C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)4. 递推公式4.1 排列和组合数学公式还可以通过递推公式来表示。
排列的递推公式为：A(n,m) = A(n-1,m) + A(n-1,m-1)组合的递推公式为：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1,m-1)5. 应用举例5.1 掷色子问题假设有一枚六面色子，请计算三次投掷后出现不同点数的排列组合方式。
解：共有6^3=216种不同的排列方式。
5.2 田径比赛男子田径比赛有8名选手参加，奖牌分别颁发给前三名，计算获得奖牌的组合方式。
解：共有C(8,3)=56种不同的组合方式。
6. 总结6.1 排列组合数学公式是数学中重要的基础知识之一，它们在各个领域都有广泛的应用。
掌握排列组合数学公式不仅有助于解决实际问题，还能够培养逻辑思维能力和数学推理能力。
希望本文介绍的排列组合数学公式能够帮助读者更好地理解和运用这一知识点。
7. 进阶应用7.1 组合优化问题在实际生活中，组合数学的知识经常被用于解决优化问题。
在货物配送中，如何选择最佳的路线以最小化送货成本是一个典型的组合优化问题。
(完整版)排列组合练习试题和答案解析
4.8项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有种
5..六人住A、B、C三间房，每房最多住三人，
（1）每间住两人，有种不同的住法，
（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人，有种不同的住宿方案。
6. 8人住ABC三个房间，每间最多住3人，有多少种不同住宿方案？
十一、隔板法
1.不定方程 的正整数解的组数是，非负整数解的组数是。
2.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个车队中抽出10辆车，且每个车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有
A.84种B.120种C.63种D.301种
3.要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这10个名额共有种分配方法。
8.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？
9.排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？
10.排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？
11.某城市修建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三只灯，但不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有种
十二、对应的思想
1.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？
十三、找规律
1.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?
解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.
排列组合ppt课件
（2）元素不相邻问题：一般用插空法，即把可相邻的每 两个元素留出一个空位，将不能相邻的元素插入空位中进 行排列。
（3）元素分析法：先考虑有条件限制的元素，再考虑剩 下的元素 （4）位置分析法：从排列的位置入手进行分析
①直接法：从条件出发直接考虑符号条件的排列数
或组合数。
②间接法：即先考虑限制条件求出所有的排列数或
组合数，然后再从中减去不符合条件的排列数或组合数。
1.排列问题大致分为两类
（1）不含限制条件的简单排列应用问题，可依题意利用 公式求得结果。
（2）带限制条件的排列问题，按下面的方法处理：
2.几种典型的排列问题及其处理方法
②元素分析法: N A54 A31 A53 120 180 300 ③间接法: N A64 A53 360 60 300
(2)位置分析法: N A53 A21 A41 A42 60 96 156 (3)位置分析法: N A53 A41 A42 60 48 108
解：（1）每人限报一项，报名的方法总数有： N=4X4X4=43=64（种）
（2）每人限报一项，且没有同组的报名方法有： N=4X3X2=A43=24（种）
练习1:
1. 4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法有（ D ）种
A. 12
B. 24
C. 64
D. 81
2.有编号为 1 至 5 的五台电脑，五名学生上机实习， 每人使用一台，其中学生甲必须用1号电脑，那么不同上
学好数学要做到——勤练、善思
一、教学目的与要求
1.能利用排列数及组合数公式熟练解决排列组合的 计算问题
2.熟悉解决排列组合问题的基本方法;
计数排列组合教案
计数排列组合教案第一章：排列组合基础1.1 排列组合概念介绍排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列方式的集合。
组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑取出元素的顺序的所有可能的组合方式的集合。
1.2 排列数与组合数的计算公式排列数公式：$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$组合数公式：$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$第二章：排列组合的应用2.1 排列组合在日常生活中的应用例子：party邀请，座位安排，比赛分组等。
2.2 排列组合在数学问题中的应用例子：排列组合问题，图论问题，计数问题等。
第三章：排列组合的扩展3.1 错排问题定义：将n个不同元素排列成一个序列，使得没有任何一个元素出现在它的原始位置上。
错排公式：$D_n = (n-1) \times (D_{n-1} + D_{n-2})$3.2 圆排列问题定义：n个不同元素围成一个圆进行排列。
圆排列公式：$C_n^k = \frac{1}{k} \times C_{n-1}^{k-1}$第四章：排列组合与其他数学领域的联系4.1 排列组合与图论介绍图论中与排列组合相关的问题，如哈密顿路径问题，欧拉路径问题等。
4.2 排列组合与概率论介绍排列组合在概率论中的应用，如古典概型，条件概率等。
第五章：排列组合的练习题及解答5.1 排列组合基础练习题涉及排列组合的计算，如计算排列数，组合数等。
5.2 排列组合应用练习题涉及排列组合在日常生活和数学问题中的应用。
5.3 排列组合扩展练习题涉及错排问题，圆排列问题等。
5.4 排列组合练习题解答提供练习题的详细解答，帮助学生巩固知识点。
第六章：排列组合的综合应用题6.1 排列组合在日常生活中的综合应用例子：活动策划，比赛安排，密码组合等。
6.2 排列组合在数学问题中的综合应用例子：图论问题，计数问题，代数问题等。
第七章：排列组合与数论7.1 排列组合与同余介绍排列组合在同余理论中的应用，如费马小定理等。
排列组合例题与解析
排列组合例题与解析【公式】r n!P n= (n-r)!rr n! P n n-rC n= r!(n-r)! = r! =C n例题分析：1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2）=90*2*2，因而本题为360。
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。
若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴ 本题答案为：=56。
2．分析是分类还是分步，是排列还是组合注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有一种选择，同理A、B位置互换，共12种。
例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
六级数学下册 排列、组合(搭配)课件 人教新课标(通用)
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13、不知香积寺，数里入云峰。。2021/5/142021/5/142021/5/142021/5/145/14/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2021年5月14日星期五2021/5/142021/5/142021/5/14
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15、楚塞三湘接，荆门九派通。。。2021年5月2021/5/142021/5/142021/5/145/14/2021
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10、雨中黄叶树，灯下白头人。。2021/5/142021/5/142021/5/145/14/2021 8:23:33 PM
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11、以我独沈久，愧君相见频。。2021/5/142021/5/142021/5/14May-2114-May-21
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12、故人江海别，几度隔山川。。2021/5/142021/5/142021/5/14Friday, May 14, 2021
现在老师加大难度，添加1件上衣，2件
上衣和3条裤子之间有几种不同的搭配方
法呢？猜一猜，有几种？
如果上衣不变，再添加一条裤子，这时又有几种不同
的搭配方法呢？
上衣
裤子
搭配种数
1
1
1
2
3
6
2
4
如果添加的不是裤子而是上衣，猜猜这时 又有几种不同的搭配方法？
合唱1
合唱2
合唱3
舞蹈1
舞蹈2
舞蹈1
舞蹈2
人教新课标六年级数学下册
排列、组合
（搭配）
教学目标
1.知识目标：通过观察、操作等活动， 找出简单事物的排列组合规律。
2.能力目标：培养大家初步的观察、分 析和推理能力以及有顺序地、全面地 思考问题的意识。
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4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
A A
A A
3 5
1 4
（二）间接法
2 4 2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
6.1 排列组合
一、回顾
(一)、知识结构
排列 基 本 原 理
排列数公式
组合数公式
组合
应 用 问 题
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理 2. 排列、组合的意义 3. 排列数、组合数计算公式 4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法， 在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法 …… 在第n类办法中有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法.
引申：分成三组，一组5人，另两组各两人；
C C N C 378 2 A2
5 9 2 4 2 2
点评：局部均分无序问题易出错.
例3 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！
二、例题选讲： 例1 学生要从六门课中选学两门：
（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种 选法？ （2）有两门特别的课，至少选学其中的一门， 有几种选法？
(1) 解法一： C C C 14 2 解法二： C 6 1 14
2 4 1 2 1 4
(2)解法一： C C C 9 2 2 解法二： C 6 C 4 9
引申：①分成甲、乙、丙三组，一组4人，一组3 人， 一组2人；
N C C C A 7560
4 9 3 5 2 2 3 3
②分成甲、乙、丙三组，每组3人.
N C C C 1680
3 9 3 6 3 3
⑹分成三组，每组3人；
C C C N 280 A
3 9 3 6 3 3 3 3
三、课堂练习：
1.有编号为 1 至 5 的五台电脑，五名学生上 机实习，每人使用一台，其中学生甲必须用1 号电脑，那么不同上机方案的种数是（ B ）
A. P
4 5
B. P
4 4
C. C
4 5
D. C
4 4
2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有 3枪连在一起的情形的不同种数为 20 .
3.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙 各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有多少种? 2520
B 一般地,n个不同元素作圆形排 A A B C D E C A 列,共有(n-1)!种排法.如果 从n个不同元素中取出m个元素 D m E 1 作圆形排列共有m An 种.
例4 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中 取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不 同的取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶 3 C5 数的取法有____,只含有1个偶数的取法 1 2 3 1 2 C5C5 C5C5+ C5 有_____,和为偶数的取法共有_________ 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 再淘汰和小于10的偶数共___________ 9 3 1 2 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 C5C5+ C5 -9=51 符合条件的取法共有___________ 反面,再从整体中淘汰.
（规定 0！=1）
从 n 个不同元素中取出m个元
素的排列数
A C A
m n
m n
A C A
m n m n
m m
m n m m
n(n 1)(n 2) (n m 1) m!
n! C m !( n m) !
（规定： 1） C
0 n
4. 组合数的两个性质
定理1 :
A A A 60480
6 6 2 2 2 7
点评：小团体排列问题中，先整体后局部， 再结合不相邻问题的插空处理.
⑶甲、乙、丙从左到右排列；
A 6 N A9 60480 A
9 9 3 3
引申：有三人从左到右顺序一定；
A 3 6 分析：N C C9 A9 5与联系 , 抓住 “顺序”这个关键．
3. 排列数、组合数计算公式
A
m n
n
n (n 1) ( n 2) ( n m 1)
A
n ! n ( n 1) ( n 2) • · ·3 •2 •1 ·• n
A
m n
n! ( n m) !
②分步记数原理（乘法原理）： 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2 步有m2种不同的方法， …… 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N= m1× m2 ×···· mn种不同的方法. ·· ×
③两个原理的区别：
前者各种方法相互独立，用其中的任何 一种方法都可以完成这件事； 后者每个步骤相互依存，只有每个步骤 都完成了，这件事才算完成． 对前者的应用，如何分类是关键，如排 数时有0没有0，排位时的特殊位置等； 后者一般体现在先选后排．
1 2 1 4 2 2
例2 9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？ ⑴甲不站排头，乙不站排尾； 解法一：(分类法) A A A A 287280
8 8 1 7 1 7 7 7
解法二：(排除法) A 2 A A 287280
9 9 8 8 7 7
⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起；
3 9
9 9 3 3
点评：定序问题除法处理
⑷前排三人，中间三人，后排三人； 3 3 3 9 9 6 3 9
N A A A A
引申：前排一人，中间二人，后排六人；
点评：分排问题直排处理
⑸分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人；
N C C C 1260
4 9 3 5 2 2
定理 2 :
C C
m n
m n1
nm n
m n
.
m1 n
C C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
013 015 017 024 026 035 213 215 413
例5 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这 五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有 多少投法？ 2 C5 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种 利用实际 还剩下3球3盒序号不能对应， 操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 装法, 同理3号球装5号盒时,4,5号球有也 2 公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状 只有1种装法,由分步计数原理有2 C 5 种 图会收到意想不到的结果.
1 2 3 9 285
6、某城市的街区由12个全等的矩形区组成 其中实线表示马路，从A走到B的最短路 径有多少种？
C
3 7
35
B
A
四、课堂小结：
本节课，我们对有关排列组合的几种 常见的基本解法加以复习巩固．排列组合 历来是学习中的难点，通过我们平时做的 历届高考题，不难发现其应用题的特点是 条件隐晦，难以挖掘，题目多变，解法独 特，数字庞大，难以验证。同学们只有对 基本的几种解法熟练掌握，然后再本着先 分类再分步的原则，把复杂的问题简单化， 才能做到举一反三，触类旁通，进而为下 一章概率的学习打下坚实的基础。