6.1排列组合(完整)

2. 排列、组合的意义
把握排列和组合的区别与联系 , 抓住 “顺序”这个关键．
3. 排列数、组合数计算公式
A
m n
n
n (n 1) ( n 2) ( n m 1)
A
n ! n ( n 1) ( n 2) • · ·3 •2 •1 ·• n
A
m n
n! ( n m) !
引申：①分成甲、乙、丙三组，一组4人，一组3 人， 一组2人；
N C C C A 7560
4 9 3 5 2 2 3 3
②分成甲、乙、丙三组，每组3人.
N C C C 1680
3 9 3 6 3 3
⑹分成三组，每组3人；
C C C N 280 A
3 9 3 6 3 3 3 3
1 2 1 4 2 2
例2 9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？ ⑴甲不站排头，乙不站排尾； 解法一：(分类法) A A A A 287280
8 8 1 7 1 7 7 7
解法二：(排除法) A 2 A A 287280
9 9 8 8 7 7
⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起；
013 015 017 024 026 035 213 215 413
例5 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这 五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有 多少投法？ 2 C5 解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种 利用实际 还剩下3球3盒序号不能对应， 操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒 3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种 对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 装法, 同理3号球装5号盒时,4,5号球有也 2 公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状 只有1种装法,由分步计数原理有2 C 5 种 图会收到意想不到的结果.
（规定 0！=1）
从 n 个不同元素中取出m个元
素的排ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
A C A
m n
m n
A C A
m n m n
m m
m n m m
n(n 1)(n 2) (n m 1) m!
n! C m !( n m) !
（规定： 1） C
0 n
4. 组合数的两个性质
定理1 :
6.1 排列组合
一、回顾
(一)、知识结构
排列 基 本 原 理
排列数公式
组合数公式
组合
应 用 问 题
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理 2. 排列、组合的意义 3. 排列数、组合数计算公式 4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法， 在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法 …… 在第n类办法中有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法.
1 2 3 9 285
6、某城市的街区由12个全等的矩形区组成 其中实线表示马路，从A走到B的最短路 径有多少种？
C
3 7
35
B
A
四、课堂小结：
本节课，我们对有关排列组合的几种 常见的基本解法加以复习巩固．排列组合 历来是学习中的难点，通过我们平时做的 历届高考题，不难发现其应用题的特点是 条件隐晦，难以挖掘，题目多变，解法独 特，数字庞大，难以验证。同学们只有对 基本的几种解法熟练掌握，然后再本着先 分类再分步的原则，把复杂的问题简单化， 才能做到举一反三，触类旁通，进而为下 一章概率的学习打下坚实的基础。
②分步记数原理（乘法原理）： 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2 步有m2种不同的方法， …… 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N= m1× m2 ×···· mn种不同的方法. ·· ×
③两个原理的区别：
前者各种方法相互独立，用其中的任何 一种方法都可以完成这件事； 后者每个步骤相互依存，只有每个步骤 都完成了，这件事才算完成． 对前者的应用，如何分类是关键，如排 数时有0没有0，排位时的特殊位置等； 后者一般体现在先选后排．
三、课堂练习：
1.有编号为 1 至 5 的五台电脑，五名学生上 机实习，每人使用一台，其中学生甲必须用1 号电脑，那么不同上机方案的种数是（ B ）
A. P
4 5
B. P
4 4
C. C
4 5
D. C
4 4
2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有 3枪连在一起的情形的不同种数为 20 .
3.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙 各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务, 不同的选法共有多少种? 2520
B 一般地,n个不同元素作圆形排 A A B C D E C A 列,共有(n-1)!种排法.如果 从n个不同元素中取出m个元素 D m E 1 作圆形排列共有m An 种.
例4 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中 取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不 同的取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶 3 C5 数的取法有____,只含有1个偶数的取法 1 2 3 1 2 C5C5 C5C5+ C5 有_____,和为偶数的取法共有_________ 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 再淘汰和小于10的偶数共___________ 9 3 1 2 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 C5C5+ C5 -9=51 符合条件的取法共有___________ 反面,再从整体中淘汰.
二、例题选讲： 例1 学生要从六门课中选学两门：
（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种 选法？ （2）有两门特别的课，至少选学其中的一门， 有几种选法？
(1) 解法一： C C C 14 2 解法二： C 6 1 14
2 4 1 2 1 4
(2)解法一： C C C 9 2 2 解法二： C 6 C 4 9
引申：分成三组，一组5人，另两组各两人；
C C N C 378 2 A2
5 9 2 4 2 2
点评：局部均分无序问题易出错.
例3 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！
定理 2 :
C C
m n
m n1
nm n
m n
.
m1 n
C C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
A A
A A
3 5
1 4
（二）间接法
2 4 2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
3 9
9 9 3 3
点评：定序问题除法处理
⑷前排三人，中间三人，后排三人； 3 3 3 9 9 6 3 9
N A A A A
引申：前排一人，中间二人，后排六人；
点评：分排问题直排处理
⑸分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人；
N C C C 1260
4 9 3 5 2 2
A A A 60480
6 6 2 2 2 7
点评：小团体排列问题中，先整体后局部， 再结合不相邻问题的插空处理.
⑶甲、乙、丙从左到右排列；
A 6 N A9 60480 A
9 9 3 3
引申：有三人从左到右顺序一定；
A 3 6 分析：N C C9 A9 5080320 A