高考集合知识点总结与典型例题

集合
一．【课标要求】
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主。

预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体
三．【要点精讲】
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合
a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A
b∉；
记作A
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或
者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N ；
正整数集，记作N *或N +；
整数集，记作Z ；
有理数集，记作Q ；
实数集，记作R 。

2．集合的包含关系：
（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；
（2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；
（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集；
（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：
（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂
（2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃
（3）);()(B A B A ⋃⊆⋂
（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；
（5）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。

四．【典例解析】
题型1：集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 例1．已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和
{21,1,2,}N x x k k ==-=L 的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )
A. 3个
B. 2个
C. 1个
D. 无穷多个
解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{
}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 例2．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为
( ) A.0 B.1 C.2 D.4
题型2：集合的性质
例3．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为
( )
A.0
B.1
C.2
D.4
1.设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）
A ．{2}
B ．{3}
C ．{－3，2}
D ．{－2，3}
2. 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，则实数a 的取值范围为（ ）．
例4．已知全集32
{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由
题型3：集合的运算
例5已知函数1()2x f x x +=
-的定义域集合是A,函数22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++的定义域集合是B
（1）求集合A 、B （2）若A I B=B,求实数a 的取值范围．
例6．已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则N A C B =I ( )
A.}{1,5,7
B.}{
3,5,7 C.}{1,3,9 D.}{
1,2,3
题型4：图解法解集合问题
例7．（2009年广西北海九中训练）已知集合M=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=+149|22y x x ，N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+123|y x y ，则=N M I （ ）
A ．∅
B ．)}0,2(),0,3{(
C ．[]3,3-
D ．{}2,3
五．【思维总结】
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如∈、∉、⊆、、=、S C A 、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）
以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与⊆、a 与{a }、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ
③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2－1, 所有非空真子集的个数是22-n
④区分集合中元素的形式：
如}12|{2++==x x y x A ；
}12|{2++==x x y y B ；
}12|),{(2++==x x y y x C ；
}12|{2++==x x x x D ；
},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；
}12|)',{(2++==x x y y x F ；
},12|{2x
y z x x y z G =++==。

⑤空集是指不含任何元素的集合。

}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

⑥符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“,⊄Ø”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。