2018-2019学年甘肃省定西市安定区九年级(上)期末数学试卷试题及答案(解析版)

2018-2019学年甘肃省定西市安定区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．在平面直角坐标系中，点(3,5)P --关于原点对称的点的坐标是( ) A ．(3,5)-B ．(3,5)-C ．(3,5)D ．(3,5)--3．下列说法正确的是( )A ．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查B ．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件C ．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨D ．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是14．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2570m ．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是( )A ．(322)(20)570x x --=B ．322203220570x x +⨯=⨯-C ．(32)(20)3220570x x --=⨯-D ．2322202570x x x +⨯-=5．如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，32OAC ∠=︒，则B ∠的度数是()A ．58︒B ．60︒C ．64︒D ．68︒6．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆ 的三条中线的交点B ．ABC ∆ 三边的中垂线的交点 C ．ABC ∆ 三条角平分线的交点D ．ABC ∆ 三条高所在直线的交点7．据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，则( ) A ．(122.1%2)b a =+⨯ B ．2(122.1%)b a =+ C ．(122.1%)2b a =+⨯D ．22.1%2b a =⨯8．如图，A 过点(0,0)O ，C 0)，(0,1)D ，点B 是x 轴下方A 上的一点，连接BO ，BD ，则OBD ∠的度数是( )A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( )A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论： ①0abc <；②30a c +>；③420a b c ++>；④20a b +=；⑤24b ac >． 其中正确的结论的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程210210x x -+=的根，则三角形的周长为 ．12．如图，ABC ∆内接于O ，若32OAB ∠=︒，则C ∠= ︒．13．若关于x 的一元二次方程2(1)410k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是 ． 14．如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，把ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒后得到△AB C ''，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．16．某品牌手机两年内每台2500元降低到每台1600元，则这款手机平均每年降低的百分率为 ．17．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC =，2AB =，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则弧CD 的长等于 ．（结果保留)π18．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加 m ．三、解答题（共60分） 19．解方程：23510x x -+=20．已知抛物线23y x mx =-++与x 轴的一个交点(3,0)A ．求出这条抛物线与x 轴的另一个交点B 及与y 轴的交点C 的坐标．21．已知关于x 的一元二次方程22()210m m x mx --+=有两个不相等的实数根． （1）若m 为整数且3m <，求m 的取值；（2）若a 是（1）中方程的一个根，求代数式22212324a a a +--+的值． 22．（1）作Rt ABC ∆的外接圆P （不写作法，保留作图痕迹） （2）Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，8BC =，6AC =．求：P 的面积．23．已知抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示． （1）求b 、c 的值； （2）求y 的最大值；（3）写出当0y <时，x 的取值范围．24．（7分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．25．（7分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？26．（7分）如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C 时，另一边与圆两个交点A 和B 的读数恰好为“2”和“8”（单位：)cm 求该圆的半径．27．如图，AN 是M 的直径，//NB x 轴，AB 交M 于点C ． （1）若点(0,6)A ，(0,2)N ，30ABN ∠=︒，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M 的切线．28．（9分）如图已知抛物线23y ax bx =++的图象经过点A 、(1,0)B ，其对称轴为直线:2l x =，过点A 作//AC x 轴交抛物线于点C ，AOB ∠的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m ． （1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积并求出其最大值．2018-2019学年甘肃省定西市安定区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．2．在平面直角坐标系中，点(3,5)P--关于原点对称的点的坐标是() A．(3,5)---B．(3,5)-C．(3,5)D．(3,5)【解答】解：点(3,5)P--关于原点对称的点的坐标是(3,5)，故选：C．3．下列说法正确的是()A．调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查B．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是不可能事件C．天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天一定下雨D．小南抛掷两次硬币都是正面向上，说明抛掷硬币正面向上的概率是1【解答】解：A、调查某班学生的身高情况，适宜采用全面调查，此选项正确；B、篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中，这是随机事件，此选项错误；C、天气预报说明天的降水概率为95%，意味着明天下雨可能性较大，此选项错误；D、小南抛掷两次硬币都是正面向上，并不能说明每次抛出硬币一定向上，即抛掷硬币正面向上的概率不是1，此选项错误；故选：A ．4．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2570m ．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是( )A ．(322)(20)570x x --=B ．322203220570x x +⨯=⨯-C ．(32)(20)3220570x x --=⨯-D ．2322202570x x x +⨯-=【解答】解：设道路的宽为xm ，根据题意得：(322)(20)570x x --=， 故选：A ． 5．如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，32OAC ∠=︒，则B ∠的度数是()A ．58︒B ．60︒C ．64︒D ．68︒【解答】解：OA OC =，32C OAC ∴∠=∠=︒， BC 是直径，903258B ∴∠=︒-︒=︒，故选：A ．6．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆ 的三条中线的交点B ．ABC ∆ 三边的中垂线的交点 C ．ABC ∆ 三条角平分线的交点D ．ABC ∆ 三条高所在直线的交点【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择ABC ∆三条角平分线的交点．故选：C ．7．据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，则( ) A ．(122.1%2)b a =+⨯ B ．2(122.1%)b a =+ C ．(122.1%)2b a =+⨯D ．22.1%2b a =⨯【解答】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，所以2(122.1%)b a =+．故选：B ．8．如图，A 过点(0,0)O ，C 0)，(0,1)D ，点B 是x 轴下方A 上的一点，连接BO ，BD ，则OBD ∠的度数是( )A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【解答】解：连接DC ，(3C ，0)，(0,1)D ，90DOC ∴∠=︒，1OD =，OC =，30DCO ∴∠=︒， 30OBD ∴∠=︒，故选：B ．9．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( )A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人【解答】解：设参加酒会的人数为x 人， 根据题意得：1(1)552x x -=，整理，得：21100x x --=，解得：111x =，210x =-（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故选：C ．10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论： ①0abc <；②30a c +>；③420a b c ++>；④20a b +=；⑤24b ac >． 其中正确的结论的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：开口向下，则0a <，与y 轴交于正半轴，则0c >，02b a->， 0b ∴>，则0abc <，①正确；12b a-=， 则2b a =-，0a b c -+<，30a c ∴+<，②错误；0x =时，0y >，对称轴是1x =，∴当2x =时，0y >，420a b c ∴++>，③正确； 2b a =-，20a b ∴+=，④正确；240b ac ∴->，24b ac ∴>，⑤正确．故选：C ．二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程210210x x -+=的根，则三角形的周长为 16 ．【解答】解：解方程210210x x -+=得13x =、27x =，3<第三边的边长9<，∴第三边的边长为7．∴这个三角形的周长是36716++=．故答案为：16．12．如图，ABC ∆内接于O ，若32OAB ∠=︒，则C ∠= 58 ︒．【解答】解：如图，连接OB ，OA OB =，AOB ∴∆是等腰三角形，OAB OBA ∴∠=∠，32OAB ∠=︒，32OAB OBA ∴∠=∠=︒，116AOB ∴∠=︒，58C ∴∠=︒．故答案为58．13．若关于x 的一元二次方程2(1)410k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是 5k …且1k ≠ ．【解答】解：一元二次方程2(1)410k x x -++=有实数根，10k ∴-≠，且24164(1)0b ac k -=--…， 解得：5k …且1k ≠，故答案为：5k …且1k ≠．14．如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 2π ．【解答】解：六边形的内角和(62)180720=-⨯︒=︒， 阴影面积272012360ππ=⨯=． 故答案为：2π．15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，把ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒后得到△AB C ''，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 2．【解答】解：ABC ∆是等腰直角三角形，45BAC ∴∠=︒，AB ==ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒后得到△AB C '，45BAB CAC ∴∠'=∠'=︒，∴点B '、C 、A 共线，∴线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积AB C ABC BAB CAC S S S S '∆''=+--扇形扇形BAB CAC S S ''=-扇形扇形 2245(22)452360ππ=- 12π=． 故答案为12π． 16．某品牌手机两年内每台2500元降低到每台1600元，则这款手机平均每年降低的百分率为 20% ．【解答】解：设降价的百分率为x ，由题意得22500(1)1600x -=，解得10.2x =，2 1.8x =-（舍)．所以平均每次降价的百分率为20%．故答案为：20%．17．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC =，2AB =，以点A 为圆心、AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则弧CD 的长等于 3 ．（结果保留)π【解答】解：90ACB ∠=︒，1AC =，2AB =，30ABC ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，又1AC =，∴弧CD 的长为6011803ππ⨯⨯=， 故答案为：3π．18．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加4)- m ．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，122OA OB AB ===米，抛物线顶点C 坐标为(0,2)， 通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过将A 点坐标(2,0)-代入抛物线解析式可得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出：220.52x -=-+，解得：x =±，所以水面宽度增加到4)-米，故答案为：4-．三、解答题（共60分）19．解方程：23510x x -+=【解答】解：由求根公式有x ==，∴1x =，2x =． 20．已知抛物线23y x mx =-++与x 轴的一个交点(3,0)A ．求出这条抛物线与x 轴的另一个交点B 及与y 轴的交点C 的坐标．【解答】解：因为(3,0)A 在抛物线23y x mx =-++上，则9330m -++=，解得2m =．所以抛物线的解析式为223y x x =-++．因为B 点为抛物线与x 轴的交点，求得(1,0)B -，因为C 点为抛物线与y 轴的交点，求得(0,3)C ．21．已知关于x 的一元二次方程22()210m m x mx --+=有两个不相等的实数根．（1）若m 为整数且3m <，求m 的取值；（2）若a 是（1）中方程的一个根，求代数式22212324a a a +--+的值． 【解答】解：（1）由题意有：222044()0m m m m m ⎧-≠⎨-->⎩， 解得0m >且1m ≠． m 为整数且3m <，2m ∴=．故m 的取值是2；（2）由（1）可得2m =，则22410a a -+=，则2241a a =-， 则22214112324132144a a a a a a +-+--+=---+=． 22．（1）作Rt ABC ∆的外接圆P （不写作法，保留作图痕迹）（2）Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，8BC =，6AC =．求：P 的面积．【解答】解：（1）Rt ABC ∆的外接圆P 如图所示：（2）在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，10AB ∴==，P ∴的面积25π=．23．已知抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示．（1）求b 、c 的值；（2）求y 的最大值；（3）写出当0y <时，x 的取值范围．【解答】解：（1）由函数的图象可知3c =，把(1,0)代入2y x bx c =-+-得，2b =-， 所以2b =-，3c =-；（2）由（1）可知223y x x =--+，2(1)4y x ∴=-++，∴直线1x =-，4y =；（3）由图象知，抛物线与x轴交于(1,0)，对称轴为1x=-，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3,0)-，y<时，函数的图象位于x轴的下方，1x∴>或3x<-．24．（7分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．【解答】解：（1）画树状图得：共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，P∴（和小于31 4)124==，∴小颖参加比赛的概率为：14；（2）不公平，P（小颖）14 =，P（小亮）34 =．P∴（和小于4)P≠（和大于等于4)，∴游戏不公平；可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛．25．（7分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）．（1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期盆景有(50)x +盆，花卉有(50)x -盆，所以21(50)(1602)2608000W x x x x =+-=-++，219(50)19950W x x =-=-+；（2）根据题意，得：12W W W =+2260800019950x x x =-++-+22418950x x =-++241732812()48x =--+， 20-<，且x 为整数，∴当10x =时，W 取得最大值，最大值为9160，答：当10x =时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是9160元．26．（7分）如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C 时，另一边与圆两个交点A 和B 的读数恰好为“2”和“8”（单位：)cm 求该圆的半径．【解答】解：作OE 垂直AB 于E ，交O 于D ， 设OB r =，826AB cm =-=，OE AB ⊥，116322BE AB cm ∴==⨯=， 22(2)9r r ∴-+=，解得134r =， ∴该圆的半径为134cm ．27．如图，AN 是M 的直径，//NB x 轴，AB 交M 于点C ．（1）若点(0,6)A ，(0,2)N ，30ABN ∠=︒，求点B 的坐标；（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是M 的切线．【解答】解：（1）A 的坐标为(0,6)，(0,2)N ， 4AN ∴=，30ABN ∠=︒，90ANB ∠=︒，28AB AN ∴==，∴由勾股定理可知：NB =B ∴2)．（2）连接MC ，NC AN 是M 的直径，90ACN ∴∠=︒，90NCB ∴∠=︒，在Rt NCB ∆中，D 为NB 的中点，12CD NB ND ∴==， CND NCD ∴∠=∠，MC MN =，MCN MNC ∴∠=∠，90MNC CND ∠+∠=︒，90MCN NCD ∴∠+∠=︒，即MC CD ⊥．∴直线CD 是M 的切线．28．（9分）如图已知抛物线23y ax bx =++的图象经过点A 、(1,0)B ，其对称轴为直线:2l x =，过点A 作//AC x 轴交抛物线于点C ，AOB ∠的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积并求出其最大值．【解答】解：（1）如图1，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ， 由对称性得：(3,0)D ，设抛物线的解析式为：(1)(3)y a x x =--，把(0,3)A 代入得：33a =，1a =，∴抛物线的解析式；243y x x =-+；（2）如图，AOE ∆的面积是定值，所以当OEP ∆面积最大时，四边形AOPE 面积最大， 设2(,43)P m m m -+， OE 平分AOB ∠，90AOB ∠=︒，45AOE ∴∠=︒，AOE ∴∆是等腰直角三角形，3AE OA ∴==，(3,3)E ∴，易得OE 的解析式为：y x =，过P 作//PG y 轴，交OE 于点G ，(,)G m m ∴，22(43)53PG m m m m m ∴=--+=-+-，AOE POE AOPE S S S ∆∆∴=+四边形，113322PG AE =⨯⨯+， 2913(53)22m m =+⨯⨯-+-， 223153575()22228m m m =-+=--+，32-<，∴当52m=时，S有最大值是758．。