17.4.2欧拉公式

i

i

i

i

电学中，常用r 来表示模为r、辐角为的复数． 我们将复数的这种形式叫做复数的极坐标形式， 即： r r (cos i sin ) rei 显然，我们有： r11 r22 r1r2(1 2 ) r1 r11 r22 (1 2 ) (r22 0) r 2 n n (r ) r n
i

10 (2)10e 5e = e 5
i 2 i 4 i


i( ) 2 4
来自百度文库
2e 4
i
i

(3)( 2e 8 )4 = ( 2)4 e

i4

8
4e 2

计算并将结果化成代数形式：
i
(1)e 3e ；(2) 6e 3e ；(3)(2e ) .
4 2 3 6 6 3

复数及其应用
§16.4.2欧拉公式
复数的三角形式 z r (cos i sin )
z1 z2 r1r2 [cos(1 2 ) isin(1 2 )
复数的积的模等于模的积， 复数的积的辐角等于辐角的和．
z2 r2 [cos( 2 1 ) i sin( 2 1 )] z1 r1
将下列复数化成三角形式和代数形式： (1) 2e ；(2)3e 6；(3)10e 2 .
i i

i

解： (1) 2ei = 2(cos isin ) 2(1 i 0) 2 i 3 1 3 3 3 6 3(cos isin ) 3( i ) i (2)3e = 6 6 2 2 2 2 i 2 10(cos isin ) 10(0 i 1) 10i (3)10e = 2 2
复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的差．
z [r (cos isin )] r (cos n isin n )
n n n
复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
我们已学习了复数的代数形式 与三角形式，
复数还有表示形式—指数形式. 欧拉在棣莫弗的基础上，创造 性地给出了如下欧拉公式： 欧拉 Leonhard Euler cos i sin ei . 1707—1783 于是，有 瑞士数学家 力学家 i r (cos isin ) re . 天文学家 这种形式叫做复数的指数形式． 物理学家 变分法的奠基人 流体力学创始人 ……
这些其实与复数的三角形式得到的结论一致， 但运算要方便得多．
i1 i 2
计算： (1) 2e 12 3e 6； (2)10e 2 5e 4； (3)( 2e 8 ) 4 . (1) 2e 3e 2 3e 解：
12 6 i
i

i

i

i

i


i

i(
) 12 6

6e 4
将下列复数化成三角形式和代数形式： (1)e 4；(2)3e 3；(3) 5e
i

i

i
3 4
.
设 z rei， 则 z1 z2 r1e r2e r1r2ei(1 2 ) . i1 z1 r1e r1 i(1 2 ) i 2 e . z2 r2 e r2 z n (rei )n r n ei n .
i
计算( 3e 2 )2 并将结果化成极坐标形式和代数形式．

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