等差数列前n项和基础练习题
等差数列的前n项和公式同步练习(含解析)
《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。
巩固练习_提高_等差数列及其前n项和
【巩固练习】一、选择题1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )A ．5B ．4C ．3D ．22．已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，172a -,3，则该数列中第一次出现负值的项为( ) A ．第9项B ．第10项C ．第11项D ．第12项 3.已知{a n }是等差数列，a 3＋a 11＝40，则a 6－a 7＋a 8等于( ) A ．20B ．48C ．60D ．72 4. 等差数列{a n }中，a 1＝8，a 5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是( ) A.34B ．34-C ．67-D ．－1 5.(2015 新课标Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=（ ） A ． 172 B ．192C ．10D ．12 6. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且7453n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 8．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则1212a ab b --＝________. 9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.10.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝________.11.（2016 南通模拟）等差数列{}n a 中，1583,115a a a =-=，则其前n 项和n S 的最小值为 。
等差数列求和基础题
等差数列求和基础题一．选择题1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S = A.16 B.24 C.36 D.422. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A.8B.7C.6D.93. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于 A.3 B.5 C.8 D.154. 已知等差数列{a n }前n 项的和为S n , 233=a , S 3=9，则a 1= A.23 B.29C.-3D.6 5. 已知等差数列{}n a 中,256,15a a ==,若2n n b a =,则数列{}n b 的前5项和为 A. 90 B. 45 C. 30 D. 1866. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若119717,170a a a S ++=则的值为 A.10 B.20 C.25 D.307. 设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n . 若a 1= -11,a 4+a 6= -6 ,则当S n 取最小值时，n 等于 A.6 B. 7 C.8 D.98. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于 A.10 B.12 C.15 D.309. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = A.138 B.135 C.95 D.2310. 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d = A.2 B.3 C.6 D.711. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于A.30B.45C.90D.18612. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5 = S 9，则a 3:a 5 = A.5:9 B.9:5 C.3:5 D.5:3 13. 在等差数列}{n a 中，已知S 3=9，S 9=54，则}{n a 的通项n a 为 A.33-=n a n B.n a n 3= C.2+=n a n D.1+=n a n 14. 若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于 A.3 B.4 C.5 D.615. 等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，其前n 项和100n S =，则n = A.9 B.10 C.11 D.1216. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若等于则442,10,2S S S == A.12B.18C.24D.4217. 已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = Ａ.23-Ｂ.13- Ｃ.13 Ｄ.2318. 在等差数列｛a n ｝中，若a 4+a 6 =12, S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S 9的值为 A.48 B.54 C.60 D.6619. 一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于 A.22 B.21 C.19 D.1820. 已知数列{a n }的通项公式是a n =2n –49 (n ∈N )，那么数列{a n }的前n 项和S n 达到最小值时的n 的值是 A.23 B.24 C.25 D.2621. 已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于 A.18 B.27 C.36 D.45 22. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4= A.8B.7C.6D.523. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且38S S =，7k S S =，则k 的值为 A.4B.11C.2D.1224. 等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项的和S 9等于 A.66 B.99 C.144 D.297 25. 等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于 A.－1221B.－21.5C.－20.5D.－2026. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值为 A.95 B.100 C.115 D.12527. 在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为 A.80- B.76- C.75- D.74-28. 等差数列{a n }中，若a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450 则前9项和S 9=A.1620B.810C.900D.67529. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于 A.144 B.72 C.54 D.36 30. 在等差数列{a n }中，前n 项和S n =36n －n 2，则S n 中最大的是 A.S 1 B.S 9 C.S 17 D.S 1831. 将含有k 项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差 数列所有项的和为781，则k 的值为A.20B.21C..22D.2432. 设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列 {}n a 的前n 项和，则 A.S 4<S 3 B.S 4==S 2 C.S 6<S 3 D.S 6=S 333. 已知等差数列前n 项和为S n ，若S 15<0,S 14>0,则此数列中绝对值最小的项为 A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 34. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知20092007120102010,2,20092007S S a S =--==则 A.2008- B.2008 C.2010- D.201035. 已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值为 A.130 B.260 C.156 D.16836. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424a a -=，39S =,则数列{}n a 的通项公 式为A.n a n =B.2n a n =+C.21n a n =-D.21n a n =+37. 等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于 A.297 B.144 C.99D.6638. 等差数列{}n a 的前n 项和)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n 当首项1a 和公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则下列各数中为定值的是A. 15SB. 16SC.17SD.18S39. 在公差为2的等差数列{}n a 中，如果前17项和为1734S =，那么12a 的值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 840. 已知等差数列30,240,18,}{49===-n n n n a S S S n a 若项和为的前，则n 的值为 A.18B.17C.16D.1541. 已知等差数列854,18,}{S a a S n a n n 则若项和为的前-== A.18 B.36 C.54 D.72 42. 设函数()f x =，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算(4)(3)...(0)(1)...(4)(5)f f f f f f -+-++++++的值为A.2 B. 2 C.2 D. 243. 在等差数列｛a n ｝中，,3321=++a a a 165302928=++a a a ，则此数列前30项和等于 A.810 B.840 C.870 D.90044. 设数列}{n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 A.1 B.2 C.4 D.645. 已知等差数列{}n a 的公差0<d ，若10,248264=+=⋅a a a a ，则该数列的前n 项和n S 的最大值为 A.50 B.45 C.40 D.3546. 等差数列{}n a 中，11a =,3514a a +=，其前n 项和100n S =,则n = A.9 B.10 C.11 D.1247. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是A.4013B. 4014C. 4015D. 401648. 设数列{n a }是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{n a }的前n 项和，则A.S 4<S 5B.S 4=S 5C.S 6<S 5D.S 6=S 549. 已知等差数列{}n a 的通项公式()211,2,3n a n n =-=，，记11T a =，1121122,,n n n n n n T a n T T a a n -+-++⎧⎪=⎨++⎪⎩为奇数,为偶数（2,3,n =），那么2n T =A.21n+ B.1162n - C.25 436n n n n ⎧⎨-+≠⎩，=1，，1D.232n n + 50. 已知数列2),1(2,}{a a S S n a n n n n 则且项和为的前-=等于A.4B.2C.1D.—251. 等差数列1062,}{a a a S n a n n ++若项和为的前为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是A.S 6B.S 11C.S 12D.S 1352. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S 则=126S SA.310 B.13 C.81 D.9153. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9S =18，n S =240，4n a -=30，则n 的值为 A.18 B.17 C.16 D.15 54. 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = A.12 B.13 C.14 D.1555. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于 A.64B.100C.110D.12056. 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是 A.3 B.4 C.5 D.657. 数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若509741=+++a a a ，则=++++99963a a a a A.－182 B.－82 C.－148 D.－7858. 设A ．B ．C 三点共线（该直线不过原点O ），数列{a n }是等差数列，S n 是该数列的前n 项和=a 1+a 200，则S 200=A.200B.100C.50D.30059. 一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 A.14 B.16 C.18D.2060. 等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0, S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点（n, S n ）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是61. 已知等差数列{a n }前n 项和S n 有最大值且11011-<a a ，当S n 是最小正数时，n = A.17 B.18 C.19 D.20 62. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S = A.16B.24C.36D.4863. 设|a n |是等差数列，若a 2=3,a 7=13,则数列{a n }前8项的和为 A.128 B.80 C.64 D.5664. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 20043+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 2006 ＝A.1003B. 1004C. 2006D.2007 65. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1697=+a a ，77=S ，则12a 的值是 A.15 B.30 C.31 D.6466. 已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1+b 1=5，a 1、b 1∈N *，设C n =a b （n ∈N *），则数列{C n }前10项和等于A.55B.70C.85D.10067. 已知,)1()1()1(22102nn nx a x a x a a x x x ++++=++++++ 若 ++21a an a n -=+-291，那么自然数n 的值为A. 3B.4C.5D.668. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，m ∈N*，且21121,38m m m m a a a S -+-+==，则m 等于A.11B.10C.9D.869. 已知等差数列{a n }中, S n 是它的前n 项和，若S 16>0, S 17<0, 则当S n 取最大值时，n 的值为 A.16 B.9 C.8 D.10 70. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是A.2B.3C.4D.571. 设数列}{n a 是等差数列，且n S a a ,6,673=-=是数列}{n a 的前n 项和，则 A.54S S =B.56S S =C.64S S >D.56S S <72. 已知数列{－2n+25}，其前n 项和S n 达到最大值时，n 为A.10B.11C.12D.1373. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,其首项10a >,991000a a +>,991000a a ⋅<,则使0n S >成立的最大自然数n 是A.198B.199C.200D.20174. 设等差数列{}n a 满足81335a a =.且10a >.n S 为其前n 项之和.则n S 中最大的是 A.10S B.11S C.20S D.21S 75. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＋a 4＋a 7＋a 15＝40，则S 13的值为 A.20 B.65C.130D.26076. 等差数列{}n a 的通项公式是12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前10项和为A.75B.70C .120 D.10077. 在等差数列}{n a 中，若30,240,1849===-n n a S S ，则n 的值为 A.14B.15C.16D.1778. 在等差数列{}n a 中，若C a a a =++1383，则其前n 项和n S 的值等于5C 的是 A.15S B.17S C.8S D.7S79. 设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于 Ａ.12Ｂ.24Ｃ.36Ｄ.4880. {}n a 是等差数列，10110,0S S ><，则使n a <0的最小的n 值是 A.5 B.6 C.7 D.881. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则19S 的值是 A.55 B.95 C.100 D.不能确定 82. 在等差数列{a n }中，a 1>0,且3a 8=5a 13,则S n 中最大的是 A.S 21B.S 20C.S 11D.S 1083. 设S n 是等差数列前n 项的和，若9535=a a ,则59S S等于 A.1 B.－1 C.2D.2184. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为 A.180B.－180C.90D.－9085. 若{a n }是等差数列，首项a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 A.4005B.4006C.4007D.400886. 已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝ A.100 B.210 C.380 D.400 87. 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝A .310 B.13 C.18 D .1988. 设等差数列｛a ｝的前n 项的和为S n ，若a 1＞0，S 4=S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.889. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝A.100B. 101C.200D.201 90. 已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为 A.25 B.50 C.100 D.不存在91. 若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数 的是 A.S 17 B.S 15 C.S 8 D.S 792. 在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为 A.S 17B.S 18C.S 19D.S 2093. 等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 A.S 7B.S 8C.S 13D.S 1594. 在等差数列{ a n }中，S 4 =1, S 8 =4,则a 17 + a 18 + a 19+ a 20 的值是 A ．7 B ．8 C ．9 D ．1095. 设a 1, a 2, a 3,……和b 1, b 2, b 3,……都是等差数列，且a 1=25, b 1=75,a 100＋b 100=100,则数列a 1＋b 1, a 2＋b 2,……的前100项的和是A.0B.100C.10000D.不确定96. 等差数列{a n }中，若前15项的和S 15=90，则a 8等于97. 已知S k 表示数列{a k }前k 项和,且S k + S k+1 = a k +1 (k ∈N*),那么此数列是 A ．递增数列 B ． 递减数列 C ．常数列 D ． 摆动数列 98. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若31a a =95,则59S S等于 A.-1 B.21C.1D.2 99. 等差数列{a n }中，a n -4=30,且前9项的和S 9=18，前n 项和为S n =240,则n 等于 A.15B.16C.17D.18100. 等差数列{a n }中，若a 10=10,a 19=100,前n 项和S n =0,则n 等于 A.7B.9C.17D.19参考答案（仅供参考） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D C A B A D A C C B C B D A B 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30C D B D B C D A B C A C BB D3132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 AB C C A C C A D D D B B B B 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B B B D A B A D B B B B B C C 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 C D C A A C B B C D A C A C C 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 8889 90 A B A B B B B A A B B A BA A 919293949596979899100B C C C C A C C A C。
(完整版)等差数列的前n项和练习含答案
课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。
人教版高二数学《等差数列的前n项和公式》练习含答案解析
4．2.2 第一课时 等差数列的前n项和公式[A级 基础巩固]1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )A．49 B．42C．35 D．28解析：选B 2a6－a8＝a4＝6，S7＝72(a1＋a7)＝7a4＝42.2．已知数列{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )A．4 D．1 4C．－4 D．－1 4解析：选A 由S5＝5(a1＋a5)2＝5×2a32＝55，解得a3＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝15－114－3＝4.故选A.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663解析：选B ∵a1＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋12×14×13×7＝665.4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( )A．1 B．－1C．2 D．1 2解析：选A S9S5＝92(a1＋a9)52(a1＋a5)＝92·2a552·2a3＝9a55a3＝95·a5a3＝1.5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A．9 B．10C．19 D．29解析：选B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．6．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝1 2 .答案：1 27．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________．解析：由a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，可知数列{a n}是首项为1，公差为12的等差数列，故S9＝9a1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27.答案：27n＝11．已知命题：“在等差数列{a n}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A．15 B．24C．18 D．28解析：选C 设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，即6a1＋(n＋12)d＝24.又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以n＋126＝5，解得n＝18.12．(多选)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝a4，则( ) A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0 C．S3＝S4 D．S4＝S5解析：选BC 由S7＝7(a1＋a7)2＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.13．在等差数列{a n}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且a m－a1＝14，则m＝________，a100＝________.解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{a n}的公差为d，则S奇－S偶＝2a1＋(m－1)d2＝72－63＝9.又∵a m＝a1＋d(m－1)，∴a1＋a m2＝9，∵a m－a1＝14，∴a1＝2，a m＝16.∵m(a1＋a m)2＝135，∴m＝15，∴d＝14m－1＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.答案：15 10114．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.[C级 拓展探究]15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．解：由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得Error!(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且23≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67×662×12＝27 135.。
等差数列及其前n项和专题练习(含参考答案)资料
等差数列及其前n项和专题练习(含参考答案)数学27 等差数列及其前n 项和一、选择题1．数列{2n －1}的前10项的和是( C )A ．120B ．110C ．100D ．10[解析] ∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(1＋19)×102＝100.故选C ． 2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金缍，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”( D )A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤[解析] 设这根金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列{a n }，由已知得a 1＝4，a 5＝2，求a 2＋a 3＋a 4，∵a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3×a 1＋a 52＝9，故选D ． 3．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( C )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] ∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2，故选C ．4．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1008＋a 2014＝( B )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] 因为a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2015＝10.由等差数列的性质可知，a 1008＝a 1＋a 20152＝5，a 2＋a 2014＝a 1＋a 2015＝10，所以a 2＋a 1008＋a 2014＝10＋5＝15.故选B ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( D )A ．20B ．40C ．60D ．80[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D ．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列{S n n}的前11项和为( D ) A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66[解析] ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列{S n n}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列{S n n }的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D ． 7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( B )A ．1升B ．6766升C ．4744升 D ．3733升 [解析] 设该等差数列为{a n }，公差为d ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝1322＋4×766＝6766.故选B ．8．等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大的正整数n 的值是( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 由dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]得，d <0且9d ＋2a 1＝0，∴a 1＝－92d ，S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝d 2n 2－5dn ＝d 2(n 2－10n )，当n ＝5时，S n 取得最大值，故选B ． 二、填空题9．中位数为1011的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__3___．[解析] 设首项为a 1，则a 1＋2019＝2×1011，解得a 1＝3.故填3．10．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ 14 ． [解析] 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14． 11．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝__14___．[解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 7＝a 3＋4d ＝8，又a 3＝a 1＋2d ，∴a 1＝－4，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×(－4＋8)2＝14． 解法二：设数列{a n }的公差为d ，则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2．∴S 7＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝14．12．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为__9___．[解析] 解法一：∵S 4＝1，S 8＝4，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成首项为1，公差为2的等差数列，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝1＋2×(5－1)＝9．解法二：由等差数列的性质知{S n n }是等差数列，且其公差d ＝S 88－S 448－4＝12－144＝116 ∴S 2020＝S 88＋12d ＝12＋34＝54，∴S 20＝25，同理S 16＝16，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9．三、解答题13．设{a n }是等差数列，且a 1＝ln2，a 2＋a 3＝5ln2．(1)求{a n }的通项公式；(2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n ．[解析] (1)设{a n }的公差为d ．因为a 2＋a 3＝5ln2，所以2a 1＋3d ＝5ln2．又a 1＝ln2，所以d ＝ln2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln2．(2)因为e a 1＝e ln2＝2，e a n e a n －1＝e a n －a n －1＝e ln2＝2， 所以{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×(1－2n )1－2＝2(2n －1)． 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15．(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15．由a 1＝－7得d ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9．(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16．[方法总结] 求等差数列前n 项和S n 的最值的方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m≥0，a m＋1≤0的项数m使得S n取得最大值，为S m(当a m＋1＝0时，S m＋1也为最大值)；②当a1<0，d>0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m≤0，a m＋1≥0的项数m使得S n取得最小值，为S m(当a m＋1＝0时，S m＋1也为最小值)．1．已知{1a n}是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝(A)A．－45B．－54C．413D．134[解析]由题意，得1a1＝1，1a4＝14，所以等差数列{1a n}的公差为d＝1a4－1a13＝－14，由此可得1a n＝1＋(n－1)×(－14)＝－n4＋54，因此1a10＝－54，所以a10＝－45.故选A．2．(理)(2018·湖北咸宁联考)等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S5＝10，则{a n}的公差为(C)A．23B．12C．13D．14[解析]由题意知a1＋a2＝3①，S5＝5(a1＋a5)2＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝13，故选C．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(D)A．18B．12C．9D．6[解析]由题意得S11＝11(a1＋a11)2＝11(2a1＋10d)2＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D ．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( C )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5.故选C ． 5． (河南省信阳高中、商丘一中2019届高三上学期第一次联考(1月)数学试题)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n ． [解析] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时a 1＝S 1＝11，符合上式，所以a n ＝6n ＋5， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4d ＝3， 所以b n ＝3n ＋1．(2)由(1)得c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1， T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差T n ＝3n ·2n ＋2．。
等差数列基础练习题 百度文库
【分析】
首先根据数列的通项 与 的关系，得到 ， ， ，再根据选项，代入前 项和公式，计算结果.
【详解】
由 得， ， ， .
又 ，
，
.
故选:C.
【点睛】
关键点睛：本题的第一个关键是根据公式 ，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负.
14．B
【分析】
对于C，数列 中的项列举出来是， ， ， ， ， ， ，
数列 中的项列举出来是， ， ， ， ，
，将这k个式子累加得 ， ， ， k为常数 是等方差数列，故C正确；
对于D， 是等差数列， ，则设
是等方差数列， 是常数，故 ，故 ，所以 ， 是常数，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
16．C
【分析】
根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.
【详解】
在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，
则 ，则 ，
则这5个数依次是5，9，13，17，21.
故选：C
17．A
【分析】
由 和 求出公差 ，再根据 可求得结果.
【详解】
设公差为 ，则 ，
所以 .
故选：A
18．D
【分析】
由 得到 ，再分n为奇数和偶数得到 ， ，然后再联立递推逐项判断.
【详解】
根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m， ，则有
则有 ，则 ，所以
解得 ，因为年龄为整数，所以 .
故选：D
8．B
【分析】
根据已知条件判断 时对应的 的范围，由此求得 的最大值.
等差数列及其前n项和 测试题 练习题
等差数列及其前n 项和 测试题A 级 基础题1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝________.2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为________．3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________.4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是________．6．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．8．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．9．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2(n ≥2，n为正整数)，a 1＝12.(1)令b n ＝2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围．10．已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，且a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值；(2)记b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，问是否存在一个实数t ，使数列{b n }是等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．B 级 创新题1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为________．2．数列{a n }是等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n取得最小正值时，n ＝________.3．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝________.4．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n－1(n ∈N *)，且⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n 为等差数列，则λ的值是________．5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i ＋j ＝k ＋l 时，都有a i ＋b j ＝a k ＋b l ，则12 010∑i ＝12 010(a i ＋b i )的值是________．6．已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________.7．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．8．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设c n ＝(2)b n ，试问数列{c n }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．参考答案 A 组1. 解析 设公差为d .则d ＝a 3－a 2＝2. ∴a 1＝0，a n ＝2n －2∴a 10＝2×10－2＝18. 答案 182. 解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22.答案 223. 解析 因为a 1＞0，S 4＝S 9，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，所以⎩⎨⎧a 6＞0，a 8＜0，从而当n ＝6或7时S n 取最大值． 答案 6或74. 解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27， ∴3a 4＝39,3a 6＝27， ∴a 4＝13，a 6＝9.∴a 6－a 4＝2d ＝9－13＝－4， ∴d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝13－2＝11， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝99.答案 995. 解析 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则由⎩⎨⎧ 1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，解⎩⎨⎧1≤a 1＋4d ≤4，2≤a 1＋5d ≤3，所以S 6＝6a 1＋15d ＝15(a 1＋4d )－9(a 1＋5d )∈[－12,42]． 答案 [－12,42]6. 解析 由15＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，得a 2＝5.所以⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16.又公差d ＞0，所以⎩⎨⎧a 1＝2，a 3＝8.所以d ＝3.所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝3(2＋33)＝3×35＝105. 答案 1057. 解析 因为a 7＝S 7－S 6＝2×72＋7p －2×62－6p ＝26＋p ＝11，所以p ＝－15，S n ＝2n 2－15n ，a n ＝S n －S n －1＝4n －17(n ≥2)，当n ＝1时也满足．于是由a k ＋a k ＋1＝8k －30＞12，得k ＞214＞5.又k ∈N *，所以k ≥6，即k min ＝6.答案 68. 思路分析 第(1)问建立首项a 1与公差d 的方程组求解；第(2)问建立首项a 1与公差d 的方程，利用完全平方公式求范围． 解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8， 所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.9. (1)证明 由2S n ＝S n －1－⎝ ⎛⎪⎫12n －1＋2，得2S n ＋1＝S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2，两式相减，得2a n ＋1＝a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，所以{b n }是公差为1的等差数列．又b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝n,2n a n ＝n ，从而a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . (2)解 由条件得S n ＋a n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S n ＝2－(n ＋2)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，又S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋1＞0，所以数列{S n }在n ∈N *单调递增，所以S n ≥S 1＝12，又S n ＜2.故S n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2. 10. 解 (1)由a 3＝27，得2a 2＋23＋1＝27，所以a 2＝9. 又由2a 1＋22＋1＝9，得a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得数列{b n }是等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，即2×12n (a n ＋t )＝12n －1a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，即4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，所以4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋t ＋1，所以t ＝1.故存在t ＝1，使得数列{b n }是等差数列． B 组1. 解析 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.答案942. 解析 由题意，可知数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以公差小于零，故a 11＜a 10，又因为a 11a 10＜－1，所以a 10＞0，a 11＜－a 10，由等差数列的性质有a 11＋a 10＝a 1＋a 20＜0，a 10＋a 10＝a 1＋a 19＞0，所以S n 取得最小正值时n ＝19. 答案 193. 解析 a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝2(a 11＋a 12)2(b 11＋b 12)＝a 1＋a 22b 1＋b 22＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝315.答案3154. 解析 由a n ＋1＝2a n ＋2n －1，可得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12－12n ＋1，则a n ＋1＋λ2n ＋1－a n ＋λ2n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2－λ2＋＝12－12＋－λ2＋＝12－λ＋12＋，当λ的值是－1时，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12是公差为12的等差数列． 答案 －15. 解析 由题意得a 1＋b 2 010＝a 2＋b 2 009＝a 3＋b 2 008＝…＝a 2 009＋b 2＝a 2 010＋b 1. 所以∑i ＝12 010(a i ＋b i )＝2 010(a 1＋b 2 010)故12 010∑i ＝12 010(a i ＋b i )＝12 010×2 010(a 1＋b 2 010) ＝a 1＋b 2 010. 下面求b 2 010.令i ＝1，j ＝n ，k ＝2，l ＝n －1，即a 1＋b n ＝a 2＋b n －1，则b n －b n －1＝a 2－a 1＝1，所以{a n }是以b 1＝2为首项，以d ＝1为公差的等差数列， 所以b 2 010＝2＋(2 010－1)＝2 011. 所以a 1＋b 2 010＝1＋2 011＝2 012. 答案 2 0126. 解析 由a n ＋1＝f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2a n ＋2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n2n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n2n ＝n ，a n ＝n ·2n .答案 n ·2n7. 解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0， 则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S n n ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．8. (1)证明 因为b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n2a n －1－22a n －1＝2(n ∈N *)，且b 1＝22×1－1＝2 所以，数列{b n }以2为首项，2为公差的是等差数列．(2)解 由(1)得c n ＝(2)b n ＝2n ，假设{c n }中存在三项c m ，c n ，c p (其中m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则2·2n ＝2m ＋2p ，所以2n ＋1＝2m ＋2p,2n －m ＋1＝1＋2p －m.因为m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N *，所以n －m ＋1，p －m ∈N *，从而2n－m ＋1为偶数，1＋2p －m 为奇数，所以2n －m ＋1与1＋2p －m 不可能相等， 所以数列{c n }中不存在可以构成等差数列的三项．。
等差数列前N项和测试训练题(含答案)
等差数列前N项和测试题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020高一下·太和期末）一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（）A. 30B. 31C. 32D. 332.（2020高一下·太和期末）等差数列的前n项和为，且，则（）A. 8B. 9C. 10D. 113.（2020高一下·温州期末）等差数列中，，，是数列的前n项和，则（）A. B. C. D.4.数列中，已知且则（）A. 19B. 21C. 99D. 1015.（2020高一下·七台河期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项的和为（）A. -24B. 3C. 8D. 116.（2020高一下·七台河期末）已知是公差为1的等差数列，为的前n项和.若，则（）A. 10B. 12C.D.7.（2020高一下·鹤岗期末）设为等差数列的前n项和，若，，则（）A. -12B. -10C. 10D. 128.（2020高一下·鹤岗期末）已知是等差数列的前n项和，，设为数列的前n项和，则（）A. 2014B. -2014C. 2015D. -20159.（2020高一下·哈尔滨期末）若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10.（2020高一下·台州期末）已知等差数列的前n项和为，若，，，则（）A. B. C. D.11.（2020高一下·广东月考）等差数列中，若，且，为前n项和，则中最大的是（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共10分）12.（2020高一下·湖州期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，n=________．13.（2020高一下·上海期末）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为，则的取值范围是________．14.（2020高一下·上海期末）等差数列的前项和为，，则________.15.（2020高一下·上海期末）已知为等差数列, , 前n项和取得最大值时n的值为________.16.（2020高一下·南宁期末）已知为等差数列的前n项和，且，，则________.17.（2020高一下·黑龙江期末）已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为________.18.（2020高一下·金华月考）已知数列满足：，其前n项和为，则________，当取得最小值时，n的值为________.19.（2020高一下·尚义期中）设等差数列的前n项和为．若，，则正整数________．三、解答题（共6题；共55分）20.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的n的取值范围．21.（2020高一下·徐汇期末）设等差数列的前n项和为，若，，. （1）求常数k的值；（2）求的前n项和.22.在公差为d的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前n 项和.（1）求；（2）若，求的最大值.23.（2020高一下·台州期末）已知等差数列中，为其前n项和，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，求数列的前n项和.24.（2020高一下·尚义期中）已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．25.（2020高一下·崇礼期中）已知等差数列的前项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】中间项为.因为，，所以.故答案为：C.【分析】利用等差数列前n项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值.2.【答案】B【解析】【解答】∵等差数列的前n项和为，且，解得故答案为：B．【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式和前n项和公式，建立关于等差数列首项和公差的方程组，从而求出首项和公差，进而用等差数列通项公式求出等差数列第八项的值。
等差数列的前n项和公式专项练习
等差数列求和练习[A 组 基础巩固]1．等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( )A ．5或7B ．3或5C ．7或－1D ．3或－1解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝11，S n ＝35，即⎩⎨⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.答案：D2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 为( )A ．7B ．6C ．3D ．2 解析：由S 2＝4，S 4＝20，得2a 1＋d ＝4,4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.答案：C3．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10等于( )A ．138B ．135C ．95D ．23解析：由a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，可知d ＝3，a 1＝－4.∴S 10＝－40＋10×92×3＝95. 答案：C4．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5.∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－8；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－9n )－[(n －1) 2－9(n －1)]＝2n －10.综上可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n －10.所以a k ＝2k －10.令5＜2k －10＜8，解得k ＝8.答案：B6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 解析：∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，所以S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27. 答案：277．等差数列{a n }中，若a 10＝10，a 19＝100，前n 项和S n ＝0，则n ＝________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10a 1＋18d ＝100，∴d ＝10，a 1＝－80. ∴S n ＝－80n ＋n (n －1)2×10＝0， ∴－80n ＋5n (n －1)＝0，n ＝17.答案：178．等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.解析：因为a 1＋a 13＝a 2＋a 12＝2a 7，又a 2＋a 7＋a 12＝24，所以a 7＝8.所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13×8＝104. 答案：1049．在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n .解析：(1)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4. ∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2d ＝10×3＋10×92×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42， ∴a 4＝6.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解析：(1)设{a n }的首项，公差分别为a 1，d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15， 解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.[B 组 能力提升]1．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋a 6＋a 12为一个常数，则下列也是常数的是( )A ．S 17B ．S 15C ．S 13D ．S 7 解析：∵a 3＋a 6＋a 12为常数，∴a 2＋a 7＋a 12＝3a 7为常数，∴a 7为常数．又S 13＝13a 7，∴S 13为常数．答案：C2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝(a 1＋a m )m 2＝0， 知a 1＝－a m ＝－2，a m ＝－2＋(m －1)＝2，解得m ＝5.答案：C3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________． 解析：由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59， ∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. 答案：14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n ＝324(n >6)，则数列的项数n ＝________，a 9＋a 10＝________.解析：由题意，可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36 ①，a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180 ②，由①＋②，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18，∴a 1＋a 18＝36，∴a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36. 答案：18 365．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解析：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－32n 2＋2052n －⎣⎡ －32(n －1)2＋ ⎦⎤2052(n －1)＝－3n ＋104，a 1＝S 1＝101也适合上式，所以a n ＝－3n ＋104，令a n ＝0，n ＝3423，故n ≥35时，a n <0，n ≤34时，a n >0，所以对数列{|a n |}，n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－32n 2＋2052n ，当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 34－a 35－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝32n 2－2052n ＋3 502， 所以T n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)，32n 2－2052n ＋3 502(n ≥35).6．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝1，∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n ·(n －1)2×12＝14n 2－94n .。
等差数列的前n项和习题(含答案)
[A 基础达标]1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 2＝4，则公差d 为( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝4，S 4＝20得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝3.2．已知数列{a n }为等差数列，a 10＝10，数列前10项和S 10＝70，则公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D ．23解析：选D.由S 10＝10（a 1＋a 10）2，得70＝5(a 1＋10)，解得a 1＝4，所以d ＝a 10－a 110－1＝10－49＝23，故选D. 3．在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220解析：选B.(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝(－24)＋78＝54，又a 1＋a 20＝a 2＋a 19＝a 3＋a 18，则3(a 1＋a 20)＝54，所以a 1＋a 20＝18.则S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10×18＝180. 4．已知数列{a n }的前n 项和公式是S n ＝2n 2＋3n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ( ) A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列解析：选A.因为S n ＝2n 2＋3n ，所以S n n＝2n ＋3， 当n ≥2时，S n n －S n －1n －1＝2n ＋3－2(n －1)－3＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列． 5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝2n 3n ＋1，则S 21T 21的值为( ) A.1315B ．2335 C.1117 D ．49解析：选C.S 21T 21＝21（a 1＋a 21）221（b 1＋b 21）2＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝a 11b 11＝2×113×11＋1＝1117. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5知，6×(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案：138．若等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 最大时n ＝________．解析：因为3a 8＝5a 13，所以3(a 1＋7d )＝5(a 1＋12d )，所以d ＝－2a 139，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1－2a 139(n －1)＝a 139(41－2n )．由a 1>0可得当n ≤20时，a n >0，当n >20时，a n <0，所以S n 最大时n ＝20.答案：209．已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2.所以a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n .(2)由a 1＝1，d ＝－2，得S n ＝2n －n 2.又S k ＝－35，则2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5.又k ∈N ＋，故k ＝7.10.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？解：设最下面一层放n 根，则最多可堆n 层，则1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2≥600， 所以n 2＋n －1 200≥0，记f (n )＝n 2＋n －1 200，因为当n ∈N ＋时，f (n )单调递增，而f (35)＝60>0，f (34)＝－10<0，所以n ≥35，因此最下面一层最少放35根．因为1＋2＋3＋…＋35＝630，所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28根，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．[B 能力提升]11．等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B.由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156，所以4(a 1＋a n )＝280，所以a 1＋a n ＝70.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2×70＝210，所以n ＝6. 12．若两个等差数列的前n 项和之比是(7n ＋1)∶(4n ＋27)，则它们的第11项之比为____________．解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212， 所以a 11b 11＝12（a 1＋a 21）12（b 1＋b 21）＝12（a 1＋a 21）·2112（b 1＋b 21）·21＝S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43. 答案：4∶313．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为等差数列，并求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12，结合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12(n ≥2)，化简整理得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 为公差为2的等差数列，所以1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝12n －1. (2)b n ＝S n 2n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛1－13＋13－15＋…＋12n －1－ ⎭⎫12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.14．(选做题)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c 的值． 解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，从而可得a 1＝1，d ＝4，所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2·d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18，所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ，得2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，所以c ＝－12.。
等差数列前n项和公式基础训练题(含详解)
④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
11．
【解析】
【分析】
根据 得到 ， ，计算得到答案.
【详解】
； ，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前 项和，意在考查学生对于等差数列公式的灵活运用.
12．
【解析】
【分析】
利用 来求 的通项.
A．18B．36C．45D．60
7．设 为等差数列， ， 为其前n项和，若 ，则公差 （）
A． B． C．1D．2
8．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则当 取最大值时 的值是（）
A．5B．6C．7D．8
9．已知 是数列 的前 项和，且 ，则 （）．
A．72B．88C．92D．98
10．设 为等差数列 的前 项的和 ， ，则数列 的前2017项和为（ ）
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列公差的计算，难度较易.已知等差数列中的两个等量关系，可通过构造方程组求解等差数列的公差，还可以通过等差数列的下标和性质求解公差.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=______．
参考答案
1．A
【解析】
设 ,根据 是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a. .
2．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求出 ，再由前n项和公式，即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴
∴由 得 ，∴ .
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n项和公式，属于中档题.
等差数列及其前n项和 练习题
等差数列及其前n项和练习题1.已知公差不为0的等差数列{a n}中，a2＋a4＝a6，a9＝a26，则a10＝()A.52B.5C.10D.40答案A解析设公差为d，由已知得1＋d＋a1＋3d＝a1＋5d，1＋8d＝（a1＋5d）2，由于d≠0，故a1＝d＝14，所以a10＝14＋14×9＝52.2.(多选)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()A.a2＋a3＝0B.a n＝2n－5C.S n＝n(n－4)D.d＝－2答案ABC解析S4＝4×（a1＋a4）2＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②联立①②＝2，1＝－3，∴a n＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；S n＝－3n＋n（n－1）2×2＝n2－4n，C正确，故选ABC.3.已知数列{a n}满足5a n＋1＝25·5a n，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)＝()A.－3B.3C.－13D.1 3答案A解析数列{a n}满足5a n＋1＝25·5a n，∴a n＋1＝a n＋2，即a n＋1－a n＝2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.∴a 1＋3×2＝3，解得a 1＝－3.∴a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3×(－3＋6×2)＝27，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1333＝－3.故选A.4.(2021·深圳一模)在数列{a n }中，a 1＝3，a m ＋n ＝a m ＋a n (m ，n ∈N *)，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝()A.10B.9C.8D.7答案B 解析令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是首项为a 1＝3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝k （a 1＋a k ）2＝k （3＋3k ）2＝135.整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍).5.(多选)(2022·衡阳联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”，则下列数列{b n }为“吉祥数列”的是()A.b n ＝nB.b n ＝(－1)n (n ＋1)C.b n ＝4n －2D.b n ＝2n 答案BC 解析若{b n }是等差数列，则根据等差数列求和公式知需b 1＋b n ＝kn ，k ∈R ，则{b n }为“吉祥数列”，检验A ，C 可知C 符合题意；{b n }是摆动数列，由并项求和法知S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 符合题意；根据等比数列求和公式知D 不符合题意.故选BC.6.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________.答案9解析在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1，3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，∴S 18＝9.7.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于________.答案3727解析a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.8.(2021·长春一模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＋a 7＝1，则S 12＝________，若a 7＜0，则使得不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝________.答案613解析根据{a n }为等差数列，且a 6＋a 7＝1，得S 12＝（a 1＋a 12）×122＝6(a 6＋a 7)＝6；若a 7＜0，则S 13＝（a 1＋a 13）×132＝13a 7＜0，又S 12＞0，所以使不等式S n ＜0成立的最小整数n ＝13.9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝32，a 2＝2，2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1，则数列{a n }的前16项和S 16＝________.答案84解析将2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1变形为(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝12，即a n ＋2－a n ＋1＝12，又a 1＝32，a 2＝2，∴a 2－a 1＝12符合上式，∴{a n }是首项a 1＝32，公差d ＝12的等差数列，∴S 16＝16×32＋16×152×12＝84.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k＝ka1＋k（k－1）2·d＝2k＋k（k－1）2×2＝k2＋k，由S k＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)证明由(1)得S n＝n（2＋2n）2＝n(n＋1)，则b n＝S nn＝n＋1，故b n＋1－b n＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{b n}是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n＝n（2＋n＋1）2＝n（n＋3）2.11.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由.解(1)设公差为d.∵{a n}为等差数列，∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.1＋d＝5，1＋3d＝13，1＝1，＝4，∴a n＝4n－3.(2)由(1)知，S n＝n＋n（n－1）2×4＝2n2－n，假设存在常数k，使数列{S n＋kn}为等差数列.由S1＋k＋S3＋3k＝2S2＋2k，得1＋k＋15＋3k＝26＋2k，解得k＝1.∴S n＋kn＝2n2＝2n，当n≥2时，2n－2(n－1)＝2，为常数，∴数列{S n＋kn}为等差数列.故存在常数k＝1，使得数列{S n＋kn}为等差数列.12.(多选)(2021·南通海门一中期末)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元5世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中第n天所织布的尺数为a n，b n＝2a n，对于数列{a n}、{b n}，下列选项中正确的为()A.b10＝8b5B.{b n}是等比数列C.a1b30＝105D.a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＝209193答案BD解析由题意可知，数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的公差为d，由题意可得a1＝5，30a1＋30×29d2＝390，解得d＝1629，∴a n＝a1＋(n－1)d＝16n＋12929.∵b n＝2a n，∴b n＋1b n＝2a n＋12a n＝2a n＋1－a n＝2d(非零常数)，则数列{b n}是等比数列，B正确；∵5d＝5×1629＝8029≠3，b10b5＝(2d)5＝25d≠23，∴b10≠8b5，A错误；a30＝a1＋29d＝5＋16＝21，∴a1b30＝5×221＞105，C错误；a4＝a1＋3d＝5＋3×1629＝19329，a5＝a1＋4d＝5＋4×1629＝20929，所以a3＋a5＋a7a2＋a4＋a6＝3a53a4＝a5a4＝209193，D正确.故选BD.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n}中，a6＝11，且na n－(n－1)a n＋1＝1，则a n＝________；a2n＋143n的最小值为________.答案2n－144解析na n－(n－1)a n＋1＝1，∴(n＋1)a n＋1－na n＋2＝1，两式相减得na n－2na n＋1＋na n＋2＝0，∴a n＋a n＋2＝2a n＋1，∴数列{a n}为等差数列.当n＝1时，由na n－(n－1)a n＋1＝1得a1＝1，由a6＝11，得公差d＝2，∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴a2n＋143n＝（2n－1）2＋143n＝4n＋144n－4≥24n·144n－4＝44，当且仅当4n＝144n，即n＝6时等号成立.14.等差数列{a n}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.(1)求{a n}的通项公式；(2)记T n为数列{b n}前n项的和，其中b n＝|a n|，n∈N*，若T n≥1464，求n的最小值.解(1)∵等差数列{a n}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的两个根，且a3＞a5，解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，1＋2d＝－1，1＋4d＝－7，解得a1＝5，d＝－3.∴a n＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.(2)由(1)知{a n}的前n项和S n＝5n＋n（n－1）2×(－3)＝－32n2＋132n.∵b n＝|a n|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，当n≥3时，b n＝|a n|＝3n－8.当n＜3时，T1＝5，T2＝7；当n≥3时，T n＝－S n＋2S2＝3n22－13n2＋14.∵T n≥1464，∴T n＝3n22－13n2＋14≥1464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥100 3，∴n的最小值为34.。
等差数列前n项和公式基础训练题(有详解)
等差数列前n项和公式基础训练题(有详解)等差数列前n项和公式基础训练题（有详解）问题描述我们知道等差数列具有公差相同的特点，即数列中相邻两项之差是固定的。
现在我们来练求等差数列前n项和的问题。
请根据以下问题进行练。
1. 已知等差数列的首项是a，公差是d，前n项和是S，求S的公式表达式。
2. 计算以下等差数列的前n项和：a) 首项a=2，公差d=3，n=6；b) 首项a=-1，公差d=4，n=5；c) 首项a=0，公差d=2，n=10。
回答1. 等差数列前n项和的公式表达式为：S = (n/2)(2a + (n-1)d)。
2.a) 对于等差数列 a=2, d=3，n=6 ：首项a=2，公差d=3，n=6。
根据公式：S = (n/2)(2a + (n-1)d) = (6/2)(2*2 + (6-1)*3) = 3(4 + 15) = 3 * 19 = 57。
所以等差数列的前6项和为57。
b) 对于等差数列 a=-1, d=4，n=5 ：首项a=-1，公差d=4，n=5。
根据公式：S = (n/2)(2a + (n-1)d) = (5/2)(2*(-1) + (5-1)*4) = 2.5(-2 + 16) = 2.5 * 14 = 35。
所以等差数列的前5项和为35。
c) 对于等差数列 a=0, d=2，n=10 ：首项a=0，公差d=2，n=10。
根据公式：S = (n/2)(2a + (n-1)d) = (10/2)(2*0 + (10-1)*2) = 5(0 + 18) = 5 * 18 = 90。
所以等差数列的前10项和为90。
高中数学第1章数列 等差数列的前n项和同步练习湘教版选择性必修第一册
1.2.3 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和A级必备知识基础练1.(2022江苏常州中学高二期中)记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6=31，S7=77，则数列{a n}的公差为()A.2B.3C.4D.62.(2022广东东莞高二期末)在等差数列{a n}中，S3=6，S5=20，则a4=()A.2B.4C.6D.83.(2022江西景德镇一中高二期中)等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=2，a4-a2=2，则S5=()A.21B.15C.10D.64.在等差数列{a n}中，若S10=4S5，则等于()A. B.2C. D.45.(2022贵州瓮安第二中学高一月考)一百零八塔，因塔群的塔数而得名，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，….若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有() A.10层 B.11层C.12层D.13层6.(多选题)已知等差数列{a n}，S n是其前n项和，若S10=a10=10，则()A.a1=-8B.a5=0C.S5=18D.S5=-207.某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则a n(a n为第n 年获得的利润)与n的关系为，S n(S n为前n年获得利润的总和)与n的关系为.8.为了参加学校的长跑比赛，某学校高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，求这15天小李同学总共跑的路程.B级关键能力提升练9.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4n2-10n，则a2a6=()A.52B.68C.96D.10810.(2022江苏连云港高二期末)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为()A. B. C. D.11.(多选题)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=n2-4nD.S n=n2-2n12.(多选题)(2022山东滨州高二期末)在等差数列{a n}中，已知a3=10，a11=-6，S n是其前n项和，则()A.a7=2B.S10=54C.d=-2D.13.(2022江西重点中学协作体高二联考)汉代将1 000枚铜钱用缗(丝绳或麻绳)串起来，称为一“缗”(mīn，音岷)，再放在一起成为一堆.为清点一批铜钱的数目，工作者先将其串成缗，并在最底层放置70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这堆铜钱共有缗.14.已知等差数列110，116，122，…，则该数列共有项位于区间[450，600]内.15.(2022广东广州高二期末)从①a4+a5=-4，②a2+a6=-6，③S7=14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值;若k不存在，说明理由.问题:已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7=3.若，则是否存在k，使得S k-1>S k且S k<S k+1?C级学科素养创新练16.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4，求{a n}的通项公式a n;(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围.参考答案1.2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和1.B∵a5+a6=31，S7=77，∴解得d=3，故选B.2.C设等差数列{a n}的公差为d，则解得所以a4=a1+3d=6，故选C.3.C设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3=2，a4-a2=2，∴2a1+2d=2，2d=2，解得a1=0，d=1，则S5=0+×1=10.故选C.4.A由题意得10a1+×10×9d=45a1+×5×4d，即10a1+45d=20a1+40d，即10a1=5d，则.5.C设塔群共有n层，依山势自上而下各层的塔数构成的数列为{a n}，前n项和为S n.依题意，得a5，a6，…，a n成等差数列，且公差为2，a5=5，所以S n=1+3+3+5+5(n-4)+×2=108，解得n=12或n=-8(舍).6.ABD设数列{a n}的公差为d，由题意可得解得所以a5=a1+4d=-8+4×2=0，S5=5a1+d=5×(-8)+10×2=-20，故选ABD.7.a n=-20n+220S n=-10n2+210依题意，每年获得的利润依次排成一列构成等差数列{a n}，且首项a1=200，公差d=-20，于是得a n=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.S n==-10n2+210.8.解设小李第n天跑a n米，则数列{a n}是等差数列，设{a n}的公差为d.∵小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，∴a1+a2+a3+a13+a14+a15=3600+10800=14400，∴a1+a15=4800.∴这15天小李同学总共跑的路程为S15=(a1+a15)=×4800=36000米.9.B由题意，数列{a n}满足S n=4n2-10n，当n≥2时，a n=S n-S n-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14，所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.故选B.10.A设5人分到的面包数量从小到大记为{a n}，{a n}的公差为d，依题意可得S5==5a3=100，得a3=20.∵a3+a4+a5=7(a1+a2)，∴60+3d=7(40-3d)，解得d=.∴a5=a3+2d=20+.故选A.11.AC设等差数列{a n}的公差为d，由S4=0，a5=5，得解得所以a n=2n-5，S n=n2-4n，故选AC.12.ACD设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=10，a11=-6，∴a1+2d=10，a1+10d=-6，解得a1=14，d=-2.∴S n=14n+×(-2)=15n-n2.∴a7=14-2×6=2，S10=15×10-102=50，=15-7-(15-8)=1>0，即.故选ACD.13.2 020由题意知，这堆铜钱的缗数从上到下构成以31为首项、以1为公差的等差数列，且末项为70，设这堆铜钱摆放了n层，故70=31+(n-1)×1，解得n=40，所以共有40层，故这堆铜钱共有=2020缗.14.25设所求等差数列为{a n}，由题意可知数列{a n}的首项为110，公差为116-110=6，则a n=110+6(n-1)=6n+104.解不等式450≤6n+104≤600，得≤n≤，因此，该数列位于[450，600]内的项从第58项起直至第82项，共有25项.15.解若存在k，使得S k-1>S k且S k<S k+1，则a k<0，a k+1>0.设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.若选择条件①:由解得所以a n=-9+2(n-1)=2n-11.令a n<0，得n<，所以当k=5时，满足a5<0，a6>0，所以k=5满足题意.若选择条件②:由解得所以a n=-9+2(n-1)=2n-11.由a n<0，得n<.所以当k=5时，满足a5<0，a6>0，所以k=5满足题意.若选择条件③:由解得所以a n=1+(n-1)=n+.易知a n>0恒成立，所以不存在满足条件的k.16.解(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为S9=-a5，所以=-a5，可得a5=0.因为a3=4，所以d==-2.故a n=a3+(n-3)d=-2n+10.(2)若S n≥a n，则na1+d≥a1+(n-1)d.当n=1时，不等式成立;当n≥2时，有≥d-a1，变形可得(n-2)d≥-2a1.又a5=0，即a1+4d=0，则有(n-2)≥-2a1.因为a1>0，所以n≤10.则有2≤n≤10.综上可得，n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N+}.。
等差数列前n项和基础练习题(附答案)
等差数列的前n 项和基础练习题一、选择题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．632．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( ) A.12B ．2 C.14 D ．43．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9B ．－11C ．－13D ．－154．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．275．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6636．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －18．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( )A ．9B ．8C ．7D ．610．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( ) 311111．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1B ．－1C ．2 D.1212．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( )A ．d <0B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值二、填空题13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.14．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5的值是________．15．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 的值为________．16．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则数列{a n }的前3m 项的和S 3m 的值是________．三、解答题17．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .18．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .19．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数为？20．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值．21．已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n项和T n. 22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．参考答案与解析一、选择题1．C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 2．A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋12×5×4d )， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12. 3．D解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n <0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×(－3)2＝－15. 4．B解析 数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45.∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.5．B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 6．B解析 由⎩⎨⎧a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝na 1＋n (n －1)2×(2d )＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝na 2＋n (n －1)2×(2d )＝72，得nd ＝－18.又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3.7． D8． B解析 等差数列前n 项和S n 的形式为：S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.解析 由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10；由5<2k －10<8，得7.5<k <9，∴k ＝8.10．A解析 方法一S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ， S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310. 方法二 由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.11．A解析 由等差数列的性质，a 5a 3＝2a 52a 3＝a 1＋a 9a 1＋a 5＝59，∴S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝95×59＝1. 12．C解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5. 二、填空题13．15解析 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.14．6512解析a 5b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝6512.15．10解析 S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝165， S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝150. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ＋1n ＝165150＝1110，∴n ＝10.解析 方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m 3m 成等差数列，∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m 3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.三、解答题17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.18．解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝715a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2d ＝1， ∴S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)， ∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .19．解析a nb n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1 ＝7(n ＋1)＋12n ＋1＝7＋12n ＋1， ∴n ＝1,2,3,5,11.20．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2. 因为S n ＝－(n －5)2＋25，所以当n ＝5时，S n 取得最大值．21．解 由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧ 2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).22．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3. (2)∵d <0，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0. 又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0， ∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。
等差数列的前n项和性质+练习
1、等差数列{a n }前n 项和公式： n S = n a n 2a 1+=d n n n a 2)1(1-+=d n n na n 2)1(--。
等差数列的前n 项之和公式可变形为，若令A ＝，B ＝a 1－，则＝An 2+Bn.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个。
2、等差数列{a n }前n 项和的性质性质1:S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n , …也在等差数列,公差为n 2d性质2:(1)若项数为偶数2n,则 S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1) (a n ,a n+1为中间两项),此时有:S 偶－S 奇= nd , 性质3:(2)若项数为奇数2n －1,则 S 2n-1=(2n － 1)a n (a n 为中间项), 此时有:S 奇－S 偶= a n ,1-n n s =偶奇s 性质4:数列{nn s }为等差数列 性质5:若数列{a n }与{b n }都是等差数列,且前n 项的和分别为S n 和T n ,则2121n n n n a S b T --= 典型例题：热点考向1：等差数列的基本量（a 1，a n ，d ，，n 中任意三个，可求其余两个）例1、在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a 和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S训练： 1、在等差数列{}n a 中，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .2.在等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列{n S n }的前n 项和，求n T 3、已知等差数列的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。
4. 已知是等差数列，且满足，则等于________。
4.2.2 等差数列的前n项和公式 (精练)(解析版)
4.2.2等差数列的前n 项和公式【题组1等差数列前n 项和及基本量计算】1、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若821=6,=0a S ，则1a 的值为（）A．18B．20C．22D．24【答案】B【解析】由题意得：设等差数列的通项公式为1(1)n a a n d =+-，则1(1)2n n n S na d -=+18211+7=7=620×21=021+=02a d a S a d ⇒⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩，解得：1=2=20d a -⎧⎨⎩故选：B 2、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若39S =，12a =，则5a =（）（人教A 版4.2.2练习）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由39S =，得1339a d +=，即13a d +=，又12a =，所以1d =，故5246a =+=.故选：C.3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3715,35a a ==，则9S =（）A．450B．400C．350D．225【答案】D 【解析】由11215,635,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得15a d ==，所以919892252S a d ⨯=+=.故选:D.4、在等差数列{}n a 中，前7项的和714S =，则35a a +=___________.【答案】4【解析】因为714S =，所以有1717357()14442a a a a a a +=⇒+=⇒+=，故答案为：45、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足3318,180,270n n S S S -===，则n =（）A．12B．13C．14D．15【答案】D【解析】因为32318S a ==，所以26a =，又31390n n n S S a ---==，所以130n a -=．故()()12127022n n n n a a n a a S -++===，解得15n =．故选：D.【题组2由等差数列的前n 项和判断等差数列】1、已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则{}n a 是（）A．公差为2的等差数列B．公差为3的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为3的等比数列【答案】A【解析】因为2(1)n S n =，所以当2,n n N *≥∈时，有21(1)(2)n S n -=-，(1)(2)-，得21n a n =-，当1n =时，11n a S ==适合上式，因为1(21)(23)2n n a a n n --=---=，所以该数列是以2为公差的等差数列，故选：A2、（多选）已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（）A．{}n a 为等差数列B．0n a >C．n S 最小值为214-D．{}n a 为单调递增数列【答案】AD【解析】当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD3、已知数列{}n a 的前n 项和()2*34.n S n n n N =+∈（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求证：数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）61n a n =+；（2）见解析【解析】（1）当2n ≥时，()221343(1)4161n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，当1n =时，11347a S ==+=，满足61n a n =+，即数列{}n a 的通项公式61n a n =+．（2）证明：61n a n =+，∴当2n ≥时，()1616116n n a a n n --=+---=为常数，则数列{}n a 是等差数列．4、设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，n a λμ=+（*n N ∈，λ，μ，R c ∈，λ，μ，c 为常数）.（1）若0c =，12λμ==，求{}n a 的通项公式；（2）若2132a a a =+，证明{}n a 为等差数列.【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析【解析】（1）由1n a =+，得24(1)n n S a =+，2114(1)n n S a ++=+，两式相减得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得111()()2()n n n n n n a a a a a a ++++-=+.因为0n a >，所以12n n a a +-=，即数列{}n a 是公差为2的等差数列，由11a =+，解得11a =，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由条件知1a ，2a ，3a 成等差数列，设它们的公差为d ，n a λμ=+，得2222n n n S c a a λλμμ+=++，所以2221112S c a a λλμμ+=++，①2222222S c a a λλμμ+=++，②2223332S c a a λλμμ+=++，③②-①得222(2)2a d a d d λλμ=-+，即2222(21)2d a d d λλλμ-=-，④③-②得332(2)2a d a d d λλμ=-+，即2223(21)2d a d d λλλμ-=-，⑤⑤-④得2(21)0d d λ-=，由于0d =显然不合题意，所以212d λ=，代入④解得14λμ=，所以22212n n n S c a a λμ+=++，12221112n n n S c a a λμ++++=++，上述两式相减得12111()()()2n n n n n n a a a a a a λ++++-=+，因为0n a >，∴1212n n a a λ+-=，所以当*n N ∈时，数列{}n a 为等差数列.【题组3等差数列前n 项和与中项性质】1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1254a a a +=+，则11S =（）A．28B．34C．40D．44【答案】D【解析】因为1625a a a a +=+，所以由1254a a a +=+，可得所以64a =，所以11111611()112a a S a +==44=，故选：D 2、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，191112a a a ++=，则13S =（）A．32B．42C．52D．62【答案】C【解析】等差数列中19117312a a a a ++==，∴74a =.从而，()1131371313522a a S a +===，故选：C.3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3942a a m a +=-，936S =，则m =_________.【答案】16【解析】因为{}n a 等差数列，由3962a a a +=，又3942a a m a +=-，所以462()a a m +=，即54a m =.又19959()936,2a a S a +===所以54a =，则5416a m ==.故答案为：16.4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，且1215S S =，则使0n S >成立的最大n 值为（）A．13B．14C．26D．27【答案】C【解析】由12151314150S S a a a =⇒++=1414300a a ⇒=⇒=又10a >，所以公差0d <()()126261314261302a a S a a +==+>()1272714272702a a S a +===所以使0n S >成立的最大n 值为26，故选：C5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10911S S S <<，则下列选项不正确的是（）A．0d >B．10a <C．200S >D．210S <【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足109S S <，1011S S <，则100a <，110a >，所以0d >，10a <，故A，B 正确；由911S S <，可知10110a a +>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 正确；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 不正确．故选:D【题组4等差数列片段和的性质】1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10203101220S S ==，，则30S =（）A．2330B．2130C．2530D．2730【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1020103020S S S S S --，，构成等差数列，即310，3012203101220S --，构成等差数列，则()301220212203103101510S -=--=，则302730S =，故选：D2、已知数列{}n a 是等差数列，3613S S =，则612S S =（）A．310B．13C．18D．19【答案】A【解析】由3613S S =，得633S S =，设3S m =，则63S m =，因为数列{}n a 是等差数列，所以36396129,,,S S S S S S S ---，……，是以m 为首项，m 为公差的等差数列，所以961293,4S S m S S m -=-=，所以96S m =，1210S m =，所以612331010S m S m ==，故选：A 3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且75S =，1420S =，则28S =（）．A．35B．50C．80D．110【答案】C【解析】由n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则7S ，147S S -，2114S S -，2821S S -也成等差数列，所以5，15，2114S S -，2821S S -成等差数列，即211425S S -=，282135S S -=，所以2880S =．故选：C4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =______．【答案】32【解析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列，∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =，∴2，6，10，418k S -成等差数列，可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =.故答案为：32.【题组5等差数列前n 项和与n 的比值】1、在等差数列{}n a 中，12021a =-，其前n 项和为n S ，若1082108S S -=，则2021S 等于（）A．2021B．2021-C．2020-D．2020【答案】B【解析】数列{}n a 为等差数列，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，又10822108S Sd -==，解得：1d =，又1120211Sa ==-，20212021202012021S∴=-+=-，20212021S ∴=-.故选：B.2、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和．若20232023S =，且2021202001202120S S -=，则1a 等于（）A．-2021B．-2020C．-2019D．-2018【答案】A【解析】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，令n n b n S ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则{}n b 也为等差数列，设其公差为d '，由2021202021202001202120S S b b -=-=，得1d '=，又2023202312023S b ==，得1112023=20221Sb a b d '==-120222021=-=-.故选：A．3、在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若151051510S S-=，则2020S =（）A．0B．2018C．2019-D．2020【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d .151051510S S -=，552d∴⨯=，解得2d =.则()20202020201920202018220202S ⨯=⨯-+⨯=.故选：D.4、在等差数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，若62324S S -=，则10S =_____.【答案】100【解析】∵数列{}n a 为等差数列，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，又624462S S d -==，解得：1d =，又∵1111S a ==，∴nS n n=，即2n S n =∴10100S =故答案为：100.5、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2m S =-，10m S +=，23m S +=，则正整数m =______．【答案】4【解析】因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以21221m m m S S S m m m +++=++，即2302m m -+=+，解得4m =．故答案为：4.【题组6两个等差数列前n 项和的比值】1、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若7945a a =，则1317SS =（）A．1317B．5285C．1713D．8552【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，由7945aa=，得()()11313711717913131345221717175852a a S a a a S a +==⨯=⨯+，故选：B2、已知两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，且满足2132nn A n B n +=+，则66ab =（）A．1320B．2335C．2538D．2741【答案】B【解析】两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，满足2132nnAn B n +=+，所以1116611111111661111111221112322311235112a a a a a a Ab b b b b b B +⨯+⨯+======++⨯+⨯.故选：B 3、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且214n n A n B n +=+，则28357b b a a a +=++（）A．43B．3839C．1319D．2657【答案】D【解析】由()28199357919229426333291572b b b b B a a a A a a+++==⋅=⨯=++⨯++．故选：D 4、设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是n S ，n T ，若237nn S n T n =+，则65ab =（）A．65B．1117C．1114D．3【答案】B【解析】由等差数列的前n 项和公式满足2An Bn +形式，设2(2)2n S kn n kn =⋅=，则2(37)37n T kn n kn kn =⋅+=+，故66555423622511325753167417a S S k k b T T k k k k -⨯-⨯===-⨯+⨯-⨯-⨯.故选：B5、已知,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，且*21()42n n S n n T n +=∈-N ，则1011318615a ab b b b +=++（）A．2138B．2342C．4382D．4178【答案】D【解析】,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，故*2121()n n n n a Sn b T --=∈N ，且3186151011b b b b b b +=+=+，故10101011201111318615*********10112220141420278a a a a S a a b b b b b b b b b b T +=+===++++++⨯+=⨯-，故选：D 【题组7等差数列的奇数项与偶数项和】1、在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为12,S S∴()()()()1211122211121222n n n n n a a n a S n n a a S n a n++++++⋅+===+⋅，∴1651=150n n+，∴n ＝10，故选:B.2、已知等差数列{}n a 共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为（）．A．3-B．2-C．2D．3【答案】D【解析】135795a a a a a ++++=，24681020a a a a a ++++=，515d =，3d =.故选：D．3、已知等差数列{}n a 的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则5a =（）A．8B．9C．10D．11【答案】A【解析】设等差数列{}n a 有奇数项21k +，*()k N ∈．公差为d ．奇数项和为40，偶数项和为32，132140k a a a +∴=++⋯+，24232k a a a =++⋯+，∴1211(21)()72(21)2k k k a a k a ++++==+，21118k k a kd a kd a ++=-=+=，921k ∴=+，即等差数列{}n a 共9项，且()199599725a a S a+⨯===58a ∴=，故选：A ．4、已知数列{}n a 满足11a =，()*13n n a a n n ++=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若192n S =-，则n =__________.【答案】16【解析】数列{}n a 满足()*111,3n n a a a n n +=+=-∈N ，24a ∴=-，且()2131n n a a n +++=-+，23n n a a +∴-=-，∴数列{}n a 的奇数项是首项为1，公差为3-的等差数列，偶数项是首项为4-，公差为3-的等差数列，()()()()22113433192822n n n n n S n n n n --∴=+⨯--+⨯-=-=-⇒=(负值舍去)，()()()()22111134333119222n n n n n S n n n n ++-∴=++⨯--+⨯-=--+=-，此时n 无正整数解，∴若192n S =-，则16n =，故答案为：16.5、在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960a a a a ++++=L ，则123100a a a a ++++=L __________.【答案】145【解析】等差数列{}n a 中，已知公差12d =，12310013599246100a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++++L L L 24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++Q L L 605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=L .故答案为：145.【题组8含绝对值的等差数列前n 项和】1、在数列{}n a 中，116,26n n a a a n +=--=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列n n a b n=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求13T ．【答案】（1）27n a n n =-；（2）42【解析】（1）由题意116,26n n a a a n +=--=-得;121321()()()642(28)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=----+-2(214)72n n n n -==-,即27n a n n =-；（2）7nn a b n n==-，故|7|n b n =-,故136765432101234562422T ⨯=++++++++++++=⨯=.2、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．【答案】（1）133n a n =-；（2）414【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4n S S ≤，则3454S S S S ≤⎧⎨≤⎩，可得4500a a ≥⎧⎨≤⎩，即10301040d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得10532d -≤≤-，因为2Z a ∈，则Z d ∈，3d ∴=-，因此，()()111031133n a a n d n n =+-=--=-.此时()()12101333232222n n n a a n n S n n ++-===-+，故当4n =时，n S 取得最大值，合乎题意，所以，133n a n =-.（2）由（1）知133n a n =-，所以133,4133313,5n nn n b a n n n -≤⎧==-=⎨-≥⎩，因此，()()()20122024716107412547224142T b b b +⨯=+++=+++++++=+=.3、在等差数列{}n a 中，321S =，624S =，求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】2210,51050,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+>⎩【解析】设等差数列的公差为d ，则11332161524a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得19a =，2d =-．所以()()912211n a n n =+--=-+．由2110n -+>得 5.5n <，即数列{}n a 的前5项为正，其余各项为负．数列{}n a 的前n 项和()()2192102n n n S n n n -=+-=-+．所以当5n ≤时，210n T n n =-+；当5n >时，()555552n n n nT S S S S S S S S =+-=--=-()()2222550101050n n n n =-+--+=-+，即2210,51050,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+>⎩．4、数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足()21*20N .n n n a a a n ++-+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n S a a a =++⋯+，求n S ．【答案】（1）102n a n =-；（2）2*2*9,5,N ,940,5,Nn n n n n S n n n n ⎧-≤∈=⎨-+>∈⎩【解析】（1）由题意，211n n n n a a a a +++-=-，{}n a ∴是等差数列且148,832a a d ==+=，2d ∴=-，()11102n a a n d n =+-=-．（2）102n a n =-，令0n a =，得5n =．当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >．∴当5n >时，12n nS a a a =++⋯+()12567n a a a a a a =++⋯+-++⋯+52nS S =-()()25808102294022n n n n ++-=⨯-=-+，当5n ≤时，1212n n n S a a a a a a =++⋯+=++⋯+()2810292n nn n +-==-．2*2*9,5,N ,940,5,N n n n n n S n n n n ⎧-≤∈∴=⎨-+>∈⎩．5、已知数列{}n a 中，()11231,22,N 25n n a a n n a *-==-≥∈，数列{}n b 满足：()1N 1n n b n a *=∈-．（1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求1220b b b +++的值；（3）求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；272=-n b n ；（2）109；（3）()max 3=n a ，()min 1=-n a ，理由见解析【解析】（1）因为111111111111121n n n n n n b b a a a a -----=-=-=-----()*2,N n n ≥∈，又1112512b a ==--，∴数列{}n b 是252-为首项，1为公差的等差数列．∴()127112n b b n n =+-⨯=-.（2）由2702n b n =-≥，得272n ≥，即13n ≤时，0n b <；14n ≥时，0n b >，∴()123201213141520b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+251312277613171411092222⎡⎤⨯⨯⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）由12712n n b n a ==--，得()*21N 227n a n n =+∈-又函数()21227f x x =+-在27,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和27,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均是单调递减．由函数()21227f x x =+-的图象，可得：()14max 3n a a ==，()13min 1n a a ==-.【题组9等差数列前n 项和的最值问题】1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3518a a +=-，972S =-，n S 取最小值时，n的值为（）A．11或12B．12C．13D．12或13【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3518a a +=-，972S =-，则有11261893672a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1121a d =-⎧⎨=⎩，所以13n a n =-，令130n a n =-≤，则13n ≤，又130a =，所以当12n =或13时，n S 取最小值.故选：D.2、数列{an }中，如果an =49﹣2n ，则Sn 取最大值时，n 等于（）A．23B．24C．25D．26【答案】B【解析】由题意，可知数列{}n a 为等差数列，则()()21224824242n n a a n S n n n +==-=--+，则当24n =时，n S 取最大值.故选：B.3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20210S <，20220S >，则当n S 最小时，n 的值为（）A．1010B．1011C．1012D．2021【答案】B【解析】由于等差数列的前n 项和2n S An Bn =+的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由20210S <，20220S >可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间()1010.5,1011之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为1011n =,∴n S 取得最小值时n 的值为1011．故选：B4、已知{an }是以10为首项，－3为公差的等差数列，则当{an }的前n 项和Sn ，取得最大值时，n =（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】∵{an }是以10为首项，－3为公差的等差数列，∴()1031133n a n n =--=-，故当4n ≤时，1330n a n =->，当5n ≥时，1330n a n =-<，故4n =时，n S 取得最大值.故选：B.5、等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10a >，120S >，130S <，则1S ，2S ，3S ，4S ，…，11S ，12S 中最大的是A．12S B．7S C．6S D．1S 【答案】C【解析】因为10a >，120S >，130S <，所以()()()112113677121360,13022a a a a a a a ++=+>=<，760,0a a ∴<>则1S ，2S ，3S ，4S ，…，11S ，12S 中最大的是6S ，故选：C【题组10等差数列前n 项和的实际应用】1、骑行是一种健康自然的运动旅游方式，能充分享受旅行过程之美．一辆单车，一个背包即可出行，简单又环保．在不断而来的困难当中体验挑战，在旅途的终点体验成功．一种变速自行车后齿轮组由7个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为10和28，求后齿轮所有齿数之和（）A．134B．133C．114D．113【答案】B【解析】由题意7个齿轮的齿轮数构成等差数列，首末两项分别为10和28，所以所有齿数之和为77(1028)1332S ⨯+==．故选：B．2、“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）A．333B．335C．337D．341【答案】B【解析】2到30的全部整数和1230294642S +=⨯=，2到30的全部素数和22357111317192329129S =+++++++++=，所以剔除的所有数的和为464129335-=.故选：B3、2022年4月26日下午，神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（）A．10秒B．13秒C．15秒D．19秒【答案】D【解析】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =．故选：D.4、5G 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A 地区已经累计开通5G 基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G 网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G 基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到（）A．2022年10月底B．2022年9月底C．2022年8月底D．2022年7月底【答案】B【解析】由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G 基站数量为等差数列，则公差为40，假设要经过k 个月，则()1504046403002k k k -+⋅=-，解得：14k =，所以预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到2022年9月底，故选：B．5、“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（）A．170项B．171项C．168项D．169项【答案】A【解析】能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故121,n n a n N =+∈，由题意，1212030n n a =+≤，故116912n ≤，故当0,1,2...169n =时成立，共170项.故选：A。
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等差数列前n项和基础
练习题
公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
等差数列性质总结
1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a
推广：
d m n a a m n )(-+=． 从而
m
n a a d m
n --=
；
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：
2
b a A +=
或b a A +=2
（2）等差中项：数列{}n a 是等差
数列
+-112(2,n N )
n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a
4．等差数列的前n 项和公式： （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项
()()()121211
21212
n n n n a a S n a +++++=
=
+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列
)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．
⑶数列{}n a 是等差数列
⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或
d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列
等差中项性质法：
-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，． 7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；
③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ）
8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式
11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和
211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.
（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有
q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.
注：
12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，
（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则
{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列
(5) 若{n a }是等差数列，则
232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项
(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列 （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和。
当项数为偶数n 2时，。
当项数为奇数12+n 时，则 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且
()n
n
A f n
B =， 则2121
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.
（9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和
()m n S m n +=-+
a ,,n m m a n ==则a 0n m +=
(10)求n S 的最值
法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
即当，，001<>d a 由⎩⎨
⎧≤≥+00
1
n n a a 可得
n S 达到最大值时的n 值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当，，001><d a 由⎩⎨
⎧≥≤+0
1n n a a 可得
n S 达到最小值时的n 值．
或求{}n a 中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 等差数列前n 项和练习题 一、填空题
1.等
差数列{}n a 的前
n 项和
n n S n 32+=．则此数列的公差
=d 。
2.等差数列{}n a 的前n
项和为n S ，且
53655,S S -=则4a = 。
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
972S =,则249a a a ++= 。
4.已知{}n a 为等差数列，2812a a +=，则5a = 。
5.已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，
a 6 = 7，则a 5 = ____________。
6.等差数列{a n }的前
n 项和为S n ，且S 3
＝6，a 3＝4，则公差d = 。
7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246,30,S S ==则6S = 。
8.等差数列{}n a 的前
n 项和为n S ，已知
57684,2a a a a +=+=-，则当n S 取最大值
时n 的值是 。
9.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若
12315
a a a ++=，
12380
a a a =，则
111213a a a ++= 。
10.在
等差数列{}n a 中，已知
1234520
a a a a a ++++=，那么3a 的值
为 。
11.已知数列{a n }的前
n 项和S n ＝3n 2－
2n ，求=n a 。
12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
535a a =则95
S
S = 。
13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
972S =,则249a a a ++= 。
二、计算题
1.已知等差数列{n a }中， 1a ＝１，
d =1，求该数列前10项和10S 。
2.已知等差数列{n a }的公差为正数，且
1273-=⋅a a ，464-=+a a ，求20S 。
3.等差数列{n a }中，10S = 100，求
101a a +的值。
4.等差数列{n a }的前
m 项的和为 30 ，
2m 项的和为 100 ，求它的前3m 项的和 。
5.已知数列{n a }，若132+=n a n ，求n
S 达到最大值时n 的值，并求n S 的最大值。
6.由下列等差数列的通项公式，求出首项、公差和前n 项和。
（1）63+=n a n ; (2). 7
2+-=n a n
7. (1) 设等差数列{n a }的通项公式是3n －2，求它的前n 项和公式；
(2) 设等差数列{n a }的前n 项和公式
是n n S n 352+=，求它的前3项，并求它的通项公式。