线性规划的标准型和基本概念
线性规划的标准型和基本概念48页PPT
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于求解最优化问题。
在实际应用中，线性规划的标准形式是一种常见的数学表达方式，能够简化问题的求解过程，提高计算效率。
本文将对线性规划的标准形式进行详细介绍，包括定义、特点、转换方法等内容，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性规划方法。
一、定义。
线性规划的标准形式是指将线性规划问题转化为一种特定的数学表达形式，以便于利用现有的数学工具进行求解。
一般来说，线性规划的标准形式可以表示为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，c1, c2, ..., cn为目标函数的系数，x1, x2, ..., xn为决策变量，a11, a12, ..., amn为约束条件的系数，b1,b2, ..., bm为约束条件的常数，m和n分别为约束条件和决策变量的个数。
通过这种形式的表示，线性规划问题可以被更方便地求解。
二、特点。
线性规划的标准形式具有以下几个特点：1. 目标函数为线性函数，约束条件为线性不等式。
这种形式的表示使得问题具有了良好的数学性质，可以利用线性代数和凸优化等数学工具进行求解。
2. 决策变量为非负数。
这一特点使得问题的解空间被限制在第一象限，简化了问题的求解过程。
3. 约束条件为≤型不等式。
这种形式的约束条件使得问题的可行域为一个凸集，便于进行几何和数学分析。
三、转换方法。
对于一般的线性规划问题，可能并不总是处于标准形式。
因此，需要将问题转化为标准形式，以便于求解。
常见的转换方法包括：1. 将最小化问题转化为最大化问题。
这可以通过将目标函数的系数取相反数来实现。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解问题。
它在运筹学、管理科学、经济学等领域有着广泛的应用。
线性规划的目标是通过线性目标函数的最小化或最大化，找到使得一系列线性约束条件得到满足的最优解。
二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和约束条件组成。
目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是一系列线性不等式或等式。
2. 可行解可行解是满足所有约束条件的解。
在线性规划中，可行解构成了一个可行域，即满足所有约束条件的解的集合。
3. 最优解最优解是使得目标函数取得最小或最大值的可行解。
在线性规划中，最优解可以是有限的，也可以是无穷的。
4. 线性规划的标准形式线性规划的标准形式包括以下特点：- 目标函数为最小化形式；- 所有约束条件为等式形式；- 变量的取值范围为非负数。
1. 图形法图形法是线性规划最直观的解法之一。
它通过绘制变量的可行域图形，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代算法，通过不断地移动解的位置来逐步逼近最优解。
它是线性规划中应用最广泛的解法之一。
3. 对偶理论对偶理论是线性规划中的重要概念之一。
它通过将原始问题转化为对偶问题，从而得到原始问题的最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最小化生产成本或最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的最佳配送方案、最短路径等。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，如人力资源、物资等。
尽管线性规划在许多问题中有着广泛的应用，但它也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划的基本假设是目标函数和约束条件都是线性的，这限制了它在处理非线性问题上的应用。
2. 离散性问题线性规划通常适用于连续变量的问题，对于离散变量的问题，它的应用受到限制。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到一组决策变量的值，使得目标函数达到最大或者最小值。
线性规划广泛应用于经济学、管理学、工程学等领域，可以匡助决策者做出最优的决策。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、x3等表示。
2. 目标函数：线性规划的优化目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或者等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量的取值组合。
5. 最优解：使得目标函数达到最大或者最小值的可行解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解，标准形式包含以下要素：1. 目标函数：通常是最大化或者最小化一个线性函数。
2. 约束条件：一组线性不等式或者等式。
3. 非负约束条件：决策变量的取值必须大于等于零。
四、线性规划的求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，常见的方法有：1. 图形法：适合于二维线性规划问题，通过绘制等式和不等式的图形来确定最优解。
2. 单纯形法：适合于多维线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
3. 内点法：适合于大规模线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
4. 整数规划法：适合于决策变量为整数的线性规划问题，通过搜索算法来寻觅最优解。
五、线性规划的应用线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最优的生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足需求。
2. 运输问题：确定最优的运输方案，以最小化运输成本或者最大化运输效率。
3. 资源分配：确定最优的资源分配方案，以最大化资源利用率或者满足需求。
4. 投资组合：确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
5. 作业调度：确定最优的作业调度方案，以最小化作业完成时偶尔最大化资源利用率。
六、线性规划的局限性线性规划虽然在许多问题中有广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，不适合于非线性问题。
线性规划讲义
线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将从五个大点来详细阐述线性规划的相关概念和应用。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义和形式线性规划是一种数学模型，其目标函数和约束条件均为线性函数。
一般形式为：最大化（或最小化）目标函数 Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数。
约束条件一般为：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为系数，b1, b2, ..., bm为常数。
1.2 线性规划的可行解和最优解可行解是指满足所有约束条件的解，而最优解是在所有可行解中使目标函数达到最大（或最小）值的解。
线性规划问题的解空间是一个多面体，最优解通常位于多面体的顶点。
1.3 线性规划的图解法和单纯形法线性规划问题可以通过图解法和单纯形法求解。
图解法适用于二维或三维问题，通过画出目标函数和约束条件的图形，找到最优解所在的区域。
单纯形法适用于高维问题，通过一系列的迭代计算，逐步接近最优解。
2. 线性规划的应用领域2.1 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑生产能力、资源约束和市场需求等因素，可以确定最优的生产数量和产品组合。
2.2 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
通过考虑资源供应量、需求量和优先级等因素，可以实现资源的有效调配。
2.3 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的调度和路径规划。
线性规划基本知识
线性规划基本知识线性规划是一种数学优化方法，用于在给定限制条件下最大或最小化线性目标函数。
它是现代数学、工程学和运筹学的基础之一，被广泛应用于制造业、金融、交通、物流等领域。
本文将介绍线性规划的基础知识，包括线性规划问题的表达方式、标准形式、单纯形法求解以及对偶理论等。
一、线性规划问题的表达方式线性规划问题的表达方式通常包含以下部分：1. 决策变量：表示求解问题时需要确定的变量，通常用x1、x2、......、xn表示。
2. 目标函数：表示优化的目标，通常是一个线性函数，用c1x1+c2x2+......+cnxn表示。
3. 约束条件：表示限制决策变量的取值范围，通常是线性等式或不等式，用a11x1+a12x2+......+a1nxn≤b1、a21x1+a22x2+......+a2nxn≤b2、......、am1x1+am2x2+......+amnxn≤bm 表示。
其中，决策变量x1、x2、......、xn的取值范围可以是非负实数集合、整数集合或者其他特定取值范围。
二、线性规划的标准形式通常情况下，线性规划问题都可以通过一些变换，转化为标准形式进行求解。
标准形式的线性规划问题包括以下三个部分：1. 最大化或最小化的目标函数2. 约束条件，所有约束条件都是小于等于号3. 决策变量的取值范围，所有决策变量都是非负实数三、单纯形法求解线性规划问题单纯形法是线性规划问题最常用的求解方法之一，它是一种迭代的过程，通过一系列基本变换（基本可行解、进入变量、离开变量、更新表格）逐步接近最优解。
单纯形法求解线性规划问题的步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式。
2. 确定一个初始可行解。
3. 计算第一行表格的系数，并找出最小的系数所在的列，作为进入变量。
4. 确定离开变量，通过将所有正数元素对应的值除以对应进入变量的系数，找到最小的元素所在的行，作为离开变量所在行。
5. 更新表格，完成一次迭代。
6. 重复第三至第五步，直至得到最优解或者确定问题无可行解或是无界问题。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的最优化问题。
它的目标是在一组线性约束条件下，找到一个线性目标函数的最大值或最小值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一组线性约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值会影响目标函数的值。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
三、标准形式线性规划问题可以转化为标准形式，其标准形式如下：最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≥ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≥ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≥ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法找到最优解。
通过绘制约束条件的直线，找到可行解区域，并通过目标函数的等高线找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题通常更难求解，需要使用特定的算法。
五、线性规划的应用线性规划在实际生活和工作中有广泛的应用，例如：1. 产能规划：通过线性规划方法，可以确定最优的产能配置，以满足市场需求和最大化利润。
2. 运输优化：线性规划可以用于优化物流配送路线，降低运输成本。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、引言线性规划是一种优化问题求解方法，用于在给定的约束条件下，寻觅一个线性目标函数的最优解。
它在运筹学、经济学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将对线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用进行详细总结。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量是决策的对象，可以是实数或者非负实数。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，通常表示为Z=c₁x₁+c₂x₂+...+cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为变量。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ≤b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的解称为最优解。
三、模型建立1. 确定决策变量：根据实际问题，确定需要优化的决策变量，例如生产数量、投资金额等。
2. 建立目标函数：根据问题要求，建立目标函数，明确是最大化还是最小化。
3. 建立约束条件：根据问题给出的限制条件，建立约束条件，包括线性不等式约束和非负约束。
4. 确定问题类型：根据目标函数和约束条件的形式，确定线性规划问题的类型，如标准型、非标准型、混合整数规划等。
5. 模型求解：使用线性规划的求解方法，求得最优解。
四、解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图解法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行解区域，最后在可行解区域内寻觅目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
3. 整数规划方法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
常见的方法包括分支定界法、割平面法等。
五、应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划可以确定最佳的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
§1.3 线性规划的基本概念和基本定理
6. 基变量 —— 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 ——与非基向量相对应的变量,ห้องสมุดไป่ตู้共有n-m个.
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§3 线性规划的基本概念与基本定理
一、线性规划问题的基与解
设有标准型:
AX b X O min z CX (1 1 ) (1 2 ) (1 3 )
运筹学
运筹学
1. 可行解 —— 满足约束条件(1-1)(1-2)的解. 2. 最优解 —— 满足(1-3)式的可行解.
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称
B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 —— 基B的每一列向量, 共有m个.
5. 非基向量 ——A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个.
min z x 1 x 2 x 3 s .t . x 1 3 x 2 x 3 4 x2 x3 x4 8 x j 0 , j 1, ,4
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运筹学
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称 B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 — 基B的每一列向量, 共有m个. 5. 非基向量 —A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个. 6. 基变量 — 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 —与非基向量相对应的变量, 共有n-m个. 8. 基本解 — 令所有非基变量=0, 求出的满足约束条件(1-1)的解. 9. 基本可行解 — 满足约束条件(1-2)的基本解. 10. 最优基本可行解 — 满足约束条件(1-3)的基本可行解.
3. 基 —— 设r(Amn)=m , 若B是A的mm非奇异矩阵, 则称 B是线性规划问题的一个基. 4. 基向量 — 基B的每一列向量, 共有m个. 5. 非基向量 —A的不属于B的每一列向量, 共有n-m个. 6. 基变量 — 与基向量相对应的变量, 共有m个. 7. 非基变量 —与非基向量相对应的变量, 共有n-m个. 8. 基本解 — 令所有非基变量=0, 求出的满足约束条件(1-1)的解. 9. 基本可行解 — 满足约束条件(1-2)的基本解. 10. 最优基本可行解 — 满足约束条件(1-3)的基本可行解. 例 找出所有基本解, 并指出其 中的基本可行解和最优解.
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、工程学、运筹学等等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型表示、求解方法以及应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ≤ bi，其中aij为系数，bi为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。
二、模型表示线性规划可以通过数学模型来表示，通常包括以下几个要素：1. 决策变量：表示问题中需要决策的变量，通常用x1, x2, ... , xn表示。
2. 目标函数：表示问题的目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。
3. 约束条件：表示问题中的限制条件，通常是一系列线性不等式或者等式。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束，即xi ≥ 0。
三、求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，其中最常用的方法有：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的图形来确定最优解。
2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。
3. 整数规划法：适合于决策变量需要取整数值的线性规划问题，通过引入整数约束条件来求解。
四、应用案例线性规划在实际应用中具有广泛的应用，以下是一些典型的应用案例：1. 生产计划问题：某工厂需要决定每种产品的生产数量，以最大化利润为目标，同时满足生产能力和市场需求的约束条件。
2. 运输问题：某物流公司需要确定货物的运输路线和运输量，以最小化运输成本为目标，同时满足供应商和客户的需求。
线性规划标准型以及定义
(1) x0 0(此时b 0)或者
(2) x0 0, 但是x0所有非零变量xi对应的
列向量Pi线性无关.即, 若x10 0,K , xs0 0,
x0 s1
K
xn0
0,则P1,K
, Ps线性无关.
解的定义
证明: 必要性显然.
现证充分性.设x0是线性规划的基可行解,
若 x0 0, 显然.
max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
min Z=5X1+4X2 x2
图解法
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
2
max Z min Z
x1+x2=4(≥)
2
4
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
6
x1
x2
50 40
30 20
10
例4 max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x1 x2 50 x1 0, x2 0
无可行解(即无最优解)
O
10
0
B6
2
1
B7
2
0 B8 6 1 B9 0 1
解的定义
2x1 x2 x3 x4 3 例： x1 x2 x3 x5 2
xi 0
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
在实际应用中，线性规划被广泛运用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
线性规划问题可以分为标准型和非标准型，本文将重点介绍线性规划的标准型。
1. 线性规划的标准型定义。
线性规划的标准型是指目标函数和约束条件都是线性的，且决策变量的取值范围为非负实数。
标准型的数学表达式如下：\[\text{Maximize } \mathbf{c}^T\mathbf{x}\]\[\text{Subject to } \mathbf{Ax} \leq \mathbf{b}\]\[\text{and } \mathbf{x} \geq \mathbf{0}\]其中，\(\mathbf{c}\)为目标函数系数向量，\(\mathbf{x}\)为决策变量向量，\(\mathbf{A}\)为约束条件系数矩阵，\(\mathbf{b}\)为约束条件右端常数向量。
2. 线性规划的标准型特点。
线性规划的标准型具有以下特点：（1）目标函数和约束条件均为线性关系，数学表达简单清晰。
（2）决策变量的取值范围为非负实数，符合实际问题的特点。
（3）标准型问题的解法相对较为简单，有较多的优化算法可供选择。
3. 线性规划的标准型解法。
针对线性规划的标准型问题，可以采用单纯形法、对偶单纯形法、内点法等多种算法进行求解。
其中，单纯形法是最经典的线性规划求解算法之一。
单纯形法的基本思想是通过在可行解空间内移动，逐步逼近最优解。
具体步骤如下：（1）初始化，将初始可行解带入目标函数，得到初始的最优解。
（2）选择入基变量，根据目标函数系数选择一个非基变量作为入基变量。
（3）选择出基变量，根据约束条件确定一个出基变量，使得目标函数值增加最快。
（4）更新基本解，通过基变量的变换，更新当前的基本解。
（5）迭代求解，重复进行步骤（2）至步骤（4），直至达到最优解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是找到使目标函数达到最大或最小值的变量取值。
线性规划广泛应用于经济学、工程学、管理学等领域，可以帮助优化资源分配和决策制定。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量表示需要优化的决策变量，可以是实数或非负数。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
3. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，这些等式或不等式称为约束条件。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过标准形式来表示，其形式如下：最小化：C^T * X约束条件：A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的常数向量。
四、常见解法1. 图形法：适用于二维或三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的图形，并找到最优解所在的顶点。
2. 单纯形法：适用于高维的线性规划问题，通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。
3. 整数线性规划：当变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解，如分支定界法、割平面法等。
五、常见应用1. 生产计划：线性规划可以帮助确定最佳的生产计划，以最大化产量或最小化成本。
2. 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如确定最佳的运输路径和运输量，以最小化总运输成本。
3. 资源分配：线性规划可以优化资源的分配，如确定最佳的人力、物力和财力分配方案。
4. 投资组合：线性规划可以帮助确定最佳的投资组合，以最大化收益或最小化风险。
六、注意事项1. 线性假设：线性规划只适用于目标函数和约束条件均为线性的问题，不适用于非线性问题。
2. 敏感性分析：线性规划的解对目标函数系数和约束条件右端常数的变化具有一定的敏感性，需要进行敏感性分析。
高三数学线性规划知识点
高三数学线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于经济、管理、工程等领域。
它通过建立数学模型，寻找一组最佳决策方案，以实现特定的目标。
在高三数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将介绍线性规划的基本概念、常见问题类型以及解题方法。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性函数，这个线性函数就是目标函数。
通常用Z表示目标函数的值。
2. 变量：目标函数中的每个变量都代表一个决策变量，这些变量的取值将影响目标函数的计算结果。
3. 约束条件：线性规划的一个重要特点是存在一组约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件通常是由一组线性不等式或等式表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。
二、线性规划的问题类型1. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
2. 对偶性定理：线性规划中的对偶性定理是指对于一个标准型的线性规划问题，它与其对偶问题具有相同的最优解。
3. 整数线性规划：当决策变量要求为整数时，这就是一个整数线性规划问题。
整数线性规划的求解更加困难，常常需要借助于分支定界等特殊算法。
4. 网络流线性规划：网络流线性规划是线性规划与图论相结合的一种问题类型。
它通常用于解决最小费用流、最大流等网络优化问题。
三、线性规划的解题方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制出约束条件所构成的区域，然后绘制目标函数的等高线，并找到最优解所在的点。
2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
3. 对偶问题：通过建立原始问题与对偶问题之间的关系，可以将原始问题的求解转化为对偶问题的求解。
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是运筹学中的一种重要方法，它可以用来解决优化问题，如资源分配、生产计划等。
线性规划的标准型是线性规划问题的一种基本形式，下面我们将详细介绍线性规划的标准型及其相关概念。
首先，让我们来定义线性规划的标准型。
线性规划的标准型可以表示为如下形式：\[。
\begin{array}{ll}。
\text{max} & c^Tx \\。
\text{s.t.} & Ax = b \\。
& x \geq 0。
\end{array}。
\]其中，c为n维列向量，x为n维列向量，A为m×n矩阵，b为m维列向量。
在这个标准型中，我们要求最大化目标函数c^Tx，同时满足线性等式约束Ax=b和非负约束x≥0。
接下来，让我们详细解释一下线性规划标准型中的各个部分。
首先是目标函数c^Tx。
目标函数是线性规划问题中需要最大化或最小化的函数，它由决策变量x的线性组合构成。
在标准型中，我们通常是最大化目标函数，即求解使目标函数取得最大值的决策变量取值。
其次是线性等式约束Ax=b。
线性等式约束表示决策变量x的线性组合需要满足的条件，它由系数矩阵A和约束值b确定。
在标准型中，我们要求决策变量x满足线性等式约束Ax=b，这是问题的基本约束条件。
最后是非负约束x≥0。
非负约束表示决策变量x的取值需要大于等于0，这是线性规划问题的基本性质之一。
在标准型中，我们要求决策变量x的取值都是非负的，这是问题的基本假设条件。
线性规划的标准型在实际问题中有着广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过将实际问题转化为线性规划的标准型，我们可以利用线性规划的方法求解最优的决策方案，从而达到优化资源利用、降低成本、提高效率的目的。
在实际应用中，我们通常会利用线性规划的方法对标准型进行求解，求解的过程包括确定最优解的存在性、寻找最优解的方法、计算最优解的具体数值等。
通过对线性规划标准型的求解，我们可以得到最优的决策方案，为实际问题的决策提供科学依据。
线性规划标准化
线性规划标准化线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于在给定约束条件下寻找最优解。
在实际应用中，线性规划模型往往需要进行标准化处理，以便于使用各种算法进行求解。
本文将介绍线性规划标准化的基本概念、方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用线性规划模型。
1. 基本概念。
线性规划标准化是指将线性规划模型转化为标准形式的过程。
标准形式是指目标函数为最大化，约束条件为等式的线性规划模型。
通过标准化，可以使得线性规划模型更易于求解，同时也方便了对模型的分析和比较。
2. 标准化方法。
线性规划标准化的方法主要包括两种，转换为标准型和转换为松弛型。
转换为标准型是将原始线性规划模型转化为目标函数为最大化，约束条件为等式的标准形式；转换为松弛型则是通过引入松弛变量，将原始线性规划模型转化为标准形式。
这两种方法各有优缺点，需要根据具体情况进行选择。
3. 标准化步骤。
线性规划标准化的步骤可以总结为以下几点，确定最优化问题的目标函数和约束条件；将不等式约束转化为等式约束；引入松弛变量或人工变量；将目标函数转化为最大化形式；最后得到标准形式的线性规划模型。
4. 标准化实例。
为了更好地理解线性规划标准化的过程，我们以一个具体的实例来说明。
假设有如下线性规划模型：Max z = 3x1 + 5x2。
s.t.2x1 + x2 ≤ 10。
x1 + 3x2 ≥ 15。
x1, x2 ≥ 0。
首先，我们将不等式约束转化为等式约束，得到：2x1 + x2 + s1 = 10。
x1 + 3x2 s2 = 15。
然后，引入松弛变量或人工变量，将目标函数转化为最大化形式，得到标准形式的线性规划模型：Max z = 3x1 + 5x2。
s.t.2x1 + x2 + s1 = 10。
x1 + 3x2 s2 = 15。
x1, x2, s1, s2 ≥ 0。
通过以上步骤，我们成功将原始线性规划模型转化为标准形式，为接下来的求解和分析奠定了基础。
5. 结语。
线性规划标准化是线性规划模型求解的重要准备工作，通过标准化可以使得模型更易于求解和分析。
线性规划的标准型和基本概念
s.t
（2）
（3）
其中 b=(b1 ,b2 ,, bm )T 0
紧凑格式：
minZ= C j x j
n a ij x j =b i , i=1,2, ,m j=1 x 0, j=1,2, ,n j
j=1
n
s.t.
向量格式：
minZ=CX
n Pj x j =b j=1 x 0, j=1,2, ,n j
1
0 3 0
2
0 1 0.1
0
2 2 0.2
1
2 0 0.3
0
1 3 0.8
1
1 1 0.9
0
3 0 1的下料方案，来制造100
套钢架，且要使剩余的料头总长为最短。
圆钢（米） 2．9 2．1 1．5 料头（米）
Ⅰ 1 0 3 0
Ⅱ 2 0 1 0.1
通常称 x1 ,x 2 ,, x n 为决策变量，c1 ,c2 , , c n 为价值系数， a11 ,a12 , , a mn 为消耗系数, b1 ,b2 ,, bm 为资源限制系数。
线性规划的图解法
适用于求解两个变量的线性规划问题
图解法的基本步骤
例4,利用例1说明图解法的主要步骤， 例1的数学模型为
A
5
10
15
x1
15
（3） 无界解（或称无最优解）
无界解是指线性规划问题的最优解无界。 若是极大化问题，则可使目标函数值Z→+∝, 极小化问题 则可使目标函数值Z→-∝， 有无界解的线性规划问题的可行域是无界区域，但反之则不 必然。
例5，试用图解法求解下列线性规划问题
minZ 3x1 2x 2
运筹学之线性规划的标准型及单纯形法
• 向量式：
Obj : MaxZ CX
S.T .
n
p j x j bi
j 1
i 1,2,, m
xj 0
j 1,2,, n
C (c1 ,c2,, cn )
x1
X
x2
x1,
x2 ,, xn T
xn
7
线性规划的标准型
• 矩阵式：
Obj :
MaxZ CX
S .T . AX B
16
基解
不失一般性,设B是A的前m列,即 B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量 XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量 XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。 令所有非基变量等于零, 则X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T称为基解 。
17
基可行解
• 基可行解：基解可正可负，负则不可行， 故称满足非负性条件的基解为基可行解。
3X1+10X2+x5 =300
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
这里m=3,n=5。 Cmn=10
19
例题6 基可行解说明
• 基（P3，P4，P5），令非基变量x1,x2=0， 则基变量x3=360, x4=200, x5=300,可行解
• 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变量 x2=90,x4=-250,x5=-600.非可行解
下步
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
线性规划标准化
线性规划标准化线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找最大化或最小化线性目标函数的数值解。
在实际应用中，线性规划经常需要进行标准化处理，以便更好地进行求解和分析。
本文将介绍线性规划标准化的基本概念、方法和应用。
一、线性规划标准化的基本概念。
线性规划的标准化是指将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束和非负约束，以便于使用标准的线性规划算法进行求解。
标准形式的线性规划问题通常具有如下形式：\[。
\begin{aligned}。
\text{maximize} \quad & c^Tx \\。
\text{subject to} \quad & Ax = b \\。
& x \geq 0。
\end{aligned}。
\]其中，\(c\)为目标函数系数向量，\(x\)为决策变量向量，\(A\)为约束系数矩阵，\(b\)为约束常数向量。
通过将原始的线性规划问题转化为标准形式，可以更方便地应用线性规划算法进行求解。
二、线性规划标准化的方法。
线性规划标准化的方法主要包括两种，人工变量法和对偶理论法。
人工变量法是指通过引入人工变量来将不等式约束转化为等式约束和非负约束，然后通过对人工变量的处理来得到原始线性规划问题的最优解。
对偶理论法是指通过对原始线性规划问题构建对偶问题，并利用对偶问题的最优解来求解原始问题的最优解。
这两种方法在实际应用中都具有重要的意义，可以根据具体情况选择合适的方法进行标准化处理。
三、线性规划标准化的应用。
线性规划标准化在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在生产计划中，可以利用线性规划标准化方法对生产资源进行优化配置；在供应链管理中，可以利用线性规划标准化方法对供应链的运输和库存进行优化规划；在金融投资中，可以利用线性规划标准化方法对投资组合进行风险控制和收益最大化。
通过对线性规划问题进行标准化处理，可以更好地应用线性规划算法进行求解，并得到最优的决策方案。
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1
201
0
1
0
0
2．1
0
022
1
1
3
0
1．5
3
120
3
1
0
4
料头（米） 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1
1.4
设xj表示用第j种下料方案下料的原料根数，j=1,2…8, minZ=x1 +x2 +x3 +x4 +x5 +x6 +x7 +x8
数学模型 s.t.
x1 2x2
x4
x6
• 例2 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天 500万m3，在两个工厂之间有一条流量为200万m3的支流。两化工厂每 天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m3和1.4万m3。从第一化工 厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。环保 要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。两化工厂处理工业污水的 成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。现在要问在满足环保要求的 条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水 的费用最小
工厂1
工厂2
500万m3
200万m3
5
决污策水变的量数：量x1(、万xm2—3)。—分别代表工厂1和工厂2处理
则目标函数：min z=1000x1+800x2 约束条件：
第一段河流（工厂1——工厂2之间）：
(2－x1)/500 ≤0.2%
第二段河流：[ 0.8(2－x1) +(1.4－x2)]/700≤0.2%
例4,利用例1说明图解法的主要步骤，
例1的数学模型为
maxZ 5x1 2x2
30x1 2 0x2 160
s.t.
5x1 x1
x2 15 4
x1 0, x2 0
x2 5x1+x2=15
10 C
x1=4
5 5x1+2x2=5
B( 2, 5)
maxZ 5x1 2x2
30x1 2 0x2 160
线性规划的标准型和基本概念
线性规划问题及其数学模型 线性规划的图解法 线性规划的标准形式 标准型线性规划的解的概念 线性规划的基本理论
1
线性规划问题及其数学模型
问题的提出：
在生产管理的经营活动中，通常需要对“有限的资源”寻求 “最佳”的利用或分配方式。 有限资源：劳动力、原材料、设备或资金等 最佳：有一个标准或目标，使利润达到最大或成本达到最小。
圆钢（米） Ⅰ
ⅡⅢⅣ Ⅴ Ⅵ
Ⅶ
Ⅶ
2．9
1
201
0
1
0
0
2．1
0
022
1
1
3
0
1．5
3
120
3
1
0
4
料头（米） 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.１ 1.4
问题归纳为如何混合使用这8种不同的下料方案，来制造100套 钢架，且要使剩余的料头总长为最短。
圆钢（米） Ⅰ
ⅡⅢⅣ Ⅴ Ⅵ
Ⅶ
Ⅶ
2．9
5x1 x2 15
x1
4
x1 0, x2 0
Z=
Z x1
，Z x 2
=（5，2）
▽Z
30x1+20x2=160
O1 A5
10
15
x1
线性规划图解法的基本步骤：
（1）建立以x1,x2为坐标轴的直角坐标系，画出线性规划 问题的可行域,
（2）求目标函数 Z=C1x1+C2x2 的梯度▽Z =（c1,c2）, （3）任取等值线 C1x1+C2x2=Z0, 沿梯度▽Z正方向平移,
100
2x3 2x4 x5 x6 3x7 100
3x1 x2 2x3
3x5 x6 4x8 100
x j 0，j 1,28 且, 为整数
➢ 这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产， 使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 ➢ 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。
线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下，
变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线
性不等式来表达。 （4）要求目标函数实现极大化（max）或极小化（min）。维生素（公斤） 设来自（台班）每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
每周资源总量
160 15
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万元。但根据 市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超过4吨。问该厂应如何安 排两种药品的产量才能使每周获得的利润最大？
维生素（公斤） 设备（台班） 单位利润（万元）
有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经 营活动，使所消耗的资源数最少。
例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生 素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每 周可提供的资源总量如下表所示：
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
5
２
每周资源总量
160 15
定义x1为生产甲种药品的计划产量数，x2为生产乙种药品的计划产量数。
数学模型为
maxZ=5x1 +2x 2
s.t. （subject to) (such that)
30x1 20x2 160
5x1 x2 15
x1
4
x1 0, x2 0
a m2x2
amn xn
(
,
)b m
x1,x2 ,xn 0
通常称 x1,x2 ,为L决, x策n变量， a11,a12 ,L , a m为n 消耗系数,
c为1,c价2 ,值L系, c数n ， b1,b2 ,L ,为b资m 源限制系数。
线性规划的图解法
适用于求解两个变量的线性规划问题
图解法的基本步骤
➢ 满足上述4个特征的规划问题称为线性规划问题
线性规划的模型的一般形式:
目标函数
max(min)Z=c1x1+c2x2 +L L +cn xn
a11x1 a12x2 a1n xn ( , )b1
满足约束条件
a21x1 a22x2 a2n xn ( , )b2
a m1x1
此外有：
x1≤2； x2≤1.4
化简有：
min z=1000x1+800x2
x1
≥1
0.8x1 + x2 ≥1.6
x1 ≤2
x2≤1.4
x1、x2≥0 称之为上述问题的数学模型。
6
例３，某铁器加工厂要制作100套钢架，每套要用长为2.9米，2.1米 和1.5米的圆钢各一根。已知原料长为7.4米，问应如何下料，可使材 料最省？ ➢ 分析：在长度确定的原料上截取三种不同规格的圆钢，可以归纳 出8种不同的下料方案：