2011年考研数学三真题及答案

2011年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)已知当x→0时，f(x)=3sinx−sin3x与cx k是等价无穷小，则(A)k=1,c=4 (B) k=1,c=−4(C)k=3,c=4 (D) k=3,c=−4【答案】C。

【解析】【方法一】lim x→03sinx−sin3xcx k=limx→03cosx−3cos3xckx k−1(洛必达法则)=3limx→0−sinx+3sin3xck(k−1)x k−2(洛必达法则)=1c(limx→0−sinx2x+limx→03sin3x2x) (k=3)=1c(−12+92)=1由此得c=4。

【方法二】由泰勒公式知sinx=x−x33!+o(x3)sin3x=3x−(3x)33!+ o(x3)则f(x)=3sinx−sin3x=3x−x 32−3x+(3x)33!+ o(x3)=4x3+ o(x3)~4x3 (x→0)故k=3,c=4。

【方法三】lim x→03sinx−sin3xcx k=limx→03sinx−3x+3x−sin3xcx k=1c[limx→03(sinx−x)x k+limx→03x−sin3xx k]=1c[limx→03∙(−16x3)x k+limx→016(3x)3x k]=1c(−12+92) (k=3)=82c=1故c=4综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则(2)已知f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,则limx→0x2f(x)−2f(x3)x3=(A)−2f′(0) (B)−f′(0) (C) f′(0) (D)0【答案】B。

【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0x2f(x)−x2f(0)−2f(x3)+2f(0)x3=limx→0f(x)−f(0)x−2f(x3)−f(0)x3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)【方法二】拆项用导数定义lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0f(x)x−2limx→0f(x3)x3由于f(0)=0，由导数定义知lim x→0f(x)x=f′(0), limx→0f(x3)x3=f′(0)所以limx→0x2f(x)−2f(x3)x3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数f(x)=x,则lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0x3−2x3x3=−1而对于f(x)=x.f′(0)=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于f(x)在x=0处可导，则f(x)=f(0)+f′(0)x+o(x)=f′(0)x+o(x)f(x3)=f′(0)x3+o(x3)lim x→0x2f(x)−2f(x3)x3=limx→0x2[f′(0)x+o(x)]−2[f′(0)x3+o(x3)]x3=f′(0)−2f′(0)=−f′(0)综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3)设{u n }是数列，则下列命题正确的是(A)若∑u n ∞n=1收敛，则∑(u 2n−1+u 2n )∞n=1收敛。

(B)若∑(u 2n−1+u 2n )∞n=1收敛，则∑u n ∞n=1收敛。

(C)若∑u n ∞n=1收敛，则∑(u 2n−1−u 2n )∞n=1收敛。

(D)若∑(u 2n−1−u 2n )∞n=1收敛，则∑u n ∞n=1收敛。

【答案】A 。

【解析】若∑u n ∞n=1收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛 综上所述，本题正确答案是A 。

【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件(4)设I =∫lnsinxdx π40,J =∫lncotxdx π40,K =∫lncosxdx π4,则I,J,K 的大小关系为(A) I <J <K (B) I <K <J (C) J <I <K (D)K <J <I 【答案】B 。

【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，由于当0<x <π4时，0<sinx <cosx <1<cotx又因为lnx 为(0,+∞)上的单调增函数，所以lnsinx <lncosx <lncotx , 0<x <π4故∫lnsinxdx π40<∫lncosxdx π40<∫lncotxdx π40 即I <K <J综上所述，本题正确答案是B 。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质 (5)设A 为3阶矩阵，将A 第2列加到第1列得矩阵B,再交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，记P 1=[100110001], P 2=[100001010],则A =(A) P 1P 2 (B)P 1−1P 2 (C) P 2P 1 (D)P 2P 1−1【答案】D 。

【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵 按题意A [100110001]=B ，[100001010] B =E 从而AP 1=B,P 2B =E ，从而P 2(AP 1)=E所以A =P 2−1EP 1−1=P 2P 1−1【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵 (6)设A 为4×3矩阵，η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax =β的3个线性无关的解，k 1,k 2为任意常数，则Ax =β的通解为 (A)η2+η32+k 1(η2−η1) (B)η2−η32+k 1(η2−η1)(C) η2+η32+k1(η2−η1)+k2(η3−η1)(D) η2−η32+k1(η2−η1)+k2(η3−η1)【答案】C。

【解析】因为η1,η2,η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，那么η2−η1,η3−η1是Ax=0的2个线性无关的解。

从而n−r(A)≥2 即3−r(A)≥2⇒r(A)≤1显然r(A)≥1，因此r(A)=1由于n−r(A)=3−1=2知(A),(B)均不正确。

又Aη2+η32=12Aη2+12Aη3=β，所以η2+η32是方程组Ax=β的解综上所述，本题正确答案是C。

【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解(7)设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其对应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是(A) f1(x) f2(x) (B)2f2(x) F1(x)(C) f1(x)F2(x) (D) f1(x)F2(x)+f2(x) F1(x)【答案】D。

【解析】判断函数f(x)是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：(1) f(x)满足是概率密度的充要条件f(x)≥0和∫f(x)dx +∞−∞=1 (2)f (x )=F′(x)或者∫f(x)dx x−∞=F(x),而F(x)为分布函数 由于F 1(x)与F 2(x)为两个分布函数，显然F 1(x) F 2(x)也是分布函数，而[F 1(x )F 2(x )]′=f 1(x )F 2(x )+f 2(x) F 1(x)综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度(8)设总体X 的服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，X 1,X 2,⋯X n (n ≥2)为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量T 1=1n ∑X i n i=1和T 2=1n−1∑X i n−1i=1+1nX n ,有(A)ET 1>ET 2,DT 1>DT 2 (B)ET 1>ET 2,DT 1<DT 2 (C)ET 1<ET 2,DT 1>DT 2 (D) ET 1<ET 2,DT 1<DT 2 【答案】D 。

【解析】X~P(λ),所以，EX =λ,DX =λ, X 1,X 2,⋯X n 相互独立均服从P(λ) 可求得ET 1=EX =λ,DT 1=DX =λn而ET 2= λ+λn，DT 2=λn−1+λn 2所以ET 1<ET 2,DT 1<DT 2 综上所述，本题正确答案是D 。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念—常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。

）(9)设f(x)=limt→0x(1+3t)x t,则f′(x)= 。

【答案】e3x(1+3x)。

【解析】f(x)=limt→0x[(1+3t)13t]3x=xe3xf′(x)=e3x+3xe3x=e3x(1+3x)综上所述，本题正确答案是e3x(1+3x)。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四则运算(10)设函数z=(1+xy )xy,则dz|(1,1)= 。

【答案】(2ln2+1)dx+(−2ln2−1)dy。

【解析】由z=(1+xy )xy，可得ðz ðx =exy ln (1+xy)[1yln(1+xy)+xy2+11+xy]=(1+xy)xy[1yln(1+xy)+xy1x+y]ðz ðy =exy ln (1+xy)[−xy2ln(1+xy)−xy11+xyxy2]=−(1+xy )xy xy2[ln(1+xy)+xx+y]所以dz|(1,1)=ðzðx |(1,1)dx+ðzðy|(1,1)dy=(2ln2+1)dx+(−2ln2−1)dy综上所述，本题正确答案是(2ln2+1)dx+(−2ln2−1)dy。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念与计算(11)曲线tan (x +y +π4)=e y 在点(0,0)处的切线方程为 。

【答案】y =−2x 。

【解析】方程tan (x +y +π4)=e y 两端对x 求导得sec 2(x +y +π4)(1+y ′)=e y y′将x =0,y =0代入上式，y ′=−2 故所求切线方程为y =−2x【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函数的微分法，平面曲线的切线与法线(12)曲线y =√x 2−1,直线x =2及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 。