偶然误差的统计规律三
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偶然误差的统计规律
提纲： 一、偶然误差分布的三种描述方法 二、偶然误差的统计规律 三、由偶然误差特性引出的两个测量依据
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
通过前面的学习我们发现，采用一定观测程序或模型改正 的方法可以将系统误差消除或减弱，使偶然误差起主导作 用，而偶然误差没有规律性可言，而且很难采用上述方法 予以减弱。但是研究发现根据统计学的相关理论，偶然误 差有较强的统计规律。
误差理论与测量平差
wk.baidu.com
测绘工程系
偶然误差的统计规律
三、由偶然误差特性引出的两个测量依据
制定测量限差的依据 （有界性） 判断系统误差（粗差）的依据 （对称性和抵偿性）
偶然误差的数学期望等于真值，若误差的理论平均值不为 0且值较大，可以判断包含系统误差或者粗差。
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
2、绘图法
（1）以误差△的数值为横 坐标，(μ/n)/d△为纵坐标 （2）误差较小的长方形较高 ，面积较大，即出现的相 对个数较多；反之，误差 较大的长方形其面积较小 ，即出现误差的相对个数 较少。正负误差的个数基
△
本相同。
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
在相同的观测条件下，对测区781个三角形的内角进行观 测，并按照下式求出三角形内角和的真误差为：
i 180 (L1 L2 L3)i , (i 1,2,,781)
式中：180°为三角形内角和的真值，三角形内角和的观 测值为L1+L2+L3，角标i表示第i个三角形，假设各个三角 形的偶然误差相互独立（即不存在相关性，大小和符号等 不相互影响）。
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
为研究其统计规律，假设对n个量进行了观测，观测值为
、
L1、L2、、Ln其相应的真值分别为L~1、L~2、、L~n 令 i L~i Li
i 即真误差。由于假定测量平差所处理的观测值只含偶
然误差，所以真误差就是偶然误差。用向量形式表述为：
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
1、列表法
误差区间单位 （″）
0.0~0.5 0.5~1.0
为负的真误差 △
个数 μi
相对个数μ i/n
123
0.158
99
0.127
为正的真误差 △
个数 μ i
相对个数μ i/n
116
0.149
98
0.125
1.0~1.5
f (x)
1
e
(
xa)2 2 2
2
误差理论与测量平差
0
测绘工程系
偶然误差的统计规律
二、偶然误差的统计规律
通过上述分析可以发现偶然误差有以下4点统计规律: 有界性：在一定条件下，超过一定限值的误差出现的概率
为0 聚中性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等 抵偿性：偶然误差的数学期望等于0
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
3、密度函数法
（1）当样本个数无限增加，区间无限缩小，直方图中折线就 变成光滑曲线，如图所示。该曲线被称为概率密度曲线或者误 差分布密度曲线，它接近于正态分布。
（2）可用如下函数表示，其中 为
f( )
数学期望， 2为方差。
谢 谢！
误差理论与测量平差
测绘工程系
、
L1
L
L2
n1
Ln
L~
n1
L~1 L~2
..L~n
1
2
则有：
L~
L
n1 .
n1
n1
n
注意：在下面的学习过程中若不加说明，即没有下标说明的向量都
是列向量，若表示行向量则加以转置符号表示，如：LT 、AT 、B T
72
0.092
74
0.095
1.5~2.0
51
2.0~2.5
22
2.5~3.0
16
3.0~3.5
10
3.5以上
0
和
393
0.065 0.028 0.020 0.013
0 0.503
48
0.061
27
0.035
16
0.020
9
0.012
0
0
388
0.497
d△表示误差区间为0.5″，统计各个区间个数μ i，及各区间出现的频率μ i/n 。绝对值较小的个数多，绝对值相等的正负误差个数接近，误差在3.5″以内
提纲： 一、偶然误差分布的三种描述方法 二、偶然误差的统计规律 三、由偶然误差特性引出的两个测量依据
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偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
通过前面的学习我们发现，采用一定观测程序或模型改正 的方法可以将系统误差消除或减弱，使偶然误差起主导作 用，而偶然误差没有规律性可言，而且很难采用上述方法 予以减弱。但是研究发现根据统计学的相关理论，偶然误 差有较强的统计规律。
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三、由偶然误差特性引出的两个测量依据
制定测量限差的依据 （有界性） 判断系统误差（粗差）的依据 （对称性和抵偿性）
偶然误差的数学期望等于真值，若误差的理论平均值不为 0且值较大，可以判断包含系统误差或者粗差。
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偶然误差的统计规律
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测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
2、绘图法
（1）以误差△的数值为横 坐标，(μ/n)/d△为纵坐标 （2）误差较小的长方形较高 ，面积较大，即出现的相 对个数较多；反之，误差 较大的长方形其面积较小 ，即出现误差的相对个数 较少。正负误差的个数基
△
本相同。
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偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
在相同的观测条件下，对测区781个三角形的内角进行观 测，并按照下式求出三角形内角和的真误差为：
i 180 (L1 L2 L3)i , (i 1,2,,781)
式中：180°为三角形内角和的真值，三角形内角和的观 测值为L1+L2+L3，角标i表示第i个三角形，假设各个三角 形的偶然误差相互独立（即不存在相关性，大小和符号等 不相互影响）。
误差理论与测量平差
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偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
为研究其统计规律，假设对n个量进行了观测，观测值为
、
L1、L2、、Ln其相应的真值分别为L~1、L~2、、L~n 令 i L~i Li
i 即真误差。由于假定测量平差所处理的观测值只含偶
然误差，所以真误差就是偶然误差。用向量形式表述为：
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
1、列表法
误差区间单位 （″）
0.0~0.5 0.5~1.0
为负的真误差 △
个数 μi
相对个数μ i/n
123
0.158
99
0.127
为正的真误差 △
个数 μ i
相对个数μ i/n
116
0.149
98
0.125
1.0~1.5
f (x)
1
e
(
xa)2 2 2
2
误差理论与测量平差
0
测绘工程系
偶然误差的统计规律
二、偶然误差的统计规律
通过上述分析可以发现偶然误差有以下4点统计规律: 有界性：在一定条件下，超过一定限值的误差出现的概率
为0 聚中性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等 抵偿性：偶然误差的数学期望等于0
误差理论与测量平差
测绘工程系
偶然误差的统计规律
一、偶然误差分布的三种描述方法
3、密度函数法
（1）当样本个数无限增加，区间无限缩小，直方图中折线就 变成光滑曲线，如图所示。该曲线被称为概率密度曲线或者误 差分布密度曲线，它接近于正态分布。
（2）可用如下函数表示，其中 为
f( )
数学期望， 2为方差。
谢 谢！
误差理论与测量平差
测绘工程系
、
L1
L
L2
n1
Ln
L~
n1
L~1 L~2
..L~n
1
2
则有：
L~
L
n1 .
n1
n1
n
注意：在下面的学习过程中若不加说明，即没有下标说明的向量都
是列向量，若表示行向量则加以转置符号表示，如：LT 、AT 、B T
72
0.092
74
0.095
1.5~2.0
51
2.0~2.5
22
2.5~3.0
16
3.0~3.5
10
3.5以上
0
和
393
0.065 0.028 0.020 0.013
0 0.503
48
0.061
27
0.035
16
0.020
9
0.012
0
0
388
0.497
d△表示误差区间为0.5″，统计各个区间个数μ i，及各区间出现的频率μ i/n 。绝对值较小的个数多，绝对值相等的正负误差个数接近，误差在3.5″以内