偶然误差的统计规律三

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第二章误差分布与精度指标

2 2

DXX E X E( X )X E( X )

T

§2.1

正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称；成反比； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵：
Y X 观测值向量 n 关于的互协方差阵： 1 n1
nm

DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T

T

x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann

x2
xn

§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX：
n1
DXX特点：对称可逆方阵主对角线上元素为对应观测值的方差; 非主对角线上元素为对应两个观测值的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2

《测量平差》教案第二章误差分布与精度指标 (武汉大学版)

《测量平差》教案第二章误差分布与精度指标第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。

二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。

第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。

（界限性） (2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。

（小误差占优性）(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。

（对称性）三、两个重要概念(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。

小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。

第三节衡量精度的指标；第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度一、精密度指标（一）观测量的精密度指标1、观测条件与精密度配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。

2、几种常用的精密度指标（1）方差与标准差推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例(2) 极限误差分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式(3) 相对误差给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。

(4) 平均误差与或然误差给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。

（二）观测向量的精度指标1、n维随机向量的方差阵导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。

2、两随机向量的互协方差阵导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。

偶然误差

2、产生的原因-----观测条件
（1）测量仪器：
仪器构造上无法达到理论上的要求；例如水准ห้องสมุดไป่ตู้量时 , 水准仪的视准轴不水平,会对水准测量结果影响等. （2）观测者：人的感官上的局限性、操作技能、工作态度；仪器的安置\瞄准\读数（3）外界条件：观测时所处的外界环境，如风力、温度、日照、湿度、气压、大气折光等。
长度小0.006m,这种误差的大小与所量的直线长度
成正比, 而且正负号始终一致.
数字测图原理及方法
系统误差
二、误差的种类
测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 1.系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性，或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。例如：2）、定线误差: 传统的距离测量中,距离较长,需要进行分段丈量. 必须进行直线定线. LAB-SAB>0 系统误差
二、误差的种类
测量误差根据其性质不同,可分为系统误差、偶然误差、粗差。 2.偶然误差：在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。
Δ
例如： 1)、距离测量 D
数字测图原理及方法
水准仪I角对测量高差的影响---系统误差
a1 a
视准轴水准管轴
i
i
b1 b B
A
SA
SB
hAB ( a1 b 1 )

i
S A
SB

SA=SB时，△hAB=0
总结:系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱.

误差基本知识

• 在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。
• 例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如 h=D×tanδ+i-L，高差h就是观测值i和δ的函数
10
0.32
20
0.22
50
0.14
本章小结:
• 误差产生的根源，观测条件 • 系统误差，偶然误差及其特点（难点） • 中误差的两种计算公式及应用条件（重点
） • 相对误差，允许（极限）误差（难点） • 常用函数的中误差计算公式（重点） • 算术平均值中误差计算
课后作业（书７０页）：
• 第２题. • 第３题. • 第４题. • 第６题：（１）（２）
• 限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标准。如果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观测值不合格，应舍去不用。
• 测量上常取三倍或两倍中误差作为极限误差Δ限，也称允许误差，即：
容 3m或2m
５-５误差传播定律
• 能直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。
mZ
k12mx21
k
2 2
mx22
...
k
2 n
mx2n
1.量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差mD 0.01m ,求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长 P D 3.1416 34.50 108.38
中误差mP mD 3.1416 (0.01) 0.03m
分布离散，误差就大，精度就低。
• 中误差及其计算 • 1 中误差的定义 • 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，

随机误差统计规律分布特点

随机误差统计规律分布特点
随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。

随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。

正态分布具有以下特点：
1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。

2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。

3.均值与中位数相等。

4.标准差越小，分布曲线越陡峭。

5.曲线下方的面积为1。

正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。

在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。

5第五章误差基本知识

观测值的精度好坏，可以用一组误差接近于零的密集程度来表示。这可以用误差分布图来表示，也可用数字来表示。

一、中误差
1.观测值中误差的定义：在相同观测条件下，对某量进行了一系列的观测，其观测值为，L1 , L2 , , Ln 1 , 2 , , n 相应的真误差为 , 则该组各个观测值得中误差m为：
Z x1 x2
Z kx
2
F 2 mn x n
2
xn
mz km
kn xn
2 2 mz k12 m12 k2 m2 2 2 kn mn
Z k1x1 k2 x2
因此，应用误差传播定律求观测值函数的精度（中误差），可按下述步骤进行：（1）按问题性质列出函数式：
容＝m 的个数为
§5－5 误差传播律

上节介绍了衡量多次直接观测值的精度问题。但在实际工作中，许多未知量经常不能直接测定，必须由直接观测值间接推算出来。例如，矩形的面积A＝长×宽，直接观测量是长度和宽度，面积是根据长和宽计算出的。由于测量长和宽时有误差，因此，计算面积时一定会有误差，那么面积的误差如何估计，计算出的面积精度（质量）如何？
(k ) f n xn
2 n 2 n n
[Z ] f [x ] f [x ]
2 2 1 2 1 2 2 2 2
f [x ] fi f j [xi x j ]
i , j 1 i j
2 [xi x j ] [xn ] n f fi f j k k i , j 1 2 n i j
求中误差时，应注意几点：

（1）各个观测值必须是等精度的（即“在相同观测条件下”）；如果观测值是不等精度的，则不能直接使用（5-4）式。（2）观测值的真值必须可知，真误差才可求得。（3）根号前的“”号表示误差的偶然性质，所以不能省去。（4）所谓“观测值”可以是直接观测值，也可以是由直接观测值推算出来的函数值（如一组观测值的平均值）。

工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)

测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi （i=1，2，…，n ）（6-8）【例】设有两组同精度观测值，其真误差分别为：第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″；第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。

试比较这两组观测值的精度，即求中误差。

解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1<m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。

同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。

另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。

二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==（6-10）三、误差传播定律【例】丈量某段斜距S =106.28 m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m 。

解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值n m ] [∆∆ ±=2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。

偶然误差的特性.

测量误差
偶然误差的特性
中误差（数值越小，精度越高）
测量误差
解决办法
偶然误差的特性
根据偶然误差的特性，它无法用系统误差的解决办法解决，只能用相应的办法来减弱其对测量成果的影响：
➢改善观测条件，以缩小误差范围； ➢增加观测次数，以减小偶然误差对测量成果的影响； ➢取多次观测值的算术平均值作为观测结果。
地形测量
测绘基准
主讲人：赵柯柯黄河水利职业技术学院
测量误差
偶然误差的特性
测量误差
偶然误差的特性
测量误差
偶然误差的特性
➢绝对值最大不超过某一限值（1.6秒）；
➢绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的个数多；
➢绝对值相等的正、实践证明，在其它测量结果中，也都显示出上述同样的统计规律。
偶然误差的特性
观测成果精度的评定标准
评定精度的标准
中误差容许误差（极限误差）相对误差
THANKS 谢谢聆听
主讲人：赵柯柯黄河水利职业技术学院
测量误差
偶然误差的特性
测量误差
偶然误差的特性
偶然误差的分布规律（特性）
（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定界限（有界性）；（2）绝对值相等的正、负误差出现的概率相等（对称性）；（3）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大（聚中性）；（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋于零（抵偿性）。

偶然误差统计分布规律的研究

维普资讯Ｑ：
ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｎＩｎｏｖａｔｏｎｉＨｅｌｒａｄ
工程技术
偶然误差统计分布规律的研究
王远景富岩任师兵（阳农业大学理学院沈阳１０１沈１１）６
摘要：同样的条件下，在对于同一物理量进行多次测量时，然误差的分布就表现出严格的统计规律性，偶本文通过一个力学实验的误差分析，用统计方法研究偶然误差分布规律，而加深对偶然误差分布规律的ｉｉ，出改进实验的一般方法。从＆ｆ找，关键词：物理偶然误差规律单摆数据重力加速度中图分类号：Ｏ４文献标识码：Ａ文章编号： — ９Ｘ２０）４ａ一０９０ｌ７０８（０８０（）０５ — ３６４短，刀口钢卷尺（４挂在上座上，５是带附１）（）刻度的摆幅度板，６是读周期用的指标镜，（）可以方便而准确地测量摆线的长度。直径相同的钢摆球（６、铝摆球（７通过摆球接１）１）头（）换，１互５得知单摆的周期与质量无关。１２原理及实验方法．图２为原理图，用一根不能伸缩的细线，上端固定，下端悬挂一个小球。当细线质量比小球质量小很多，而且球的直径又比细线长度小很多时，就可以把小球看成是一个不计细线质量的质点。如果把小球略推动后，小球在重力作用下可在竖直平面内摆动，单摆往返一次所需要的时间称１材料与方法单摆的周期（）可以证明当ｐ角很小时（，ｒ。一１１装置．。单摆的周期满足以下近似关系试验于２０７年７～８月在沈阳农业大学般不超过５）０物理实验室进行，用ＪＬ３型单摆装采 — Ｄ３ｆ，置（见图１和钢卷尺、钢球、计数器等。通）Ｔ Ⅱ Ｆ＝２（１）ｇ过水平螺丝（）２调节水平。它的立柱（）４安装在Ｔ型三足座（），１上立柱（）４上端有上座（）７，￡（）２上座上装有线夹块（）可任意调节摆线长所以ｇ４ ‘ １，０根据多年从事物理实验工作的经验认为：个物理量的测量，只有包括误差估计一在内的数据才有参考价值，误差的大小直接反映了该物理量的可信程度。还可以帮助我们找到提高实验质量的方法，以指导我们对实验做进一步的改造。以前用秒表计时，测单摆的重力加速度误差较大，在我们改用数字毫秒计和现光电门来计时，量结果ｇ值的有效数字，测就由原来的二至三位提高到四至五位精度大大提高了。

工程测量误差测量理论例题和习题

试比较这两组观测值的精度，即求中误差。

解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1<m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。

同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。

另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。

二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==（6-10）三、误差传播定律【例】丈量某段斜距S = m ，斜距的竖角，斜距和竖角的中误差分别为、，求斜距对应的平距D 及其中误差。

解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值n m][2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。

则最终平距可表示为：D=± m 。

第八章定量分析概论习题

( )10、当被测物质不能与标准溶液直接反应时，可选用返滴定法。
二、填空
1、试剂中含有微量待测组分所产生的误差属于( 试剂 )误差。
2、精密度是（平行测定值之间相符合）的程度，准确度是（测定值与真值之间相符合）的程度。
3、偶然误差的统计学规律是（大小相等的正负误差出现的机会均等）和（小误差出现的多大误差出
3偶然误差的统计学规律是大小相等的正负误差出现的机会均等和小误差出现的多大误差出现的少减小偶然误差的方法是多次测定取平均值
第八章定量分析概论
一、判断对错
( )1、定量测定中要求测定结果的误差等于零。
( )2、定量分析中，空白试验是指用已知试样代替试样，按照试样的分析步骤和条件进行测定。
( )3、准确度是指测定值和平均值之间相符合的程度。
9、标定HCl溶液浓度可以使用Na2CO3和硼砂为基准物质，当两者均保存得当，则选（硼砂）更好，原
因是( 硼砂摩尔质量大 )。当硼砂失水时，标定的结果将（偏低）。
10、滴定管的读数误差是（ ±0.01mL ），为保证滴定分析的体积误差在0.1%以内，一般来说滴定剂的
体积控制在（ 20-30 mL ）之间。
( )4、可以使用直接法配制HCl和NaOH标准溶液。
( )5、滴定过程中指示剂颜色发生变化的点叫做化学计量点。
( )6、天平零点稍有变动是系统误差。
( )7、读取滴定管读数时最后一位数字估计不准是操作误差。
( )8、pH=7.21，其有效数字是3位。
( ✓ )9、分析结果的精密度高，说明随机误差小。
C. 痕量分析
6、利用质子传递反应进行滴定的方法称( B ) 滴定法。
D.半微量分析
A.沉淀
B.酸碱

单摆

实验三单摆实验与偶然误差的统计规律重力加速度是一个重要的地球物理常数。

各地区的重力加速度数值，随该地区的地理纬度和海拔高度不同而不同。

在理论、生产和科学研究中，重力加速度的测定都具有很重要的意义。

本实验用单摆测定重力加速度，同时，通过手控多次测量单摆的周期以验证偶然误差的正态分布规律。

【实验目的】1．了解镜尺、光电计时装置的使用方法；2．掌握用单摆测量重力加速度的方法；*3．从单摆的周期测量值的变化，认识偶然误差的规律性。

【实验仪器】单摆、秒表、光电计时装置、镜尺、钢卷尺、游标卡尺等【实验原理】简单地说，单摆就是由一个不能伸长的轻质细线和悬在该细线下端且体积很小的金属摆球所构成的装置。

要求摆线的长度远大于摆球的直径，摆球质量远大于细线质量的条件。

，单摆装置（如图3-1所示）的调节：调节底座的水平螺丝，使摆线与铅直的立柱平行；调节摆幅测量标尺高度与镜面位置，使得标尺的上弧边中点与顶端悬线夹下平面间距离为50cm；调节标尺平面垂直与顶端悬线夹的前伸部分；调节标尺上部平面镜平面与标尺平面平行，镜面上指标线处于仪器的对称中心。

秒表和光电计时装置均可用来计时。

相关计时装置的使用请参见相应的说明书1．单摆测重力加速度将摆球自平衡位置拉至一边（摆角小于5°）释放，摆球即在平衡位置左右往返作周期性摆动，如图3-2所示。

设摆球的质量为m ，其质心到摆的支点O的距离为lmgθ。

它（摆长）。

作用在摆球上的切向力的大小为sin≈，切向力总指向平衡点O′。

当角θ很小时，则sinθθ图3-1的大小约为mgθ，按照牛顿第二定律，质点的运动方程为ma mg θ=-⇒切22d ml mg dtθθ=-220d gdt lθθ+= （3-1）这是一简谐运动方程，可知简谐振动角频率ω的平方等于g / l ，由此得出l g T ==πω2 gl T π2= 224Tlg π= （3-2）式中T 为单摆的周期。

实验中，若测出摆长l 和周期T ，则重力加速度g 即可由上式求得。

如何进行误差计算

误差一、直接测量和间接测量在物化实验中需对某些物理量进行测量，以便寻找出化学反应中的某些规律，测量又可分为直接测量和间接测量。

直接测量是指实验结果可直接用实验数据表示。

如用温度计测量温度，用米尺测量长度，用压力计测量压力等。

另一类间接测量是指实验结果不能直接用实验数据表示，而必须由若干个直接测量的数据通过某种公式进行数学运算方可表示的实验结果。

如用凝固点降低法测溶质的分子量，就必须通过测量质量、体积和温差这些直接测量的数据，再用冰点降低公式进行数学运算后，方可得到溶质的分子量。

在直接测量过程中由于所使用的测量工具不准确，测量方法的不完善，都使得测量结果不准确，以致于偏离真实值，这就是误差。

在间接测量中由于直接测量的结果有误差，此误差可传递到最后的结果中，也可使其偏离真实值。

由上所述，可知误差存在于一切测量之中，所以讨论误差，了解其规律、性质、来源和大小就非常有必要。

实验误差的分析，对人们改进实验，提高其精密度和准确度（精密度和准确度的意义在以后讨论），甚至新的发现都具有重要的意义。

二、真值真值是一个实际上不存在的值，它只是一个理论上的数值。

例如，我们可取光在真空中的速度作为速度的计量标准，又如，可用理论安培作为电流的计量标准，其定义为：若在真空中有两根截面无限小的相距2米的无限长平行导体，在其上流过一安的电流时，则在二导体间产生10-7牛顿／米的相互作用力。

这样的参考标准实际上是不存在的，它只存在于理论之中，因此这样的真值是不可知的。

但人类的认识总是在发展的，能够无限地逐渐迫近真值。

由于真值是不可知的，所以一般国家（或国际上）都设立一个能维持不变的实物基础和标准器。

指定以它的数值作为参考标准。

例如，以国家计量局的铯射束原子频率标准中，铯原子的基态超精细能级跃迁频率的平均值作为9，129，631，770赫。

这样的参考标准叫做指定值。

在实际工作中，我们不可能把所使用的仪器都一一地与国家或国际上的指定值相对比，所以通常是通过多级计量检定网来进行一系列的逐级对比。

如何减小偶然误差

对测定结果的准确度要求较高时，测定次数为10次左右。
※正确表示分析结果：样本平均值本相对标准偏差Sr），测定次数n。
x ，样本标准偏差S（样
1．误差的正确定义是（选择一个正确答案）： a 某一测量值与其算数平均值之差；
b 含有误差之值与真值之差； c 测量值与其真值之差： d 错误值与其真值之差。
1.偶然误差的分布规律当测定次数无限多，并且消除系统误差的情况下，偶然误差的分布符合正态分布，可用正态分布曲线表示：横坐标(u)：偶然误差纵坐标(y)：误差出现的概率
u
x

2. 偶然误差的分布具有以下性质
(1) 对称性：偶然误差的分布曲线呈对称分
布; 大小相近的正误差和负误差出现的概率相等。 (2) 单峰性: 小误差出现的概率大，大误差出现的概率小，很大误差出现的概率极小。误
答：cBiblioteka 2.误差的绝对值与绝对误差是否相同？答：不相同。误差的绝对值是 E r 或 E a ，绝对误差是Ea。
3.常量滴定管（25mL）读数时可估读到±0.01 mL，若要求滴定的相对误差小于0.1%，在滴定时，耗用体积应控制为多少？
解：∵ 2 0.01 ≤0.1%，∴V≥20mL。答：耗用体积应
若 Q > Q表舍弃该数据。（过失误差造成）
若 Q ≤ Q表保留该数据。（偶然误差所致）
例：
测定某药物中Co的含量（10-4）得到结果如下： 1.25, 1.27, 1.31， 1.40，
用4d 法和 Q 值检验法判断 1.40 是否保留。
用 Q 值检验法：可疑值 xn
Q计算
xn xn1 1.40 1.31 0.60 x n x1 1.40 1.25

偶然误差的概念

偶然误差的概念
偶然误差是指偶然的、不可预知的误差，即受观察者本身及观察者所处的环境等客观条件影响的误差，这种误差并不直接反映测量值的真实情况。

偶然误差是由于若干偶然原因所引起的微量变化的综合作用所造成的误差。

这些偶然原因可能与观测设备、方法、外界条件、观测者的感觉等因素有关。

偶然误差对测值个体而言是没有规律的（或者规律还未被人掌握），不可预言和不可控制的，但其总体（大量个体的总和）服从于统计规律，可以从理论上计算它对观测结果的影响。

偶然误差的统计规律

偶然误差的统计规律一、实验目的：从摆的周期测量值的变化认识偶然误差的规律性：1、平均值x 和测量列标准偏差S 将随n 的增大而趋于稳定值。

2、测量值的分布和高斯分布接近。

3、在(s x -)~(s x +)区域中测量值的数目约为总数的68%二、实验仪器：复摆、秒表。

三、实验方法：1、测量复摆的周期，将支架底座调水平。

2、复摆摆动角度不就过大，尽量避免系统误差，不应让摆前后摆动。

3、用秒表测量复摆周期，可测量摆动5次、10次、20次的时间，再计算周期，共测量100次。

此实验是研究偶然误差规律性，不要人为的有意选择数据，测量时尽量保持振幅稳定。

四、数据的统计1、求平均值P 及测量列标准偏差S （x ） n x P i ∑=11)()(22--=--=∑∑∑n x P x n P x x S ii i2、剔除坏数据：使用格罗面斯判据去判断，可保留的数据范围为：)()(S G P x S G P n n +≤≤- G n 为格罗布斯判据系数3、求剔除坏数据后的平均值及测量列的标准偏差，要求按测量顺序每增加4、分区统计并和正态分布作比较① 找出数据的最小值（A ）和最大值（B ）② 将（B ——A ）等分为M 个区间，区间宽度E 为 MA B E -= ③ 统计每个区间的数据的个数n i (I=1，2，3…100)④ 作统计直方图和正太分布的概率密度曲线比较，以测量值为横坐标，以频率n n i 和区间宽度的比值Ei n n 为纵坐标，作统计直方图。

⑤统计在（P—S）~（P+S）量值范围中，测量值的个数n s，求n s/n值。

平差习题库

一、填空题：1、观测条件由观测仪器、____________和_____________三部分构成。

2、观测误差按其性质的不同可分为系统误差和偶然误差，其中____________误差在观测或计算过程中可以采用一定的措施消除或削弱，而___________误差在观测结果中必然存在。

3、测量平差的首要任务是经过数据处理，确定观测值的________________，而__________________________________________也是其必不可少的任务。

4、偶然误差的统计规律性是指：界限性、_______性、_______性和_______性。

5、在某相片上量得一距离长为200㎝，其相对中误差为1/3000,则该距离的绝对中误差为_____________________㎝。

6、测量平差是在______________的基础上利用_______________原理进行的。

7、单位权中误差mo、权Pi和中误差mi之间的关系为_______________________。

8、有一四边形导线环，同精度观测其各内角，共观测5组结果，计算出5个闭合差为﹣8″、9″、7″、﹣5″、-7″，则每组观测值之和中误差为____________，每个导线角观测值中误差___________。

（保留一位小数）9、设某角度观测值的协因数为3，则其观测值的权为_________。

10、观测成果的质量高低__________（能、否）反映观测条件的好坏。

11、理论上我们取3倍中误差为极限误差；而等级控制测量因为观测的精度要求比较高，往往规定______倍中误差为极限误差12、衡量精度常用的几种指标有中误差、___________误差和__________误差。

13、精度是指误差分布的________________程度。

14、由三角形闭合差ω计算测角中误差mβ的公式为______________________。