平面立体截交线
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第08章截交线

Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
具体步骤如下:
(1)先作出截交线上的特殊点 2’
5’(6’) 3’4’ 1’
7’8’
(2)再作一般点。
2”
6”
4”
8”
5” 3”
7”
(3)依次光滑连接各点,即得 截交线的水平投影和侧面投影。 (4)补全侧面转向轮廓线。
1” 4
Ⅱ
6 2
8
Ⅳ Ⅲ
正垂线
1
7
3 5 平面与圆锥相交
1
7 2
求 4 交 6 线 1。求交点连线 方 2。根据条件直接求交线 法
求切割体的投影就是在 基本体的基础上,画出 截断面的投影,去掉截 去部分轮廓的投影
注意利用平面投影特 性中“类似形”“积 聚性”这些投影特征 来分析、作图、检查。
例2 求立体截切后的投影
4 5 1
(3)
3 6
4
3” 2”
1”
二:作图:①求正垂面 与立体的交线
1 ·
4 3
2
(a) 求正垂面与立体的交线
作图:②,判别可见性, 完成轮廓投影、加深。
2’ (4’)
1’
3’ 4” 1”
3” 2”
4 3 1 2
(c) 整理、加深 正四棱锥被一正垂面截切
作图: ③检查、完成
(d) 检查、完成 图3-21 正四棱锥被一正垂面截切
8
1 7 6 2
4
3
(d) 整理、加深
图3-22 正四棱锥被两平面截切
作图: ③检查、完成
(e) 检查、完成 图3-22 正四棱锥被两平面截切
例:求立体截割后的投影
1’(2’) 1〞 4〞 2〞 3〞
画法几何与机械制图第章立体的投影平面与立体表面相交(截交线)

圆
倾斜于轴线
椭圆
例4:求左视图
● ● ●
截交线的 截交线的已知投影? 空间形状? 截交线的侧面投 影是什么形状?
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4:求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
图3-30
㈢ 圆球表面的截交线
例:求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的 水平面与圆球面的交 交线的投影,在侧视上为 线的投影,在俯视图上 部分圆弧,在俯视图上积 为部分圆弧,在侧视图 聚为直线。 上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例:已知缺口三棱锥的正面投 影,补全它的水平投影和侧面 投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析 两个截平面一个是水平面,一个是正垂 ★ 求截交线 注意: 面,都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影 要逐个截平面分析和绘制截交线和 水平截面在水平投影中反映实形,在侧 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面之间的交线。 面投影中积聚。 交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时,先 假想为整体被截切,求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱 柱的正面投影,补全穿孔六棱柱的水平投 影,作出它的侧面投影。P56
y
y 分析:正垂的三棱柱孔在正投影面上积 聚,三个截面的交线积聚成三角形的三 个顶点。 找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交(截交线)
几个基本概念
倾斜于轴线
椭圆
例4:求左视图
● ● ●
截交线的 截交线的已知投影? 空间形状? 截交线的侧面投 影是什么形状?
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4:求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
图3-30
㈢ 圆球表面的截交线
例:求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的 水平面与圆球面的交 交线的投影,在侧视上为 线的投影,在俯视图上 部分圆弧,在俯视图上积 为部分圆弧,在侧视图 聚为直线。 上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例:已知缺口三棱锥的正面投 影,补全它的水平投影和侧面 投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析 两个截平面一个是水平面,一个是正垂 ★ 求截交线 注意: 面,都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影 要逐个截平面分析和绘制截交线和 水平截面在水平投影中反映实形,在侧 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面之间的交线。 面投影中积聚。 交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时,先 假想为整体被截切,求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱 柱的正面投影,补全穿孔六棱柱的水平投 影,作出它的侧面投影。P56
y
y 分析:正垂的三棱柱孔在正投影面上积 聚,三个截面的交线积聚成三角形的三 个顶点。 找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交(截交线)
几个基本概念
工程制图第四章

相贯线为两个相同 的椭圆,椭圆平面 垂直于两轴线所决 定的平面。
例:已知两轴相交圆柱孔的水平和侧面投影,作出其相贯 线的正面投影。 分析:两圆 柱孔是等直 径孔,它们 的相贯线为 椭圆。两回 转体的轴线 都平行于正 面,相贯线 的正面投影 为直线。
小结: 小结:
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成的封闭的平面 多边形,多边形的边是截平面与棱面的交线。 二、平面截切回转体,截交线的形状取决于截平面与被截立 体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 三、解题方法与步骤 1.空间及投影分析 1)分析截平面与被截立体的相对位置,以确定截交线的形状。 2)分析截平面与被截立体对投影面的相对位置以确定截交线 的投影特性。
a" 4" • •3" •c" d" • 2" • •Fra bibliotek•1"
b" •
b'
2 d • •• 4 b• •a
• ••3 1c
完成后的相贯线三视图
三、相贯线的特殊情况
1.两回转体共轴线相交 两回转体有一个公共轴线相交时,它们的相贯线都是 平面曲线——圆。
圆柱与球共轴 圆柱与圆锥共轴
2.两圆柱体直径相等且轴线相交
一、平面与圆柱体相交
截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面与圆柱 轴线的相对位置。
P
PH
截平面与圆柱轴线 平行,截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线 垂直截交线为圆
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
例1:求斜切圆柱体的投影,已知正面和水平面 投影,完成侧面投影。 2' c'(d')• d"• 3'(4') • a'(b') • 4"• • b"• 2" • • 1"
第4章 截交线与相贯线

截平面倾斜于轴线, 截平面通过锥顶, 且θ <φ,或平行 交线为通过锥顶 于轴线(θ =0°),交 的两条相交直线。 线为双曲线。
第4章 截交线和相贯线
4.2 回转体的截交线
上一页
下一页
求圆锥截交线的方法
1. 求特殊点;
2. 求一般位置的点;
3. 判断可见性;
4. 光滑连线。
求截交线上一般位置的点方法通常采用纬圆法: 在圆锥表面上取若干个纬圆,并求出这些纬圆与 截平面的交点。
4.2 回转体的截交线
截平面倾斜于轴线, 交线为椭圆。
4.2.1 圆柱体的截交线
上一页
下一页
2. 求圆柱截交线上点的方法
表面取点法:在圆柱表面取若干条素线,并求出这些素 线与截平面的交点;当圆柱的轴线处于特殊位置时,可 利用圆的积聚性直接求得截交线上的点的投影。
4.2 回转体的截交线
4.2.1 圆柱体的截交线
a"
c" b"
3.求出一般点B ; 4.光滑且顺次地连接各点,作 出截交线,并且判别可见性; 5.整理轮廓线。
A C
b
c
a
4.2 回转体的截交线
B
4.2.2 圆锥的截交线 上一页 下一页
4.2.3
圆球的截交线
任何位置的截平面截切 圆球时,截交线都是圆。当 截平面平行于某一投影面时, 截交线在该投影面上的投影 为圆,在另外两投影面上的 投影为直线;当截平面为投 影面垂直面时,截交线在该 面上的投影为直线,而另外 两投影为椭圆。
8
4
5.整理轮廓线。
6
Ⅵ Ⅳ
2
Ⅱ
1 7 3 5
Ⅷ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅶ Ⅲ
4.2 回转体的截交线
第四章 截交线

2020/6/11
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39
【例题十六】已知圆球被两个面所截,求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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4-17 动画演示
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40
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41
§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取:分解多体为基本体,分析各基本体截交线形状,画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截,求截交线的水平投影和侧
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4-1 动画演示 上一页
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6
(二)作图
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7
【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切,求截交后交线的各投影。 (一)分析
截平面P是正垂面,Q是侧平面, 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取:同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意: ①同平面立体; ②连线:多点光滑相连;找点 :特殊点(转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右); 一般点。 ③同平面立体; ④曲面立体截交线要明确其特点:
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(二)作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切,求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
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【例题十六】已知圆球被两个面所截,求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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4-17 动画演示
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§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取:分解多体为基本体,分析各基本体截交线形状,画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截,求截交线的水平投影和侧
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(二)作图
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【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切,求截交后交线的各投影。 (一)分析
截平面P是正垂面,Q是侧平面, 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取:同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意: ①同平面立体; ②连线:多点光滑相连;找点 :特殊点(转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右); 一般点。 ③同平面立体; ④曲面立体截交线要明确其特点:
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(二)作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切,求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
§平面与立体相交求截交线

线面交点法:求平面立体棱线与截平面的交 点,顺序连接各交点,即为所求。
面面交线法:求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状,取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形, ②由曲线和直线围成的平面图形, ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1.分析侧面投影为圆的一部分,截交线 的水平投影为椭圆的一部分;
1" 2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ;
3.求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ;
4.光滑且顺次地连接各点,作出截交线 ,并且判别可见性;
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示,作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析:四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切,因四棱柱的四个
面面交线法:求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状,取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形, ②由曲线和直线围成的平面图形, ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
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解题步骤
4'
1.分析侧面投影为圆的一部分,截交线 的水平投影为椭圆的一部分;
1" 2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ;
3.求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ;
4.光滑且顺次地连接各点,作出截交线 ,并且判别可见性;
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示,作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析:四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切,因四棱柱的四个
第三章(2)3-2平面立体的截交线

2'
4 1 2 3 5
[例题 例题6] 例题
想象出物体并补画出侧面投影图
2. 平面立体截交线的性质
3. 平面立体截交线的求法
(1) 棱柱上截交线的求法
①求出截平面与棱柱上若干条棱线的交点; 如立体被多个平面截割,应求出截平面间的交线。 ②依次连接各点; ③判断可见性 ④整理轮廓线
例题1
例题2
例题3
例题4
[例题 试画出图中所示四棱柱被P、Q两平面切去一角 例题1] 例题 后的三面投影图。
4'5' 1'2'
2 5 3 4 1
[例题 例题3] 例题
1'2' 3'4'
求圆柱截交线
2' 4' 1' 3'
解题步骤 1.分析 截交线的水平 投影为直线和部分圆,侧 面投影为矩形; 2 .求出 截交线上的 特殊 点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ; 3 .顺次 地连接各点 ,作 出截交线并判别可见性; 4.整理轮廓线。
§3-2 平面与立体相交
3.2.1 平面与平面立体相交
截平面与立体表面的交线称为截交线。 平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。 1. 平面立体的截交线 2. 平面立体截交线的性质 3. 平面立体截交线的求法 (1) 棱柱上截交线的求法 (2) 棱锥上截交线的求法
1. 平面立体的截交线 平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。 它是由直线段组成的平面多边形。
(2)求作截平面与复合回转体的截交线时,应把复合回 转体分解为基本几何体,分别求出截交线。求作多个截 平面与基本几何体相交时,应按单一截平面求截交线的 方法,分别求出各截平面的截交线。
4.截交线上的特殊点
平面立体的切割

5、作图步骤
(1)根据截平面的位置与曲面立体表面的 性质、判断截交线的形状和性质。 (2)根据截平面位置和曲面立体所处位置, 决定采用什么方法求共有点。 (3)求出截交线上的特殊点。 (4)根据需要求出若干个一般点。 (5)光滑且顺次地连接各点,作出截交线, 并且判断可见性。 (6)最后,补全可见性和不可见部分的轮 廓线或转向轮廓素线,并擦除被切掉的部 分。
截切: 用一个平面与立体相交,截去立体的一部分。
截平面:用来截切立体的平面称为截平面。 截断面:立体被截切后的断面称为截断面。 截交线:截平面与立体表面的交线称为截交线。
讨论的问题:截交线的分析和作图 。
平面立体的截交线
1、平面立体截交线的性质 2、平面立体截交线的求法 (1) 棱柱上截交线的求法 (2) 棱锥上截交线的求法
4、特殊点
特殊点是指绘制曲线时有影响的各种点,具体有: (1)极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、 最左和最右点。 (2)转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点,它们 是区别曲线可见于不可见部分的分界点。 (3)特征点 曲线本身具有特征的点,如椭圆长短轴上 四个端点。 (4)结合点 截交线由几部分不同的线段(曲线、直线) 组成时结合处的那些点。 对于特殊点,根据现有知识凡是能够求出来的都应求出。
35
1
6
2 4
6
5
4
3 1 2
Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
例7 求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影
解题步骤
1.分析:截平面的 正面投影积聚,截 交线的正面投影已 知,水平投影和侧 面投影待求;
2.求出截交线上 的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ ;
3.顺次地连接各 点,作出截交线, 并且判别可见性;
平面立体截交线的求解教学

其实能够写进学生的文章素材比比皆是关键是我们教师在把命题写上黑板以前一定要在新课标指导下对命题中的每一个环节都做到深思熟虑同时还考虑到作文命题中所涉及的人和事是学生亲自经历的且是学生自己感受很深对他自己有所触动的当然学生自己学会观察周边的人事物也是写好作文的重要环节
中等职业教育
2008年 第 32 期
2. 求点�� � 利 用截平 面的积聚 性求棱 线与截 平面的交点 由于 我们只 讨论截 平面为 特殊位 置的 情况, 所 以截平面 至少有一个投影有积聚性 �所以我们可以 从具有 积聚性的投影着手,利用截 平面的积聚性求 棱线与截平面的交点� 3. 连线�� � 按一定顺序并根据可见性连线, 完 成全部视图 4. 验证�� � 利用 "类似性" 验证作图的正确性 下面我们 就来重点分析一下平面立 体中棱柱的 截交线情况�
截平面为一铅垂 � 面, 所以利用 铅垂面的投影特点 (一 可得出这截交线的投影形状为:在 面上为一斜线 , � 斜线两缩小类似形) 可得出这 截交线的投影形状为: 在 , 面上均为类似六边形� � 在 面上为一斜线, 在 , 面上均为缩小的类似 "凹" ( ) 求点�� � 利用截平 面在正投影面上 的积聚 字形� � 性求棱线与截平面的交点� 详见图中 个点 � �
( ) 利用 "类似性 � " � 类 似四边形验证 作图的 �� 求棱线与截平面的交点� 见图示 个点 �� � 正确性� ( ) 连线�� � 依次连接 各点可得类似 "凹" 字形 投影, 再画出其他部分投影, 完成主视图� ( ) " " � ( ) 结合三视图并 利用类似 " 凹" 字形验 证作图 " 对错� � � () " � � () � � () � � () � � � � " " " " 例 : 四棱柱的截 交线: 根据两 面投影 ( 已 知俯视 � � � � � � � � 图和左视图 ) 想象立 体图, 作出第三面投影� � � " " � � " " � � � � � � � �
中等职业教育
2008年 第 32 期
2. 求点�� � 利 用截平 面的积聚 性求棱 线与截 平面的交点 由于 我们只 讨论截 平面为 特殊位 置的 情况, 所 以截平面 至少有一个投影有积聚性 �所以我们可以 从具有 积聚性的投影着手,利用截 平面的积聚性求 棱线与截平面的交点� 3. 连线�� � 按一定顺序并根据可见性连线, 完 成全部视图 4. 验证�� � 利用 "类似性" 验证作图的正确性 下面我们 就来重点分析一下平面立 体中棱柱的 截交线情况�
截平面为一铅垂 � 面, 所以利用 铅垂面的投影特点 (一 可得出这截交线的投影形状为:在 面上为一斜线 , � 斜线两缩小类似形) 可得出这 截交线的投影形状为: 在 , 面上均为类似六边形� � 在 面上为一斜线, 在 , 面上均为缩小的类似 "凹" ( ) 求点�� � 利用截平 面在正投影面上 的积聚 字形� � 性求棱线与截平面的交点� 详见图中 个点 � �
( ) 利用 "类似性 � " � 类 似四边形验证 作图的 �� 求棱线与截平面的交点� 见图示 个点 �� � 正确性� ( ) 连线�� � 依次连接 各点可得类似 "凹" 字形 投影, 再画出其他部分投影, 完成主视图� ( ) " " � ( ) 结合三视图并 利用类似 " 凹" 字形验 证作图 " 对错� � � () " � � () � � () � � () � � � � " " " " 例 : 四棱柱的截 交线: 根据两 面投影 ( 已 知俯视 � � � � � � � � 图和左视图 ) 想象立 体图, 作出第三面投影� � � " " � � " " � � � � � � � �
截交线与相贯线

二、辅助平面法;
三、相贯线的特殊情况;
四、相贯线的简化画法。
相贯线的性质
由于相交的两回转曲面的几何形状或相对 位置不同,其相贯线形状位置也不同,但都具 有下列性质: 共有性:相贯线是两曲面立体表面的共有 线,也是两立体表面的分界线,相贯线上的点 是两立体表面的共有点,这里我们定义它为相 贯点。 封闭性:两回转体的相贯线,一般是一条 封闭的空间曲线,特殊情况下是平面曲线或直 线。
一、表面取点法
求作轴线垂直相交两圆柱的相贯线
1’ 4’ 3’
2’
4”
1” (2”) y y 3”
分析: 已知相贯线的 水平投影和侧面投影 求作:正面投影 作图步骤:
4 1 3 2 y
1、作特殊点 2、作一般位置点 3、光滑连接
注意:相贯线始终弯向大圆柱的轴线方向。
y
二、利用辅助平面法求相贯线
为了能简便地作出相贯线上的点,应选取特殊位 置平面作为辅助平面,并使辅助平面与两回转体的截 交线的投影为最简图形(直线或圆)。 利用辅助平面法求相贯线的作图步骤:
4. 圆 环
1.圆 柱
根据截平面与圆柱轴 线的相对位置不同,圆柱 截交线共有三种不同形状, 分别为:
圆
矩形
椭圆
平面与圆柱相交所得截交线形状
平面的位置
与轴线平行
与轴线垂直
与轴线倾斜
立体图
投影图
截交线
圆
两平行直线
椭圆
[例题] 求圆柱切割后的投影
y1
⑴ ⑵ ⑶
求特殊点 求一般位置点 光滑连线
y2 y1 y2
[例题1] 求三棱锥切割后的投影
b’ (c’) c” b”
a’
a”
a
铁道工程技术专业《平面立体的截交线》

第七页,共七页。
第二页,共七页。
二、平面立体截交线的求法
棱柱的截交线 如下图,三棱柱的两面投影与正垂面 P的迹线PV,求作三棱柱的W面投影 、P平面与三棱柱的截交线。
第三页,共七页。
二、平面立体截交线的求 法
棱柱上截交线的求法
1 找到截平面与棱柱上若
干条棱线的交点
2 依次各点连线
3 判断可见性
4 整理轮廓线
第四页,共七页。
一、平面立体截交 线
(1)定义:
截交线:截平面与平面立体外表的交线。 截交点:截交线的顶点。 断面:截交线所围成的平面图形。
(2)性质:
①由于平面立体的外表都具有一定的范围,所以截 交线通常是封闭的平面多边形。
②多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与 截平面的交点,多边形的各边是平面立体的棱 面与截平面的交线,或是截平面与截平面的交 线。
第一页,共七页。
二、平面立体截交线的求 法
平面立体被单个或多个平面切割后,既具有平面立 体的形状特征,由具有截平面的平面特征。因此在看图 或画图时,一般线应从反映平面立体特征视图的多边形 线框出发,想象出完整的平面立体形状并画出其投影, 然后再根据截平面的空间位置,想象出截断面的形状并 画出其投影。根本平面立体上切口的画法,主要是利用 平面特性中“类似形〞这一投影特征来作图。
二、平面立体截交线的求法
例题1 求立体截切后的投影
4
1 (2 )
5 (6
(3
6
3
4
6
5
2
1
Ⅲ
Ⅳ Ⅵ
Ⅱ
Ⅴ
Ⅰ
第五页,共七页。
谢谢观看
第六页,共七页。
内容总结
一、平面立体截交线。①由于平面立体的外表都具有一定的范围,所以截交线通常是封闭的平面多边形。截交线:截平面与平 面立体外表的交线。平面立体被单个或多个平面切割后,既具有平面立体的形状特征,由具有截平面的平面特征。因此在看图或 画图时,一般线应从反映平面立体特征视图的多边形线框出发,想象出完整的平面立体形状并画出其投影,然后再根据截平面的 空间位置,想象出截断面的形状并画出其投影。谢谢观看
第二页,共七页。
二、平面立体截交线的求法
棱柱的截交线 如下图,三棱柱的两面投影与正垂面 P的迹线PV,求作三棱柱的W面投影 、P平面与三棱柱的截交线。
第三页,共七页。
二、平面立体截交线的求 法
棱柱上截交线的求法
1 找到截平面与棱柱上若
干条棱线的交点
2 依次各点连线
3 判断可见性
4 整理轮廓线
第四页,共七页。
一、平面立体截交 线
(1)定义:
截交线:截平面与平面立体外表的交线。 截交点:截交线的顶点。 断面:截交线所围成的平面图形。
(2)性质:
①由于平面立体的外表都具有一定的范围,所以截 交线通常是封闭的平面多边形。
②多边形的各顶点是平面立体的各棱线或边与 截平面的交点,多边形的各边是平面立体的棱 面与截平面的交线,或是截平面与截平面的交 线。
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二、平面立体截交线的求 法
平面立体被单个或多个平面切割后,既具有平面立 体的形状特征,由具有截平面的平面特征。因此在看图 或画图时,一般线应从反映平面立体特征视图的多边形 线框出发,想象出完整的平面立体形状并画出其投影, 然后再根据截平面的空间位置,想象出截断面的形状并 画出其投影。根本平面立体上切口的画法,主要是利用 平面特性中“类似形〞这一投影特征来作图。
二、平面立体截交线的求法
例题1 求立体截切后的投影
4
1 (2 )
5 (6
(3
6
3
4
6
5
2
1
Ⅲ
Ⅳ Ⅵ
Ⅱ
Ⅴ
Ⅰ
第五页,共七页。
谢谢观看
第六页,共七页。
内容总结
一、平面立体截交线。①由于平面立体的外表都具有一定的范围,所以截交线通常是封闭的平面多边形。截交线:截平面与平 面立体外表的交线。平面立体被单个或多个平面切割后,既具有平面立体的形状特征,由具有截平面的平面特征。因此在看图或 画图时,一般线应从反映平面立体特征视图的多边形线框出发,想象出完整的平面立体形状并画出其投影,然后再根据截平面的 空间位置,想象出截断面的形状并画出其投影。谢谢观看
求平面立体截交线的方法

求平面立体截交线的方法
平面立体截交是十分常见的几何运算问题,其基本思想是:利用在涉及的平面上的三对点,计算出按一定方向上的切线方程,并结合立体的三条面的参数方程,求出二者的交点。
(1)首先给出所求的平面(P)的参数方程:
ax + by + cz + d = 0
其中a,b,c,d分别为所求平面的法向量和截距。
(2)构造几何体立方体,了解其三条面(S1、S2、S3)上的三对点:(P1,P2)、(P3,P4)、(P5,P6)。
(3)针对立方体的每一条面,分别用P1,P2、P3,P4、P5,P6这三组点构造出直线的方程。
(4)取所求平面的法向量(a,b,c)与之前构造出的直线的方程比较,结合定义求出其交点。
(5)将上一步求出的交点组成一对,各自用一组直线方程代入,再求出其中的另一组交点,以此类推,完成平面立体截交的运算。
可以看出,要求平面立体截交线,需要知道平面和立方体得三面上的点,平面上的参数方程,以及其相交点两两组成的直线方程,最后,依据定义求出这两个交点,完成平面立体截交的过程。
8.3平面立体的截交线

a(c)
b
a
1
Ⅰ Ⅱ
A B
3
s
Ⅲ
P C
2
b
求截交线
s s
2 1 a
S
3
PV 3
2
1
b
c c
a(c)
b
a
1
Ⅰ Ⅱ
A B
3
s
Ⅲ
P C
2
b
求截交线
3 2
PV
(3 )
1
2
1
1
3
2
例
求截交线
PV
4 (5 ) 3
2 1 (2) 1 5 4 3
m 3
整理轮廓线
b
【例】在四棱台切一个 长方形槽,第一步要先 画出四棱台的投影,然 后再画长方形槽的投影。 画长方形槽的投影,要 先画主视图,请你分析 一下这个模型,思考下 列问题:(1)长方形 槽的俯视图和左视图应 该先画哪个视图? (2)画长方形槽的俯 视图和左视图时,要不 要从模型或立体图上测 量尺寸?
2
5
1 4 3
例
补全带切口立体的投影
s
sHale Waihona Puke Ⅱ22N
M
1
a
m (n ) b(c)
1 n c a m b
Ⅰ
c n
1 a 2
s
m b
例
补全带切口立体的投影
s
s
2
2
3 1
a b m (n ) c 1 n a (c) m
3
b
a
1 2 n
c
s
(1)先画左视图 后画俯视图; (2)画左视图时 不用量尺寸,画俯 视图时,从左视图 上量槽底的宽,不 能从立体图上量尺 寸。
工程识图3.3 平面立体的截交线

4) 顺序连接。
s′
PV
3′ 2′ (4′ )
s〞
3〞
4〞
2〞
1′
1〞
a′
b′ (d′ )
c′ d〞 a〞( c〞) b〞 S
d
4
3
4
1 a
s3 c
D
2C
1
2
A
B
b
例12.求P、Q两平面与三棱锥SABC截交线的投影 。
分析:正垂面P与三棱锥的两侧表面SAB和SAC相交于两段直线12和13。
水平面Q与两侧表面SAB和SAC相交于水平线24和34,它们分别与三棱锥
4)由2、2′求出2″;
由3、3′求出3″;
5)判断可见性
P细、虚Q线两;平其面它交交线线的可H见投,影画23成为粗不实可线见,a画4成 1
6) 顺序连接。
3″
b(′ c′) c″
c 3
2″ 4″
a″ b″
S
1
s
3
2 b
4 A
2 B
例13.已知开有燕尾槽的长方体被一正垂面截切,求其H投影。
分析:物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂立体的
轮廓线重合,为已知。可以根据截交线的V、W投影求得其H投影
作图步骤:
1)截交线的H、W投影已知;
2)根据V、W投影求出H投影;
3)判断可见性
燕尾槽在长方体底部,不可
Y1
见,画成细虚线;其它交线可见,
Y2
画成粗实线;
Y1 Y2
4)注意 俯视图左侧,因开燕尾槽,
应擦去线条。
底面的边AB和AC平行。P、Q两截平面相交于直线23。点1和点4位于SA
棱线上,其V投影1′和4′已知。
s′
PV
3′ 2′ (4′ )
s〞
3〞
4〞
2〞
1′
1〞
a′
b′ (d′ )
c′ d〞 a〞( c〞) b〞 S
d
4
3
4
1 a
s3 c
D
2C
1
2
A
B
b
例12.求P、Q两平面与三棱锥SABC截交线的投影 。
分析:正垂面P与三棱锥的两侧表面SAB和SAC相交于两段直线12和13。
水平面Q与两侧表面SAB和SAC相交于水平线24和34,它们分别与三棱锥
4)由2、2′求出2″;
由3、3′求出3″;
5)判断可见性
P细、虚Q线两;平其面它交交线线的可H见投,影画23成为粗不实可线见,a画4成 1
6) 顺序连接。
3″
b(′ c′) c″
c 3
2″ 4″
a″ b″
S
1
s
3
2 b
4 A
2 B
例13.已知开有燕尾槽的长方体被一正垂面截切,求其H投影。
分析:物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂立体的
轮廓线重合,为已知。可以根据截交线的V、W投影求得其H投影
作图步骤:
1)截交线的H、W投影已知;
2)根据V、W投影求出H投影;
3)判断可见性
燕尾槽在长方体底部,不可
Y1
见,画成细虚线;其它交线可见,
Y2
画成粗实线;
Y1 Y2
4)注意 俯视图左侧,因开燕尾槽,
应擦去线条。
底面的边AB和AC平行。P、Q两截平面相交于直线23。点1和点4位于SA
棱线上,其V投影1′和4′已知。
第5章平面立体的截交线

例2 补全水平投影和侧面投影
1’ 2’(3’) 3” 5” 4’(5’) 6’(7’) 6”
1” 2”
4” 7”
6
7
例3: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影。
P
4(5) 7
5 6 3
4
Ⅴ
2(367) 1(8) 7 5 6
2
1 Ⅷ
Ⅶ
Ⅳ Ⅵ Ⅲ
8
Ⅱ
8
Ⅰ
3
4
截交线的投影 检查截交 分析棱线的 截交线的形状? 求截交线 特性? 投影 线的投影
例5 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影 空间分析:
7' 6'(8')
四棱锥被水平面切割, 截交线应是平面多边形 ,其水平投影反映实形 。侧面投影是一条线。
1'
(2') 4' 5' (3')
空间分析:
四棱锥被正垂面切割, 截交线也应是平面多边 形,其正面投影积聚为 一条线,水平投影侧面 投影小于实形的类似形 。
完成作图:
多线擦除 1.将各点连成线 2.检查漏线和多线 3.判断可见性
注意不可见的线
1
2
5.3 棱锥的截交线
例4 :求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线投影分析:
截平面
截交线空间及投影分析:
截交线的正面投影
水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形
截平面是正垂面, 截交线在正立面内 积聚为一线
截平面
截交线空间是三边形
s' 3' 1' a' a 2´ b' 1 c' a" S 1"
s"
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相贯类型: 相贯线的性质:
全贯 互贯
也可为平面折线
一般为封闭的空间折线
可见
相贯线的特性及求法
相贯线上折线的端点 相贯线的可见性 --相贯点(贯穿点) 可见的条件:相贯线位于同时可见 的两相交表面时,才可见。
A
B
相贯线的求法:
方法一:先求贯穿点,再依次连线, 同时判断可见性。 方法二:求面面交线。
(41’) 4’
11
(41) 31
1
3
解题步骤: 1、分析两立体的 空间关系,确定相 4” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发,确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性,再连接贯穿点。
2”
2
(4)
例3:已知三棱锥与三棱柱相交,求作相贯线。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”)
例5:已知三棱锥与三棱柱相交,求作相贯线。
1’ s’ 2 6’ 5’
3’
a’
c’
4’
b’ a
3
1 s (6) (5) (4) 2 c b
解题步骤: 1、分析两立体的空间关系, 根据积聚性,确定相贯线的 已知投影。 2、求相贯线上的贯穿点。 3、判断可见性,依次连接贯 穿点。 4、补全棱线。
例6:完成三棱锥与四棱柱的交线。
a
b
a b
a
s
b
正面投影轮廓线
s
s
c d d
d
c
s
侧面投影轮廓线
c
圆锥的可见性分析
水平投影
上部圆锥面可见, 下底面不可见。
正面投影
前半个圆锥面可见, 后半个圆锥面不可见。
侧面投影
左半个圆锥面可见, 右半个圆锥面不可见。
圆锥表面取点、线
s s
m n a b d
圆
柱
圆柱的形成
回转轴线
圆柱面的母线和回转轴线平行, 故圆柱面所有素线都互相平行。
纬圆
母线上任一点的运动轨迹都是垂 直于回转轴线的圆。
—— 纬圆
母线
素线
回转面 —— 由母线绕一轴线旋转所得到的曲面。
圆柱的投影
一般使圆柱的回转轴线垂直于投影面。
圆柱的投影分析
上、下底面
周围圆柱面
带有积聚性
圆柱的轮廓线对应关系
(41’) 4’ (41) 31
11
1
3
解题步骤: 1、分析两立体的 空间关系,确定相 41” 4” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发,确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性,再连接贯穿点。 4、将棱线补到相贯点,注意可见性。
2”
2 (4)
例4:已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞,求作相贯线。
(11’) 1’
c’ a’≡b’ b f 5 g c 63 1 d e 4 9 1 s0 7 s’
s”
4”≡9” 3” 2”≡8” f” e” g” d” 5”≡10” 1”≡7” a” b” 6” c” S
2 8
a F B
Ⅴ
Ⅳ Ⅱ Ⅲ
E
Ⅰ
A
G
Ⅵ
D C
§6.5
回转体投影及其表面上的线和点
圆柱
圆锥
球
由曲面围成或曲面加平面共同围成的形体称为曲 面体。 常见的曲面立体有圆柱、圆锥、球和圆环等。
相贯体
相贯线
1、相贯线的性质
1)表面性—相贯线位于两相交立体的表面。
2)共有性—相贯线是两相交立体表面的共有线和分界 线,线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求 相贯线投影的作图依据。 3)封闭性—由于立体的表面是封闭的,因此相贯线一 般是封闭的空间折线或空间曲线。
2、相贯线的形状
相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立 体的相对位置。
(a) 2
2 c 1 b (b) c
1
c 2 1
a(b)
圆
锥
圆锥的形成
回转轴线
S
母线 纬圆
圆锥面的母线和回转轴 线相交,故圆锥面的所有素 线都相交于锥顶。
素 线
圆锥的投影
一般使圆锥的回转轴线垂直于投影面。
圆锥的投影分析
底 面
周围圆锥面
没有积聚性
圆锥的轮廓线对应关系
s s
正面投影轮廓线
侧面投影轮廓线
圆柱的可见性分析
水平投影
上底面可见, 下底面不可见。
正面投影
前半个圆柱面可见, 后半个圆柱面不可见。
侧面投影
左半个圆柱面可见, 右半个圆柱面不可见。
圆柱表面上取点、线
(b) a
b a
b
a
c
c
d
d
c
(d)
(f) e
f
√
(e)
f
√
e
a
3׳ 5׳
7׳
4׳
作图方法:
1 求棱线与截平面 的共有点
2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
6׳
5
3 1
7 2 6 4
例7 补全俯视图和左视图的投影
1’ 2’(3’) 3” 5” 4’(5’) 7’(6’) 6”
1” 2”
4” 7”
6
7
例 8: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”) 41”
2”
4”
(41’) 4’
解题步骤: 1、分析两立体的 空间关系,确定相 贯线的已知投影。
11
1
41 31 3
2、从已知投影出发,确定相贯 线上的贯穿点。
3、先判断可见性,再连接贯穿点。
2 4
例4:已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞,求作相贯线。
2
c 1
b
c (b)1a c21
b
球
球的形成
球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径 为轴线旋转得到的。
球的投影
球的轮廓线对应关系
水平投影
球的轮廓线对应关系
正面投影
球的轮廓线对应关系
侧面投影
球的可见性分析
水平投影
上半个球可见, 下半个球不可见。
正面投影
前半个球可见, 后半个球不可见。
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法: ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤: 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交 线,并连接成多边形。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
(41’) 4’
11
1
(41) 31 3
2
4
解题步骤: 1、分析两立体的 空间关系,确定相 4” 41” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发,确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性,再连接贯穿点。 4、将棱线补到相贯点,棱线包括孔内棱线 和被穿孔立体的棱线,并注意可见性。
C
不可见
求作两平面体表面交线的方法有两种: • 求各棱线与棱面的交点——棱线法 • 求各棱面的交线——棱面法 作图步骤: • 找到相贯线的已知投影 • 找点 • 顺序连接各点 • 完成轮廓线 • 判断可见性
例3:已知三棱锥与三棱柱相交,求作相贯线。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”) 41”
6.3 平面立体截交线
一、平面截切的基 本形式 二、平面截切体的 画图
截切: 用一个平面与立体相交,截去立体的一 部分。
截平面 —— 用以截切物体的平面。 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 截断面 —— 因截平面的截切,在物体上形 成的平面。 讨论的问题:截交线的分析和作图 。
一、平面截切的基本形式
(1) 立体形状不同,相贯线形状不一样:
平面立体相贯:空间 折线
平面立体与曲面立体相贯: 多段平面曲线
曲面立体相贯:空间曲 线
(2) 立体大小不同,相贯线形状不一样:
直径不同的 两圆柱
直径相同的 两圆柱
(3) 立体相对位置不同,相贯线形状不一样:
两圆柱轴 线斜交
两圆柱轴线 偏交
平面立体相贯种类及相贯 线的特点
根据线上取点的方 法,求出1、2、3和1”、 2”、3”。 (3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。
(2)
(4) 补全棱线的投影。
例3 求做立体被截切后的投影
1’
1”
2’ 3’(4’)
4”
3”
4 2
1
3
例题4:求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
4´ 3´ 6´ 1´ 2´≡5 ´ 5″≡6″
m n c
c d
d
a b
a
m
s n c
b
s S 素线 m M n N
s
m n
素线法
m
s
n
s 纬圆 m
s
m
M
纬圆法
m
s
s 纬圆 m
s
m
M
纬圆法
m
s
a
(a)
b
(b)
a b
a c
(a)
1
b
c
1 (b)
a c 1 b
a
(a) 2
P 4≡5 7 5 6 3 4 2 Ⅷ Ⅰ 5 6 Ⅶ Ⅴ Ⅳ Ⅵ Ⅲ 1≡8 8 7 8 1 Ⅱ
2≡3≡6≡7
3 1 2
4
检查截交 分析棱线的投 截交线的形状? 截交线的投影特性? 求截交线 影 线的投影
全贯 互贯
也可为平面折线
一般为封闭的空间折线
可见
相贯线的特性及求法
相贯线上折线的端点 相贯线的可见性 --相贯点(贯穿点) 可见的条件:相贯线位于同时可见 的两相交表面时,才可见。
A
B
相贯线的求法:
方法一:先求贯穿点,再依次连线, 同时判断可见性。 方法二:求面面交线。
(41’) 4’
11
(41) 31
1
3
解题步骤: 1、分析两立体的 空间关系,确定相 4” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发,确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性,再连接贯穿点。
2”
2
(4)
例3:已知三棱锥与三棱柱相交,求作相贯线。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”)
例5:已知三棱锥与三棱柱相交,求作相贯线。
1’ s’ 2 6’ 5’
3’
a’
c’
4’
b’ a
3
1 s (6) (5) (4) 2 c b
解题步骤: 1、分析两立体的空间关系, 根据积聚性,确定相贯线的 已知投影。 2、求相贯线上的贯穿点。 3、判断可见性,依次连接贯 穿点。 4、补全棱线。
例6:完成三棱锥与四棱柱的交线。
a
b
a b
a
s
b
正面投影轮廓线
s
s
c d d
d
c
s
侧面投影轮廓线
c
圆锥的可见性分析
水平投影
上部圆锥面可见, 下底面不可见。
正面投影
前半个圆锥面可见, 后半个圆锥面不可见。
侧面投影
左半个圆锥面可见, 右半个圆锥面不可见。
圆锥表面取点、线
s s
m n a b d
圆
柱
圆柱的形成
回转轴线
圆柱面的母线和回转轴线平行, 故圆柱面所有素线都互相平行。
纬圆
母线上任一点的运动轨迹都是垂 直于回转轴线的圆。
—— 纬圆
母线
素线
回转面 —— 由母线绕一轴线旋转所得到的曲面。
圆柱的投影
一般使圆柱的回转轴线垂直于投影面。
圆柱的投影分析
上、下底面
周围圆柱面
带有积聚性
圆柱的轮廓线对应关系
(41’) 4’ (41) 31
11
1
3
解题步骤: 1、分析两立体的 空间关系,确定相 41” 4” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发,确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性,再连接贯穿点。 4、将棱线补到相贯点,注意可见性。
2”
2 (4)
例4:已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞,求作相贯线。
(11’) 1’
c’ a’≡b’ b f 5 g c 63 1 d e 4 9 1 s0 7 s’
s”
4”≡9” 3” 2”≡8” f” e” g” d” 5”≡10” 1”≡7” a” b” 6” c” S
2 8
a F B
Ⅴ
Ⅳ Ⅱ Ⅲ
E
Ⅰ
A
G
Ⅵ
D C
§6.5
回转体投影及其表面上的线和点
圆柱
圆锥
球
由曲面围成或曲面加平面共同围成的形体称为曲 面体。 常见的曲面立体有圆柱、圆锥、球和圆环等。
相贯体
相贯线
1、相贯线的性质
1)表面性—相贯线位于两相交立体的表面。
2)共有性—相贯线是两相交立体表面的共有线和分界 线,线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求 相贯线投影的作图依据。 3)封闭性—由于立体的表面是封闭的,因此相贯线一 般是封闭的空间折线或空间曲线。
2、相贯线的形状
相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立 体的相对位置。
(a) 2
2 c 1 b (b) c
1
c 2 1
a(b)
圆
锥
圆锥的形成
回转轴线
S
母线 纬圆
圆锥面的母线和回转轴 线相交,故圆锥面的所有素 线都相交于锥顶。
素 线
圆锥的投影
一般使圆锥的回转轴线垂直于投影面。
圆锥的投影分析
底 面
周围圆锥面
没有积聚性
圆锥的轮廓线对应关系
s s
正面投影轮廓线
侧面投影轮廓线
圆柱的可见性分析
水平投影
上底面可见, 下底面不可见。
正面投影
前半个圆柱面可见, 后半个圆柱面不可见。
侧面投影
左半个圆柱面可见, 右半个圆柱面不可见。
圆柱表面上取点、线
(b) a
b a
b
a
c
c
d
d
c
(d)
(f) e
f
√
(e)
f
√
e
a
3׳ 5׳
7׳
4׳
作图方法:
1 求棱线与截平面 的共有点
2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
6׳
5
3 1
7 2 6 4
例7 补全俯视图和左视图的投影
1’ 2’(3’) 3” 5” 4’(5’) 7’(6’) 6”
1” 2”
4” 7”
6
7
例 8: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”) 41”
2”
4”
(41’) 4’
解题步骤: 1、分析两立体的 空间关系,确定相 贯线的已知投影。
11
1
41 31 3
2、从已知投影出发,确定相贯 线上的贯穿点。
3、先判断可见性,再连接贯穿点。
2 4
例4:已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞,求作相贯线。
2
c 1
b
c (b)1a c21
b
球
球的形成
球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径 为轴线旋转得到的。
球的投影
球的轮廓线对应关系
水平投影
球的轮廓线对应关系
正面投影
球的轮廓线对应关系
侧面投影
球的可见性分析
水平投影
上半个球可见, 下半个球不可见。
正面投影
前半个球可见, 后半个球不可见。
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法: ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤: 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面与棱面的交 线,并连接成多边形。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
(41’) 4’
11
1
(41) 31 3
2
4
解题步骤: 1、分析两立体的 空间关系,确定相 4” 41” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发,确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性,再连接贯穿点。 4、将棱线补到相贯点,棱线包括孔内棱线 和被穿孔立体的棱线,并注意可见性。
C
不可见
求作两平面体表面交线的方法有两种: • 求各棱线与棱面的交点——棱线法 • 求各棱面的交线——棱面法 作图步骤: • 找到相贯线的已知投影 • 找点 • 顺序连接各点 • 完成轮廓线 • 判断可见性
例3:已知三棱锥与三棱柱相交,求作相贯线。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”) 41”
6.3 平面立体截交线
一、平面截切的基 本形式 二、平面截切体的 画图
截切: 用一个平面与立体相交,截去立体的一 部分。
截平面 —— 用以截切物体的平面。 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 截断面 —— 因截平面的截切,在物体上形 成的平面。 讨论的问题:截交线的分析和作图 。
一、平面截切的基本形式
(1) 立体形状不同,相贯线形状不一样:
平面立体相贯:空间 折线
平面立体与曲面立体相贯: 多段平面曲线
曲面立体相贯:空间曲 线
(2) 立体大小不同,相贯线形状不一样:
直径不同的 两圆柱
直径相同的 两圆柱
(3) 立体相对位置不同,相贯线形状不一样:
两圆柱轴 线斜交
两圆柱轴线 偏交
平面立体相贯种类及相贯 线的特点
根据线上取点的方 法,求出1、2、3和1”、 2”、3”。 (3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。
(2)
(4) 补全棱线的投影。
例3 求做立体被截切后的投影
1’
1”
2’ 3’(4’)
4”
3”
4 2
1
3
例题4:求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
4´ 3´ 6´ 1´ 2´≡5 ´ 5″≡6″
m n c
c d
d
a b
a
m
s n c
b
s S 素线 m M n N
s
m n
素线法
m
s
n
s 纬圆 m
s
m
M
纬圆法
m
s
s 纬圆 m
s
m
M
纬圆法
m
s
a
(a)
b
(b)
a b
a c
(a)
1
b
c
1 (b)
a c 1 b
a
(a) 2
P 4≡5 7 5 6 3 4 2 Ⅷ Ⅰ 5 6 Ⅶ Ⅴ Ⅳ Ⅵ Ⅲ 1≡8 8 7 8 1 Ⅱ
2≡3≡6≡7
3 1 2
4
检查截交 分析棱线的投 截交线的形状? 截交线的投影特性? 求截交线 影 线的投影