平面立体截交线

截平面 截断面 截交线
截交线与截断面
截交线的性质：
截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截 切位置。 平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
c’ a’≡b’ b f 5 g c 63 1 d e 4 9 1 s0 7 s’
s”
4”≡9” 3” 2”≡8” f” e” g” d” 5”≡10” 1”≡7” a” b” 6” c” S
2 8
a F B
Ⅴ
Ⅳ Ⅱ Ⅲ
E
Ⅰ
A
G
Ⅵ
D C
§6.5
回转体投影及其表面上的线和点
圆柱
圆锥
球
由曲面围成或曲面加平面共同围成的形体称为曲 面体。 常见的曲面立体有圆柱、圆锥、球和圆环等。
a
b
a b
a
s
b
正面投影轮廓线
s
s
c d d
d
c
s
侧面投影轮廓线
c
圆锥的可见性分析
水平投影
上部圆锥面可见， 下底面不可见。
正面投影
前半个圆锥面可见， 后半个圆锥面不可见。
侧面投影
左半个圆锥面可见， 右半个圆锥面不可见。
圆锥表面取点、线
s s
m n a b d
棱线法！ 我们采用的是哪种解
题方法？
例2、求作截交线的水平投影和侧面投影。
s’ 3’ 2’ s” Pv 3” 2”
具体步骤如下： (1) 求Pv与s’a’、s’b’、 s’c’的交点1’、2’、3’为 截平面与各棱线的交点 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。
b”
1’ a’
b’ c’ c”
1” a”
3
1 s 2
3‫׳‬ 5‫׳‬
7‫׳‬
4‫׳‬
作图方法:
1 求棱线与截平面 的共有点
2 连线 3 根据可见性处理轮廓线
6‫׳‬
5
3 1
7 2 6 4
例7 补全俯视图和左视图的投影
1’ 2’(3’) 3” 5” 4’(5’) 7’(6’) 6”
1” 2”
4” 7”
6
7
例 8: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
(41’) 4’
11
1
(41) 31 3
2
4
解题步骤： 1、分析两立体的 空间关系，确定相 4” 41” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发，确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性，再连接贯穿点。 4、将棱线补到相贯点，棱线包括孔内棱线 和被穿孔立体的棱线，并注意可见性。
m n c
c d
d
a b
a
m
s n c
b
s S 素线 m M n N
s
m n
素线法
m
s
n
s 纬圆 m
s
m
M
纬圆法
m
s
s 纬圆 m
s
m
M
纬圆法
m
s
a
(a)
b
(b)
a b
a c
(a)
1
b
c
1 (b)
a c 1 b
a
(a) 2
4″ 3″ 2″ 1″
5 6 4 3 1 2
例5、补出立体被截割后的投影。
6' 4'（5'） 2' （3'） (6 ")
5"
3"
4"
1" 2 "
Ⅵ Ⅴ Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅳ
1'
3
5 6
1
2 4
例6:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
1‫׳2 ׳‬ 1‫״‬ 3‫״‬ 5‫״‬ 7‫״‬ 2‫״‬ 4‫״‬ 6‫״‬
圆
柱
圆柱的形成
回转轴线
圆柱面的母线和回转轴线平行， 故圆柱面所有素线都互相平行。
纬圆
母线上任一点的运动轨迹都是垂 直于回转轴线的圆。
—— 纬圆
母线
素线
回转面 —— 由母线绕一轴线旋转所得到的曲面。
圆柱的投影
一般使圆柱的回转轴线垂直于投影面。
圆柱的投影分析
上、下底面
周围圆柱面
带有积聚性
圆柱的轮廓线对应关系
正面投影轮廓线
侧面投影轮廓线
圆柱的可见性分析
水平投影
上底面可见， 下底面不可见。
正面投影
前半个圆柱面可见， 后半个圆柱面不可见。
侧面投影
左半个圆柱面可见， 右半个圆柱面不可见。
圆柱表面上取点、线
(b) a
b a
b
a
c
c
d
d
c
(d)
(f) e
f
√
(e)
f
√
e
a
侧面投影
左半个球可见， 右半个球不可见。
球表面取点、线
m (n) n
m
(n)
m
纬圆法
m
(m )
纬圆法
m
m
(m )
纬圆法
m
m (m )
纬圆法
m
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”) 41”
2”
4”
(41’) 4’
解题步骤： 1、分析两立体的 空间关系，确定相 贯线的已知投影。
11
1
41 31 3
2、从已知投影出发，确定相贯 线上的贯穿点。
3、先判断可见性，再连接贯穿点。
2 4
例4：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。
根据线上取点的方 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。 (3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。
(2)
(4) 补全棱线的投影。
例3 求做立体被截切后的投影
1’
1”
2’ 3’(4’)
4”
3”
4 2
1
3
例题4：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。
4´ 3´ 6´ 1´ 2´≡5 ´ 5″≡6″
(41’) 4’
11
(41) 31
1
3
解题步骤： 1、分析两立体的 空间关系，确定相 4” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发，确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性，再连接贯穿点。
2”
2
(4)
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”)
P 4≡5 7 5 6 3 4 2 Ⅷ Ⅰ 5 6 Ⅶ Ⅴ Ⅳ Ⅵ Ⅲ 1≡8 8 7 8 1 Ⅱ
2≡3≡6≡7
3 1 2
4
检查截交 分析棱线的投 截交线的形状？ 截交线的投影特性？ 求截交线 影 线的投影
6.4 平面立体相贯线
概述
相贯 ： 两立体相交称为相贯 相贯体 : 参与相贯的立体叫做相贯体 相贯线：相交两立体表面的交线叫做相贯线
C
不可见
求作两平面体表面交线的方法有两种： • 求各棱线与棱面的交点——棱线法 • 求各棱面的交线——棱面法 作图步骤： • 找到相贯线的已知投影 • 找点 • 顺序连接各点 • 完成轮廓线 • 判断可见性
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
(11’) 1’
2’ 3’ (31’)
11” 1” (31”) (3”) 41”
(a) 2
2 c 1 b (b) c
1

c 2 1
a(b)
圆
锥
圆锥的形成
回转轴线
S
母线 纬圆
圆锥面的母线和回转轴 线相交，故圆锥面的所有素 线都相交于锥顶。
素 线
圆锥的投影
一般使圆锥的回转轴线垂直于投影面。
圆锥的投影分析
底 面
周围圆锥面
没有积聚性
圆锥的轮廓线对应关系
s s
确定截交线 的投影特性
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4) 2 3 4
● ●
1
●
2
●
3
4 3
●
●
1
● ●
★ 空间分析 截平面与体的几个棱 ★ 投影分析 交线的形状？
2
★ ★ 分析棱线的投影 ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
面相交？ 截交线在俯、左视图 求截交线 上的形状？
例5：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
1’ s’ 2 6’ 5’
3’
a’
c’
4’
b’ a
3
1 s (6) (5) (4) 2 c b
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线的 已知投影。 2、求相贯线上的贯穿点。 3、判断可见性，依次连接贯 穿点。 4、补全棱线。
例6：完成三棱锥与四棱柱的交线。
相贯类型： 相贯线的性质：
全贯 互贯
也可为平面折线
一般为封闭的空间折线
可见
相贯线的特性及求法
相贯线上折线的端点 相贯线的可见性 －－相贯点(贯穿点) 可见的条件：相贯线位于同时可见 的两相交表面时，才可见。
A
B
相贯线的求法：
方法一：先求贯穿点，再依次连线， 同时判断可见性。 方法二：求面面交线。
11” 1” (31”) (3”) 2”
例5：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
1’ s’ 2 6’ 5’
3’
a’
c’
4’
b’ a
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线的 已知投影。 2、求相贯线上的贯穿点。 3、先判断可见性，依次连接 贯穿点。
3
1 s (6) (5) (4) 2 c b
2
c 1
b
c
(b)
1
a c
2
1
b
球
球的形成
球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径 为轴线旋转得到的。
球的投影
球的轮廓线对应关系
水平投影
球的轮廓线对应关系
正面投影
球的轮廓线对应关系
侧面投影
球的可见性分析
水平投影
上半个球可见， 下半个球不可见。
正面投影
前半个球可见， 后半个球不可见。
(41’) 4’ (41) 31
11
1
3
解题步骤： 1、分析两立体的 空间关系，确定相 41” 4” 贯线的已知投影。 2、从已知投影出发，确定相贯 线上的贯穿点。 3、先判断可见性，再连接贯穿点。 4、将棱线补到相贯点，注意可见性。
2”
2 (4)
例4：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。
(11’) 1’
二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
★ 画出截交线的投影
分别求出截平面来自百度文库棱面的交 线，并连接成多边形。
1.交线分左右两部分，右侧为梯形， 左侧为空间闭合折线(6段); 2.棱柱的上下表面、 3’ 2’≡ 8’≡9’ PV 棱锥的SAB面的正面 e’≡f’ 4’ 投影有积聚性,可利 用棱线法求得Ⅲ,Ⅵ, QV 6’ d’≡g’ Ⅶ,Ⅷ,Ⅸ,Ⅹ的投影； 1’≡5’ 7’≡10’ 3.利用棱面法完成其 交线的投影： 作辅助面PV求Ⅱ,Ⅳ 的投影， 作辅助面QV求Ⅰ,Ⅴ 的投影， 辅助面与三棱锥的交 线均为与底面相似的 三角形；
6.3 平面立体截交线
一、平面截切的基 本形式 二、平面截切体的 画图
截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一 部分。
截平面 —— 用以截切物体的平面。 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 截断面 —— 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。
一、平面截切的基本形式
相贯体
相贯线
1、相贯线的性质
1)表面性—相贯线位于两相交立体的表面。
2)共有性—相贯线是两相交立体表面的共有线和分界 线，线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求 相贯线投影的作图依据。 3)封闭性—由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一 般是封闭的空间折线或空间曲线。
2、相贯线的形状
相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立 体的相对位置。
(1) 立体形状不同，相贯线形状不一样：
平面立体相贯:空间 折线
平面立体与曲面立体相贯： 多段平面曲线
曲面立体相贯：空间曲 线
(2) 立体大小不同，相贯线形状不一样：
直径不同的 两圆柱
直径相同的 两圆柱
(3) 立体相对位置不同，相贯线形状不一样：
两圆柱轴 线斜交
两圆柱轴线 偏交
平面立体相贯种类及相贯 线的特点