1.席位分配问题

1.席位分配问题

一. 问题提出

设有甲、乙、丙三个部门，人数分别为1a 、2a 、3a ，有N 个名额进行分配。甲、乙、丙所分名额分别是1n 、2n 、3n ，即有123N n n n =

++。

公平分配要求如下：

1. 一个部门人数的增加不会导致它分得的名额减少；

2. 总的分配名额的增加不能导致某个部门分得的名额减少；

3. 任一部门分得的名额数不能偏离其比例的名额数。 分法一：比例加惯例分配

即按照人口比例进行名额分配。若各部门所得恰好是正整数，分配完毕； 否则，把小数部分对应的名额分给尾数最大的。 分法二：Q 值法

假设A 、B 两方，人数分别为1p 、2p ，待分配的名额是N 个，A 方和B 方得到的名额分别是1n 、2n 。首先给出衡量公平分配的数量指标： 当

1212p p n n =时，分配公平；若1212

p p

n n >，对A 不公平，此时定义1212p p n n -为对A 的绝对不公平度，()12

12

1222

,A p p

n n r n n p n -=为对A 的相对不公平度；若1212p p n n <，类似的定

义2121

p p n n -为B 的绝对不公平度，()21

211211

,B p p n n r n n p n -=为对B 的相对不公平度。要使

分配方案尽可能公平，制定分配方案的原则是使()12,A r n n =与()12,B

r n n =

都尽可能

小。

假设A 方和B 方已分得1n 、2n 个名额，利用相对不公平度()12,A r n n =

与

()12,B r n n =讨论当分配名额再增加一个时应该分配给A 还是给B 。不妨设

1212

p p n n >，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况： （1） 当

12

12

1

p p n n >

+ 时，说明即使给A 增加1个名额，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方。

（2） 当

12

12

1

p p n n <

+时，说明给A 增加1个名额后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为

()211212

1

1,1B p n r n n p n ++=

- (1)

（3） 当

12

121

p p n n >

+时，这说明给B 增加1个名额，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为

()121221

1

,11A p n r n n p n ++=

- (2)

因为公平分配席位的原则是使相对不公平度尽可能小，所以如果

()()12121,,1B A r n n r n n =+<+ (3)

则这1个名额给A 方，反之这1名额给B 方. 由【1】、【2】知，【3】等价于

()()22

21221111p p n n n n <

++ (4)

不难证明上述的第(1)种情况

12

12

1

p p n n >

+也与【4】式等价。 若记

()2

1i i i i p Q n n =

+ 1,2i

=

则增加的1席给Q 值大的一方.

上述方法可以推广到有m 方分配名额的情况.设第i 方人数为i p ，已分得有i n 个席位。当总名额增加1个时，计算

2

, =1,2

1=

+()

i

i i i p Q i m n n ，，

则增加的1个名额应分配给Q 值大的一方.这种席位分配的方法称为Q 值法。

二.实例验证

1.三个部门甲、乙、丙共有200人（甲部门40人，乙部门60人，丙部门100人），有

20个名额进行分配。

解：显然按比例分配，甲、乙、丙各得4,、16、10人。

2.由于部门调整，甲部门有34人，乙部门有63人，丙部门有103人，问20个名额如

何分配？若增加为21个名额又如何分配？

从表可以看出，当名额从20增加到21时，甲部门分得的名额不增反降！明显不公平。

下面采用Q值法进行分配：

先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。本问题的整数名额共分配了１９个席的分配，具体为：

计算Q值：

Q1=1032/(10⨯11) = 96.45 ; Q2=632/(6⨯7)= 94.5; Q3 =342/(3⨯4)=96.33

因为Q1最大，因此第２０席应该给丙部门; 对第２１席的分配，计算Q值：Q1=1032/(11⨯12)=80.37 ; Q2 =632/(6⨯7)=94.5; Q3 =342/(3⨯4)=96.33

因为Q3最大，因此第２1席应该给甲部门。

最后的席位分配为：甲：4 乙：6 丙：11。满足前面提出的“公平分配要求”。

三.问题反思：

寻找公平分配席位方法的关键，是建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标，本模型提出的指标是相对不公平度，在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的。但是由于满足上述公平分配公理的方法根本不存在，只能退而求其次，研究去掉某些公理的分配方法。