线性代数第一章(答案)
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第一章 行列式
一 填空题
1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！
2.行列式
1
2
n
λλλ= (1)
2
12
(1)
n n n λλλ--
3. 行列式11121314222324
333444
00
a a a a a a a a a a 的值11223344
a a a a
4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则
A =
1122
nn
a a a
解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10
6. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10
7. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 34
8.在函数x
x x
x x x f 2
1
1
12)(---=中,3x 的系数为 -2
解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.
9. 行 列 式
x
x
x
x x 2213
2
121132
15 含 4x 的项410x
解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =⋅⋅⋅=.
10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变
11. =5
67
89012011400
10
30
0200
10
0 120 .
解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式
12.行列式
c
c b b a
a
------11
11
111
的值是 1 。
解c
c b b a a ------11
11
11
1
=1
1
111
1a b
b
c c
----=10
10
1
11a
b c c
--=10
10101
a
b c =1
13. 行 列 式
210000121
00
002100
0012000001210
000
1
2
-------- 的 值是 27 。 解D =
-------2
112210012
0012
1
12
=⋅--⋅--3211221
12
==3273
14.行列式n
2222
23
2
2
2
222
2
221
的值是 （-2）
（n-2）！ 。 解：将第二列乘以（-1）分别加到其余各列得到1
2000
200
21000
2
2
n --，然后再将第二行乘以（-1）分别加到其余各行的到对角矩阵
1000
0200
10
2
n --=（-2）（n-2）！ 15.方程02
21
3
2
132
1)(22=+-=x x x D 的解为2,2,1,14321-==-==x x x x 。
解：()D x =-2（x 2-2）（x 2-1）=0
16. 多项式nn
n n
a x a x a x a x x f ++++=
1111)(的次数最多是 n 次。
解：利用行列式性质5
17. 设A 是一个)2(>n n 阶行列式，且已知0≠=a A 。将A 的每一列都减去其余各列，所得的行列式记作B ，则B ＝ a 。 18. 设A 为n 阶方阵，将A 的第一行与第二行交换，得方阵B ，则B A + = 0 ，B A - = 2A
，B A + = 0 ，B A -=
0 。
19.
=1
1
1
01101
10110
1
11
-3
解:应用化三角形法:
=11101101
101101
11=--11
1010101100
01
11=---
1
100
1
01011
100111.33
000
21
0011100111-=-
20．
=--+---+---1
1
1
1111
1
1
1111111x x x x .4x
解: 先把各列累加到第一列再用化三角形法:
=
--+---+---111
111111
1111111x x x x =-----+---1
1
1
1111
11111x
x x x x x x 1
1
1
1
11111
1111111-----+---x x x x
=-----x x x x x x x 00
000001111.0
00
1
11
42x x
x x =--