小行星轨道问题

四. 小行星的轨道问题（交纸质文档）

一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万哩）。他在不同的时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764，0.648），（6.286，1.202），（6.759，1.823），（7.168，2.526）与（7.408，3.360）。由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程并画出其轨迹图。

解：设行星的椭圆轨道方程为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0;

（1）将上述九个点的坐标一一代入椭圆轨道方程，得到一个关于a,b,c,d,e,f 的其次线性方程组，这个方程组有九个方程，如果这个方程组的秩等于5，那么在这九个方程中随便找五个方程解出a,b,c,d,e,f，就得到椭圆的方程式。（2）如果这个方程组的秩大于5，那么不妨设g(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f; 将上述九个点的坐标分别代入g(x,y),得到9组等式，然后再将这9组等式平方后相加，记为s;

根据最小二乘法原理，：

令s分别对a，b，c，d，e，f求导后的代数式等于零。得到一个由五个五元一次方程构成的方程组，解这个方程组求出参数值，这就是椭圆方程中各参数的最小二乘估计，由这组估计值所确定的椭圆方程能够保证误差的平方和最小。

小行星的轨道模型

问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳

为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.

表6.1 坐标数据

由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为

012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .

问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：

（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.

由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224

135342

3333223125242

232222211514213112211y a x a y a y x a x a ，

y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡111112222222222222225432155

25

5

525

44244424

33233323222

22222

112

11121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x

求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:

12

2

22=+b Y a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .

根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:

[]

.02221=+

+C D

Y X λλ 所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=

;椭圆短半轴: C

D

b 2λ=;椭圆半焦矩:22b a

c -=. 计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡=7200.69600.142896.112656.509504

.550520.53360.143807.62127.363802.516460.35180.133233.36433.246841

.454040.25720.124448.11115.155138.39292.1528.114199.04701.72237.33A

使用计算机可求得

).2165.0,6351.1,6942.0,3440.0,6143.0(),,,,(54321---=a a a a a

从而

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛--=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=6942.03440.03440.06143.03221

a a a a C C C ,3081.0=的特征值.0005.1,3080

.021==λλ .12165.06351.12165.06942.03440.06351.13440.06143.015

4

532

321

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a D .8203.1-=D

于是,椭圆长半轴1834.19=a ,短半轴9045.5=b ,半焦距2521.18=c .小行星近日点距和远日点距为.4355.37,039313=+==-=c a H c a h

最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.