第八章 非线性控制系统分析

2. 饱和特性
任何实际装臵都存在饱和特性，因为它们的输出不可能 无限增大。为了分析方便，用图中的三段直线来近似，称之 为理想饱和特性。 数学描述为：
kg y kx kg
x g | x | g xg
饱和现象使系统的开环增益在饱和区时下降。
3. 继电特性
继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性, 继电特性 有双位特性（a）和（b），三位特性（c）等，图（b）（c） 的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装臵 如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比 如：电磁阀、斯密特触发器等。大多数家用电冰箱、空调 就是继电器控制系统。
2 d x n x xd x
2 1 2 n x x2 C 2 2 2 x 2C 2 x 2 2 A2
n
n
2 x2 x 2 2 1 — 椭圆方程 2 A A n
相轨迹的绘制 —— (2)等倾斜线法
等倾斜线 —— 相轨迹斜率为常数的曲线
2. 非线性系统的特征
线性系统满足叠加原理。非线性系统叠加原理不能适用。 能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。
非线性系统的运动主要有以下特点： 1）稳定性分析复杂 稳定性针对平衡状态而言。线性系统只有一个平衡状态， 且只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关。 非线性系统可能存在多个平衡状态，可能是稳定的也可能 是不稳定的。不仅与系统的结构和参数有关，初始条件不同， 自由运动的稳定性也不同。
f ( x, x ) 0 x 系统方程
f ( x, x ) dx dx x
dx dx dx ) x x f ( x, x d x dt dx
) f ( x, x x
x x 0 ,用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。 x 例3 系统方程
解 线性部分
C ( s) 1 2 U ( s) s
( t ) u( t ) c
e 2 开关线方程 e 2
0 e 2 (I) 非线性部分 u e 2 e 2 (II ) e 2 e 2 (III)
综合点
e r c 4c
c 4e e c e c
8-3 相平面法
相平面法直观、准确的反应系统的稳定性、平衡状态和 稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。 相轨迹适用于分析常见静态非线性特性和一阶、二阶线 性环节组合而成的非线性系统，并形成一种特定的相平面法， 它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性 , 解释极 限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。 1.相平面的基本概念 2.相轨迹的性质 3.相轨迹的绘制 4.线性系统相轨迹及特点 5.非线性系统的相平面分析（重点）
r ( t ) 1( t )
相轨迹图：相平面 + 相轨迹簇
2 相轨迹的性质
(1)相轨迹的斜率 dx dx dx dx ) x x f ( x, x dt dx dt dx (2)相轨迹的奇点 (平衡点)
f ( x, x ) 0 dx dx x 0
5.67 5.76 1.73 0.84 0.36 0.00 80 100 120 140 160 180
x
x 1
1 arctan 1
0.19
0.42
0.82
1.18 1.58
2.19
) 0 f ( x, x 0 x
相轨迹以90°穿越 x 轴
3 相轨迹的绘制 ——(1) 解析法
2 n 例2 设系统方程为 x x 0，
试绘制系统的相轨迹。
解
dx dx dx dx 2 x n x x dx dt d x dt
2）线性二阶系统的相轨迹
2 2nc n c c0
奇点分稳定奇点和不稳定奇点。据二阶系统特征根分布情况， 奇点分：中心点，节点（稳定的、不稳定的），焦点（稳定的、 不稳定的），鞍点。 ，相应的相轨迹图如下:
极点分布 奇点
中心点
相迹图
极点分布 奇点
鞍 点
相迹图
稳定的 焦点
不稳定 的焦点
1. 相平面的基本概念
相平面、相轨迹和相轨迹图 相平面：
) 由系统某变量及其导数(如 c , c 构成的用以描述系统状态的平面。
相轨迹：
系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。 例1 单位反馈系统
G( s ) 5 n 2.236 s( s 1) 0.2236
本章内容
8-1 非线性控制系统概述 8-2 常见静态非线性特性及其对系统运动的影响 8-3 相平面法 8-4 描述函数法
8-1 非线性控制系统概述
1.研究非线性控制理论的意义
2.非线性系统的特征（重要）
3.非线性系统的分析与设计方法
1. 研究非线性控制理论的意义
组成控制系统的各元件的动态和静态特性都存在着不同 程度的非线性。用非线性微分方程描述的非线性为动态非线 性特性。本章研究静态非线性特性。 1）非线性系统的定义：含有一个或多个具有非线性特性的元件。 2) 非线性系统的分类 非本质非线性 ：能用小偏差线性化方法线性化处理。 本质非线性 ： 不能用小偏差线性化方法解决。 3）研究非线性控制理论的意义 改善系统性能，实现高质量控制，必须考虑非线性控制器 的设计。 4）目前非线性研究中存在的问题 特性千差万别，目前没有统一普遍适用的方法。理论和实 践的前沿问题。 线性是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法仍 将发挥重要作用。
.
图（b）的数学描述自行导出。
4. 间隙特性
齿轮传动是典型的间隙特性。
设齿轮传动速比为c，间隙特性的数学描述：
k ( x b) y c k ( x b) 当x y / k b 当 b x y / k b 当x y / k b
间隙特性对控制系统的动态、稳态特性都不利。 注：以上所介绍的各种非线性特性，有些可结合在一起构成组 合非线性特性。
图（a）的数学描述：
M y M x0 x0
当x 0 : M y 0 M 当x 0 : M y 0 M x h1 h1 x h2 x h2 x h2 h2 x h1 x h1
.
图（c）的数学描述：
中心点 中心点
s1, 2 j1 极点 s1, 2 j1
开关线 —— 划分不同线性区域的边界线 平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生
c ( 0) 0 例2 系统如右，已知 r ( t ) 4 1( t ) ,确定开关线方程,奇点位置和 ) 图。 类型,绘制相轨迹 ( e , e
1. 死区特性
死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏 区造成的。为了分析方便，用图中三段直线（实线）近似， 称为理想死区特性。数学描述为：
k ( x ) y 0 k ( x ) x | x | x
死区特性可能给控制系统带来不利影响，使控制的灵敏 度下降，稳态误差加大；也可能给控制系统带来有利的 影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。
稳定的 节点
不稳定 的节点
3）极限环
孤立的封闭曲线，把相平面划分为具有不同运动特点的各 个区域，极限环是非线性系统的特有现象。收敛于该极限环， 则极限环称稳定极限环。系统呈现稳定的自振，如图
各 类 极 限 环
稳定的极限环
不稳定的极限环
半稳定的极限环
一些复杂的非线性控制系统可能出现两个或两个以上极限环。 该非线性系统的工作状态，不仅取决于初始条件，也取决于 扰动大小。 只有稳定的极限环才能在实验中被观察到。不稳定或半稳定 的极限环无法在实验中观察到。
x sign 0，分析系统的自由响应。 x x 例1 系统方程为
解
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x 1 0 x x x 1 0
xe1 1 xe 2 1
0 I x 0 II x
I 奇点 II
特征 I 方程 II
s2 1 0 s2 1 0
8-2 常见静态非线性特性 及其对系统运动的影响
一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为：
y f ( x)
静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、 间隙特性和摩擦特性是最常见的，也是最简单。静态非线性 是动态非线性的一种近似。 考研要求，能写出以上非线性特性的数学表达式及相应图 形，相应特性对系统性能的影响。
5. 非线性系统的相平面分析
常见静态非线性特性多数可用分段直线表示，或者本身就 是分段线性的。
对于含有这些静态非线性特性的一大类非线性系统，由于 不满足解析条件，无法采用小偏差法线性化。
根据非线性分段特点，将相平面分成若干区域进行研究， 可使非线性微分方程在各个区域表现为线性微分方程，再应 用线性系统相平面分析方法，则问题可以得到解决。(可从分 段相图上分析系统）
解
dx x ) x ( x x dx
x x 1
) (x x x
等倾斜线方程
3.75 2.19 1.58 1.18 0.82 0.42 0.19
1.75

1 1
0.36 20
0.84 40
1.73 60
0 e 2 (I) c u 2 e e 2 (II ) e 2 e e 2 (III)
1.75
3.75

4. 线性系统相轨迹及特点
线性系统是非线性系统的特例。 许多非线性一阶和二阶系统，常可分成多个区间研究。在 各个区间，非线性系统的运动特性可用一阶或二阶线性微分方 程描述。
1）线性一阶系统的相轨迹
线性一阶系统自由运动微分方程
c 0 Tc
相轨迹方程
1 c c T
3）频率响应发生畸变
线性系统的频率响应，正弦信号作用下的稳态输出量是 与输入同频率的正弦信号。 非线性系统的频率响应除含有与输入同频率的正弦信号 外，还含有高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。
3. 非线性系统的分析与设计方法
系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解 决稳定性问题为中心，对系统实施有效的控制。 由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况 下难以求得非线性微分方程的解析解，只能采用工程上适用 的近似方法。 本章重点介绍两种方法：（考研） 1）相平面法 2）描述函数法
第八章 非线性控制系统分析
非线性系统与线性系统有本质的差别， 非线性系统不满足叠加原理，非线性系统的 稳定性不仅取决于控制系统的固有结构和参 数，而且与系统的初始条件和输入信号有关。 本章介绍非线性系统的经典分析方法：相平 面法和描述函数法，相平面法是时域中的一 种图解分析法，描述函数法是频率域中的一 种近似分析法。
2）可能存在自激振荡现象
没有外界周期变化信号作用，系统产生具有固定振幅和频率 的稳定周期运动，简称自振。 线性系统只在临界稳定情况下才产生周期运动。参数稍变 化，状态不能保持，这种运动是不稳定的，故不是自振。 非线性系统可存在稳定的周期运动。长时间大幅度的振荡 会造成机械磨损，增加控制误差，多数情况下不希望系统有自 振发生。
设非线性系统方程为：
f ( x, x ) 0 x
相轨迹上斜率不确定的点
x0 0 x
对于线性定常系统， 原点是唯一的平衡点
— 向右移动 — 向左移动
(3)相轨迹的运动方向
0 0 下半平面: x 上半平面: x
顺时针运动
(4)相轨迹通过横轴的方向
f ( x, x ) dx dx x