数学规划基础-1(全集)
考研数学学习计划(基础阶段)数学一——线性代数
考研数学学习计划（基础阶段）数学一——线性代数第一单元学习计划——行列式、矩阵计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版本单元中我们应当学习——1．行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理．2．用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．3．用克莱姆法则解齐次线性方程组．4．矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念和性质．5．矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及它们的运算规律.6. 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.7．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件.8. 伴随矩阵的概念，用伴随矩阵求逆矩阵．9．分块矩阵及其运算．线性代数第一单元学习计划调整任务第二单元学习计划——向量和线性方程组计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版本单元中我们应当学习——1．矩阵初等变换的概念，初等矩阵的性质，矩阵等价的概念，矩阵的秩的概念，用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵．2．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件．3．齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4．非齐次线性方程组解的结构及通解．5．用初等行变换求解线性方程组的方法．6．n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．7．向量组线性相关、线性无关的概念，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．8．向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念和求解．9．向量组等价的概念，矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.10．n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．11．基变换和坐标变换公式，过渡矩阵．第三单元学习计划——矩阵的特征值和特征向量、二次型计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版本单元中我们应当学习——1．内积的概念，线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．2．规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．3．矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，求矩阵的特征值和特征向量.4．相似矩阵的概念、性质，矩阵可相似对角化的充分必要条件，将矩阵化为相似对角矩阵的方法.5．实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．6．二次型及其矩阵表示，二次型秩的概念，合同变换与合同矩阵的概念，二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．7．正交变换化二次型为标准形，配方法化二次型为标准形．8．正定二次型、正定矩阵的概念和判别法．线性代数第三单元学习计划调整任务本计划建议用29天的时间来完成，由于课后习题偏少，所以在计划之中增加了一些补充的巩固练习题目。
第1章 高等数学规划预备知识
第1章 预备知识§1.1 基本概念与术语1.1.1 数学规划问题举例例1 食谱（配食）问题● 假设市场上有n 种不同的食物，第j 种食物每个单位的销售价为),,2,1(n j c j =。
● 人体在正常生命活动过程中需要m 种基本的营养成分。
为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i 种营养成分),,2,1(m i b i =个单位。
● 第j 种食物的每个单位包含第i 种营养成分ij a 个单位。
食谱（配食）问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下，寻找最经济的配食方案（食谱）。
建立食谱的数学模型引入决策变量i x ：食谱中第i 种食物的单位数量i ni i x c ∑=1mins.t. m i b x a i j nj ij ,,2,1,1=≥∑= n j x j ,,2,1 ,0 =≥例2 选址与运输问题● 假设某大型建筑公司有m 个项目在不同的地点同时开工建设.记工地的位置分别为m i b a P i i i ,,2,1),,( ==. ● 第i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量（单位：t ）为i D ）． ● 该公司准备分别在),(111y x T =和),(222y x T =两个地点建造临时料场，并且保证临时料场对材料的日储量（单位：t ）分别为1M 和2M ．如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？建立选址与运输问题的数学模型引入决策变量：位置变量),(k k y x ,从临时料场向各工地运送的材料数量),,2,1 ;2,1(m i k z ki ==.∑∑-+-==21122)()(min k mi i k i k ki b y a x zs.t. 2,1 ,1=≤∑=k M z k mi kim i D z i k ki ,,2,1 ,21==∑=m i k y x z k k ki ,,2,1,2,1 , R ),( ,02 ==∈≥例3 生产计划问题● 某企业向客户提供一种机器，第1季度末需要交货1c 台，第2季度末需要交货2c 台，第3季度末需要交货3c 台．● 该企业最大生产能力是每季度生产b 台.● 若用x 表示该企业在某季度生产的机器台数，则生产费用（单位：元）可以用函数αx a x a x f 21)(+=来描述.● 企业需为每台机器在每个季度多支付p 元的存储费． ● 假设在第一个季度开始时无存货，不允许缺货.如何制订生产计划，确定在每个季度应该生产多少台机器，才能既履行交货合同，又使企业总体费用最少？建立生产计划的数学模型决策变量：用)3,2,1(=i x i 表示企业在第i 个季度生产的机器数量． 合同规定的总数量：321321c c c x x x ++=++每个季度生产数量要求：每个季度生产数量j x 不大于最大生产能力b ，不少于该季度末的交货量j c 与该季度初的库存量j I 之差.第j 个季度初库存量：3,2,1 ,)(=∑-=<j c x I ji i i j （1I =0）变量隐含要求：)3,2,1(0=≥j x j ，并且取整数． 企业总费用：所有季度生产与存储费用之和∑+∑===3231)()(i i i i pI x f x F)2()))3(()(min 213121c c p x a x p i a x F i i i +-∑+-+==αs.t. ∑=∑==3131j j j j c x11c x ≥2121c c x x +≥+3,2,1,,0=∈≤≤j Z x b x j j (Z 表示所有整数的集合)1.1.2 数学规划问题的模型与分类● 形成一个最优化问题的数学模型⏹ 首先需要辨识目标，确定优化标准，即待研究系统的性能定量描述，如成本、数量、利润、时间、能量等；⏹ 其次用合适的决策变量描述系统的特征量，并将目标表示成决策变量的函数（目标函数，objective function )；⏹ 此外需确定变量所受的范围限制，由若干个函数的等式或者不等式来定义（约束函数，constraint functions )．● 最优化问题指在决策变量所受限制范围内，对相关的目标函数进行极小化或者极大化.)(min nRx f x ∈ s.t. I i x g i ∈≥ ,0)(E j x h j ∈= ,0)(满足约束条件的点称为可行点（feasible point ) ，所有可行点的集合称为可行域（feasible region ) ，记为S .- 当nS R =，无约束优化问题;否则,约束优化问题．- i g f ,和i h 都是线性函数，为线性规划（linear programming ，LP );否则为非线性规划（nonlinear programming, NLP ）.- 所有变量取整数，称为整数规划（integer programming );允许一部分变量取整数，另一部分变量取实数，为混合整数规划（mixed integer programming, MIP ）.- 从一个连通无限集合（可行域）中寻找最优解, 称为连续优化(continuous optimization )问题；从一个有限的集合或者离散的集合中寻找最优解，称为组合优化（combinatorial optimization)，或者离散优化（discrete optimization ）．- 存在多个目标，即目标函数)(x f 取一个向量值函数，称多目标规划（multi-objective programming)，或多目标优化．- 最优化问题中出现的参数是完全确定的，称为确定型优化（deterministic optimization ）问题;否则称为非确定型优化（uncertain optimization) 问题，包括了随机规划（stochastic programming ）、模糊规划（fuzzy programming ) 等特殊情形．1.1.3 最优解的概念定义: 设)(x f 为目标函数，S 为可行域，S x ∈，若对每个S x ∈，成立)()(x f x f ≥，则称x 为)(x f 在S 上的全局极小点。
数学规划及其应用1-7
(C A) X 0
(c j 0 p j ) x 0 j 0
j 1,2,, n
证明：
0 0
(c p ) x
0 j 1 j j
n
0 j
0
0 0 设 X , 分别是(P)和(D)的最优解，由定理1-8有
0 0 AX CX b
(C A) X 0
三.松紧定理： ( P ) min S CX AX b X 0 定理1-9：
0 0 设 X , 分别是(P)和(D)的可行解，
( D) max Z b
A C C 0A 0 c j 0 pj 0
0 0
则 X , 分别是(P)和(D)的最优解
第一章 线性规划
第七节 对偶理论 原规划和对偶规划最优解 之间的关系 弱对偶定理 强对偶定理 松紧定理
一.弱对偶定理： ( D) max Z b ( P ) min S CX AX b A C X 0 b CX 定理1-7： 设X 和 分别是(P)和(D)的可行解，则有CX b. 证明： A C , X 0 AX CX b CX 推论1：
b
若 X 0和 0 分别是(P)和(D)的可行解，且 CX 0 0b, 则 X 0和 0 分别是(P)和(D)的最优解。
线性规划1-7
弱对偶定理： ( D) max Z b ( P ) min S CX AX b A C X 0 b CX 定理1-7： 设X 和 分别是(P)和(D)的可行解，则有CX b. 推论1： 若 X 0和 0 分别是(P)和(D)的可行解，且 CX 0 0b, 则 X 0和 0 分别是(P)和(D)的最优解。 证明： 设X 是(P)的任意可行解，由定理1-7知：
数学一学习计划
数学一学习计划第一阶段：基础知识的巩固（1个月）在学习数学一之前，首先需要对高中数学的基础知识进行系统的复习和巩固。
这个阶段主要包括代数、几何和概率统计等内容的复习。
主要任务是通过做大量的练习题，巩固各种基本的数学概念和技巧，提高计算能力和解题能力。
建议每天至少花费2-3小时时间进行基础知识的巩固练习，每周进行一次知识点的自测。
第二阶段：数学一的内容学习（2个月）在基础知识的巩固之后，就可以开始正式学习数学一的相关内容了。
这个阶段主要包括微分和积分两个部分的学习。
微分主要涉及导数、微分应用和函数的性质等内容，积分主要包括不定积分、定积分和微积分应用等内容。
学习数学一的关键是弄清楚各种概念的定义和性质，熟练掌握各种计算方法和技巧。
在这个阶段，建议每天至少花费4-5小时时间进行数学一的内容学习，同时要适当利用课外时间进行练习题的巩固和实战演练，每周进行一次综合性的习题训练。
第三阶段：综合能力的提高（1个月）在掌握了数学一的基本内容之后，就需要进一步提高综合解题能力和应试技巧了。
这个阶段主要包括进行模拟考试和真题的训练，熟练掌握各种应试技巧和解题方法。
同时要适当关注历年真题和考纲变化，有针对性地进行题目的分析和总结，加强自己的应试策略和心理调节能力。
在这个阶段，建议每天至少花费3-4小时时间进行模拟考试的训练和真题的复习，同时要适当关注考纲和命题方向的变化，加强对考试趋势的了解。
第四阶段：最后冲刺（1个月）在正式备考之前，需要进行最后的冲刺阶段。
这个阶段主要包括进行全真模拟考试和模拟考试分析，有针对性地进行弱项的强化训练和提分训练。
同时要调整好自己的状态和心态，保持良好的心理状态和学习状态，增强信心和决心，做好最后冲刺的准备。
在这个阶段，建议每天至少花费4-5小时时间进行全真模拟考试和模拟考试分析，同时要适当调整自己的学习计划和备考策略，保证自己能够在考试中发挥出最好的水平。
总结数学一是高考的重要科目之一，对学生的数学素养和数学能力有很高的要求。
数学(基础模块)全册1
人教版中职数学教材基础模块上下册全册教案【课题】1．1 集合的概念【教学目标】知识目标：（1）理解集合、元素及其关系；（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.【教学重点】集合的表示法．【教学难点】集合表示法的选择与规范书写．【教学设计】（1）通过生活中的实例导入集合与元素的概念；（2）引导学生自然地认识集合与元素的关系；（3）针对集合不同情况，认识到可以用列举和描述两种方法表示集合，然后再对表示法进行对比分析，完成知识的升华；（4）通过练习，巩固知识．（5）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】的代表元素，竖线的右侧写出元素所具有的特征性质．如小于2-2-⎬⎭）奇数集合}∈Z ；）第一象限所有的点组成的集合为本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？）本次课学了哪些内容？【课题】1.2 集合之间的关系【教学目标】知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念；（3）会判断集合之间的关系.能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.【教学重点】集合与集合间的关系及其相关符号表示．【教学难点】真子集的概念．【教学设计】（1）从复习上节课的学习内容入手，通过实际问题导入知识；（2）通过实际问题引导学生认识真子集，突破难点；（3）通过简单的实例，认识集合的相等关系；（4）为学生们提供观察和操作的机会，加深对知识的理解与掌握．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】是用来表示集合与集合之间关系的符号；”是用来表示元素与集合之间关系的符号．首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．的子集，并且集合．空集是任何非空集合的真子集．对于集合A、B、C，如果A{2}{1}=9}={3，-3}x x==x x= |2}；⑸a{0}∅；2}2{|x x【课题】 1.3集合的运算（1）【教学目标】知识目标：（1）理解并集与交集的概念；（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力．【教学重点】交集与并集．【教学难点】用描述法表示集合的交集与并集．【教学设计】（1）通过生活中的实例导入交集与并集的概念，提高学习兴趣；（2）通过对实例的归纳，针对用“列举法”及“描述法”表示集合的运算的不同特征，采用由浅入深的训练，帮助学生加深对知识的理解；（3）通过学生的解题实践，总结比较，理解交集与并集的特征，完成知识的升华；（4）讲与练结合，教学要符合学生的认知规律．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间5 *动脑思考 探索新知一般地，对于两个给定的集合A 、B ，由集合A 、 B 的相同元素所组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A B ,读作“A交B ”．即{}AB x x A x B =∈∈且．集合A 与集合B 的交集可用下图表示为：求两个集合交集的运算叫做交运算． 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 强调 图像 含义 思考 理解 记忆 观察 带领 学生 总结 三个 问题 的共 同点 得到 交集 的定义10 *巩固知识 典型例题例1 已知集合A ，B ，求A ∩B . (1) A ={1,2}，B ={2,3}； (2) A ={a ,b }，B ={c ,d , e , f }； (3) A ={1,3,5}，B = ∅； (4) A ={2,4}，B ={1,2,3,4}．分析 集合都是由列举法表示的，因为 A ∩B 是由集合A 和集合B 中相同的元素组成的集合，所以可以通过列举出集合的所有相同元素得到集合的交集.解 (1) 相同元素是2，A ∩B ={1,2}∩{2,3 }={2}；(2) 没有相同元素A ∩B ={a , b }∩{c , d , e , f }=∅；(3) 因为A 是含有三个元素的集合， ∅是不含任何元素的空集，所以它们的交集是不含任何元素的空集，即A ∩B =∅；(4) 因为A 中的每一个元素的都是集合B 中的元素，所以A ∩B =A ．例2设(){},|0A x y x y =+=，(){},|4B x y x y =-=，求A B ． 分析 集合A 表示方程0x y +=的解集；集合B 表示方程说明 强调 引领讲解观察 思考 主动 求解 观察通过 例题 进一 步领 会交 集 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 复习过 程行为 行为 意图 间4x y -=的解集．两个解集的交集就是二元一次方程组0,4x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集． 解 解方程组0,4.x y x y +=⎧⎨-=⎩得2,2x y =⎧⎨=-⎩.所以(){}2,2AB =-．例3 设{}|12A x x =-<，{}|03B x x =<，求AB ．分析 这两个集合都是用描述法表示的集合，并且无法列举出集合的元素．我们知道，这两个集合都可以在数轴上表示出来，如下图所示．观察图形可以得到这两个集合的交集．解 {}{}|12|03AB x x x x=-<<{}|02x x =<．由交集定义和上面的例题，可以得到： 对于任意两个集合A ，B ，都有 （1）A B B A =；（2）A A A = ，∅=∅ A ； （3）B B A A B A ⊆⊆ ,；（4）如果A B A B A =⊆ 那么,.说明 引领 强调 含义 说明 启发 引导思考 求解 领会 思考 求解 了解方程 组的 解法 突出 数轴 的作 用 强调 数形 结合 可以 交给 学生 自我 发现 归纳25 *运用知识 强化练习 练习1.3.11．设{}1,0,1,2A =-，{}0,2,4,6B =，求AB ．2．设(){},|21A x y x y =-=，(){},|23B x y x y =+=，求A B ． 3．设{}|22A x x =-<≤，{}|04B x x=，求AB ．提问 巡视指导 动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 35 *创设情景 兴趣导入问题1 某班有团员34名，非团员11名，那么该班有多少名同学？用我们学过的集合来表示：A ={该班团员}；B ={该班非团员}；C ={该班同学}.那么这三个集合之间有什么关系？问题2 某班第一学期的三好学生有李佳、王燕、张洁、王勇； 介绍 质疑了解 观看 课件 思考从实 际事 例使 学生 自然}4，求A 整体建构思考并回答下面的问题：．集合的并集和交集有什么区别？（含义和符号）教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间（3）列举法求解时要不重不漏，描述法求解时要利用好数轴并注意端点的处理．强化70*巩固知识 典型例题 例5 设{}{}2,1,0,1,5,3,2-==B A ，求B A ,B A .解 {}{}{}22,1,0,15,3,2=-= B A ；{}{}2,1,0,15,3,2-= B A {}5,3,2,1,0,1-=.例6 设{0{1A x x B x x =<=<≤2},≤3},求B A ,B A . 解 将集合A 、B 在数轴上表示：{1AB x x =<≤2},{0AB x x =<≤3}.引领 分析 讲解 说明领会 思考 求解进行 并交 的对 比例 题讲 解巩 固所 归纳 的强 化点75 *归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.{}{}1,0,1,2,0,2,4,6A B =-=,求B A ,B A .2.{}{}22,04A x xB x x=-<=，求B A ,B A .引导 提问 巡视 指导 回忆 反思 动手 求解 培养 学生 总结 反思 学习 过程 的能 力 85 *继续探索 活动探究(1)读书部分： 教材章节1.3； (2)书面作业： 学习与训练1.3；(3)实践调查： 举出交集和并集的生活实例． 说明记录90【课题】 1.3集合的运算（2）【教学目标】知识目标：（1）理解全集与补集的概念； （2）会求集合的补集． 能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力．【教学重点】集合的补运算．【教学难点】集合并、交、补的综合运算．【教学设计】（1）通过生活中的实例导入全集与补集的概念，提高学生的学习兴趣；（2）通过对实例的归纳，针对用“列举法”及“描述法”表示集合的运算的不同特征，采用由浅入深的训练，帮助学生加深对知识的理解；（3）通过学生的解题实践，总结比较，理解交集与并集的特征，完成知识的升华；（4）讲练结合，数形结合，教学要符合学生的认知规律．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】，求A B，A B．介绍下面我们将学习另外一种集合的运算．兴趣导入U．U如果从上下文看全集是明确的，特别是当全集时，可以省略补集符号中的过 程行为 行为 意图 间作“A 的补集”．集合A 在全集U 中的补集的图形表示，如下图所示：求集合A 在全集U 中的补集的运算叫做补运算． 引导 说明观察 领会充分 利用 图形 的直 观性20 *巩固知识 典型例题例1设{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}1,3,4,5A =，{}3,5,7,8B =．求A U及B U ．分析 集合A 的补集是由属于全集U 而且不属于集合A 的元素组成的集合． 解{}0,2,6,7,8,9A =U ；{}0,1,2,4,6,9B =U ．例2 设U ＝R ，{}|12A x x=-<，求A ．分析 作出集合A 在数轴上的表示，观察图形可以得到A ．解 {}|12A x xx =->或．说明 通过观察图形求补集时，要特别注意端点的取舍．本题中，因为端点−1不属于集合A ，所以−1属于其补集A ；因为端点2属于集合A ，所以2不属于其补集A ．由补集定义和上面的例题，可以得到： 对于非空集合A ： A ∩(UA )=∅，A ∪(UA )=U ，U U=∅，U ∅=U ，U(UA )=A ．说明 讲解引领 引导 分析讲解 说明理解观察 思考 主动 求解 观察 思考 理解 自我 总结通过 例题 进一 步领 会补 集的 含义 及其 运算 特点 突出 数轴 的作 用 交给 学生 自我 发现 归纳 35*运用知识 强化练习 提问互动反馈思考并回答下面的问题：．什么是集合交运算？如何用符号表示？如何用图形表示？U U U U )()UU ()U AB ，()A B U．分析 这些集合都是用列举法表示的，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合． {U {U ()(){}0,2,6,9UU A ； ()(){}0,1,2,4,6,7,8,9U U AB=因为{}3,5AB =，所以(){0,1,2,4,6,7,8,9UB =(){0,2,6,9UB = 设全集U =R ，集合UU ，A B ，A 分析 在理解集合运算的含义基础上，充分运用数轴的表示来进行求解．，所以U B ={x | x -A B =R ．分析 运用知识 强化练习{1,2,3,4,5,6,7,8U =设{}|0180U αα=<<，{}|090A αα=<<，{}|90180αα=<<，求UA ，U B，()()U U A B ，)U U B ．巡视 指导归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？【课题】1.4 充要条件【教学目标】知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．【教学重点】（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“⇒”，“⇐”，“⇔”的正确使用．【教学难点】“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．【教学设计】（1）以学生的活动为主线.在条件与结论的关系的判断上，尽可能多的教给学生在独立尝试解决问题的基础上进行交流；（2）由易到难，具有层次性.从内涵上引导学生体会复合命题中条件和结论的关系. 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】【课题】2.1不等式的基本性质【教学目标】知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．【教学重点】⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．【教学难点】比较两个实数大小的方法．【教学设计】（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；（3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】【课题】2．2区间【教学目标】知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】区间的概念．【教学难点】区间端点的取舍．【教学设计】⑴实例引入知识，提升学生的求知欲；⑵数形结合，提升认识；⑶通过知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；⑷通过列表总结知识，提升认知水平.【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间时之间．如何表示列车的运行速度的范围？ 解决不等式：200<v <350； 集合：{}|200350v v <<；数轴：位于2与4之间的一段不包括端点的线段； 还有其他简便方法吗？ 引导 讲解思考 了解 领会复习 相关 知识5*动脑思考 明确新知 概念一般地，由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.不含端点的区间叫做开区间.如集合{}|24x x <<表示的区间是开区间，用记号(2,4)表示.其中2叫做区间的左端点，4叫做区间的右端点.含有两个端点的区间叫做闭区间.如集合{}|24x x表示的区间是闭区间，用记号[2,4]表示.只含左端点的区间叫做右半开区间，如集合{|24}x x <表示的区间是右半开区间，用记号[2,4)表示；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合{|24}x x <表示的区间是左半开区间，用记号(2,4]表示.引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为(200,350)． 说明 引导讲解 强调 细节理解 记忆 领会认知 各种 有限 区间 强调 各区 间的 规范 书写10*巩固知识 典型例题例1 已知集合()1,4A =-，集合[0,5]B =，求：AB ，A B ．解 两个集合的数轴表示如下图所示,(1,5]A B =-， [0,4)A B =．质疑 分析 讲解思考 理解复习 相关 集合 运算 知识15过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习 教材练习2.2.11.已知集合(2,6)A =，集合()1,7B =-，求A B ，A B ．2.已知集合[3,4]A =-，集合[1,6]B =，求A B ，A B ．3. 已知集合(1,2]A =-，集合[0,3)B =，求A B ，A B ．巡视 辅导思考 解题 交流 反馈 学习 效果20 *动脑思考 明确新知 问题集合{|2}x x >可以用数轴上位于2右边的一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？ 解决集合{|2}x x >表示的区间的左端点为2，不存在右端点，为开区间，用记号(2,)+∞表示．其中符号“+∞”（读作“正无穷大”），表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数．类似地，集合{|2}x x <表示的区间为开区间，用符号(,2)-∞表示（“-∞”读作“负无穷大”）． 集合{|2}x x 表示的区间为右半开区间，用记号[2,)+∞表示；集合{|2}x x表示的区间为左半开区间，用记号(,2]-∞表示；实数集R 可以表示为开区间，用记号(,)-∞+∞表示． 注意“-∞”与“+∞”都是符号，而不是一个确切的数． 质疑 讲解 说明 强调 细节思考 领会 记忆 理解 明确学习 各种 区间 25 *巩固知识 典型例题例 2 已知集合(,2)A =-∞，集合(,4]B =-∞，求AB ，A B ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 （1）(,4]AB B =-∞=；（2）(,2)A B A =-∞=．例3 设全集为R ，集合(0,3]A =，集合(2,)B =+∞，质疑 说明 讲解观察 思考通过 例题 巩固 区间 的概 念 注意过 程行为 行为 意图 间（1）求A ，B ；（2）求AB ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 (1) (,0](3,)A =-∞+∞,(,2]B =-∞； (2) (0,2]AB =．启发 强调领会 主动 求解规范 书写30*理论升华 整体建构下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a 、b 为任意实数，且a b <）． 区间(,)a b[,]a b (,]a b 集合 {|}x a x b << {|}x a x b ≤≤ {|}x a x b <≤ 区间[,)a b(,)b -∞ (,]b -∞ 集合 {|}x a x b <≤ {|}x x b < {|}x x b ≤ 区间(,)a +∞[,)a +∞ (,)-∞+∞集合 {|}x x a >{|}x x a ≥R引导分析思考 互动 总结小组 讨论 教师 归纳35*运用知识 强化练习 教材练习2.2.2１. 已知集合[)1,4A =-，集合(]0,5B =，求AB ，A B . ２．设全集为R ，集合(,1)A =-∞-，集合(0,3)B =，求A ，B ，B A ．巡视指导求解 交流反馈 学习 效果40 *归纳小结 强化思想（1）本次课学了哪些内容？（2）通过本次课学习，你会解决哪些新问题了？ （3）在学习方法上有哪些体会？ 引导 提问 总结 反思 交流引导 学生 总结43 *继续探索 活动探究(1)读书部分： 教材章节2.2，学习与训练2.2； (2)书面作业： 教材习题2.2，学习与训练2.2训练题． 说明记录45【课题】2.3 一元二次不等式【教学目标】知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．【教学重点】⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．【教学难点】一元二次不等式的解法．【教学设计】⑴从复习一次函数图像、一元一次方程、一元一次不等式的联系入手；⑵类比观察一元二次函数图像，得到一元二次不等式的图像解法；⑶加强知识的巩固与练习，培养学生的数学思维能力；⑷讨论、交流、总结，培养团队精神，提升认知水平．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题2.3 一元二次不等式*回顾思考复习导入问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？解决观察函数26y x=-的图像：介绍提出问题了解思考复习感受新知过 程行为 行为 意图 间二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存在着哪些联系？ 问题已知二次函数y =x 2-x -6，问： 1.怎样画这个二次函数的草图？2.根据二次函数的图像，能求出抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点吗？其交点将x 轴分成几段？3.观察抛物线找出纵坐标y =0、y >0、y <0的点.4.观察图像上纵坐标y =0、y >0、y <0的那些点所对应的横坐标x 的取值范围？ 解决解方程260x x --=得122,3x x =-=．观察图像可以看到，方程260x x --=的解，恰好分别为函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像，所对应的自变量x 的取值范围，即{|23}x x x <->或内的值，使得260y x x =-->；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，即{|23}x x -<<内的值，使得260y x x =--<． 质疑 说明引领 分析讲解 思考 观察 理解 领会 通过 实例 介绍 使学 生感 受一 元二 次不 等式 的图 像解 法30 *动脑思考 探索新知 解法利用一元二次函数2y ax bx c=++()0a >的图像可以解不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<．（1）当240b ac ∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数解1x 和2x 12()x x <，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点1(,0)x ，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是()12,x x ，不等式20a x bx c ++>的解集是12(,)(,)x x -∞+∞；归纳 总结讲解分析思考 观察 理解引导 学生 经历 由特 殊到 一般 的提 炼过 程）当2b ∆=-一元二次函数y [)2,x +∞R 0< 12,)x∅]12,x 24b ac =-典型例题解下列各一元二次不等式：首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次）29x<可化为290-=的解集为）2-x x53-+=x430的解集为是什么实数时，有意义．-．题意需要20=得x=．由于二次项系数为30 0>)+∞时，3【课题】2.4含绝对值的不等式【教学目标】知识目标：（1） 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法； （2）了解ax b c +<或ax b c +>的解法． 能力目标：（1） 通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力； （2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．【教学重点】（1）不等式x a <或x a >的解法 ．（2）利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>．【教学难点】利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 【教学设计】（1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力；（4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题2.4含绝对值的不等式 *回顾思考 复习导入 问题任意实数的绝对值是如何定义的？其几何意义是什么？ 解决对任意实数x ，有,0,0,0,,0.x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩其几何意义是：数轴上表示实数x 的点到原点的距离． 拓展不等式2x <和2x >的解集在数轴上如何表示？ 根据绝对值的意义可知，方程2x =的解是2x =或2x =-，不等式2x <的解集是(2,2)-（如图（1）所示）；不等式2x >的解集是(,2)(2,)-∞-+∞（如图（2）所示）．介绍 提问 归纳总结 引导 分析了解 思考 回答 观察 领会复习 相关 知识 点为 进一 步学 习做 准备 充分 借助 图像 进行 分析10 *动脑思考 明确新知（2）（1）a （0a >）的解集．）26x．或x a >的形式后求解．，得13x >，所以原不等式的,3 ⎝⎭）由不等式26x ，得如何通过x a <2- 12x-，所以原不等式的解集为 []1,2-． 57x +>，整理，得2；12．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？第三章函数3.1.1函数的概念【教学目标】1. 理解函数的概念，会求简单函数的定义域．2. 理解函数符号y＝f (x)的意义，会求函数在x＝a处的函数值．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数的概念及两要素，会求函数在x＝a处的函数值，求简单函数的定义域．【教学难点】用集合的观点理解函数的概念．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出函数概念，使学生更容易理解函数关系的实质以及函数两要素．然后通过求函数值与定义域的两类题目，深化对函数概念的理解．。
数学规划1
8000 x1 5000 x2 40000
x1 0
x2 0
模型求解
• • • • • • • • • • model: init: x1=0.0; x2=0.0; endinit max=4*x1+2*x2-0.5*x1^2-0.25*x2^2; 8000*x1+5000*x2<=40000; x1>=0; x2>=0; end
• 卡隆公司合成了一种新肥料,只用两种基本原料来 制造. 公司目前有资金40000美元,可购买单价分 别为8000美元的原料A和5000美元的原料B.当用 数量为x1和x2两种原料合成时,肥料的数量Q由下 式给出,试确定购买原料的计划.
Q 4 x1 2 x2 0.5x 0.25x
2 1
2.2 非线性规划
max f ( X ) s.t. g i ( X ) 0, i 1,2, , m h j ( X ) 0, j 1,2, , n f , g i , h j , (i 1,2, , m, j 1,2, , n) 不都是线性函数。
例3 卡隆公司的新肥料
化工厂位置及日用量表
1 a b m 1.2 1.2 3
2 0.8 0.7 5
3 0.5 4 4
4 5.7 5 7
5 3 6.5 6
6 7.2 7.7 11
问题分析
• 每天两个炼油厂给六个化工厂各提供多少 原料,共需12个决策变量. • 一方面要满足各化工厂的需求,另一方面受 到炼油厂产量限制. • 目标是总运力最小.
• • • • • Z=2x+y X-4y<=-3 3x+5y<=25 X>=1 求z的最大值和最小值
北航数学规划基础答案 最新
刘红英 2016.4 于北京
目录
第一章 引言
1
第二章 线性规划: 基本理论与方法
3
第三章 线性规划：应用及扩展
2u1 − 2v1 + u3 − v3 = 3, ui, vi, s ≥ 0, i = 1, 2, 3.
方法2: 引入非负变量 t1, t2, t3 ，将原问题转化成等价问题
minimize t1 + t2 + t3 subject to x + y ≤ 1,
2x + z = 3, |x| = t1, |y| = t2, |z| = t3.
1.3 利用图解法和优化软件两种方法求解下列问题
minimize subject to
(x1 − 2)2 + (x2 − 1)2 x21 − x2 ≤ 0, x1 + x2 ≤ 2.
1.4 确定下列 n 元函数的梯度向量和 Hessian 阵：
(a) aT x: a 是常向量；
(b) xT Ax: A 是非对称的常矩阵；
(c)
1 2
xT
Ax
−
bT
x:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 是对称的常矩阵，b 是常向量；
(d) r(x)T r(x): r(x) = (r1(x), · · · , rm(x))T 是依赖于 x 的 m 维向量，记 ∇rT 为 AT ，
它一般不是常量.
1
2
第一章 引言
解:
(a) ∇f (x) = a, ∇2f (x) = 0n×n; (b) ∇f (x) = (A + AT )x, ∇2f (x) = A + AT ;
数学(基础模块)全册
数学(基础模块)全册简介数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
它不仅是一门学科，同时也是一种思维方式和工具，被广泛应用于科学、工程、经济学等领域。
数学的基础模块主要包括整数、分数、小数、代数、几何、概率和统计等内容。
本文档将介绍数学基础模块全册的内容，帮助读者全面理解和掌握这些基础知识。
内容大纲1.整数–正整数与负整数–加法与减法–乘法与除法–整数的应用2.分数–分数的概念–分数的简化与扩展–分数的加法与减法–分数的乘法与除法–分数的应用3.小数–小数的概念–小数的加法与减法–小数的乘法与除法–小数的应用4.代数–代数表达式–代数运算–一元一次方程–二元一次方程5.几何–点、线、面的概念–直线与曲线–多边形与圆形–三角形与四边形–平行线与垂直线–梯形与棱柱–几何的应用6.概率–概率的基本概念–事件与样本空间–概率的计算方法–事件的组合与排列–概率的应用7.统计–统计的基本概念–数据的收集与整理–数据的表示与分析–均值、中位数与众数–统计的应用具体内容介绍整数整数是自然数、0和负整数的集合。
在整数的运算中，加法和减法是基本的运算。
乘法和除法是辅助的运算。
整数的概念和运算方法在解决实际问题中具有重要作用。
分数分数是整数部分和分数部分组成的数，可以表示部分数量和部分关系。
分数在表示比例、比较大小和解决实际问题中经常被使用。
小数小数是整数部分和小数部分组成的数，可以表示精确的数量和连续变化的关系。
小数在计算、测量和科学实验中被广泛应用。
代数代数是以字母和符号表示数和数的运算关系的数学分支。
代数的基础包括代数表达式、代数运算和方程的解法。
几何几何研究空间和形状的属性，是一门直观的数学学科。
几何的基本概念包括点、线、面以及相应的运算。
几何在建筑、工程和艺术等领域有重要应用。
概率概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
概率的基本概念包括样本空间、事件和概率的计算方法。
概率在统计、科学研究和风险评估中具有广泛应用。
规划数学（运筹学）第三版课后习题答案习题1（1）
规划数学（运筹学）第三版课后习题答案习题1（1）习题 11 ⽤图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯⼀最优解、⽆穷最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ??≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯⼀解3*,)5.0,75.0(*==z X T); (b)⽆可⾏解;(c)唯⼀解16*,)6,10(*==z X T); (d)⽆界解）2 ⽤单纯形法求解下列线性规划问题。
≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212121221 答案：(a)唯⼀解5.17*,)5.1,1(*==z X T)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T; (b)唯⼀解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T3 ⽤⼤M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪⼀类解。
≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x xx 3x 2x minz )b (32121321321答案：(a)⽆界解；(b)唯⼀解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所⽰）和⽤单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所⽰）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。
小学各阶段数学学习全规划(1-6年级)
小学各阶段数学学习全规划(1-6年级)在二年级的研究中，枚举法依然是一个难点，需要通过多种方式引导学生思考和解决问题。
3、认识和学会使用各种单位：长度、重量、容积等单位的认识和使用是二年级研究的重点之一，需要通过实际操作和生活中的例子来帮助学生掌握。
4、认识和研究使用各种简单的几何图形：在二年级研究中，需要认识和研究使用各种简单的几何图形，如三角形、正方形、长方形等。
通过实际操作和生活中的例子来帮助学生掌握。
三年级：基础巩固阶段在三年级的研究中，需要对前两年研究的知识进行巩固和加深，同时也需要引入一些新的知识点。
研究重点难点解析】1、认识和研究使用各种简单的分数：在三年级研究中，需要认识和研究使用各种简单的分数，如1/2、1/4等。
通过实际操作和生活中的例子来帮助学生掌握。
2、认识和研究使用各种简单的小数：在三年级研究中，需要认识和研究使用各种简单的小数，如0.5、0.25等。
通过实际操作和生活中的例子来帮助学生掌握。
3、认识和研究使用各种简单的几何图形的面积和周长：在三年级研究中，需要认识和研究使用各种简单的几何图形的面积和周长，如正方形、长方形等。
通过实际操作和生活中的例子来帮助学生掌握。
4、认识和研究使用各种简单的数据统计方法：在三年级研究中，需要认识和研究使用各种简单的数据统计方法，如调查、统计、分析等。
通过实际操作和生活中的例子来帮助学生掌握。
四年级：提高阶段在四年级的研究中，需要对前三年研究的知识进行进一步的提高和拓展，同时也需要引入一些新的知识点。
研究重点难点解析】1、认识和研究使用各种简单的比例和百分数：在四年级研究中，需要认识和研究使用各种简单的比例和百分数，如1:2、50%等。
通过实际操作和生活中的例子来帮助学生掌握。
2、认识和研究使用各种简单的几何图形的相似和全等：在四年级研究中，需要认识和研究使用各种简单的几何图形的相似和全等，如三角形、正方形等。
通过实际操作和生活中的例子来帮助学生掌握。
初中数学学习计划大全_最完整的初中数学学习规划表
千里之行，始于足下。
学校数学学习方案大全_最完整的学校数学学习规划表学校数学学习方案表学习目标：1. 娴熟把握整数、分数、小数的四则运算及应用；2. 把握代数式与方程式的计算与应用；3. 生疏平面图形的性质与应用；4. 把握统计与概率的基本学问；5. 培育解决问题的力量和数学建模力量。
学习时间支配：每周学习时间：5天每天学习时间：1小时学习内容与支配：第一阶段：整数与有理数的运算- 第1周：整数加减法- 第2周：整数乘法与除法- 第3周：分数的加减法- 第4周：分数的乘法与除法其次阶段：代数式与方程式的计算与应用- 第5周：代数式的开放与化简第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
- 第6周：代数式的乘法与约分- 第7周：一元一次方程的解法- 第8周：一元一次方程的应用第三阶段：平面图形的性质与应用- 第9周：线段、角度与三角形的性质- 第10周：平行线与平行四边形的性质- 第11周：梯形与直角三角形的性质- 第12周：圆的性质与应用第四阶段：统计与概率- 第13周：数据的收集与整理- 第14周：统计图表的制作与分析- 第15周：概率的基本概念与计算- 第16周：概率的应用与推理第五阶段：解决问题的力量与数学建模- 第17周：解决实际问题的思路与方法- 第18周：数学建模的基本步骤与技巧- 第19周：数学建模的实例分析与解答- 第20周：复习与总结学习方法与要求：1. 每周依据学习方案表的内容进行系统学习，不得跳过任何一个环节；2. 每天定时定量进行学习，保持良好的学习习惯；3. 学习过程中要留意理解概念、把握基本算法，并能够娴熟运用于实际问题中；千里之行，始于足下。
4. 遇到难题要准时向老师请教，乐观参与学校组织的数学辅导活动；5. 留意总结与复习，准时查漏补缺，保持学问的积累。
评价标准：1. 每周完成预定的学习任务；2. 考试成果稳步提高；3. 能够独立解决并应用数学学问解决实际问题；4. 参与数学竞赛并取得肯定的成果。
数学规划法资料
II. 数学规划问题的分类
(1) 按约束的有无，可分为： 无约束最优化问题
有约束最优化问题
准无约束最优化问题
(2) 按目标函数和约束函数是否为线性，可分为：
线性规划
非线性规划 如果目标函数与约束函数都是凸函数，则称为凸规划
如果目标函数是二次函数而约束函数是一次函数，则称 为二次规划
如果设计变量只允许取整数，则称为整数规划 如果在目标函数和约束函数中包含具有随机性质的参数 则称为随机规划
• 这两个条件的几何意义是: 目标函 数梯度向量和约束条件梯度向量与 方向向量之间的夹角均大于900. • 根据上述要求, 可以有三条路线来 完成调参: 1. 沿等重线(面)侧移； 2. 沿约束边界侧移－梯度投影 法( Gradient projection method )； 3. 沿可用可行方向 P 侧移－可 行方向法 ( Feasible directional method )。 由此构成三种不同形式的可行方向 法。
H(k)的产生采用迭代法逐步构成 先给定H(0)，一般取单位矩阵，则 H(1)= H(0)+E(0), H(2)= H(1)+E(1), H(3)= H(2)+E(2),…… 对于DFP算法
对于BFGS算法
3.4 可行方向法
I. 概述
结构优化的一般数学规划表达式： 寻找一组设计变量 X = ( X1 , X2, ……, Xn )T min f( X ) X E n s. t. g i (X) 0 i =1, m 设计变量的迭代公式 ----- X ( +1) = X ( ) + P ( ) 从 X ( ) 调参至 X ( +1) , 要求设计点可行, 并且目标函数还要下降, 即满足可用可行性条件: 1. 满足可用性条件 ( Usability condition ) f ( X ( ) )T p ( ) 0 2. 满足可行性条件 ( Feasibility condition ) g i (X ( ) + P ( ) ) 0 或者 g i (X ( ) )T P ( ) 0
初中数学基础知识一本全
《初中数学基础知识一本全》是一本全面梳理和整合初中数学知识的图书，适合初中生学习和备考使用。
本书的主要内容如下：1. 知识体系梳理：本书首先构建了初中数学知识的整体框架，将各个知识点以体系化的方式呈现出来。
这有助于读者对初中数学知识有一个全面的了解，明确各个知识点之间的关联。
2. 基础知识讲解：本书针对每个知识点，详细解析了其概念、原理、公式、定理等基础知识。
对于重要的概念和原理，通过图解、口诀、公式推导等方式进行了详细讲解，有助于读者更好地理解和掌握。
3. 经典例题分析：本书汇集了大量经典的数学题目，涵盖了各个知识点的应用。
通过对这些题目进行详细的分析和解答，读者可以深入理解和掌握各个知识点的应用方式和方法。
4. 练习题部分：本书提供了大量的练习题，这些练习题涵盖了初中数学的所有知识点，并包括了各个知识点的应用。
读者可以通过练习题来检验自己的学习成果，查漏补缺，加深对知识的理解和记忆。
5. 拓展阅读：本书还提供了一些与数学相关的拓展阅读材料，这些材料包括数学史、数学家传记、数学趣味题等，这些阅读材料不仅有助于读者拓宽知识面，还能激发读者对数学的兴趣。
总的来说，《初中数学基础知识一本全》是一本非常实用的图书，它可以帮助初中生全面掌握初中数学知识，为以后的学习和考试打下坚实的基础。
同时，这本书还注重对数学兴趣的培养，通过有趣的数学问题和拓展阅读，激发学生对数学的热爱。
在使用这本书时，建议读者仔细阅读每一章节的开头和结尾，特别是要认真完成书中的练习题。
对于一些难以理解的知识点，可以多看几遍书，或者查阅相关资料，确保真正理解和掌握。
同时，如果有时间的话，建议多做一些相关的题目，以加深对知识点的理解和记忆。
初中数学学习计划大全_最完整的初中数学学习规划表
初中数学学习计划大全_最完整的初中数学学习规划表初中数学学习计划大全目的是为了帮助初中生做好初中三年的数学学习规划，明确自己的学习目的和学习目标，让大家知道初中三年数学该怎么学，每一步该怎么做，这样学数学会更加有条理，形成的知识结构也会更加的清晰。
下面就来了解一下该如何制定初中数学学习计划。
初一数学学习计划虽然说初一数学的知识点不多而且难度不大，但是作为刚刚接触初中数学的学生来说，也要有一个适应的阶段。
不论是老师的讲课方法，还是初中数学本身的学习方法都有一定的改变。
而很多学生觉得初中三年，初一不学也来得及。
要知道，如果初一不努力，不仅会影响小升初的过渡，也会养成不良的学习习惯，更会浪费掉1/3的学习时间，这样会导致数学基础薄弱，到了初二初三再想追赶已经来不及了。
因此，我们从初一开始就要对数学“重点照顾”，一定要打好基础，这样后期学起来会非常的轻松，初一阶段需要重点做两件事：第一，要尽快适应初中数学的学习节奏，养成良好的学习习惯；第二，要转换学习思维模式，从细节入手、以课本为纲、稳扎稳打；第三，深刻理解基本概念，多做具有代表性的例题；第四，初一知识比较浅，到了初二，很多学校都会把在初二就把初中的大部分知识点讲完，只留一部分到初三去将，因此，初二阶段学习任务就会很重，可以利用初一升初二的暑假做适当的预习，有助于初二更合理的分配时间。
初一数学学习规划表初二数学学习计划如果说刚上初一大家起点是一样的，那么，经过一年的学习，初二阶段就是成绩的分水岭，同时，初二阶段也是承上启下的关键阶段，初二所学的数学知识，基本上占据了整个初中数学的一般，因此，学好初二数学十分关键，初二数学学习需要注意以下几个方面：第一，初二数学需要同学们透彻理解所学知识点、提升学习效率，如果初一没有养成课前预习、课上学习和课后补漏的学习习惯，那么，一定要在初二养成，否则，到了初三学习节奏更加紧凑，会产生厌学的心理。
第二，随着知识难度的提升，初二数学更需要掌握恰当的解题方法，这就要求在平时的学习中要勤于归纳总结，发现数学规律。
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Tianjin University 步骤7、执行与评价推荐方案 如果决策者接受了研究成果，分析师需要辅助执 行推荐方案。必须对系统进行不断地监测（当环 境改变时要动态升级）以保证推荐方案能够实现 既定的目标。例如，在银行的实例中，假如目标 是保证至多5%的客户等待时间超过3分钟，当分析 师的建议被执行后，80%的客户等待时间超过3分 钟。很显然，银行的目标没有实现，分析师需要 重新回到步骤1、2或3并复查模型。
3、运筹学发展的几个阶段：
40年代后半期：运筹学专家重返大学和研究部门， 致力于运筹学理论基础的研究，寻找各种分析和 解决管理问题的新方法。 50年代：运筹学逐渐成为一门理论性和应用性都 很强的学科，理论和方法都比较完善的分支有线 性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、排 队论、存贮论、图与网络等。
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第二章 线性规划
x2 z=15.3 z=12 z=9 z=6 z=3 z=0 x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1
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Tianjin University 线性规划（Linearprogramming，LP）是解最优化 问题的一个工具。1947年，乔治〃丹泽发明了一种 解线性规划问题的高效方法-单纯形法。自从单纯 形法出现后，线性规划就被广泛应用于工业界各个 领域的最优化问题，如银行业务、教育、林业、石 油和交通运输等。在对财富500强企业的调查中， 有85%的企业表示使用过线性规划。由于线性规划 在运筹学中的重要地位，本书的绝大部分内容都是 围绕线性规划进行的。
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周收入＝出售士兵获得的周收入＋出售火车获得的周收入 = 每个士兵的价格 × 每周制作的士兵数 + 每个火车的价格 × 每周制作的火车数
＝ 27������1 + 21������2
同时
周原材料成本 = 10������1 + 9������2 其他周可变成本 = 14������1 + 10������2
1
2 3 4
Tianjin University 步骤2、研究系统 接下来，分析师收集数据来判断影响问题的参数值。 在上面的银行实例中，分析师将收集数据来评估如 下系统参数： 1 从平均意义来说，每个小时有多少顾客到达？顾客 的到达率与一天中的时段有关吗？ 2 从平均意义来说，每个柜台服务人员1小时能为多少 顾客服务？服务人员的服务速度与等待顾客的数量 有关吗？ 3 顾客是否总排在最短的队？当排在长队的后面，顾 客是否会经常地转到较短的队？
Tianjin University 分析师必须掌握影响实现银行目标的银行运营方式 的因素 从平均意义来说，每小时有多少顾客来到银行？顾 客越多，需要的柜台服务人员越多。 从平均意义来说，柜台服务人员每小时能为多少顾 客服务？ 顾客排成一排而不是多排对银行目标的实现有什么 影响？ 如果每个柜台服务人员前都有一排，顾客是否总会 排在最短的一排？如果一排变得很长，顾客是否会转 排较短的？
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四、使用教材及参考书目
关于《运筹学》的教科书和专著有很多， 同学们可以根据兴趣选读，本课程选用的 讲义《数学规划基础》目前为电子版形式， 同学可到QQ群（115200169）的群共享或公 文网本科教学的课程资料中下载
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第一章 数学规划及其研究方法
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例1：某木刻公司生产两种木质玩具：士兵和火车。一 个士兵售价27元，使用价值10元的原始材料。制作每 个士兵需要花费公司可变人工成本和经常性费用共14 元。一个火车售价21元，使用价值9元的原始材料。 制作每个火车需要花费公司可变人工成本和经常性费 用共10元。制作木头士兵和火车需要两种熟练工种： 木匠和精加工。一个士兵需要1个木匠工时和2个精加 工工时。一个火车需要1个木匠工时和1个精加工工时 。每周，该公司可获得所需的全部原材料，但只有80 个木匠工时和100个精加工工时。火车的订单不受限 制，但每周至多可卖40个士兵。该公司想使周利润最 大化（收入－成本）。试建立一个使该公司周利润最 大化的数学模型。
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解：在建立模型过程中，我们将研究所有线性规划问 题都具有的特征。 决策变量（Decision Variables）：我们首先定义相 应的决策变量。在任何线性规划模型中，决策变量应 该能够完全描述将要制定的决策。显然，木刻公司 必须确定每周制作多少个士兵和火车。因此，我们定 义： ������1 = 每周生产的士兵数量 ������2 = 每周生产的火车数量
x2 z=15.3 z=12 z=9 z=6 z=3 z=0 x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1
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Tianjin University 运筹学的研究方法 当使用运筹学解决一个实际问题时，需要遵循以 下七个步骤： 步骤1、阐述问题 首先，运筹学分析师需要精确地定义将要解决的 实际问题。问题的定义包括明确指定目标和研究 决策执行单位所能发挥的作用。
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目标函数（Objective Function）：在任何线性规划 问题中，决策者都想最大化（通常是收入或利润） 或最小化（通常是成本）决策变量的某个函数。需 要最大化或最小化的函数称为目标函数。对于木刻 公司问题，我们注意到固定成本（例如房租和保险 费）不依赖于变量������1 和 ������2。因此，木刻公司可以专 注于最大化（周收入）－（原材料成本）－（其他 可变成本）。 木刻公司的周收入和成本可用决策变量 ������1和 ������2表示 。对于木刻公司来说，士兵的制作数量大于可卖出 数量是一个愚蠢的决定，因此我们假设所有玩具都 能卖出，这样：
英国防空部门对如何布置防空雷达，建立有效的 防空预警系统进行的研究 英、美空军对如何提高轰炸机对德国地面目标轰 炸的命中率进行的研究 美国海军对如何安排反潜巡逻飞机的飞行路线， 特别是如何投放深水炸弹以及如何确定深水炸弹 的起爆深度等的研究 。。。。。。
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二、起源及发展
1、古朴的运筹学思想 田忌赛马 齐王
上
中 下
田忌
上
中 下
结果： 齐王 1 田忌 : 2
对策论
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哥尼斯堡七桥难题
普莱格尔河
图论
Tianjin University 2、运筹学形成一门学科的时间
二次世界大战，军事上的需要，如：
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运筹学的研究内容
运筹学的具体内容包括：规划论（包括线性规划 、非线性规划、整数规划和动态规划）、图论、 决策论、对策论、排队论、存储论、可靠性理论 等。
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三、本课程所涉及到《运筹学》的具体内容
第一章 数学规划及其研究方法 第二章 线性规划 第三章 单纯形法 第四章 灵敏度分析和对偶 第五章 整数规划 第六章 确定型动态规划
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60--70年代：运筹学在企业管理、工程设计、生产 计划、财政金融、资源配置、物资存贮、公共服 务、医疗保健、交通运输、教育科研、国防军事、 航天技术各个领域得到广泛的应用。
80年代----今：运筹学的兴旺发达时期，成为解决 人口、能源、粮食、裁军、经济发展等重大问题 的重要工具。 展望未来：前景广阔（随着新问题的不断出现， 运筹学的应用邻域也将不断扩展）。
Tianjin University 步骤6、提交研究的结果和结论 在这步，分析师向决策制定的个人或组织提交由 步骤5得到的模型和推荐方案。在有些情况下，我 们需要提供多个备选方案，让决策者最终确定最 适合他们的方案。 在提交完运筹学研究成果后，分析师也许会被告 知决策者不接受推荐的最优方案，这种结果的产 生可能是因为对需要解决的问题定义错误或在项 目开始时没有正确地考虑决策者因素。在这种情 况下，分析师需要返回步骤1、2或3。
木刻公司希望最大化
27������1 + 21������2 − 10������1 + 9������2 − 14������1 + 10������2 = 3������1 + 2������2
Tianjin University 这样，木刻公司的目标是选择 ������1和 ������2使得 3������1 + 2������2 最大。我们使用变量z 代表任意线性规划的目标函 数。木刻公司的目标函数为 （1） Maximize ������ = 3������1 + 2������2 （在后面，我们将使用maximize的缩写max和minimize 的缩写min）在目标函数中变量的系数称为变量的目 标函数系数。例如，������1 的目标函数系数是3， ������2的目 标函数系数是2。在这个例子中，每个变量的目标函 数系数是变量对公司利润的贡献。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Tianjin University 步骤3、建立问题的数学模型 在这步，分析师建立问题的一个数学模型。在我 们的银行实例中，可建立数学模型预测如下两个 量： ������ = 顾客的平均等待时间； ������ ������ = 一个顾客至少等待3分钟的概率。 已知参数为： ������ = 每小时到达银行的平均客户数； ������ = 每小时柜台服务人员可以服务的平均客户数 ������ = 银行柜台服务人员数量； 柜台服务人员的配置和顾客排队的方式。
Tianjin University 例：某银行主管聘请一位运筹学分析师帮助银行在保 证适当的服务水平前提下减小柜台服务人员的总开 支。经过与银行主管的讨论，分析师将如何指定银 行的目标？这里分析师提出了三种可能性： 1 在保证顾客平均等待时间不超过3分钟的前提下，银 行希望柜台服务人员的月工资支出最少。 2 在保证只有5%的顾客平均等待时间超过3分钟的前提 下，银行希望柜台服务人员的月工资支出最少。 3 银行最多愿意支付给柜台服务人员的月总工资为1万 元，在给定工资约束条件下，使顾客的平均等待时 间最短。