泊松方程边界元解法
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二、泊松方程边界元解法
泊松方程
，（2.1）
式中 为己知函数.如果 位于边界上,文【1】给出其解为
（2.2）
如果 位于区域内,文【l】给出
（2.3）
式中 为求解区域,S为 边界,S的单位外法线为n， 为拉普拉斯方程基本解,
对于二维问题，
文【1】给出的（2.2）式和（2.3）式仍含有区域积分 ，这区域积分虽不含有求解的未知数u，但仍需要对区域进行离散数值积分.
那么(2.6)式的区域积分就可以略去，一般取n=4就可以得到满意的解。这样(2.1)式对应的
(2.2)式和(2.3)式的解可以写成
(2.13)
(2.14)
由(2.13)式在边界上离散,根据边界条件,求出边界上的u和 的值,知道边界上全
部u值和 的值,再由(2.14)式可求得区域内任一点 的u值。
[1]Bebbai.C.A.,《边界元法的工程应用》(张治强译),陕西科学技术出版社(1985)。
如果令
那么由格林公式,(2.2)式和(2.3)式的区域积分可以写成
（2.4）
如果再令
那么(2.4)式的区域积分又可写成
（2.5）
如此类推,(2.2)式和(2.3)式的区域积分可写成
（2.6）
（2.7）
为拉普拉斯方程基本解,这里称为一阶拉普拉斯算子基本解, 称为j阶拉普拉斯算子基
本解.下面求 表达式.由于
那么可求得
(2.8)
又由
可得
(2.9)
比较 , 和 的表达式,可以看出 有下列形式,即
(2.10)
下面确定系数 和 ,
所以有
（2.11）
比较（2.7）式，（2.10）式和（2.11）式，有：
即
由于 =1， =-0，所以有
（2.12）
从(2.12)式看到， 随j增加很快趋于零,如果 的高阶微分不发散,那么n取适当大，
[2」Milne一Thoosn,L.M.,《理论流体动力学》(李裕立等译),北京,机械工业出版社
(19百度文库4).
泊松方程
，（2.1）
式中 为己知函数.如果 位于边界上,文【1】给出其解为
（2.2）
如果 位于区域内,文【l】给出
（2.3）
式中 为求解区域,S为 边界,S的单位外法线为n， 为拉普拉斯方程基本解,
对于二维问题，
文【1】给出的（2.2）式和（2.3）式仍含有区域积分 ，这区域积分虽不含有求解的未知数u，但仍需要对区域进行离散数值积分.
那么(2.6)式的区域积分就可以略去，一般取n=4就可以得到满意的解。这样(2.1)式对应的
(2.2)式和(2.3)式的解可以写成
(2.13)
(2.14)
由(2.13)式在边界上离散,根据边界条件,求出边界上的u和 的值,知道边界上全
部u值和 的值,再由(2.14)式可求得区域内任一点 的u值。
[1]Bebbai.C.A.,《边界元法的工程应用》(张治强译),陕西科学技术出版社(1985)。
如果令
那么由格林公式,(2.2)式和(2.3)式的区域积分可以写成
（2.4）
如果再令
那么(2.4)式的区域积分又可写成
（2.5）
如此类推,(2.2)式和(2.3)式的区域积分可写成
（2.6）
（2.7）
为拉普拉斯方程基本解,这里称为一阶拉普拉斯算子基本解, 称为j阶拉普拉斯算子基
本解.下面求 表达式.由于
那么可求得
(2.8)
又由
可得
(2.9)
比较 , 和 的表达式,可以看出 有下列形式,即
(2.10)
下面确定系数 和 ,
所以有
（2.11）
比较（2.7）式，（2.10）式和（2.11）式，有：
即
由于 =1， =-0，所以有
（2.12）
从(2.12)式看到， 随j增加很快趋于零,如果 的高阶微分不发散,那么n取适当大，
[2」Milne一Thoosn,L.M.,《理论流体动力学》(李裕立等译),北京,机械工业出版社
(19百度文库4).