全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)六
2021高考小题训练多抢分与答案 (6)
2021高考小题训练多抢分与答案（6）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：50604075)(2017·十堰调研)设复数z 满足1＋z1－z＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 2．(2017·咸宁摸底考试)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |4x ＋3>0}，则A ∩∁U B ＝( )A.⎣⎡⎭⎫－34，3B.⎝⎛⎦⎤－1，－34 C.⎝⎛⎦⎤－3，－34 D.⎣⎡⎭⎫34，3 3．(导学号：50604076)(2017·玉林一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 4．(2017·江门调研)一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( ) A.433 B ．4 3 C.833D ．8 35．(2017·广元质检)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )A ．20B ．25C ．22.5D ．22.756．(导学号：50604077)(2017·梧州一模)⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23展开式中的常数项为( ) A ．－8 B ．－12 C ．－20 D ．207．已知数列{}a n 满足a 1＝1，a n －1＝2a n ()n ≥2，n ∈N *，则数列{}a n 的前6项和为( )A ．63B ．127 C.6332 D.127648．(2017·益阳二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，直线()2＋λx －()3＋λy ＋()1－2λ＝0()λ∈R 过定点A ()x 0，y 0，则z ＝y －y0x －x 0的取值范围为()A.⎣⎡⎦⎤15，7B.⎣⎡⎦⎤17，5 C.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[)7，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，17∪[)5，＋∞9．(导学号：50604078)(2017·鹤壁质检)已知△ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且AB ＝2，AC ＝4，BC ＝25，三棱锥O －ABC 的体积为83， 则球O 的表面积为( )A ．22π B.74π3C ．24πD ．36π10．(2017·宜昌调研)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1 B.3＋1 C. 3 D ．311．(2017·滨江联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|>π2的最小正周期为π，若将其图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 12．(导学号：50604079)设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )成立，则称函数f (x )为“Ω函数”．给出下列四个函数：①y ＝sin x ；②y ＝2x ；③y ＝1x －1；④f (x )＝ln x ．则其中“Ω函数”共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2017·南昌二模)已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.14．(导学号：50604080)(2017·吉安调研)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x 为奇函数，则实数a ＝________.15．16．(导学号：50604081)(2017·济宁联考)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．小题训练多抢分(一)1．A 由1＋z 1－z ＝i 得，z ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝i ，故|z|＝1.2．B A ＝(－1,3)，∁U B ＝⎝⎛⎦⎤－∞，－34，A ∩∁U B ＝⎝⎛⎦⎤－1，－34. 3．B 由题意得f(0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1.f(－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f(－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9， 从而f(f(－3))＝f(9)＝log 39＝2.4．A 该几何体为正四棱锥，高为3，故V ＝13×4×3，选A .5．C 产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08·(x －20)＝0.5得，x ＝22.5.6．C ∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6， ∴T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 6(－1)r x6－2r， 令6－2r ＝0，即r ＝3，∴常数项为C 36(－1)3＝－20.7．C 因为a 1＝1，a n －1＝2a n ()n ≥2，n ∈N *，∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴S 6＝1－(12)61－12＝6332.8．B 依题意，直线()2＋λx －()3＋λy ＋()1－2λ＝0()λ∈R 可以转化为2x －3y ＋1＋λ()x －y －2＝0，联立⎩⎨⎧ 2x －3y ＋1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝7，y 0＝5，故z ＝y －5x －7；作出二元一次不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知z ＝y －5x －7表示阴影区域内的点与A ()7，5两点连线的斜率，故k AD ≤z ＝y －5x －7≤k AC ，即17≤z ＝y －5x －7≤5，故z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为⎣⎡⎦⎤17，5，故选B.9．D ∵BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的外接圆圆心为BC 中点D ，∴V O －ABC ＝13·S ABC·OD得OD ＝2，∴OA ＝3，∴球O 的表面积为4π×9＝36π，故选D. 10．C ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝a sin A ＝3sin 2π3＝2，∴R ＝1，∴S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )，故S ＋3cos B cos C 的最大值为 3.11．B ∵f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ的图象， 又g (x )的图象关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π<π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，当x ＝π12时，2x －π3＝－π6， ∴A ，C 错误，当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴B 正确，D 错误．12．C ∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )，等价于∀x ∈D ，∃y ∈D ，使得f (x )＋f (y )＝0成立；①因为y ＝sin x 是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，即当y ＝－x 时，f (x )＝－f (y )成立，故y ＝sin x 是“Ω函数”； ②因为y ＝2x >0，故f (x )＋f (y )＝0不成立，所以y ＝2x 不是“Ω函数”；③y ＝1x －1时，若f (x )＋f (y )＝0成立，则1x －1＋1y －1＝0，整理可得y ＝2－x ，(x ≠1)即当y ＝2－x (x ≠1)时，f (x )＋f (y )＝0成立，故y ＝1x －1是“Ω函数”；④f (x )＝ln x 时，若f (x )＋f (y )＝0成立，则ln x ＋ln y ＝0，解得y ＝1x ，即y ＝1x时，f (x )＋f (y )＝0成立，故f (x )＝ln x 是“Ω函数”．13.43 由a ∥b 得sin θ＝－2cos θ，所以tan θ＝－2，故tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－41－4＝43. 14．－1 因为函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21－x ＝－lg ⎝⎛⎭⎫a ＋21＋x ⇒a ＋21＋x ＝1a ＋21＋x⇒a ＋21－x ＝1＋x a (1＋x )＋2⇒1－x 2＝(a＋2)2－a 2x 2⇒a ＝－1.15．7 运行该程序，第一次，S ＝270，i ＝3；第二次，S ＝243，i ＝5；第三次，S ＝0，i ＝7.16.52 由双曲线的方程可知，渐近线为y ＝±bax ，分别与x －3y ＋m ＝0(m ≠0)联立，解得A ⎝⎛⎭⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝⎛⎭⎫－am a ＋3b ，bma ＋3b ，由|P A |＝|PB |，设AB 的中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，PQ 与已知直线垂直，故y Q x Q ＝－3，则e ＝c a ＝52.。
全国名校高三数学综合优质试题汇编(附详解) 平面解析几何
全国名校高三数学综合优质试题汇编（附详解） 平面解析几何 考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分，共4页.2.答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.3.本次考试时间120分钟，满分160分.4.请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.第Ⅰ卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上.)1.直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α＝________. 2.若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为__________.3.直线x ＋2y ＝0被圆(x －3)2＋(y －1)2＝25截得的弦长为________.4.(优质试题·常熟模拟)双曲线x 2m 2－4＋y 2m 2＝1(m ∈Z )的离心率为________. 5.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB ＝________.6.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0，圆C 与直线x ＋2y －4＝0相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，则实数a 的值为________.7.已知直线y ＝ax 与圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝a 2－1交于A ，B 两点，且∠ACB ＝60°，则圆的面积为________.8.M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若MF ＝p ，K 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则∠MKO ＝________.9.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若F A ＝2FB ，则k 的值为____________.10.(优质试题·昆山模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x ，点P (0,4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，F 是抛物线的焦点，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________.11.(优质试题·常州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是__________.12.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1－1e2＝______.13.过双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的左焦点作直线l与双曲线交于A，B两点，使得AB＝4，若这样的直线有且仅有两条，则a的取值范围是____________.14.(优质试题·南通模拟)设直线l：3x＋4y＋4＝0，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则r的取值范围是____________.第Ⅱ卷二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于点B，圆C过点A且与l1，l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标.16.(14分)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足PQ →＝2MQ →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)点A (2,0)在曲线C 上，过点(1,0)的直线l 交曲线C 于B ，D 两点，设直线AB 的斜率为k 1，直线AD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值.17.(14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)经过原点作直线l (不与坐标轴重合)交椭圆于A ，B 两点，AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证：B ，D ，E 三点共线.18.(16分)(优质试题·镇江模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径.19.(16分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)建设一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB .问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？20.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，A 为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足OP →＝2AO →.(1)若点P 的坐标为(2，2)，求椭圆的方程；(2)设过点P 的一条直线交椭圆于B ，C 两点，且BP →＝mBC →，直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求实数m 的值.答案精析1.2π3解析 因为y ＝－3x －2，所以斜率k ＝－3，即tan α＝－3(0≤α<π)，所以α＝2π3. 2．(0,2)解析 OP ＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条．3．4 5解析 由圆(x －3)2＋(y －1)2＝25，得到圆心坐标为(3,1)，半径r ＝5，所以圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝55＝5，则直线被圆截得的弦长为2r 2－d 2＝4 5.4．2 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈Z ，(m 2－4)·m 2<0，∴m 2＝1， 即双曲线的标准方程为y 2－x 23＝1，其离心率为e ＝c a ＝1＋31＝2. 5.135解析 直线3ax －y －2＝0过定点满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝0，y ＝－2.∴直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)．将直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0整理为(2x ＋5y )a －(x ＋1)＝0， 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0，x ＋1＝0，解得x ＝－1，y ＝25. ∴直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25.6.85 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝54x 1x 2－(x 1＋x 2)＋4＝0.(*) 联立直线和圆的方程，消去y 得5x 2－8x ＋4a －16＝0，x 1＋x 2＝85，x 1x 2＝4a －165，代入(*)式得a ＝85. 7．6π解析 由题意可得圆心C (a,1)，半径R ＝a 2－1(a ≠±1)，∵直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，∴圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为R sin 60°＝32×a 2－1， 即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3(a 2－1)2，解得a 2＝7， ∴圆C 的面积为πR 2＝π(7－1)＝6π.8．45°解析 设点M 在抛物线的准线上的垂足是N ，由于MN ＝MF ＝p ，所以四边形MNKF 是正方形，则∠MKO ＝45°.9.223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2>0)，由AF ＝2FB 得x 1＋2＝2(x 2＋2)，①又由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)， 消去y ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，x 1＋x 2＝8－4k 2k 2，② x 1x 2＝4，③由①②③可解得k ＝223. 10．4 5解析 根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P ，A ，F 三点共线时达到最小值，由P (0,4)，F (2,0)，可得l AB ：2x ＋y －4＝0，联立抛物线方程可得x 2－6x ＋4＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故AB ＝x 1＋x 2＋p ＝6＋4＝10，原点到直线l AB ：2x ＋y －4＝0的距离d ＝|4|4＋1＝455， 所以△AOB 的面积为455×10×12＝4 5. 11．(2，＋∞)解析 AB ＝2b 2a ，由题意a ＋c <b 2a，即a 2＋ac <b 2＝c 2－a 2，c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，解得e >2(e <－1舍去)．12．2解析 由椭圆与双曲线的定义得e 1＝2c 10＋2c ，e 2＝2c 10－2c， 所以1e 1－1e 2＝4c 2c＝2. 13.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析 根据题意过双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的左焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得AB ＝4，若这样的直线有且仅有两条，可得2b 2a ＝2a <AB ＝4，并且2a >4，解得a >2；或2b 2a ＝2a>AB ＝4，并且2a <4，解得0<a <12. 14．[2，＋∞)解析 由题意得，圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2的圆心为C (2，0)，半径为r ，此时圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|2×3＋4|32＋42＝2，过直线l 上任意一点M 作圆C 的两条切线，切点为P ，Q ，则此时四边形MPCQ 为正方形，所以要使得直线l 上存在一点M ，使得∠PMQ ＝90°，则d ≤2r ，即2r ≥2，得r ≥2，所以r 的取值范围是[2，＋∞)．15．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝CA ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)由(1)知B (0，－4)．设点B (0，－4)关于l 对称的点为B ′(x 0，y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－42＝33·x 02，y 0＋4x 0＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23，y 0＝2， 故B ′(－23，2)． 由题意知，当B ′，P ，Q 三点共线时，PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P ⎝⎛⎭⎫32，12， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 16．(1)解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝y 02， 因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，*把x ＝x 0，y ＝y 02代入方程*，得x 24＋y 2＝1， 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 方法一 由题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0， 易知Δ＝16m 2＋48>0，得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2) ＝y 1y 2(my 1－1)(my 2－1)＝y 1y 2m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1 ＝－3－3m 2＋2m 2＋m 2＋4＝－34. 所以k 1k 2＝－34为定值． 方法二 ①当直线l 的斜率不存在时，设B ⎝⎛⎭⎫1，－32，D ⎝⎛⎭⎫1，32，所以k 1k 2＝－321－2·321－2＝－34. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 易知Δ＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2， k 1k 2＝y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2(x 1－1)(x 2－1)(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝k 2(4k 2－4－8k 2＋1＋4k 2)4k 2－4－16k 2＋4＋16k 2＝－34， 所以k 1k 2＝－34为定值． 17．(1)解 由题意得2a ＝22，则a ＝ 2.由椭圆C 与圆M ：(x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2， 其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，±22， 所以12＋12b2＝1，解得b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，D (x 1,0)．因为点A ，E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2， 所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2). 又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝AE →·AB →＝0，所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 其中k AB ，k AE 分别是直线AB ，AE 的斜率．所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1， 所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2) x 1＋x 2， 又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， 所以k BE ＝k BD ，所以B ，D ，E 三点共线．18．解 (1)若a ＝－8，则圆M ：(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1,0)，半径为3.若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线；若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，化简为kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离d ＝|k －4k ＋5|k 2＋1＝3， 解得k ＝815.此时切线方程为8x －15y ＋43＝0. 综上，所求切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1,0)，则OM ＝1.设圆的半径r ＝1－a (a <1)．因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2.又因为OA →·OB →＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.19.解 如图，分别以两条道路所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy ，设A (a ，0)，B (0，b )(0<a <1,0<b <1)，则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.因为直线AB 与圆C 相切， 所以|b ＋a －ab |b 2＋a2＝1， 化简得ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2.因为AB ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a ＋b )2－4(a ＋b )＋4＝(a ＋b －2)2， 因为0<a <1,0<b <1，所以0<a ＋b <2，所以AB ＝2－(a ＋b )．又ab ＝2(a ＋b )－2≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 解得0<a ＋b ≤4－22或a ＋b ≥4＋2 2.因为0<a ＋b <2，所以0<a ＋b ≤4－22，所以AB ＝2－(a ＋b )≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a ＝b ＝2－2时取等号，所以AB 的最小值为22－2，此时a ＝b ＝2－ 2.答 当A ，B 两点离道路的交点都为(2－2)百米时，小道AB 最短．20．解 (1)因为OP →＝2AO →，又点P 的坐标为(2，2)，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22， 代入椭圆方程，得1a 2＋12b2＝1.① 又椭圆的离心率为22，所以1－b 2a 2＝22.② 由①②得a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，点C 的坐标为(x 3，y 3)．因为OP →＝2AO →，所以点P 的坐标为(－2x 1，－2y 1)．因为BP →＝mBC →，所以(－2x 1－x 2，－2y 1－y 2)＝m (x 3－x 2，y 3－y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1－x 2＝m (x 3－x 2)，－2y 1－y 2＝m (y 3－y 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝m －1m x 2－2m x 1，y 3＝m －1m y 2－2m y 1，代入椭圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1mx 2－2m x 12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m y 2－2m y 12b 2＝1，即4m 2⎝⎛⎭⎫x 21a 2＋y 21b 2＋(m －1)2m 2⎝⎛⎭⎫x 22a 2＋y 22b 2－ 4(m －1)m 2⎝⎛⎭⎫x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝1.③ 因为点A ，B 在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1.④ 又直线OA ，OB 的斜率之积为－12， 即y 1x 1·y 2x 2＝－12，结合②知x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝0.⑤ 将④⑤代入③，得4m 2＋(m －1)2m 2＝1，解得m ＝52.。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)02
全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）高三4月短卷第I 卷（选择题）一、单选题1．已知全集为，集合，，则（ ）A.B.C.D.2．设是周期为4的奇函数，当时，，则( )A.B.C.D.3．设变量,x y 满足约束条件20{20 1x y x y y +-≥--≤≤，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 4．若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为A.B.C.D.5．已知O 是△ABC 内部一点， 0OA OB OC ++=， 2AB AC ⋅=且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为（ ）A.3 B. 12C. 2D. 236．下列命题是真命题的是 （ ） A. 已知随机变量，若，则B. 在三角形中，是的充要条件C. 向量，则在的方向上的投影为D. 命题“或为真命题”是命题“且为假命题”的充分不必要条件7．若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中直角三角形的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 49．已知函数，若的两个零点，满足，则的值为（ ）A. B. C. D.10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将到这个数中，能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有（ ）A.项 B. 项 C.项 D. 项11．已知函数()2xf x me x nx =++， (){}()(){}00x f x x f f x φ===≠，则m n +的取值范围为（ ）A. ()0,4B. [)0,4C. []0,4 D. ()4,+∞12．已知直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A. B.C.D.全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）第II 卷（非选择题）二、填空题 13．二项式的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)14．有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为__________． 15．已知、是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，轴，，则双曲线的离心率为__________.‘16．将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行 左数第10个数为______________三、解答题17．函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象．（1）求函数()y g x =的解折式； （2）在ABC ∆中，角,,A B C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外 接圆的半径2R =，求ABC ∆的面积的最大值．18．依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图（乙）所示．试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由．全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）19．已知数列{}{},n n a b 分别是等差数列与等比数列，满足11a =，公差0d >，且2263224,,a b a b a b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，设{}n c 的前n 项和为n S ， 求证： 20182018(S e e ≥是自然对数的底数）20．已知函数()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其中 2.718e =为自然对数的底数，常数0a >．（1）求函数()f x 在区间()0,+∞上的零点个数；（2）函数()F x 的导数()()()xF x e a f x '=-，是否存在无数个()1,4a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点？说明理由．短卷02参考答案1．B 2．D 3．B 4．B 5．A 6．B 7．D 8．B 【解析】根据条件得到表示的是曲线，上两点的距离的平方，∵y=x 2﹣lnx ，∴y′=2x ﹣（x ＞0），由2x ﹣=1，可得x=1，此时y=1，∴曲线C 1：y=x 2﹣lnx 在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=x ﹣1，即x ﹣y=0， 与直线x ﹣y ﹣2=0的距离为=，∴的最小值为2．故答案为B ．9．C 【解析】依题意可得函数的周期为,所以,故选.。
全国名校高考数学优质试题汇编(附详解)高三数学解答题训练6
1．(本小题满分12分)(优质试题·宝鸡模拟)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15，∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n a n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ，∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴a n －3n ＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．2．某商场的20件不同的商品中有34的商品是进口的，其余是国产的．在进口的商品中高端商品的比例为13，在国产的商品中高端商品的比例为35.(1)若从这20件商品中按分层(分三层：进口高端与进口非高端及国产)抽样的方法抽取4件，求抽取进口高端商品的件数；(2)在该批商品中随机抽取3件，求恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率；(3)若销售1件国产高端商品获利80元，国产非高端商品获利50元，若销售3件国产商品，共获利ξ元，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：(1)由题意得，进口的商品有15件，其中5件是高端商品，10件是非高端商品，国产的商品有5件，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，若从这20件商品中按分层抽样的方法抽取4件，则抽取进口高端商品的件数为1.(2)设事件B 为“在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件”，事件A 1为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，0件国产高端商品”，事件A 2为“抽取的3件商品中，有1件进口高端商品，1件国产高端商品”，则P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 15C 212C 320＋C 15C 13C 112C 320＝55190＋30190＝1738， 所以在该批商品中随机抽取3件，恰有1件是进口高端商品且国产高端商品少于2件的概率是1738.(3)由于这批商品中仅有5件国产商品，其中3件是高端商品，2件是非高端商品，那么，当销售3件国产商品时，可能有1件高端商品，2件非高端商品，或2件高端商品，1件非高端商品，或3件都是高端商品，于是ξ的可能取值为180,210,240.P (ξ＝180)＝C 13C 22C 35＝310，P (ξ＝210)＝C 23C 12C 35＝610＝35， P (ξ＝240)＝C 33C 35＝110. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝180×310＋210×35＋240×110＝204.3．在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ＝10.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若二面角A -PC -D 的大小为45°，求AP 的值．解：(1)证明：设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E .由四边形ABCD 是等腰梯形得CE ＝BC －AD 2＝1， DE ＝DC 2－CE 2＝3，所以BE ＝DE ，从而得∠DBC ＝∠BCA ＝45°.所以∠BOC ＝90°，即AC ⊥BD .由P A ⊥平面ABCD ，得P A ⊥BD ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .(2)法一：作OH ⊥PC 于点H ，连接DH .由(1)知DO ⊥平面P AC ，故DO ⊥PC .所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥DH .故∠DHO 是二面角A -PC -D 的平面角，所以∠DHO ＝45°.由∠DBC ＝∠BCA ＝45°，BC ＝4，得OC ＝2 2.同理可得OA ＝2，从而得AC ＝3 2.设P A ＝x ，则PC ＝x 2＋18.在Rt △DOH 中，由DO ＝2，∠DHO ＝45°，得OH ＝ 2.在Rt △P AC 中，由P A PC ＝OH OC ，可得x x 2＋18＝222， 解得x ＝6，即AP ＝ 6.法二：由(1)知AC ⊥BD .以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：A (0，－2，0)，B (22，0,0)，C (0，22，0)，D (－2，0,0)．由P A ⊥平面ABCD ，得P A ∥z 轴，故设点P (0，－2，t )(t ＞0)．设向量m ＝(x ，y ，z )为平面PDC 的法向量，由CD →＝(－2，－22，0)，PD →＝(－2，2，－t )，m ·CD →＝m ·PD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －22y ＝0，－2x ＋2y －tz ＝0.令y ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，32t . 又平面P AC 的法向量n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m |·|n |＝25＋18t 2＝22，解得t ＝6，即AP ＝ 6.4.(优质试题·吉林省吉林市模拟)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，半径r ＝ 3 .(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB |的取值范围.10.解 (1)设圆上任意一点坐标(ρ，θ)，由余弦定理得：(3)2＝ρ2＋(2)2－2ρ×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，整理得：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)－1＝0.(2)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ x 2＋y 2－2x －2y －1＝0， 将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得：(2＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2 －2(2＋t cos α)－2(2＋t sin α)－1＝0， 整理得：t 2＋(2cos α＋2sin α)t －1＝0 ，∴t 1＋t 2＝－2cos α－2sin α，t 1·t 2＝－1，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝8＋4sin 2α ， ∵α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，∴|AB |∈[22，23).。
高三数学名校试题及答案
高三数学名校试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则f(-1)的值为：A. 0B. 4C. 2D. -22. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 2}D. {2, 3, 4}3. 若直线y = 2x + 3与直线y = -x + 5平行，则它们的斜率k1和k2的关系为：A. k1 = k2B. k1 > k2C. k1 < k2D. k1 ≠ k24. 已知等比数列的首项为2，公比为3，那么它的第五项a5为：A. 162B. 108C. 72D. 54二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求f'(x)的值为______。
6. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标为______。
7. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a与向量b的点积为______。
8. 已知等差数列的前三项为2，5，8，求它的通项公式为______。
三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求函数的单调区间。
10. 已知直线l1：y = 2x + 1与直线l2：y = -x + 2相交，求交点坐标。
11. 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, 2)，B(4, 6)，C(7, 10)，求三角形的面积。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的极值点。
四、附加题（10分）13. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求函数在区间[0, π]上的值域。
答案：一、选择题答案1. B2. B3. A4. A二、填空题答案5. 3x^2 - 12x + 96. (2, 3)7. -258. a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1三、解答题答案9. 单调递增区间为(-∞, 1)和(2, +∞)，单调递减区间为(1, 2)。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)四
理科数学短卷训练一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集R U =，集合},0)1)(4(|{R x x x x A ∈≤+-=，集合},0|{R x x x B ∈>=，则=)(B C A U （ ） A ． ]4,0( B ． ]0,1[- C ． ]1,(--∞ D ．]1,4[--2.设复数z 满足5)2(=+z i ，则=||z （ ） A ． 3 B ． 2 C ． 5 D ．33. 下列命题正确的有（ ）①用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ②命题p ：“05,R 0200>--∈∃x x x ”的否定p ⌝：“05,R 2≤--∈∀x x x ”； ③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N , 若p P =>)1(ξ，则p P -=<<-21)01(ξ； ④回归直线一定过样本中心（y x ,）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4. 33)11()1(xx --展开式中的常数项是( ) A.20- B ．18 C ．20 D ．05.已知角)2,0(πα∈，且0cos 2cos 2=+αα，则=+)4tan(πα（ ） A ． 223-- B ． -1 C. 223- D ．223+ 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的c 的值是( )A ．8B ．13C ．21D ．347. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的做焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．22 C. 43 D ．23 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 4B ． 3 C. 2 D ．19.已知点)3,4(A 和点)2,1(B ，点O 为坐标原点，则)(||R t OB t OA ∈+的最小值为（ ） A ． 25 B ． 5 C. 3 D ．510.设点C B A ,,是半径为2的球O 的球面上的三个不同的点，且BC OA ⊥，3=BC ，0120=∠BAC ，则三棱锥ABC O -的体积为（ ） A ．43 B ． 23 C. 433 D ．3 11. 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8个格子的方法种数为（ ）A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 12.已知函数)(x f 是定义在),0(+∞上的可导函数，)('x f 是)(x f 的导函数，若)('2)(2)(')(x f x f xx xf x f +≥+，且2)2('=f ，那么=)2(f （ ） A ． 0 B ． -2 C. -4 D ．-6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数)0(cos 3sin >+=ωωωx x y 在区间]6,0[π上的最小值为-1，则=ω ．15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为21,F F ，若C 上一点P 满足||||2121F F PF PF =+，且||2||21PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为 ． 14.函数()y f x =为定义在R 上的减函数，函数(1)y f x =-的图像关于点(1,0)对称，x,y 满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤，(1,2)M ,(,)N x y ,O 为坐标原点，则当14x ≤≤时，OM ON ∙的取值范围为16. 设集合M {}123,,...n a a a a =（n N *∈），对M 的任意非空子集A ，定义()f A 为A 中的最大元素，当A 取遍M 的所有非空子集时，对应()f A 的积为n T ，若12n n a -=，则_____n T =（用n 表示）1 2 3 4 5 6 7 8三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列}{n a 满足：)(12*1N n n a a n n ∈+-=+，31=a .（1）证明数列)(*N n n a b n n ∈-=是等比数列，并求数列}{n a 的通项； （2）设11++-=n n nn n a a a a c ，数列}{n c 的前n 项和为}{n S ，求证：1<n S .全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）18. 如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直. 已知2=AB ,1=EF ． (1)求证：平面⊥DAF 平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，平面DFC 与平面CBF 所成的锐二面角的大小为60？FABC DO.E19. 某企业计划投资A ，B 两个项目, 根据市场分析，A ，B 两个项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，X 1和X 2的分布列分别为：X 1 5% 10% P0.80.2(1)若在A ，B 两个项目上各投资1000万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求利润的期望()()12,E Y E Y 和方差()()12,D Y D Y ；(2)由于资金限制,企业只能将x (0≤x ≤1000)万元投资A 项目，1000－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．X 2 2% 8% 12% P0.20.50.320. 已知函数()(1)ax f x x e =+（0a ≠），且2x a=是它的极值点． （1）求a 的值；（2）求()f x 在[]1,1t t -+上的最大值；（3）设()()23ln g x f x x x x =++，证明：对任意1x ，2(0,1)x ∈都有12323|()()|1g x g x e e-<++．。
全国名校高三数学优质学案汇编(附详解)专题函数的图象
答案 D 与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y=e-x,将函数
y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1,故
选D.
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3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑 步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑 车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A 地的距离S与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数 图象中,甲、乙的图象应该是 ( B )
考点突破
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Hale Waihona Puke 方法技巧 函数图象的常见画法: (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就 可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出.
x 2 2 x 1( x 0), (2)y= 2 的图象如图②. x 2 x 1( x 0) x2 3 3 (3)y= =1+ ,先作出y= 的图象, x 1 x 1 x
将其图象向右平移1个单位,
再向上平移1个单位,
x2 即得y= 的图象,如图③. x 1
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与函数图象的对称变换相关的结论 (1)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象(y=f-1(x) 表示y=f(x)的反函数). (2)与y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象. (3)与y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象. (4)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.
全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：诱导公式
全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：诱导公式1．(全国名校·山东师大附中模拟)(tan10°－3)sin40°的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 (tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.2．(全国名校·广东珠海期末)已知tan (α＋π5)＝2，tan (β－4π5)＝－3，则tan(α－β)＝( )A ．1B ．－57C.57 D ．－1答案 D解析 ∵t an(β－4π5)＝－3，∴tan (β＋π5)＝－3.∵tan (α＋π5)＝2，∴tan (α－β)＝tan [(α＋π5)－(β＋π5)]＝tan （α＋π5）－tan （β＋π5）1＋tan （α＋π5）tan （β＋π5）＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选D.3．(全国名校·湖南永州一模)已知sin (α＋π6)＋cos α＝－33，则cos(π6－α)＝( )A ．－223B.223 C ．－13D.13 答案 C解析 由sin (α＋π6)＋cos α＝－33，得sin (α＋π3)＝－13，所以cos(π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin (α＋π3)＝－13.4．(全国名校·山东，文)函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．π D ．2π答案 C解析 ∵y ＝3sin2x ＋cos2x ＝2(32sin2x ＋12cos2x)＝2sin(2x ＋π6)，∴T ＝2π2＝π.故选C. 5．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4答案 A解析 由已知得tanA ＋tanB ＝－3(1－tanAtanB)， ∴tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A ＋B)＝－ 3.又tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，0<C<π，∴C ＝π3.6.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.7．(全国名校·河北冀州考试)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.8．(全国名校·课标全国Ⅰ，理)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)，∴α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β. 即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简得sin (α－β)＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin (α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2，即2α－β＝π2，故选C.9．(全国名校·湖北中学联考)4sin80°－cos10°sin10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2 D ．22－3答案 B 解析4sin80°－cos10°sin10°＝4sin80°sin10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin （30°－10°）－cos10°sin10°＝－ 3.故选B.10．(全国名校·四川自贡一诊)已知cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，则sin (α＋π3)＋sin α＝( )A ．－435B ．－335C.335D.435答案 A 解析 ∵cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，∴cos (α＋23π)＝cos αcos 23π－sin αsin 23π＝－12cos α－32sin α＝45，∴32sin α＋12cos α＝－45.∴sin (α＋π3)＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3(32sin α＋12cos α)＝－435.故选A.11．(全国名校·湖南邵阳二联)若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，则实数m 的值为( )A ．2 3B. 3C ．2D ．3答案 A解析 由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，得sin π12cos 5π12＝sin 5π12cos π12－msin π12cos π12，∴12msinπ6＝sin(5π12－π12)＝sin π3，解得m ＝2 3. 12．(2013·课标全国Ⅱ，理)设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________．答案 －105解析 由tan (θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13，即sin θ＝－13cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得109cos 2θ＝1.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－31010，sin θ＝1010.所以sin θ＋cos θ＝－105.13．化简：sin （3α－π）sin α＋cos （3α－π）cos α＝________.答案 －4cos2α解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.14．求值：1sin10°－3sin80°＝________．答案 4解析 原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin （30°－10°）sin20°＝4.15．已知cos (α＋β)cos (α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________．答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.16．(全国名校·北京，理)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos (α－β)＝________．答案 －79解析 方法一：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos (α－β)＝cos(2k π＋π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－[1－2×(13)2]＝－79.方法二：因为sin α＝13>0，所以角α为第一象限角或第二象限角，当角α为第一象限角时，可取其终边上一点(22，1)，则cos α＝223，又(22，1)关于y 轴对称的点(－22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cos β＝－223，此时cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×(－223)＋13×13＝－79.当角α为第二象限角时，可取其终边上一点(－22，1)，则cos α＝－223，因为(－22，1)关于y 轴对称的点(22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cosβ＝223，此时cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－223)×223＋13×13＝－79.综上可得，cos (α－β)＝－79.17．(全国名校·广东深圳测试)2sin46°－3cos74°cos16°＝________．答案 1 解析2sin46°－3cos74°cos16°＝2sin （30°＋16°）－3sin16°cos16°＝cos16°cos16°＝1.18．(全国名校·江苏泰州中学摸底)已知0<α<π2<β<π，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值；(2)证明：sin β>513.答案 (1)35(2)略解析 (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－（12）2＝43.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈(0，π2)，解得cos α＝35.(2)证明：由已知得π2<α＋β<3π2.∵sin (α＋β)＝513，∴cos (α＋β)＝－1213.由(1)可得sin α＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－(－1213)×45＝6365>513.19.(全国名校·江苏南京调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B.若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1)求cos (α－β)的值； (2)求α＋β的值． 答案 (1)－55 (2)3π4解析 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(1)cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－210.(2)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αcos β＝1010×(－55)＋31010×255＝22. 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4.。
高考数学小题专项训练20套(有答案)
2 3x 2 , (x 2) 2 3.设函数 f (x ) x 4 x 2 在 x=2 处连续,则 a= a (x 2)
(
)
1 1 D. 4 3 1 2 3 2n 1 2n 4. l i m（ ） 的值为 n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 A. –1 B.0 C. D.1 2 5.函数 f 是 （x） si n2 （x ） si n2 （x ）
0 0
） （B）[300，600] （C）[600，900] （D）[300，900]
-1-
（8）若 f (sin x ) 2 cos 2 x ，则 f (cos x ) ＝（ （A）2－sin2x （B）2＋sin2x
） （D）2＋cos2x
（C）2－cos2x
（9）直角坐标 xOy 平面上，平行直线 x＝n（n＝0，1，2，……，5）与平行直线 y＝n（n ＝0，1，2，……，5）组成的图形中，矩形共有（ ） （A）25 个 （B）36 个 （C）100 个 （D）225 个 （10）已知直线 l：x―y―1＝0，l1：2x―y―2＝0.若直线 l2 与 l1 关于 l 对称，则 l2 的方程是 （ ） （A）x―2y＋1＝0 （B）x―2y―1＝0 （C）x＋y―1＝0 （D）x＋2y―1＝0 二. 填空题： （ 11 ） 已 知 向 量 集 合
3 ； （13）0.7； 2
1 ； 4
（15）3.
-2-
高考选择题和填空题专项训练（2）
一、选择题： 1．复数 (
1 i 10 ) 的值是 （ 1 i
）A．－1
B．1
C．－32
D．32
2．tan15°+cot15°的值是（
高考理科数学小题精练详解4、5、6
6．已知－ 2，a1，a2，－ 8 成等差数列，
－2，b1，b2，b3，－ 8 成等比数列，
则
a2－ b2
a1等于
(
)
1 A. 4
1 B.2
C ．－
1 2
D.
12或－
1 2
答案 B
－ 8－ － 2
解析 因为－ 2， a1， a2，－ 8 成等差数列，所以 a2－a1＝
3
＝－ 2，又－ 2， b1， b2，
答案 C
解析 要比较 P，Q 的大小关系， 只要比较 P2，Q2 的大小关系， 只要比较 2a＋ 7＋ 2 a a＋ 7
与 2a＋ 7＋2 a＋3 a＋4 的大小，只要比较 a a＋ 7 与 a＋ 3 a＋ 4 的大小，即比较 a2＋
2
2
6
π D． k＝－ 2， ω＝ 2， φ＝ 3
答案 A
解析 在 y 轴左侧， 图象过点 (－ 2,0)，∴ － 2k＋ 1＝ 0，解得 k＝ 12，在 y 轴右侧， T＝ 4 83π－53π
＝ 4π，∴ ω＝ 2π＝1， T2
53π， 0
为五点作图中的第三个点，
∴5π× 1＋ φ＝ π，解得 32
5．设 m，n 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( )
A ．若 m∥ α， n∥ α，则 m∥ n
B ．若 α⊥ β， m⊥ β， m?α，则 m∥ α
C．若 α⊥ β， m? α，则 m⊥ β D．若 m? α， n? α， m∥ β，n∥ β，则 α∥β 答案 B 解析 A 项，若 m∥ α， n∥ α，则 m∥ n 或 m， n 相交或异面； B 项，若 α⊥ β， m⊥ β，m?α， 则 m∥ α正确； C 项，若 α⊥ β，m? α，则 m⊥ β或 m∥ β或斜交； D 项，若 m? α，n? α，m∥ β，
高考数学小题专项训练及答案解析
小题专项训练小题专项训练1 集合与简易逻辑一、选择题1．(2019年河南模拟)已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{x |x <2－x }，则A ∪B ＝( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <2}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >－2}【答案】B【解析】由x 2<4得－2<x <2，则A ＝{x |－2<x <2}．由x <2－x 得x <1，则B ＝{x |x <1}．所以A ∪B ＝{x |x <2}．故选B ．2．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12【答案】D【解析】命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12”即可． 3．若集合A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】由题意，B 中的元素有：2×3＝6,2×4＝8,3×4＝12，所以B ＝{6,8,12}．故选A ．4．(2019年浙江模拟)设a ，b 是两个平面向量，则“a ＝b ”是“|a|＝|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】相等向量的模一定相等，模相等的向量不一定相等(因为方向可能不同)，所以“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要条件．故选A．5．(2018年山东济宁模拟)设全集U＝A∪B，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，集合A，B分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A －B的是()A BC D【答案】C【解析】A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，即A－B表示集合A中的元素去掉集合A∩B中的元素．故选C．6．下列命题正确的是()A．“x<1”是“x2－3x＋2>0”的必要不充分条件B．若给定命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则¬p：∀x∈R，x2＋x －1≥0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2－3x＋2＝0，则x≠2”【答案】B【解析】由x<1，可得x2－3x＋2>0，而由x2－3x＋2>0，可得x<1或x>2，所以“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，A错误；易知B正确；C中还有可能p与q一真一假，C错误；D中条件“若x2－3x＋2＝0”也应该否定．故选B．7．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)D．(－∞，－1]【答案】D【解析】A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>a}．因为A⊆B，所以a≤－1.8．(2019年四川成都模拟)命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中是真命题的是() A．p∧q B．(¬p)∧qC．(¬p)∨q D．p∨(¬q)【答案】D【解析】x∈R时，x2＋1＞0恒成立，故p是真命题．对任意θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1，不可能等于1.5，故q是假命题．所以p∧q，(¬p)∧q，(¬p)∨q都是假命题，p∨(¬q)是真命题．故选D．9．(2019年浙江模拟)设a>0，b>0，则“lg(ab)>0”是“lg(a＋b)>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当lg(ab)>0时，ab>1，结合a>0，b>0可知a，b中至少有一个大于1，则a＋b>1，可以推出lg(a＋b)>0.当lg(a＋b)>0时，a＋b>1，则ab>1不一定成立，如a＝b＝23时，a＋b>1但ab<1，所以推不出lg(ab)>0.综上所述，“lg(ab)>0”是“lg(a＋b)>0”的充分不必要条件．10．(2018年山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝kx－1，则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若f(x)≥g(x)，则x2－(2＋k)x＋4≥0，所以f(x)≥g(x)在R上恒成立⇔(2＋k)2－16≤0⇔－6≤k≤2；而|k|≤1⇔－1≤k≤1.所以“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的充分不必要条件．故选A．11．设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j ＝A k，k为i＋j除以4的余数(i，j＝0,1,2,3)，则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】因为x∈S＝{A0，A1，A2，A3}，故x的取值有四种情况．若x＝A0，根据定义得(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2，不符合题意，同理可以验证x＝A1，x＝A2，x＝A3三种情况，其中x＝A1，x＝A3符合题意．故选C．12．在下列结论中，正确的是()①命题p：“∃x0∈R，x20－2≥0”的否定形式为¬p：“∀x∈R，x2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”．A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确；∵OA→·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →，同理可知OA→⊥BC →，OC →⊥BA →，故点O 是△ABC 的垂心，②正确；∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，∴当M >N 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23M <⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ，当⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N 时，M <N ，∴“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N”的既不充分也不必要条件，③错误；由逆否命题的写法可知④正确．综上，正确的结论是①②④.二、填空题13．已知A ＝{y |y ＝10x －1}，B ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则(∁R A )∩B ＝________.【答案】(－2，－1]【解析】∵A ＝{y |y ＝10x －1}＝{y |y >－1}， ∴∁R A ＝{y |y ≤－1}．又B ＝{x |－2<x <2}， ∴(∁R A )∩B ＝(－2，－1]．14．(2018年广西防城港期末)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________．【答案】23【解析】当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3.15．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]【解析】由C ∩A ＝C ，可得C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，解得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32<a ≤－1.由①②得a ≤－1.16．设命题p ：2x －1x －1<0；命题q ：关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x＋a (a ＋1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12【解析】由2x －1x －1<0，得(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.由x 2－(2a＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1.由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎨⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12. 小题专项训练2 函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)【答案】C【解析】由题意知x ≥0且x ≠1.故选C ．2．(2019年福建厦门模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (log 26)的值为( )A ．3B ．6C ．8D ．12【答案】D【解析】因为log 24<log 26<log 28，即2<log 26<3，所以f (log 26)＝f (log 26＋1)＝2log 26＋1＝2log 212＝12.故选D ．3．(2019年北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1【答案】A【解析】设太阳的星等是m 1＝－26.7，天狼星的星等是m 2＝－1.45，由题意可得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，则E 1E 2＝1010.1.故选A ．4．(2019年上海)已知ω∈R ，函数f (x )＝(x －6)2·sin ωx ，存在常数a ∈R ，使得f (x ＋a )为偶函数，则ω可能的值为( )A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π5【答案】C【解析】若f (x ＋a )为偶函数，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又y ＝(x －6)2关于x ＝6对称，所以a ＝6且y ＝sin ωx 也关于x ＝6对称．所以6ω＝π2＋k π，k ∈Z .当k ＝1时，得ω＝π4.故选C ．5．(2019年浙江)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a ＞0且a ≠1)的图象可能是( )A B C D【答案】D【解析】当0＜a ＜1时，y ＝1a x 是增函数，图象恒过(0,1)，y ＝log a⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是减函数，图象恒过⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除A ，B ；当a ＞1时，y ＝1a x 是减函数，图象恒过(0,1)，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是增函数，图象恒过⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除C ．故选D ．6．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，g (x )，x ＜0，是奇函数，则f (g (－2))的值为( )A ．1B ．－1C ．52 D ．－25【答案】A【解析】因为f (x )是奇函数，所以当x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3.所以g (－2)＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝1.7．函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72【答案】B【解析】∵f (x ＋2)是偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即f (x )的图象关于x ＝2对称．又∵y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，∴y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．∵f (1)＝f (3)，72>3>52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点，设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )ABC D【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，当P 移动到体对角线BD 1的中点O 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，排除A ，C ；当P 在BO 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，排除D ．故选B ．9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【答案】C【解析】∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；若0<a <1，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋ax －2a 在(1，＋∞)上一定是增函数．10．(2018年湖南名校高三联考)已知函数f (x )＝(e x －e －x )x 2，若实数m 满足f (log 3m )－f (log 13m )≤2f (1)，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 C ．(0,9] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(3，＋∞) 【答案】A【解析】由题意得函数的定义域为R ，∵f (－x )＝(e －x －e x )(－x )2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又当x ≥0时，f ′(x )＝(e x ＋e －x )x 2＋(e x －e－x)·2x ≥0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则在R 上奇函数f (x )为增函数，∴f (log 3m )－f (log 13m )＝f (log 3m )－f (－log 3m )＝2f (log 3m )≤2f (1)，即f (log 3m )≤f (1)，∴log 3m ≤1，解得0<m ≤3.故选A ．11．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，若存在x 1，x 2∈D ，对任意x ∈D ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】作出f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，知f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.12．(2019年新课标Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83 【答案】B【解析】因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －1)．因为x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0，所以x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x－1)＝2(x －1)(x －2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，所以x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)∈[－1,0]．f (x )的大致图象如图所示．由4(x －2)(x －3)＝－89，解得x ＝73或x ＝83.若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则由图象可知m ≤73.二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(0,4]【解析】f (x )＝x ＋a x ，则f ′(x )＝1－ax 2.由题意知在(2，＋∞)上f ′(x )≥0，所以a ≤x 2，则0＜a ≤4.14．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．【答案】12【解析】∵f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72.又当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫72－32＝|log 42|＝12.15．(2018年新课标Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.【答案】－2【解析】f (a )＋f (－a )＝ln(1＋a 2－a )＋ln(1＋a 2＋a )＋2＝2，则f (－a )＝2－f (a )＝2－4＝－2.16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题的序号是________．【答案】②③④【解析】对于①，当x1＝2，x2＝－2时，f(x1)＝4＝f(x2)，①错误；对于②，f(x)＝2x为单调递增函数，②正确；③④显然正确．故真命题的是②③④.小题专项训练3不等式一、选择题1．(2019年山东临沂模拟)已知集合A＝{x|x2<x＋2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)【答案】C【解析】解不等式x2<x＋2，得－1<x<2，则A＝{x|x2<x＋2}＝{x|－1<x<2}．又B＝{x|x<a}，要使A⊆B，则a≥2.故选C．2．(2018年山西运城模拟)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A．ac>bd B．ac<bdC．ad<bc D．ad>bc【答案】B3．(2019年北京)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为()A．－7B．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由|x |≤1－y ，可得y －1≤x ≤1－y ，即x －y ＋1≥0且x ＋y －1≤0.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1表示的平面区域，解相应的方程组可得A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)．令z ＝3x ＋y ，化为y ＝－3x ＋z ，由图可知，当直线y ＝－3x ＋z 过点A (2，－1)时，z 有最大值为3×2－1＝5.故选C ．4．(2019年湖南模拟)周长为20的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π【答案】B【解析】设矩形的两邻边长分别为x ，y 且y 为圆柱的高，则x＋y ＝10，圆柱的侧面积S ＝2πxy ≤2π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝50π，当x ＝y ＝5时等号成立，所以该圆柱侧面积的最大值为50π.故选B ．5．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 的值为( )A ．52 B ．72 C ．152 D ．172【答案】A【解析】由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0.因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a .由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.6．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝yx ＋1的最小值为( )A ．1B ．34 C ．13 D ．12【答案】D【解析】作出实数x ，y 满足条件的平面区域如图．z ＝yx ＋1的几何意义是点P (x ，y )与点D (－1,0)连线的斜率．易求得A (1,1)，由图可知当P 经过A 时，z 取得最小值11＋1＝12.7．已知a >0，函数f (x )＝ax 2－(a 2＋1)x ＋a ，若f (x )<0在x ∈(1,2)时恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)【答案】B【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，解得0<a ≤12或a ≥2.8．已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A ．1B ．2C ．94 D ．92【答案】C【解析】令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号，所以4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94.9．(2018年甘肃兰州诊断)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．92B ．25C ．322 D ．5【答案】A【解析】约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x ＋y ＝3的距离．∵原点到直线x ＋y ＝3的距离为32，∴x 2＋y 2的最小值为92.10．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2千克、B 原料4千克，生产乙产品每件需用A 原料3千克、B 原料2千克．A 原料每日供应量限额为60千克，B 原料每日供应量限额为80千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的最大利润为( )A ．500元B ．550元C ．600元D ．650元【答案】D【解析】设每日生产甲、乙两种产品分别为x ，y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ∈N ，y ∈N .设每日获得的利润z ＝30x ＋20y ，画出不等式组所表示的平面区域如图所示．根据目标函数z ＝30x ＋20y 的几何意义知，当目标函数对应的直线20y ＋30x －z ＝0，过B 点时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝60，4x ＋2y ＝80，解得B (15,10)，所以z max ＝30×15＋20×10＝650.故选D ．11．(2018年河北邢台检测)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A ．12B ．32 C ．34 D ．34【答案】C【解析】∵圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，∴4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122×(22a )×1＋2b 2≤122×12×[](22a )2＋(1＋2b 2)2＝142 (8a 2＋1＋2b 2)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34.12．(2018年江苏联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，174 【答案】D【解析】由x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.由x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，则a ≤x ＋y ＋1x ＋y.易得当x ＋y ＝4时，x ＋y＋1x ＋y取得最小值174，所以a ≤174.故选D ． 二、填空题13．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1.14．(2018年广东惠州模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2.15．(2018年江苏扬州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．【答案】(－1,0)【解析】因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ≠0)，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以f (x )必有两个不同的零点．所以f (－2)f (－1)＜0，即(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜ a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.16．(2019年天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为________．【答案】43【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥22xy ·6xy ＝43，当且仅当2xy ＝6xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝32时等号成立，所以(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为4 3.小题专项训练4 函数与导数一、选择题1．(2019年天津模拟)下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝sin x B ．(log 2x )′＝xln 2 C ．(2x )′＝12xD ．(3x )′＝3x log 3e【答案】C【解析】(cos x )′＝－sin x ，A 错误；(log 2x )′＝1x ln 2，B 错误；(2x )′＝2(x )′＝2×12·1x ＝12x ，C 正确；(3x )′＝3x ln 3，D 错误．故选C ．2．(2018年江西模拟)已知函数f (x )＝ln(ax －1)的导函数是f ′(x )，且f ′(2)＝2，则实数a 的值为( )A ．12 B ．1 C ．34 D ．23【答案】D【解析】因为f (x )＝ln(ax －1)，所以f ′(x )＝aax －1.所以f ′(2)＝a 2a －1＝2，解得a ＝23.3．(2019年福建宁德模拟)函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞【答案】B【解析】由f (x )＝3＋x ln x ，得定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝ln x ＋1，令ln x ＋1<0，解得0<x <1e .故选B ．4．已知函数y ＝f (x )满足f (1)＝2，f ′(1)＝－1，则曲线g (x )＝e x f (x )在x ＝1处的切线斜率是( )A ．－eB ．eC ．2eD ．3e【答案】B【解析】∵g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )，∴g ′(1)＝e f (1)＋e f ′(1)＝e.5．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a －b 的值为( )A ．21B ．－21C ．27D ．－27【答案】A【解析】因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24.所以a －b ＝－3＋24＝21. 6．(2019年内蒙古模拟)函数f (x )＝x sin x 的图象在点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2处的切线的倾斜角为( )A ．π6B ．π4 C ．3π4 D ．5π6【答案】C【解析】由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝sin 3π2＋3π2cos 3π2＝－1.由导数的几何意义可得切线的斜率k ＝－1，则切线的倾斜角为3π4.故选C ．7．f (x )是一次函数，过点(2,3)，且⎠⎛01f (x )d x ＝0，则函数f (x )的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．1B ．12 C ．14 D ．18【答案】C【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得2k ＋b ＝3，①⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪10＝0，即12k ＋b ＝0，②联立①②，解得k ＝2，b ＝－1，所以f (x )＝2x －1.直线y ＝f (x )与坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0与(0，－1)，所以所求的面积为12×12×1＝14.8．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为x (x ∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为( )A ．3.1%B ．3.2%C ．3.4%D ．3.5%【答案】B【解析】依题意知存款额是kx 2，银行应支付的存款利息是kx 3，银行应获得的贷款利息是0.048kx 2，所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，故y ′＝0.096kx －3kx 2.令y ′＝0，解得x ＝0.032或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0.∴当x ＝0.032时，y 取得极大值也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．9．(2018年宁夏银川二模)设f (x )是定义在非零实数集上的函数，f ′(x )为其导函数，且x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，记a ＝f (20.2)20.2，b ＝f (0.22)0.22，c ＝f (log 25)log 25，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又log 25＞log 24＝2,1＜20.2＜2,0.22＝0.04，∴log 25＞20.2＞0.22，∴g (log 25)＜g (20.2)＜g (0.22)，∴c ＜a ＜b .10．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12D ．(－∞，－2)【答案】D【解析】∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3.由f (x )的图象，可得f ′(x )在(－∞，－2)上大于0且单调递减，故y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．故选D ．11．(2019年浙江)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＜0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0，若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a ＜－1，b ＜0B ．a ＜－1，b ＞0C ．a ＞－1，b ＜0D ．a ＞－1，b ＞0【答案】C【解析】当x ＜0时，由y ＝f (x )－ax －b ＝(1－a )x －b ＝0，得x ＝b 1－a，y ＝f (x )－ax －b 有一个零点；当x ≥0时，y ＝f (x )－ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax －ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2－b ，y ′＝x 2－(a ＋1)x ，当a ＋1≤0，即a ≤－1时，y ′≥0，y ＝f (x )－ax －b 在[0，＋∞)上递增，y ＝f (x )－ax －b 最多有一个零点，不合题意；当a ＋1＞0，即a ＞－1时，令y ′＝0，得x ＝a ＋1，易知函数在(a ＋1，＋∞)上递增，在(0，a ＋1)上递减，函数最多有2个零点．函数恰有3个零点，则y ＝f (x )－ax －b 在(－∞，0)上有一个零点，在(0，＋∞)上有2个零点．所以b1－a ＜0且⎩⎨⎧－b ＞0，13(a ＋1)3－12(a ＋1)(a ＋1)2－b ＜0，即⎩⎨⎧b <0，－16(a ＋1)3<b ，得b <0，－1<a <1.故选C ．12．(2019年天津)已知a ∈R .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]【答案】C【解析】当x ＝1时，f (1)＝1－2a ＋2a ＝1＞0恒成立；当x ＜1时，f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，等价于2a ≥x2x －1恒成立．令g (x )＝x 2x －1＝－x 21－x ＝－(1－x －1)21－x ＝－(1－x )2－2(1－x )＋11－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－x ＋11－x －2≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1－x )·11－x －2＝0，∴2a ≥g (x )max ＝0，∴a ≥0.当x ＞1时，f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，等价于a ≤xln x 恒成立．令h (x )＝xln x ，则h ′(x )＝ln x －1(ln x )2.当x ＞e 时，h ′(x )＞0，h (x )递增；当1＜x ＜e 时，h ′(x )＜0，h (x )递减．∴x ＝e 时，h (x )取得最小值h (e)＝e.∴a ≤h (x )min ＝e.综上，a 的取值范围是[0，e]．二、填空题13．(2019年浙江台州模拟)已知函数f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋2x ＋5，则f ′(1)＝__________，f ′(2)＝__________.【答案】1 2【解析】显然f ′(1)为常数，则f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2，可得f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2，解得f ′(1)＝1.所以f ′(x )＝x 2－2x ＋2，则f ′(2)＝2.14．(2018年云南昆明模拟)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.【答案】4【解析】由题意得f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a .∵f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，∴a ＝2.又f (1)＝b ，∴2×1－b ＝0，解得b ＝2.故a ＋b ＝4.15．已知函数f (x )＝e x －ax (a ∈R )，若函数f (x )在区间[2,4]上是单调增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】[－e 2，＋∞)【解析】∵f (x )在区间[2,4]上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0在区间[2,4]上恒成立，即(x －1)e x ＋a ≥0在区间[2,4]上恒成立．记g (x )＝(x －1)e x ＋a ，则g ′(x )＝x e x .∵x ∈[2,4]，∴g ′(x )＞0，故g (x )在[2,4]递增，∴g (x )min ＝g (2)＝e 2＋a ≥0，解得a ≥－e 2.16．(2018年东北三校联考)已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，给出以下几个命题：①0<x 0<1e ；②x 0>1e ；③f (x 0)＋x 0<0； ④f (x 0)＋x 0>0.其中正确的命题是________．(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③【解析】由已知得f ′(x )＝ln x ＋x ＋1(x >0)，显然的f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e >0，x →0时，f ′(x )<0.x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，则0<x 0<1e ，①正确，②错误；∵ln x 0＋x 0＋1＝0，∴f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋1)－12x 20＝－12x 20<0，③正确，④错误．综上，①③正确．小题专项训练5 三角函数与三角恒等变换一、选择题1．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－32【答案】D【解析】因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在单位圆上，所以sin α＝cos 5π6＝－32.2．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45【答案】B【解析】因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35.3．函数y ＝4sin x cos x －1的最小正周期T 和最大值M 分别为( )A ．π，1B ．2π，1C ．π，2D ．2π，2【答案】A【解析】y ＝4sin x cos x －1＝2sin 2x －1，故其最小正周期T ＝2π2＝π，最大值M ＝2－1＝1.4．(2019年河南模拟)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6，则tan 2α＝( )A ．－43B ．－32 C ．43 D ．32【答案】A【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，可得12sin α－32cos α＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α，则2sin α＝－3cos α，所以tan α＝－32.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－4 3.故选A ．5．(2018年四川泸州模拟)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称【答案】A【解析】∵y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝0.∴y ＝cos(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．故选A ．6．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．－12 B ．12 C ．－2 D ．2【答案】C【解析】∵sin β＝35，且π2<β<π，∴cos β＝－45，tan β＝－34.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，∴tan α＝－12，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.7．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【答案】D【解析】f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π.故ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.8．(2018年山西太原模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3＋φ的一个对称中心是(2,0)，且f (1)＞f (3)，要得到函数f (x )的图象，可将函数y ＝2cos πx3的图象( )A ．向左平移12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移12个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 【答案】C【解析】∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3＋φ的一个对称中心是(2,0)，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故可取φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，满足f (1)＞f (3)．故选C ．9．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A ．74 B ．34 C ．35 D ．45【答案】B【解析】由已知得(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋378，于是sin θ＋cos θ＝3＋74.又(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ＝1－378，所以sin θ－cos θ＝3－74.可得sin θ＝34.10．已知f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋sin ωx )(ω＞0)的图象在x ∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，5π8B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π8，5π8C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤3π8，5π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，5π8【答案】B【解析】f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋2sin 2 ωx ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋1.设g (x )＝2ωx －π4，g (0)＝－π4，g (1)＝2ω－π4，f (x )的图象在x ∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，∴π2≤2ω－π4<π，解得3π8≤ω<5π8.故选B ．11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB→·BC →＝－|AB →|2，则ω等于( )A ．π2B ．π3 C ．π4 D ．π6 【答案】A【解析】由三角函数的对称性知AB→·BC →＝AB →·2BD →＝2AB →·BD →＝2|AB →|2cos(π－∠ABD )＝－|AB →|2，所以cos ∠ABD ＝12，即∠ABD ＝π3.|AD |＝23tan π6＝2，所以f (x )的最小正周期T ＝4.所以ω＝2π4＝π2.故选A ．12．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0.若将函数f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋62＝10，得|x 1－x 2|＝8.∴T ＝2|x 1－x 2|＝16.∴2πω＝16，ω＝π8，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.由f (2)＝0，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0.又－π2≤φ≤π2，∴φ＝－π4，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4.将f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度，得对应的函数g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意得g (x )的图象关于y 轴对称，∴π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故正数t 的最小值为2.二、填空题13．(2018年山东日照二模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________．【答案】116【解析】cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝116.14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【答案】±2【解析】由题意可得f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.15．(2019年广东中山模拟)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 【解析】y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 16．(2019年山西运城模拟)给出下列四个语句： ①函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4上为增函数；②函数y ＝cos 2x 的最小正周期为2π；③函数y ＝tan x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称；④若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4，则x 1－x 2＝k π，其中k ∈Z .以上四个语句中正确的有________(填写正确语句前面的序号)． 【答案】①③【解析】x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故①正确．y ＝cos 2x＝cos 2x ＋12的最小正周期为π，故②不正确．由正切函数y ＝tan x 的图象可得③正确．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4＝2k π或⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，即x 1－x 2＝k π或x 1＋x 2＝k π＋3π4(k ∈Z )，故④不正确．综上所述，正确的有①③.小题专项训练6 解三角形一、选择题1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b,2a sin B ＝b ，则A 等于( )A ．π3B ．π4 C ．π6 D ．π12【答案】C【解析】由2a sin B ＝b 及正弦定理，得2sin A sin B ＝sin B ，故sin A ＝12.又△ABC 为锐角三角形，则A ＝π6.2．(2019年四川模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则角B 的值为( )A ．π6B ．π3 C ．π6或5π6 D ．π3或2π3 【答案】C【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 结合已知可得cos B ＝12tan B ，则cos B ＝cos B 2sin B .由tan B 有意义，可知B ≠π2，则cos B ≠0，所以sin B ＝12，则B ＝π6或5π6.故选C ．3．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522 m【答案】A【解析】由正弦定理得AB sin ∠ACB＝ACsin B ，所以AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50 sin 45°sin 30°＝502(m)．4．(2019年吉林四平模拟)在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若BD ＝3，CD ＝4，AD ＝5，AB ＝7，则BC ＝( )A ．22B ．23C ．37D ．13【答案】D【解析】如图，∠ADB ＋∠CDB ＝180°，则cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，即32＋52－722×3×5＝－32＋42－BC 22×3×4，解得BC ＝13.故选D ．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A ．74B ．34C ．73 D ．13【答案】A【解析】由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，可得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，得b ＝2a .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 6．(2018年江西南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．14B ．12 C ．1 D ．2【答案】B【解析】由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)．又bc ＝2，得S △ABC ＝12bc sin A ＝12.7．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b ，则A ＝( )A ．π6B ．π3 C ．2π3 D ．π3或2π3【答案】B 【解析】由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b 及结合正弦定理，得b －a b －c ＝ca ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由A 为三角形的内角，知A ＝π3.8．(2018年河南开封一模)已知锐角三角形ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a (a ＋c )，则sin 2Asin (B －A )的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【答案】C【解析】由b 2＝a (a ＋c )及余弦定理，得c －a ＝2a cos B ．由正弦定理，得sin C －sin A ＝2sin A cos B ．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋B )－sin A ＝2sin A cos B ，∴sin(B －A )＝sin A ．∵△ABC 是锐角三角形，∴B －A ＝A ，即B ＝2A .∴π6＜A ＜π4，则sin 2A sin (B －A )＝sin A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22.9．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均有可能【答案】A【解析】由题意可知c 边最大，即c >a ，c >b ，则a 2c ＋b 2c >a 3＋b 3＝c 3，则a 2＋b 2－c 2>0.由余弦定理得cos C >0，∴0<C <π2.∴△ABC为锐角三角形．10．设a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，若tan A tan Btan A ＋tan B ＝1 009tan C ，且a 2＋b 2＝mc 2，则m ＝( )A ．1 008B ．1 009C ．2 018D ．2 019【答案】D【解析】由tan A tan B tan A ＋tan B＝1 009tan C ，得1tan A ＋1tan B ＝11 009×1tan C ，即cos A sin A ＋cos B sin B ＝11 009×cos C sin C ，sin 2C sin A sin B ＝cos C1 009.根据正、余弦定理，得c 2ab ＝11 009×a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2－c 2c 2＝2 018，则a 2＋b 2c 2＝2 019，所以m ＝2 019.11．(2019年贵州模拟)在锐角三角形ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且3b ＝2a sin B ，a ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】B【解析】由3b ＝2a sin B 结合正弦定理得3sin B ＝2sin A sin B ，由锐角三角形知sin B ≠0，所以sin A ＝32，则cos A ＝12.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝b 2＋c 2－bc ，所以16≥2bc －bc ＝bc ，当b ＝c 时等号成立．所以S ＝12bc sin A ≤12×16×32＝43，即△ABC 面积的最大值为4 3.故选B ．12．(2018年辽宁沈阳五校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C ，3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18.设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A ．529 B ．729 C ．928 D ．1128 【答案】C【解析】在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 及正弦定理，得c ＝3a －3b .再根据3b ＝2a ，2≤a 2＋ac ≤18，得a ＝c,1≤a ≤3.由余弦定。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)六
理科数学小题训练题六一、选择题： 1. 已知集合，，则（ ）A.B.C.D.2. 设复数满足，则（ ）A. B.C.D.3. 如图，网络纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 四棱柱4. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离（ ）A ．m 250B ．m 350C ．m 225D ．m 2225 5. “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支．如：公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年．则公元2047年农历为（ ）A. 乙丑年B. 丙寅年C. 丁卯年D. 戊辰年 6. 已知直线l 的方程为032=+-+a y ax ，则“直线l 平分圆1)3()2(22=++-y x 的周长”是“1=a ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点, 12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率 为 （ ）ABCD8．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α→=从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形面积等于2的概率为( )A.215B.15C.415D.139.设222ln sin ln cos ln sin cos ln ,ln ,ln ln ln ln x y z b b b αααα===，若,42αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b ∈，则,,x y z 的大小关系为( )A ．x y z >>B ．y x z >> C. z x y >> D ．x z y >>10.已知函数()ln xf x kx x =-在区间14e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为( )A. 12e ⎫⎪⎭B. 12e ⎫⎪⎭C. 21e ⎡⎢⎣D. 211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着一个完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. 12B. 1532C. 1132D. 51612.已知函数()1,0{1,0e m xf x em x --+>=+≤有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A. 1⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. ⎫⎪⎪⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭二、填空题：13．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ． 14．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ．A BCN15．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ．16．已知正项数列{}a n 的前n 项和为S n ，若{}a n 和{}S n 都是等差数列，且公差相等，设b n＝1S n S n ＋1，若b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的n ∈N *均成立，则最小的正整数m 的值为________．（请同学们将答案填写在下列相应位置）13、 14、 15、 16、。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)一
中学理科数学小题训练题一一、选择题： 1. 已知集合},|{},022|{2A x x y y B x x Z x A ∈==≤+-∈=，则集合B 的子集的个数为（B ）A ．7B ．8C ．15D ．162．已知实数 ，则a ，b ，c 的大小关系是（ D ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a3．若二项式n x )3(-（n ∈N*）中所有项的系数之和为a ，所有项的系数的绝对值之和为b ，则baa b +的最小值为（ B ） A ．2 B ． C ． D ．4.如图，在矩形区域ABCD 的C A ,两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号地概率是（ A ）A ． 41π-B ．12-π C. 22π- D ．4π5.已知一几何体地三视图如图所示，则该几何体地体积为（ C ）A ． 316+πB ．112+π C. 3112+π D ．314+π6.函数)(sin ππ≤≤-=x e y x 的大致图像为（ D ）A ．B ．C. D ．7.设点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与圆2222b a y x +=+在第一象限的交点，21,F F 是双曲线的两个焦点，且||3||221PF PF =，则双曲线的离心率为(A) A ．13 B ．213C ．13D ．2138.已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ D ） A ．425πB ．π4 C. π8 D ．π16 9.已知0x 是方程0ln 222=+x e x x 的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（C ）A ．2ln 0≥xB ．ex 10< C. 0ln 200=+x x D ．0ln 200=+x e x10.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的一条直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，给出以下结论：①12y y ⋅为定值；②若经过点A 和抛物线的顶点的直线交准线于点C ，则//BC x 轴； ③存在这样的抛物线和直线AB ，使得OA OB ⊥（O 为坐标原点）；④若以点A,B 为切点分别作抛物线的切线，则两切线交点的轨迹为抛物线的准线. 则正确的序号为(C)A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①③④11.已知函数()2sin 25f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，则21x x -的最小值是（ C ）．（A ）π（B ）2π （C ）2 （D ）412. 已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+ ，n ∈*N ， 设n θ为i 和n a的夹角，则（ B ）． （A ）n θ随着n 的增大而增大（B ）n θ随着n 的增大而减小（C ）随着n 的增大，n θ先增大后减小 （D ）随着n 的增大，n θ先减小后增大二、填空题：13.若命题“t R ∃∈，220t t a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是 (,1]-∞-14．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，公差为d ，若100182018182018=-S S ，则d 的值为_______11015.矩形ABCD 中，沿3,4==BC AB ,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 外接球的体积为 π612516.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+->-=0,21210,)(2x x x x x x f ，若关于x 的方程k kx x f -=)(至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为_____________ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)07
全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）理科数学小题训练题七一、选择题1.已知复数sin cos z i θθ=-，则“()2k k Z θπ=∈”是“z 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当2k θπ=时，sin 0θ=，cos 1θ=，z i =-，为纯虚数当z 为纯虚数时，令sin 0θ=，k θπ=，则“()2k k Z θπ=∈”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件. 故选A2.设函数()2121x x f x e e x -=+-+，则使得()211f x ->成立的x 的取值范围是( ) A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ C.()1,+∞ D.11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由函数表达式知函数()2121x x f x e e x -=+-+是偶函数，且在()0,+∞是增函数，()01f =故原不等式等价于()()12102102f x f x x ->⇒->⇒≠故答案为：D.3.程序框图如图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入( )A.10?K ＜B.10?K ≤C.11?K ＜D.11?K ≤【答案】A 【解析】经过第一次循环得到1121212111S K =⨯==-=，不输出，即K 的值不满足判断框的条件；经过第二次循环得到121113211110S K =⨯==-=，不输出，即K 的值不满足判断框的条件；经过第三次循环得到1321013201019S K =⨯==-=，输出，即K 的值满足判断框的条件，故判断框中的条件是10K <，故选A.4.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为( )A. B. C.8 D.9【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如图所示：AB 6BC BD CD AD 9=====，，故选：D5.已知向量a ，b 的夹角为2π3，且()3,4a =-，2b =，则2a b +=( )A. B.2 C. D.84 【答案】C【解析】()22222221|2|44cos 43442232a b a a b b π⎛⎫+=+⋅+=⨯++⨯-+= ⎪⎝⎭84，所以284a b +==，故选C .6.若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( )全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）A.4π B.8π C.38π D.58π 【答案】B 【解析】函数()sin2cos224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，得到224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于y 轴对称，即()242k k Z ππϕπ+=+∈，解得1=28k πϕπ+，又0ϕ>，当0k =时，ϕ的最小值为8π，故选B. 7.设不等式组33,24,{ 0,x y x y x y -≤-≥-≥≥所表示的平面区域为M ，在M 内任取一点(),P x y ，1x y +≤的概率是( ) A.17 B.27 C.37 D.47【答案】A【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，四边形OABC 所示，作出直线1x y +=， 由几何概型的概率计算公式知1x y +≤的概率112772OABC S P S ===阴影四边形，故选A.8.在1220182017a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数等于264，则()02a x e x dx +⎰等于( ) A.23e + B.24e + C.1e + D.2e +【答案】A【解析】(1211220182017C r r rr T a x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，必须1212,0r r -==，(1213T a =+，5x的系数为21012C 264a =，解得2a =，所以()()22200e 2e |x x x x +=+⎰23e =+ 9.已知ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则sin2sin cos B B B+的取值范围是( )A.⎛-∞ ⎝⎦B.⎛ ⎝⎦C.(- D.⎛ ⎝⎦【答案】B 【解析】由已知可知2sin sin sin B A C =⋅，即2b a c =，2222221cos 2222a c b a c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，即03B π<<，(sin cos 4B B B π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭， 原式等于()2sin cos 12sin cos sin cos sin cos B B B B B B B B+-=++，设sin cos t B B =+即原式等于(2111t t t t t -=-<≤，函数是增函数，当1t =时，函数等于0，当t =数等于2，所以原式的取值范围是0,2⎛ ⎝⎭，故选B. 10.已知数列{}n b 满足121,4,b b ==2221sin cos 22n n n n b b ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则该数列的前23项的和为( )A.4194B.4195C.2046D.2047【答案】A【解析】当n 为偶数时，2221sin cos 122n n n n n b b b ππ+⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，有21n n b b +-=，即偶数项成等差， 所以242221110111992b b b b ⨯+++=+⨯=. 当n 为奇数时，22n n b b +=，即奇数项成等比.()1211213231221409512b b b b -+++==-=-.该数列的前23项的和为9940954194+=.故选A.。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)十
全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）小题训练十一、单选题1.设复数21a i z i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为( )A.-12 B.-12I C.-32 D.-32i2.已知函数()f x =R ，则实数k 的取值范围是( )A.01k ≤≤B.01k ≤<C.0k <或1k >D.0k ≤或1k ≥ 3.执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为( ) A.335 B.336 C.337 D.3384.已知正四面体纸盒的俯视图如下图所示，其中四边形ABCD是边长为若在该正四面体纸盒内放一个正方体，使正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值是( )B.1C.25.已知()2cos x a x dx =-⎰，221n π-=，则4112n ax ax +⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为( ) A .638 B .6316 C .212- D .638- 6.已知m ，n 是两个非零向量，且1m =，23m n +=，则m n n ++的最大值为()10 C.4 D.57.一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( ) A.164 B.5564 C.18 D.1168.已知关于x 的方程()sin sin 2x x m ππ⎛⎫-++=⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根12,x x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是( )A.()B.(⎤⎦C.⎡⎣D.[)0,19.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222017a b c +=，则tan tan tan tan C CA B+=( ) A.12016 B.12017 C.11008 D.2201710.设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记M 为函数()y f x =在[]1,1-上的最大值，N 为a b +的最大值( ) A.若13M =，则3N = B.若12M =，则3N = C.若2M =，则3N = D.若3M =，则3N = 11.椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，弦AB 过1F ，若2ABF 的内切圆周长为π，A 、B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y( )B.103C.203D.5312.函数()sin 6g x a x π⎛⎫=⎪⎝⎭22a -+(a >0)，若存在[]120,1x x ∈、，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是( ) A .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C .24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13.已知函数())20162016log 20162x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为___________.14.今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上1，如图(1)所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上2，如图(2)所示；第三次把4段圆弧二等分，并在这4个分点处分别标上3，如图(3)所示.如此继续下去，当第n 次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是__________.全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）15.在ABC ∆中，22sin2A A =，()sin 2cos sin B C B C -=，则AC AB=___________. 16.甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏(每位同学传递到另一位同学记传递1次)，手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有__________种不同的传递方法.(用数字作答) 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且32,2n n n S a =-*n N ∈. (1)求证12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； (2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在正整数λ，对任意*,m n N ∈，不等式m n 0T S λ-<恒成立？若存在，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由.18.如图1，已知在菱形ABCD 中，120B ∠=，E 为AB 的中点，现将四边形EBCD 沿DC 折起至EBHD ，如图2.(1)求证：DE ⊥面ABE ； (2)若二面角A DE H --的大小为23π，求平面ABH 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值.全国名校高考数学优质小题训练汇编（附详解）19.有甲、乙两个桔柚(球形水果)种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[]59,101范围内(单位：毫米，以下同)，按规定直径在[)71,89内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：(1)根据以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答是否有95%以上的把握认为 “桔柚直径与所在基地有关”？(2)求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数x (同一组数据用该区间的中点值作代表)：(3)经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差226.78s ≈，乙基地的500个桔柚直径的样本方差227.28s ≈，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.若()2,X N μσ~，则()0.6826P X μσμσ-<<+=.()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.20.已知函数()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其中 2.718e =为自然对数的底数，常数0a >.(1)求函数()f x 在区间()0,+∞上的零点个数；(2)函数()F x 的导数()()()xF x e a f x '=-，是否存在无数个()1,4a ∈，使得ln a 为函数()F x 的极大值点？说明理由.。
全国名校高考数学优质小题训练汇编(附详解)十五
短卷训练十五一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知复数(1+)z i i =(i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．下列命题中正确的是 ( ) A. 命题“∀x ∈R ,2x x -≤ 0”的否定是“∃x ∈R ,2x x -≥ 0”; B. 命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件; C. 若“22am bm ≤,则a ≤b ”的否命题为假命题;D. 已知图象连续不断的函数()y f x =在区间(,)a b (其中0.1b a -=)上有唯一零点,若用“二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值,则将区间(,)a b 等分的次数至少是10次.3．已知变量,x y 满足约束条件2823y x x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数62z x y =-的最小值为 （ ）A ．32B ．4C ．8D ．24.设集合{sin ,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件P M = 的集合P 的个数是（ ） A ．1 B ．3C ．4D ．85.已知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是（ ） A. 24 B. 36＋C. 36 D. 36＋ 6.若直线1=+bya x 经过点)sin ,(cos ααM ,则( ) A.a 2+b 2≤1 B.a 2+b 2≥1 C.11122≤+b a D.11122≥+ba7．已知数列{},{}n n a b 满足113a b ==，113n n n nb a a b ++-==，n N +∈，若数列{}n c 满足n n a c b =，则2013c = （ ） A. 20129B ．201227C ． 20139D. 2013278.过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB ＝12BC，则双曲线的离心率是( ) A. 2B. 3C. 5D.10正视图侧视图俯视图4 439．曲线[]12,2)y x =+∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，k 的取值范围是（ ）A 、5(0,)12 B 、11(,)43 C 、5(,)12+∞ D 、53(,)12410．已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++= ，则 OC AB ⋅的值为( )A 15- B15 C 65- D6511．半径为R 的球的内部装有4个相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值为（ ）ABCR D ．12R12．定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)232,0,1,1,1,2,2x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩则当[)4,2x ∈--时，函数()2142t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A. 23t ≤≤B. 13t ≤≤C. 14t ≤≤D. 24t ≤≤二．填空题：本大题共4小题,每小题5分,满分20分)13． 函数y ＝tan(π4x －π2)(0<x <4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝______.14.不等式33|21log (1)||21||log (1)|x x x x ---<-+-的解集是 .15．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是__________ 16. 对于函数lg |3|y x =-和sin2xy π=(410)x -≤≤，下列说法正确的是 .（1）函数lg |3|y x =-的图像关于直线3x =-对称； （2）sin2xy π=(410)x -≤≤的图像关于直线3x =对称；（3）两函数的图像一共有10个交点；（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30； （5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.三、解答题：本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠.假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人.（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分12分）如图1， 在直角梯形ABCD 中， 90ADC ∠=︒， //CD AB ，4,2AB AD CD ===，M 为线段AB 的中点. 将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC 平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图2所示. （Ⅰ）求证:BC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求二面角A CD M --的余弦值.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足*11()2n n a S n N =+∈； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若221log ,n n n n n b a c b b +==，且{}n c 的前n 项和为n T ，求使得132424n k k T +<<对*n N ∈都成立的所有正整数k 的值.请考生在第20、21二题中任选一题作答 【选修4-4：坐标系与参数方程】20．已知曲线C 1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C 1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的参数方程； （Ⅱ）直线l 过点M （1，0），倾斜角为，与曲线C 2交于A 、B 两点，求|MA |•|MB |的值．【选修4-5：不等式选讲】21．已知不等式|2x ﹣3|＜x 与不等式x 2﹣mx +n ＜0的解集相同． （Ⅰ）求m ﹣n ；（Ⅱ）若a 、b 、c ∈（0，1），且ab +bc +ac=m ﹣n ，求a +b +c 的最小值．短卷训练一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知复数(1+)z i i =(i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 （ ）B A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为(1)1z i i i =+=-+，则对应的点(1,1)Z -位于第二象限，故选B.2．下列命题中正确的是 ( ) D A. 命题“∀x ∈R ,2x x -≤ 0”的否定是“∃x ∈R ,2x x -≥ 0”; B. 命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件; C. 若“22am bm ≤,则a ≤b ”的否命题为假命题;D. 已知图象连续不断的函数()y f x =在区间(,)a b (其中0.1b a -=)上有唯一零点,若用“二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值,则将区间(,)a b 等分的次数至少是10次.。
全国百校名校2021届高考数学联考试卷(理科)(六)(含答案解析)
全国百校名校2021届高考数学联考试卷(理科)(六)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={(x ，y )| x ，y 为实数，且x 2+ y 2=1}，B ={(x ，y )| x ，y 为实数，且y = x }，则A ∩ B 的元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(2,−1)，则|z +1|等于( )A. 2B. √3C. √5D. √103.(文科)某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有( )人．A. 288B. 300C. 320D. 3524.已知函数是定义在R 上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是( )A.B.C.D.5.函数f(x)=x +4x+1的单调递增区间为( )A. (−∞,−3)，(1,+∞)B. (−∞,−2)，(2,+∞)C. (−3,0)，(3,+∞)D. (−2,0)，(0,2)6.已知集合A ={2,3}，B ={1,2，3}，从A ，B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是，则这两数之和等于4的概率是( )A.B.C.D.7.若M 为△ABC 的重心，O 为任意一点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则n =( ) A. 0B. 1C. 2D. 38.曲线y =lnx −2x 在x =1处的切线的倾斜角为α，则cos(2α+π2)的值为( )A. 45B. −45C. 35D. −359.已知a>0，b>0，则的最小值是()A. 2B.C. 4D. 510.抛物线x2−4y=0的准线方程是()A. y=−1B. y=−116C. x=−1 D. x=−11611.已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角(如图)，则四棱锥ADECB的外接球的表面积为()A. 6πB. 8πC. 9πD. 10π12.若不等式a(x+y)对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为()A. 1；B. ；C. 2；D. ；二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示，函数的图象在点P处的切线方程是，则14.512015除以13，所得余数为______ ．15.设F1和F2是双曲线−y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．16.(文科)等差数列{a n}的首项a1=3，a5=11，b n=a n−12(1)求a n和{b n}的前n项和S n；(2)若T n=|b1|+|b2|+⋯+|b n|，求T n；(3)设c n=1a n a n+1，求数列{c n}的前n项和R n．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知：A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m⃗⃗⃗ =(√3,cosA+1)，n⃗=(sinA,−1)，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若a=2，cosB=√3，求b的长．318.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1底面是等腰三角形(侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱)，A1C1=C1B1，D是线段A1B1的中点．(1)证明：面AC1D⊥平面A1B1BA；(2)证明：B1C//平面AC1D.19.某次大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从10000人中随机抽取10人，中奖者获得奖金1000元，并获得第二环节抽奖资格；第二环节在取得资格的10人中，每人独立通过电脑随机产生两个数x，y(x,y∈{1,2，3})，并按如图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．(I)已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；(II)若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△MNF 2的周长为8． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =kx +b 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，试问点O 到直线AB 的距离是否为定值，证明你的结论．21. 已知函数f(x)=x 3−3ax −1(a ∈R) (1)当a =1时，求函数f(x)的极值 (2)求函数f(x)在[0,1]上的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =ty =√t(t 为参数)，点A(1,0)，B(3,−√3)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系． (1)求直线AB 的极坐标方程； (2)求直线AB 与曲线C 交点的极坐标．23. 设函数f(x)=x|x −a|+b ，a ，b ∈R (Ⅰ)当a >0时，讨论函数f(x)的零点个数；(Ⅱ)若对于给定的实数a(a ≥2)，存在实数b ，对于任意实数x ∈[1,2]，都有不等式|f(x)|≤12恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：法一：解方程组得或所以．法二：圆x 2+y 2=1的圆心(0,0)在直线y=x上，故直线y=x与圆x 2+y 2=1有两个交点，故选C项．2.答案：D解析：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．由题意求得z，进一步得到z+1，再由复数模的计算公式求解．解：由题意，z=2−i，则|z+1|=|2−i+1|=|3−i|=√32+(−1)2=√10．故选：D．3.答案：C解析：解：高一、高二学生的人数与学校总人数之比等于1200+8003000=23，故样本中高一、高二学生的人数与样本容量之比为23，480×23=320，故选C．先求出高一、高二学生的人数与学校总人数之比，此比值就等于样本中高一、高二学生的人数与样本容量之比，故用样本容量乘以此比值，即得所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，各个部分的个体数之比等于各个部分对应的样本数之比，属于基础题．4.答案：D解析：试题分析：因为函数是定义在R 上的偶函数，又因为.所以由可得.区间单调递增且为偶函数.所以.故选D ．考点：1.对数的运算.2.函数的奇偶性、单调性.3.数形结合的数学思想．5.答案：A解析：解：f(x)=x +4x+1的定义域为{x}x ≠−1}， ∴f′(x)=x 2+2x−3(x+1)2=(x+3)(x−1)(x+1)2，令f′(x)>0可得x >1或x <−3，故函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，(−∞,−3)． 故选：A ．对函数求导，然后结合导数与函数单调性的关系即可求解． 本题考查函数的单调区间的求解，解题的关键是导数的应用．6.答案：C解析：解：从A ，B 中各取任意一个数共有2×3=6种分法， 而两数之和为4的有：(2,2)，(3,1)两种方法，故所求的概率为：．故选C ．7.答案：D解析：解：如图，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23[12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13[(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =13(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )；∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n 3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )；∴n 3=1；∴n =3． 故选：D ．可作出图形，从而有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为重心，从而有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，再根据向量减法的几何意义便可以得到n OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n 3(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，这样根据平面向量基本定理便可得到n3=1，从而便可得出n 的值．考查向量加法、减法及数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及平面向量基本定理．8.答案：D解析：本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题．曲线在x =1处的切线的倾斜角为α，所以y ′|x=1=tanα，再利用三角恒等变换化弦为切，将tanα代入即可．解：依题意，y ′=1x +2x 2，所以tanα=11+21=3， 所以cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosαsin 2α+cos 2α=−2tanαtan 2α+1=−2×332+1=−35， 故选：D ．9.答案：C解析：∵a >0，b >0， ∴(当且仅当a =b 时等号成立)．10.答案：A解析：解：抛物线x 2−4y =0，即x 2=4y ，抛物线的直线方程为：y =−1， 故选：A ．利用抛物线方程，直接求出准线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．11.答案：D解析：解：取DE 的中点M ，BC 的中点N ，则∵等腰Rt △ABC 中，AB =AC =2，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 沿DE 将△ABC 折成直二面角 沿DE 将△ABC 折成直二面角后，四棱锥A −DECB 的外接球的球心在和AM 平行的直线OO′上， 设四棱锥A −DECB 的外接球的半径为R ，球心到BC 的距离为d ， 则，R 2=d 2+2，R 2=(d +√22)2+(√22)2解得：R 2=52，故四棱锥A −DECB 的外接球的表面积为S =4πR 2=10π， 故选：D ．取DE 的中点M ，BC 的中点N ，则四棱锥A −DECB 的外接球的球心在MN 上，利用勾股定理，求出半径，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，难度中档．12.答案：C解析：试题分析：∵不等式a(x +y) 对一切正数x 、y 恒成立，∴a ≥．令f(x,y)==，x >0，y >0．令=t >0，则g(t)=，g ′(t)=，令g′(t)=0，解得t =，可知当t =时，g(t)取得极大值即最大值，g()=，∴a ≥2.故a 的最小值为2.故选C ．考点：恒成立问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法13.答案：2解析：试题分析：由图及导数的几何意义知，又f(5)=−5+8=3，故2考点：本题考查了导数的几何意义 点评：函数在的导数值即是过点所作该函数所表示的曲线切线的斜率 14.答案：12解析：解：512015+1=(52−1)2015+1=C 20150⋅522015⋅(−1)0+C 20151⋅522014⋅(−1)1+C 20152⋅522013⋅(−1)2+⋯+C 20152014⋅521⋅(−1)2014+C 20152015⋅520⋅(−1)2015+1=C 20150⋅522015⋅(−1)0+C 20151⋅522014⋅(−1)1+C 20152⋅522013⋅(−1)2+⋯+C 20152014⋅521⋅(−1)2014，因为每一项都有52，且52能被13整除， 故512015+1被13整除，则512015除以13，所得余数为12， 故答案为：12．根据二项式定理，512015+1=(52−1)2015+1展开后即可判断． 本题考查了数的整除问题，利用二项式定理是关键，属于中档题．15.答案：解：，根据双曲线性质可知x −y =4，，，∴xy =2，，故答案为1．解析：思路分析：．解：，根据双曲线性质可知x −y =4，，，∴xy =2，，故答案为1．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关系16.答案：解：(1)等差数列{a n }的首项a 1=3，a 5=11，设公差为d ，则3+4d =11，解得d =2． ∴a n =3+2(n −1)=2n +1． b n =a n −12=2n −11． 数列{b n }的前n 项和S n =n(−9+2n−11)2=n 2−10n ．(2)令b n =2n −11≤0，解得n ≤5．∴n ≤5时，T n =−b 1−⋯−b n =−S n =−n 2+10n ．n ≥6时，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =−2S 5+S n =n 2−10n −2×(25−50)=n 2−10n +50．综上可得：T n ={−n 2+10n,n ≤5n 2−10n +50,n ≥6．(3)c n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，数列{c n }的前n 项和R n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+3)] =12(13−12n+3)=n2n+3．解析：(1)利用等差数列的通项公式可得a n ，再利用等差数列的求和公式可得数列{b n }的前n 项和S n ． (2)令b n =2n −11≤0，解得n ≤5.n ≤5时，T n =−b 1−⋯−b n =−S n .n ≥6时，T n =−b 1−⋯−b 5+b 6+⋯+b n =−2S 5+S n ． (3)c n =1an a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(√3,cosA+1)⋅(sinA,−1)=√3sinA+(cosA+1)⋅(−1)=0，即√3sinA−cosA=1，∴sin(A−π6)=12．由于0<A<π，∴−π6<A−π6<5π6，∴A−π6=π6，A=π3．(Ⅱ)在△ABC中，A=π3，a=2，cosB=√33，∴sinB=√63．由正弦定理知：asinA =bsinB，∴b=asinBsinA =2×√63√32=4√23．解析：本题主要考查正弦定理、同角三角函数之间的关系、两个向量垂直的性质及两个向量的数量积公式的应用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(Ⅰ)根据m⃗⃗⃗ ⊥n⃗可得m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，化简得到sin(A−π6)=12.再由0<A<π可得−π6<A−π6<5π6，从而得到A−π6=π6，由此求得A的值；(Ⅱ)利用同角三角函数的基本关系求出sin B的值，由正弦定理asinA =bsinB，得b=asinBsinA，运算求得结果．18.答案：证明：(1)∵面A1B1C1⊥面A1B1BA，面A1B1C1∩面A1B1BA=A1B1，C1D⊥A1B1，∴C1D⊥平面A1B1BA，∵C1D⊂面AC1D，∴面AC1D⊥平面A1B1BA．(2)连结A1C交AC1于O，连结DO，∵D，O分别是A1B1，A1C的中点，∴DO//B1C，∵DO⊂面AC1D，∴B1C//面AC1D.解析：(1)先证明出C1D⊥平面A1B1BA，利用线面垂直的判定定理证明出面AC1D⊥平面A1B1BA．(2)连结A1C交AC1于O，连结DO，先证明出DO//B1C，根据线面平行的判定定理证明出B1C//面AC1D. 本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．证明面面垂直的重要方法就是先找到线面垂直．19.答案：解：(Ⅰ)从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共9个，设“甲在第二环节中奖”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(3,1)，(3,3)，共2个， ∴P(A)=29．(Ⅱ)设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X 元，则X 的可能取值为0，1000，10000.…(7分) P(X =0)=9991000，P(X =1000)=11000⋅79=79000，P(X =10000)=11000⋅29=29000． ∴X 的分布列为∴EX =0×1000+1000×9000+10000×29000=3. 解析：(Ⅰ)确定从1，2，3三个数字中有重复取2个数字的基本事件，甲在第二环节中奖的基本事件，即可求得概率；(Ⅱ)确定乙参加此次抽奖活动获得奖金的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望． 本题考查概率的计算，考查分布列与期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)由题意知，4a =8，则a =2，由椭圆离心率e =c a =√1−b 2a 2=12，则b 2=3．∴椭圆C 的方程x 24+y 23=1；(2)由题意，当直线AB 的斜率不存在时，此时可设A(x 0,x 0)，B(x 0,−x 0).又A ，B 两点在椭圆C 上， ∴x 024+x 023=1,x 02=127，∴点O 到直线AB 的距离d =√127=2√217， 当直线AB 的斜率存在时，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)联立方程{y =kx +bx 24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−12=0．由已知△>0，x 1+x 2=−8kb 3+4k 2，x 1x 2=4b 2−123+4k 2，由OA ⊥OB ，则x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+(kx 1+b)(kx 2+b)=0， 整理得：(k 2+1)x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2=0，∴(k2+1)4b2−123+4k2−8k2b23+4k2+b2=0．∴7b2=12(k2+1)，满足△>0．∴点O到直线AB的距离d=√1+k2=√127=2√217为定值．综上可知：点O到直线AB的距离d=2√217为定值．解析：(1)由题意可知：4a=8，e=ca =√1−b2a2=12，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得b和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x3−3x−1，则f′(x)=3x2−3=3(x−1)⋅(x+1)，如下表：故极值：1或−1．(2)f′(x)=3x2−3a=3(x2−a)：①当a≤0时，f′(x)≥0在[0,1]恒成立，即f(x)在[0,1]单增，∴函数f(x)的最小值为f(0)=−1；②a>0时，f′(x)=0⇒x=√a或−√a，x∈[0,√a]，f(x)为减，[√a,+∞)，f(x)为增；当√a≥1，即a≥1，x∈[0,1]，f(x)单减，所以f(1)最小值，而f(1)=−3a；当0<√a<1，即0<a<1，f(x)先减后增，所以f(√a)最小，f(√a)=(√a)3−3a⋅√a−1=−2a⋅√a−1；综上，a≤0时，f(x)最小值−1，a∈(0,1)，f(x)最小值−2a√a−1，a∈[1,+∞)，f(x)最小值−3a．解析：(1)求极值和最值问题通常利用求导，根据导函数等于零，再判断是否是极值点，求出原函数的单调性，进而求最值．(2)要求[0,1]上的最小值，需求导利用单调性来求，必须对参数a讨论，a的取值范围不同，在所求区间上的单调性不同，最小值时的自变量也不同．本题考查函数的极值最值问题，先根据参数的取值不同，得函数的单调区间，再求最值，属于中难度题．22.答案：解：(1)由点A(1,0)，B(3,−√3)，所以直线AB 的直角坐标方程为：√3x +2y −√3=0，…(2分) 化为极坐标方程是：√3ρcosθ+2ρsinθ=√3；…(4分) (2)曲线C 的参数方程是{x =ty =√t(t 为参数)，消去参数，化为普通方程是：y 2=x(y ≥0)；…(6分) 由{√3x +2y =√3y 2=x(y ≥0)，解得{x =13y =√33， 即交点的直角坐标为(13,√33)；…(8分)化为极坐标是：(23,π3).…(10分)解析：(1)由点A 、B 写出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可； (2)把曲线C 的参数方程化为普通方程，求出直线与曲线的交点，再化为极坐标即可． 本题考查了直角坐标与参数方程和极坐标的互化问题，是综合性题目． 23.答案：解：(Ⅰ)f(x)=x|x −a|+b ={x 2−ax +b,(x ≥a)−x 2+ax +b,(x <a)， ∵a >0，∴当b >0时，x 2−ax +b =0在x ≥a 上无解，−x 2+ax +b =0在x <a 上恰有一解； 当b =0时，x 2−ax +b =0在x ≥a 上恰有一解，−x 2+ax +b =0在x <a 上恰有一解； 当b <0时，x 2−ax +b =0在x ≥a 恰有一解，若△=a 2+4b <0，则−x 2+ax +b =0在x <a 上无解；若△=a 2+4b =0，则−x 2+ax +b =0在x <a 上恰有一解；若△=a 2+4b >0，则−x 2+ax +b =0在x <a 上有两个不同解； 综上，在a >0的条件下，当b >0或a 2+4b <0时，函数f(x)有一个零点； 当b =0或a 2+4b =0时，函数f(x)有两个零点； 当−a 24<b <0时，函数f(x)有三个零点．(Ⅱ)记g(x)=f(x)−x ={x 2−(a +1)x +b,(x ≥a)−x 2+(a −1)x +b,(x <a)，原问题等价于：当2a −1≤x ≤2a +1时，g(x)max −g(x)min ≤1．最大实数b 即为g(x)max =12时的b 的值． 令T =g(x)max −g(x)min ， 由已知可得：2a +1>a ，2a −1<a−12<a+12，(1)当−1<a <−13时，2a −1<a−12<a <2a +1<a+12，∴g(x)在[2a −1,a−12]上为增函数，在[a−12,2a +1]上为减函数，g(x)max =g(a−12)=(a−1)24+b ，g(x)min =min{g(2a −1),g(2a +1)}=g(2a −1)=−2a 2+a +b ， ∴T =(a−1)24+b −(−2a 2+a +b)=9a 2−6a+14≤1．解得：−13≤a ≤1，从而无解； (2)当−13≤a <0时，2a −1<a−12<a <a+12<2a +1， ∴g(x)在[2a −1,a−12]上为增函数，在[a−12,a+12]上为减函数，在[a+12,2a +1]上为增函数，∴当2a −1≤x ≤2a +1时， g(x)max =max{g(a−12),g(2a +1)}=g(a−12)=(a−1)24+b ．g(x)min=min{g(2a −1),g(a+12)}={−2a 2+a +b,(−13≤a ≤−17)b −(a+1)24,(−17<a <0)． ∴T ={9a 2−6a+14,(−13≤a ≤−17)a 2+12,(−17<a <0)． 由T <1，解得：−13≤a <0． 此时最大的b 满足g(a−12)=12．从而b max =m(a)=12−(a−1)24=−a 2+2a+14．∴m(a)=−a 2+2a+14(−13≤a <0)．m(a)的取值范围是[118,14).解析：(Ⅰ)把函数f(x)=x|x −a|+b 分段写出，然后根据b 的范围讨论出方程x 2−ax +b =0的解得个数，进一步得到在不同条件下的函数f(x)的零点个数(Ⅱ)记g(x)=f(x)−x={x2−(a+1)x+b,(x≥a)−x2+(a−1)x+b,(x<a)，把问题转化为当2a−1≤x≤2a+1时，g(x)max−g(x)min≤1.最大实数b即为g(x)max=12时的b的值．令T=g(x)max−g(x)min，然后对a分类判断g(x)在不同区间上的单调性，并分类求得T值，由T<1求得a的范围，进一步求得实数a的取值范围．此题是个难题，考查函数的性质及其应用，考查判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中又注重了分类讨论的数学思想方法，题目的难度大，综合性强．。
2021年高考数学 小题精做系列 06（含解析）理(1)
2021年高考数学 小题精做系列 06（含解析）理一、选择题（共6小题）1.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】假设复数z 知足24iz i =+,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2 2.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A ．3172B ．210C ．132D ．310 3.【2021年一般高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知点A （-1，0）；B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部份，那么b 的取值范围是（A ）（0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，1]3(D)【13,12） 题与解决问题的能力.4.【2021年一般高等学校统一考试天津卷理科】设变量x , y 知足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩那么目标函数z = y －2x 的最小值为（ ）(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 25.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】设函数()f x 满足()()()()222,2,0,8x e e x f x xf x f x f x x '+==>则时，（ ） （A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值6.【2021年一般高等学校统一考试试题大纲全国理科】椭圆C ：22143x y +=的左右极点别离为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4二、填空题（共2小题）7.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是 .8.【2021年一般高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】对区间I 上有概念的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知概念域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，假设方程()0f x x -=有解0x ，那么0_____x =。
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中学理科数学小题训练六
一、选择题：
1．设集合A={x|x 2
﹣x ﹣6＜0，x ∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x ∈A}，则A ∩B 等于（ ）
A ．{x|0＜x ＜3}
B ．{x|﹣1＜x ＜0}
C ．{x|﹣2＜x ＜0}
D ．{x|﹣3＜x ＜3}
2．命题p ：∃x0∈R ，不等式01cos 0
0<-+x e x 成立，则p 的否定为（ ）
A ．∃x0∈R ，不等式01cos 0
0≥-+x e x 成立 B ．∀x ∈R ，不等式0
1cos <-+x e x 成立
C ．∀x ∈R ，不等式01cos ≥-+x e x 成立
D ．∀x ∈R ，不等式01cos >-+x e x 成立
3．在复平面内复数的模为
，则复数z ﹣bi 在复平面上对应
的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）
A．1998立方尺 B．2012立方尺 C．2112立方尺 D．2324立方尺
5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）
A．0 B． C． D．1
6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．2
7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，
∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，
若在方向上的投影为，则=
（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示，函数离y轴
最近的零点与最大值均在抛物线上，则f （x）=（）
A．B．
C．D．
9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）
A．k＜7？ B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？
10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别
为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）
A．﹣1 B．1 C．32 D．64
11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得
几何体的三
视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）
A．B．C．4 D．
12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）
A．1 B．C．D．
二、填空题：
13．已知函数为偶函数，则实数a= ．
14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，
若，则∠NMF= ．
15．已知实数x、y满足，则的取值范围是．
16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，
则ADsin∠BAD= ．。