数学归纳法教案及说课稿

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《数学归纳法(一)》说课稿

《数学归纳法(一)》说课稿

《数学归纳法(一)》说课稿今天,我说课的课题是:人教版选修2-2第二章第三节《数学归纳法》第一课时。

根据新课标的理念,对于本节课,我将以教什么,怎样教,为什么这样教为思路,分别从教材分析、教法设计、学法指导、教学过程设计等四个方面具体阐述我对这节课的理解和设计。

一、教材分析(说教材):1.教材的地位和作用、及前后联系这节课的主要内容包括数学归纳法的定义及简单应用,是推理证明领域的基础知识,是高中数学的重要内容之一。

是对归纳推理的进一步深入和拓展,又为学习与正整数有关的数学命题等知识奠定了基础,是进一步研究与正整数有关,且具有递推性的数学命题的工具性内容。

鉴于这种认识,我认为,本节课不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用,另外本节课在高考中也有很重要的作用。

根据新课程标准“课改应体现学生身心发展特点;应有利于引导学生主动探索和发现;有利于进行创造性的教学”的要求和编写教材的意图,结合学生认知规律和素质教育的要求,我确定本课的教学目标和重、难点如下:2.教学目标(1)知识与技能:理解数学归纳法的原理和实质,并能初步应用。

(2)过程与方法:学生经历发现问题,提出问题,分析问题,解决问题的过程,提高创新能力。

(3)情感态度与价值观:在愉悦的学习氛围中,通过理解数学归纳法的原理和本质,感受数学内在美,激发学习热情。

通过实际问题的解决培养学生应用数学的意识,使学生领会知识来源于生活又服务于生活。

3.教学重点难点基于以上对教材的认识,教学目标的设计,本节课的重点是:借助具体实例了解数学归纳法的基本思想,掌握它的基本步骤,运用它证明一些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题;难点是:(1)学生不易理解数学归纳法的思想实质,具体表现在不了解第二个步骤的作用,不易根据归纳假设做出证明;(2)运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

4.教具、学具准备为实现以上教学目标,突出重点,解决难点,充分发挥现代技术的作用,本节课运用多媒体辅助教学(播放“多米诺骨牌”游戏视频),为学生提供生动、形象、直观的材料,激发学生学习的积极性和主动性。

2.3数学归纳法教学设计教案(最终定稿)

2.3数学归纳法教学设计教案(最终定稿)

2.3数学归纳法教学设计教案(最终定稿)第一篇:2.3数学归纳法教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能(1)了解数学归纳法的原理.(难点、易混点)(2)能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(重点、难点)2、过程与方法(1)通过对例题的探究,体会由猜想到证明的数学方法;(2)努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境,提高学习兴趣和课堂效率.3、情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习,进一步感受数学来源于生活,并形成严谨的科学态度和勤于思考、善于观察的学习习惯.2.教学重点/难点重点:数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握.难点:数学归纳法中递推思想的理解3.教学用具多媒体、板书4.标签教学过程一、课堂探究【问题导思】问题1 在学校,我们经常会看到这样的一种现象:排成一排的自行车,如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了,那么整排自行车就会倒下.1.试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件?【提示】(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆倒下.2.利用这种思想方法能解决哪类数学问题?【提示】一些与正整数n有关的问题.问题2多米诺骨牌游戏给你什么启示?你认为一个骨牌链能够被成功推倒,靠的是什么?答(1)第一张牌被推倒;(2)任意相邻两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.结论:多米诺骨牌会全部倒下.所有的骨牌都倒下,条件(2)给出了一个递推关系,条件(1)给出了骨牌倒下的基础.数学归纳法的定义 1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立;②(归纳递推)假设____________________________.答案:第一个值n0(n0∈N*),当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.2.应用数学归纳法时特别注意:(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.一、数学归纳法的步骤原理例1.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2,如采用下面的证法,对吗?若不对请改正.证明:(1)n=1时,左边=1,右边=12=1,等式成立.(2)假设n=k时等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2,由(1)和(2)可知对任何n∈N*等式都成立.【答案】从形式上看这种证法,用的是数学归纳法,实质上不是,第二步证明时,未用到归纳假设.因为证明n=k+1正确时,未用到归纳假设,而用的是等差数列的求和公式.【变式训练】用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2 证明:(1)当n=1时左=1,右=12=1 ∴n=1时,等式成立(2)假设n=k时,等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2 那么,当n=k+1时左=1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立N*都成立由(1)、(2)可知等式对任何nÎ【小结】数学归纳法证明步骤的框图展示二、用数学归纳法证明等式综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.【小结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.【变式训练】 1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,左边所得项是_________;当n=2时,左边所得项是__________;n=1时,左边是()A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3 答案:1.1+2+3 1+2+3+5 2.C 三.用数学归纳法证明不等式【小结】用数学归纳法证明不等式时要注意两凑:一凑归纳假设;二凑证明目标.在凑证明目标时,比较法、综合法、分析法都可选用.综上所述,对任意n≥2的正整数,不等式都成立.四、用数学归纳法证明数列问题下面我们用数学归纳法证明这个猜想.变式训练】数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.解:由a1=2-a1,【小结】归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法,数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法,对于无穷尽的事例,常用不完全归纳法去发现规律,得出结论,并设法给予证明,这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想.“归纳—猜想—证明”的一般环节五、当堂检测1.若命题A(n)(n∈N*)在n=k(k∈N*)时命题成立,则有n=k+1时命题成立.现知命题对n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有()A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立 D.以上说法都不正确解析由已知得n=n0(n0∈N*)时命题成立,则有n=n0+1时命题成立;在n=n0+1时命题成立的前提下,又可推得n=(n0+1)+1时命题也成立,依此类推,可知选C.3.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k=此可知对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明的错误是______________.解析:本题在由n=k成立,证n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上假设条件,这与数学归纳法的要求不符.4.用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n +1)2(其中n∈N*).4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.证明(1)当n=1时,左边=1×(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,那么,当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.=2k+1-1.所以当n=k+1时等式也成立.由根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.课堂小结在应用数学归纳法证题时应注意以下几点:(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1;(2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障;(3)利用假设是核心:在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明.第二篇:机械制造教案(数3)(二)计划(30学时)教学步骤:1、要求学生收集与典型零件加工有关的图书与资料;2、利用多媒体课件或现场教学等手段,讲解典型零件加工方法,了解轴类零件、套筒类零件、箱体类零件的加工工艺;了解机床夹具设计的方法,学会设计一种机床专用夹具。

数学归纳法(说课稿)

数学归纳法(说课稿)

数学归纳法案例分析高二理科备课组利成松一、 教材分析数学归纳法是人教B 版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容,此前学生刚学习了合情推理,合情推理用的是不完全归纳法,结论的正确性有待证明。

通过本节课的学习,对培养学生的抽象思维能力和创新能力,深化不等式、数列等知识,提高学生的数学素养,有重要作用。

根据课程标准,本节分为两课时,此为第一课时。

教学重点:了解数学归纳法的基本思想和掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤 教学难点:正确理解第二步递推思想的实质二、 目标分析(1)知识与技能:理解数学归纳法的原理和实质,并能初步运用。

(2)过程与方法:学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,提高创新能力。

(3)情感、态度与价值观:在愉悦的学习氛围中,通过理解数学归纳法的原理和本质,感受数学内在美,激发学习热情。

三、教学过程(一)创设问题情景1.情景创设第一阶段:创设问题情境,启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到:6553712,25712,1712,51242322122=+=+=+=+归纳猜想:任何形如122+n (n ∈*N )的数都是质数,这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后,数学家欧拉发现,第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。

——“不完全归纳有时是错误的”(培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括”,这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移,我找的突破口就是学生的概括过程.)情境2 、数列{}(),22,1,*11N n a a a a a n n n n ∈+==+已知通过对4,3,2,1=n 前4项归纳,猜想12+=n a n ——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。

通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。

数学归纳法教案

数学归纳法教案

数学归纳法教案数学归纳法教案教学目标:1.了解数学归纳法的基本思想和方法。

2.掌握数学归纳法的基本流程。

3.能够应用数学归纳法解决简单的数学问题。

教学重点:1.数学归纳法的基本思想和方法。

2.数学归纳法的基本流程。

教学难点:能够熟练运用数学归纳法解决简单的数学问题。

教学过程:一、引入新知识(5分钟)通过问题引导学生,如:小明有3条大鱼、第二天捕到1条,第三天捕到2条,小明现在一共有几条大鱼?二、导入新知识(5分钟)分析前面引导问题的解决方法,引出数学归纳法的思想——从一个已知的命题为引子出发,证明过程分成两个步骤:第一步,证明这个命题对于某个指定的变量值成立;第二步,证明对于正着那个值的后一个变量值命题也成立,然后通过数学归纳法对所有值都成立命题进行证明。

三、理论讲解(15分钟)1.从具体事例归纳到一般情况。

2.重点讲解数学归纳法的基本流程:首先证明第一个命题成立,然后假设命题对于某个整数n成立,即P(n)成立,即证明P(n+1)也成立。

四、实例演练(15分钟)通过一些简单的数学问题来帮助学生理解数学归纳法的应用方法。

例1:证明命题P(n):1+2+3+...+n = n(n+1)/2解:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。

(2)假设命题P(k)成立,即1+2+3+...+k = k(k+1)/2成立。

(3)考虑命题P(k+1),即1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。

左边等于1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2。

右边等于(k+1)(k+2)/2,等式成立。

例2:证明命题P(n):n^2 - n是偶数。

解:(1)当n=1时,左边=0,是偶数,命题成立。

(2)假设命题P(k)成立,即k^2 - k是偶数。

(3)考虑命题P(k+1),即(k+1)^2 - (k+1) = k^2 + 2k + 1 - k - 1 = k^2 + k 是偶数,等式成立。

4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)

4.1数学归纳法-教案(优秀经典公开课比赛教案)

课题:4.1数学归纳法一、教材分析:本节内容是人教A 版选修4-5《不等式选讲》的最后一章内容,数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种重要的方法,它的地位和作用可以从以下三方面来看:1.中学数学中的许多重要结论,如等差数列,等比数列的通项公式与前n 项和公式,二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明.由归纳猜想得出一些与正整数有关的数学命题,用数学归纳法加以证明,可以使学生更深层次地掌握有关知识.2.运用数学归纳法可以证明许多数学命题(不等式、数列、等式、整除),既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的训练.3.数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到,因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础.二、教学目标:1、知识与技能:(1)了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些与正整数有关的数学命题;(2)能以递推思想为指导,规范数学归纳法证明中的2个步骤,1个结论。

2、过程与方法:(1)通过对数学归纳法的学习,使学生初步掌握观察、归纳、猜想到证明的数学方法;(2)进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的建构过程,体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观:感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,体会数学来源于生活,养成言之有理、论证有据的习惯。

三、教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.四、教学难点:学归纳法中递推思想的理解.五、教学准备1、课时安排:1课时2、学情分析:学生在学习本节之前已经学习过归纳推理,以及一些简单的数学证明方法,并且已经开始使用与正整数有关的结论(例1的公式),但学生只是停留在认知阶段;另外高二学生经过了一年半的高中学习之后,已初步具有了发现和探究问题的能力,这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。

3、教具选择:多媒体六、教学方法:运用类比启发探究的数学方法进行教学;七、教学过程1、自主导学:复习回顾引入:<师>(1)请同学们回顾学习过的证明方法有哪些?<生> 请一名学生回答该问题。

数学归纳法说课稿

数学归纳法说课稿

数学归纳法说课稿§2.3数学归纳法说课稿各位老师、同学们,大家好!今天我说课的题目是数学归纳法,下面我将从以下五个方面进行我的说课。

一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书选修2第二章第三节的《数学归纳法》,主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

数学归纳法是重要的思想方法,它所蕴含的“观察、猜想、归纳、证明”的思想不仅在数学各个分支广泛应用,而且也广泛应用于其它科学研究它所包含的逻辑推理不是简单的三段论,而是一个无穷递推,从而具有很强的逻辑性与抽象性。

因此,它是高中阶段必须掌握的思想方法。

二、学情分析本阶段的学生具备一定的从特殊到一般的归纳能力,但对归纳的具体步骤模糊不清。

对数学语言的抽象性的理解与把握虽高于低年级的学生,且思维方法向理性层次跃进,并逐步形成辩证思维体系,但层次参差不齐。

因此,在学习本节内容时,需要教师有序的引导。

由此我确定本节课的重点为:(1)理解数学归纳法的实质意义(2)掌握数学归纳法的证明步骤。

难点为:(1)数学归纳法的实质意义的理解(2)运用数学归纳法时,在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

基于此,我确定了如下三维教学目标三、目标分析1、知识与技能:(1)了解归纳法,理解数学归纳法的原理与实质,掌握数学归纳法证题的两个步骤。

(2)会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法:通过对本节课的学习,培养学生的递推思想,类比思想,和归纳思想。

掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。

3、情感、态度与价值观:通过本节课的学习,领悟数学思想,激发学习兴趣,培养大胆猜想,小心求证的辩证思维素质。

四、教法学法教法:类比启发,引导发现学法:自主探究,合作交流五、教学过程本节课首先通过创设的情景,启动学生思维,提出引入数学归纳法的必要性。

为了探究数学归纳法的具体步骤,运用多米诺骨牌游戏进行分析,归纳,并与情景中的问题进行类比,得出用数学归纳法整证题的两个步骤。

数学归纳法教案及说课稿

数学归纳法教案及说课稿

《数学归纳法》说课稿一、说教材数学归纳法是继直接证明与间接证明之后的又一重要内容,是直接证明的又一重要方法,应用十分广泛。

普通说来,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题,都可以考虑用数学归纳法推证。

在《数学必修5》中学过的等差数列和等比数列的通项公式以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式都是通过归纳推理得到的,这些结论都具有猜测的性质,其正确性还有待用数学归纳法加以证明。

《数学归纳法》这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用。

本节课讲的主要内容是数学归纳法原理,用1课时。

重点是分析数学归纳法的实质,难点是对归纳法中的递推思想的正确理解和把握,目的是进一步培养学生的抽象思维能力和运用所学知识解决问题的能力。

二、说学情在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理,而且在《数学必修5》中也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式,再加之学生的实际生活经验,事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力。

虽然学生的知识水平参差不齐,归纳推理的能力存在较大差异,但他们对归纳推理的方法都有程度不同的把握,少数学生归纳推理能力还比较强。

但从总体上看,学生的抽象思维特殊是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱,需要不断加强。

三、说教学目标知识目标:使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.能力目标:培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体味类比的数学思想.情感目标:通过对例题的探索,体味研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神.四、说教法本节课我将借助多媒体展示的“多米诺骨牌”游戏,激发学生的学习兴趣,为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。

选修2-2数学归纳法教案

选修2-2数学归纳法教案

高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法, 在高中数学内容中占有重要的地位, 其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先, 我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法, 即不完全归纳法, 这是研究数学问题, 猜想或发现数学规律的重要手段.但是, 由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确, 这种推理方法不能作为一种论证方法.因此, 在不完全归纳法的基础上, 必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法, 这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节, 掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.二、教学目标1. 知识目标(1)了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确, 初步理解数学归纳法原理.(2)能以递推思想为指导, 理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.(3)初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.2.能力目标(1)通过对数学归纳法的学习, 使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.(2)进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.(3)在学习中培养学生大胆猜想, 小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力.3.情感目标(1)通过对数学归纳法原理的探究, 亲历知识的构建过程, 领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.(2)体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐, 感悟数学的内在美, 激发学生学习热情, 使学生喜欢数学.(3)学生通过置疑与探究, 初步形成正确的数学观, 创新意识和严谨的科学精神.三、教学重点与难点1. 教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想, 掌握它的基本步骤, 运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式, 特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.2. 教学难点(1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.(2)递推步骤中如何利用归纳假设, 即如何利用假设证明当时结论正确.四、教学方法本节课采用类比启发探究式教学方法, 以学生及其发展为本, 一切从学生出发.在教师组织启发下, 通过创设问题情境, 激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理, 并类比多米诺骨牌倒下的原理, 探究数学归纳法的原理、步骤;培养学生归纳、类比推理的能力, 进而应用数学归纳法, 证明一些与正整数有关的简单数学命题;提高学生的应用能力, 分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考, 又提倡团结合作;既重视教师的组织引导, 又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.五、教学过程(一)创设情境, 提出问题情景一: 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话: 财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论, 用的就是“归纳法”, 不过, 这个归纳推出的结论显然是错误的.情境二:平面内三角形内角和是, 四边形内角和是, 五边形内角和是, 于是得出:凸边形内角和是 .情境三: 数列的通项公式为可以求得于是猜想出数列的通项公式为.情景四:粉笔盒中有10支白色粉笔, 怎么证明它们是白色的呢?结论: 情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论, 即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法, 情景四是完全归纳法, 结论可靠但要一一核对,工作量大.提出问题: 如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢?我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.(二)实验演示, 探索解决问题的方法① 1. 几何画板演示动画多米诺骨牌游戏, 师生共同探讨: 要让这些骨牌全部倒②下, 必须具备哪些条件呢③第一块骨牌必须倒下.两块连续的骨牌, 当前一块倒下一定导致后一块倒下.可以看出, 条件②事实上给出了一个递推关系: 当第块倒下时, 相邻的第块也倒下.这样, 只要第1块倒下, 其他所有的就能够相继倒下.无论多少块, 只要①②成立, 那么所有的骨牌一定可以全部倒下.演示小节: 数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.2. 数学归纳法原理证明一个与正整数 有关的命题, 可按下列步骤进行:(1) (归纳奠基) 当n 取第一个值0n (*0n ∈)时命题成立;(2) (归纳递推)假设当 时命题成立, 证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立. 上述证明方法称为数学归纳法.主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础, 解决了特殊性;第二步是递推的依据, 解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步, 属不完全归纳法;只有第二步, 假设就失去了基础.(注:数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.”)(三)迁移应用, 理解升华例1 用数学归纳法证明:如果 是一个等差数列, 那么 对于一切 都成立.证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立(2)假设当 时结论成立, 即则当1n k =+ 1k k a a d +=+ ()11a k d d =+-+ ()1[11]a k d =++-当 时, 结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并用数学归纳法证明你的结论. 用假设凑结论解: (1)323459S S a =+=+= 4349716S S a =+=+=(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=证明:(1) 当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.(2) 假设当 时等式成立, 即有()213521k k ++++-= 则当1n k =+,有()()()()22213521[211][211]211k k k k k k k ++++-++-=++-=++=+因此, 当 时, 等式也成立由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.(四)反馈练习, 巩固提高课堂练习:课本第95页练习1, 2(五)课堂小结: 让学生归纳本节课所学内容, 不足的老师补充.1.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法2.数学归纳法作为一种证明方法,它的基本思想是递推思想,证明程序为,两 个步骤一个结论.3数学归纳法的科学性: 基础正确, 可传递.用有限的步骤证明无限的结论.(六)布置作业课本第96页习题 2.3 A 组1.2.。

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《数学归纳法》说课稿一、说教材数学归纳法是继直接证明与间接证明之后的又一重要内容,是直接证明的又一重要方法,应用十分广泛。

一般说来,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题,都可以考虑用数学归纳法推证。

在《数学必修5》中学过的等差数列和等比数列的通项公式以及本章第一节的归纳推理案例赏析中得到的自然数的平方和公式都是通过归纳推理得到的,这些结论都具有猜测的性质,其正确性还有待用数学归纳法加以证明。

《数学归纳法》这一内容安排在这里起到了承前启后及深化数学知识的作用。

本节课讲的主要内容是数学归纳法原理,用1课时。

重点是分析数学归纳法的实质,难点是对归纳法中的递推思想的正确理解和把握,目的是进一步培养学生的抽象思维能力和运用所学知识解决问题的能力。

二、说学情在本章的前几节已经学过归纳推理和类比推理,而且在《数学必修5》中也通过归纳的方法得到了等差数列和等比数列的通项公式,再加上学生的实际生活经验,事实上学生已经具备了一定的归纳推理的能力。

虽然学生的知识水平参差不齐,归纳推理的能力存在较大差异,但他们对归纳推理的方法都有程度不同的把握,少数学生归纳推理能力还比较强。

但从总体上看,学生的抽象思维特别是从具体问题中抽象出数学知识的能力还十分薄弱,需要不断加强。

三、说教学目标知识目标:使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.能力目标:培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.情感目标:通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神.四、说教法本节课我将借助多媒体展示的“多米诺骨牌”游戏,激发学生的学习兴趣,为学生对数学归纳法的理解从感性认识上升到理性认识、为突破和分解教学难点提供生动有趣的参照物。

根据本节课的教学内容和学生的实际,我将采用引导发现法和讲练结合的方法,紧密联系学生已经学过的数列知识和“多米诺骨牌”游戏,创设问题情境,运用类比推理引导学生积极思考、大胆探索,将“多米诺骨牌”游戏中所蕴含的数学归纳法逐步提炼出来,从而将书本的知识内化为自己的知识。

为巩固教学效果,我通过板书示范,学生进行适当练习来规范学生的作业行为,巩固所学知识,达到学以致用的目的,提高学生灵活运用知识的能力。

五、说学法“问题是数学的心脏”,课前我将预设一些问题让学生带着问题预习新课,课堂上老师结合“多米诺骨牌”游戏的展示,围绕“递推“这一中心,提出一连串的问题,引导学生积极思考,通过类比,从游戏中找到知识的生长点,进而抽象出数学归纳法,这样便突破了教学上的难点,同时安排一定的时间让学生进行课堂练习,布置适量的作业以进一步巩固所学知识并及时做好知识反馈,使学生亲历观察、分析、合情推理、认同和论证的思维过程,从而达到预设的教学目标。

六、说教学过程(一)新课引入从财主儿子学写字和等差数列的通项公式入手,进一步使学生体会到虽然通过归纳推理可以帮助人们发现问题和提出问题,但利用归纳推理得到的结论是不可靠的,其正确与否还必须经过严格的证明。

然后直接指出,同样用归纳推理得到的等差数列的通项公式和自然数的前n项平方和公式都具有猜测的性质,它们都是与自然数有关的数学命题,而自然数有无限多个,我们又无法对所有的自然数逐一验证,那么如何判断命题的正确性呢?旧知识产生了新问题,以此激起学生强烈的求知欲,从而水到渠成地引入新课——数学归纳法。

(二)讲新课1、理论探讨及建构那么什么是数学归纳法呢?带着这一问题,我将开始展示“多米诺骨牌”游戏,随后提出问题:“怎样会造成最后一个骨牌不能倒下?以及全部倒下需要什么条件?”经过学生的思考讨论,可能会有多种答案,此时老师抓住其中较有代表性的几种答案展开分析,比如有的会说“所有的骨牌都会被推倒”。

有的会说“如果没有一张骨牌被推倒,那‘假若’还有什么意义呢?”有的会说“只要有一张骨牌被推倒,则该张骨牌后所有的骨牌都会被推倒。

”对于第一种回答,它显然可以被第二种回答否定,第三种回答思维严密,它其实是在原有的条件下又附加了“事先有一张骨牌被推倒”这一个新的条件,因此,它揭示的是一个不争的事实,易于得到其他学生的认同,老师此时不失时机地予以充分肯定,并进一步提出第二个问题:“那么,要保证所有的骨牌被推倒,应该具备哪些条件呢?”此时学生自然会结合第三种回答和前面的假设,经过思考和讨论得出所有牌被推倒必须具备两个条件:条件1:第一张骨牌被推倒;条件2 :若前一张骨牌被推倒,则后一张骨牌被推倒。

老师再问:“条件1和条件2各具有什么样的作用呢?”学生经过思考讨论不难发现,条件1是前提,是基础,条件2是递推,两者结合起来就能保证所有牌被推倒。

“结合等差数列的通项公式,你能找到它与‘多米诺骨牌’游戏之间存在的相同相似点吗?如果能找到他们在某些方面的相同或相似,那么我们即可以利用前面学过的类比推理方法来找到等差数列公式成立必需具备的条件了。

”鉴于学生的实际认知水平,老师适当予以点拨,学生在经过思考和讨论便会发现:第一,一列骨牌是一列,一列数也是一列,它们都是一个系列;第二,有一张牌,就有数列中一个相应的项;第三,不同的牌,数列中就有不同的项。

在此基础上,老师提出第五个问题:“既然这两类事物之间存在以上的相同相似点,而我们又已经找到了成功”多米诺骨牌”必须具备的两个条件,那么能不能利用类比推理的方法先建立两类事物相关“元素”之间的对应关系,再进一步得到等差数列通项公式对任意的自然数n都成立的条件?”问题中指出学生解决问题的方法和努力的方向,有利于增强解决问题的信心,便于发挥学生的主观能动性,培养学生创造性地运用已学过的知识来解决新问题的能力。

在老师的启发和引导下,学生经过思考、讨论,不难发现等差数列和”多米诺骨牌”游戏这两类事物的相关“元素”之间可以建立如下的对应关系:1张骨牌----数列中相应的一项;1张骨牌倒下----数列中相应的1个命题成立根据这种对应关系,进一步得到等差数列公式恒成立必须具备的两个条件:(1)当n=1时,命题成立;(2)假设n=k时命题成立,则当n=k+1时命题也成立。

这就是数学归纳法,老师及时进行板书。

这样,通过游戏展示---寻求“多米诺骨牌”条件----“多米诺骨牌”游戏与数列类比----联想类推---理论建构,层层深入,逐步推进,起到了一石二鸟的作用:一是学生通过自己的努力从具体问题中抽象出了数学归纳法,二是有”多米诺骨牌”游戏这一直观参照物,分解了数学归纳法教学上的难点。

在抽象出数学归纳法的过程中,重视了学生的亲身体验,激励学生积极参与,鼓励学生大胆探索,创造性地抽象出新理论,有利于培养学生的抽象思维和创新能力。

接着老师提出几个问题让学生思考,如数学归纳法的使用范围是什么?其本质是什么?两步中哪一步最能说明其本质等等,并给予学生一定的时间思考讨论,之后老师和学生加以小结:(1)数学归纳法主要用来证明与自然数有关的数学命题,其核心是递推思想,就是用有限的步骤替代无限的递推过程;(2)第一步是递推的基础,第二步是命题的正确性能否递推下去的保证,它体现的就是递推思想;(3)初始值不一定是n=1,要根据实际情况而定,如改成n= n则更具一般性。

2、理论运用(1)示范性运用学以致用,学生回答老师板书一起用数学归纳法完成等差数列通项公式的证明,之后回头对证明过程加以分析,进一步深化对递推思想的认识,再一次分解教学上的难点。

同时,对两步在证题中的地位和作用作再一次的分析,让学生深刻认识到两步中每一步都缺一不可,为此老师还特意安排习题加以验证。

(2)反馈练习老师有目的地安排基础差异明显的两个学生上讲台分别写出自然数前n项平方和公式的证明过程,并在此间隙对其他学生进行必要的辅导,然后老师和学生一起对前两个学生的答案作出评价,肯定成绩,指出不足,对存在的突出问题和共性问题加以纠正,便于学生对自己的成绩和不足有一个较全面的认识和客观的评价,明确下一步努力的方向。

3、小结及作业小结由学生完成,不到的地方老师加以纠正和补充,并强调1、递推思想是数学归纳法的实质2、运用数学归纳法证题的两步缺一不可,两者紧密结合,完成从有限到无限的递推过程3、第二步中必须用到归纳假设,否则就不是数学归纳法。

作业分为A组和B组,难度不一,以照顾到不同层次的学生。

板书设计如下:课题:数学归纳法人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学(选修2-2)第二章第三节【教学目标】1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质.2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.3.培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.4.努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率.5.通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神.【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学程序】第一阶段:输入阶段——创造学习情境,提供学习内容一.创设情境,启动思维情境一:财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个,大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等;教师总结:财主的儿子很傻很天真,但他懂一样数学的思想方法,是什么?以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法。

情境二: 回顾等差数列{}n a 通项公式推导过程:11213143123(1)n a a a a da a da a da a n d ==+=+=+=+-教师总结:等差数列通项公式是对所有正整数都成立的,所以逐一验证是不可能的,所以我们需要另辟蹊径,寻求一种方法:通过有限个步骤的推理证明n 取所有正整数都成立,这就是我们今天所要学习的——数学归纳法设计意图:首先设计情境一,分析情境,谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣,调动学生学习的积极性.点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题,很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔,从而自然引出课题----数学归纳法第二阶段:新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用,搭建新知结构二. 搜索生活实例,激发学习兴趣(在第一阶段的基础上,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.孔子说:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者.”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验.)实例:播放多米诺骨牌录像(怎样会造成最后一个骨牌不能倒下?)关键:(1) 第一张骨牌被推倒;(2) 假如某一张骨牌倒下, 则它的后一张骨牌必定倒下.于是, 我们可以下结论:多米诺骨牌会全部倒下.三.类比数学问题, 激起思维浪花类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=:(1) 当n =1时等式成立;(2) 假设当n =k 时等式成立, 即d k a a k )1(1-+=, 则d a a k k +=+1=d k a ]1)1[(1-++, 即n =k +1时等式也成立. 于是, 我们可以下结论: 等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=对任何n ∈*N 都成立.(布鲁纳的发现学习理论认为,“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现性学习.)四.引导学生概括, 形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下:(1) (归纳奠基)证明当n 取第一个值0n 时结论正确;(2) (归纳递推)假设当n =k (k ∈*N ,k ≥0n ) 时结论正确, 证明当n =k +1时结论也正确. 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确. 这种证明方法叫做数学归纳法.第三阶段:操作阶段——巩固认知结构,充实认知过程 五.蕴含猜想证明, 培养研究意识 (本例要求学生先猜想后证明,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能教给学生做数学的方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力.) 例1 在数列{n a }中, 1a =1, n n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ,3a ,4a 的值,再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论. 例2 用数学归纳法证明,)(6)12)(1(22221*∈++=+++N n n n n n六.基础反馈练习, 巩固方法应用(课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤都成立),可知等式对任何)和(根据(时等式也成立即当)(那么,)时等式成立,即()假设当(等式成立)()(右边,时,左边)当证明:(**∈+=++++++=+++=+++=++++=++++=+++++++=+++∈==+⨯⨯+⨯====N n k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k N k k n n 2116]1)1(2[]1)1)[(1(632)2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(216)12)(1(21216112111111122222222222不难解答,因此我设计了两个练习题,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练习第2题恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充.通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.)(1)用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n -1)=2n .(2)首项是1a ,公比是q 的等比数列的通项公式是11-=n n q a a .七.师生共同小结, 完成概括提升(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法;(3) 数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想.八.布置课后作业, 巩固延伸铺垫(1) 课本第96页A 组 1题 B 组1题(2) 在数学归纳法证明的第二步中,证明n =k +1时命题成立, 必须要用到n =k 时命题成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考:用数学归纳法证明: 1222221132-=+++++-n n (n ∈*N )时, 其中第二步采用下面的证法:设n =k 时等式成立, 即1222221132-=+++++-k k , 则当n =k +1时, 12212122222111132-=--=++++++++-k k kk . 你认为上面的证明正确吗?为什么?九.板书设计如下:《数学归纳法》教案说明1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.为此,我设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.2.在教学方法上,这里运用了在我指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是加强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度,我应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始。

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