数学物理方程试卷(B)
数学物理方程考试试题及解答(1)
数学物理方程考试试题及解答(1)数学物理方程考试试题及解答考试题目：求解一阶常微分方程y'+3y=x+e^(-2x)解答：1. 首先我们需要将原方程变形，得到y'和y的系数都为1的形式： y'+3y=x+e^(-2x)y'+3y-1*x= e^(-2x)即：y'+3y-(1*x)= e^(-2x)2. 根据一阶常微分方程的标准形式 y'+p(x)y=q(x) ，我们可以将上述方程的左侧写成d/dx(y*e^(3x))的形式。
具体步骤如下：(y'+3y)e^(3x) - x*e^(3x) = e^(3x)*e^(-2x)即：d/dx(y*e^(3x)) - x*e^(3x) = e^xd/dx(y*e^(3x)) = e^(3x)+x*e^(3x)+e^x3. 将方程两侧的d/dx和e^(3x)去掉，得到最终的含y的方程：y*e^(3x) = ∫(e^(3x)+x*e^(3x)+e^x)dx + C= (1/3)*e^(3x) + (1/2)*x*e^(3x) + e^x + C即：y = (1/3) + (1/2)*x + e^(-3x)*(e^(2x)*C+1)4. 因为是一阶线性齐次方程，存在唯一的初始条件y0，可以将解方程带入初始条件得到C的值。
考试题目：提出热传导方程的边界条件∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)解答：热传导方程描述的是一个物质内部温度分布随时间变化的情况，它可以用数学模型来表示:∂u/∂t = a(∂²u/∂x²)其中，u(x,t)是时间t和空间x处的温度，a是热传导系数，代表了物质的传热速率。
热传导方程的边界条件通常有如下几种：1. 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：即在给定的边界上已知温度u，通常写成形式u(x,t)|_∂Ω = f(x,t) 。
在第一类边界上，温度保持不变，而且是已知的，所以我们直接用Dirichlet边界条件就可以描述。
数学物理方法试题(卷)
数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、选择题1.在一个匀速运动中，物体的速度v与物体的位移s的关系是：A.v=s/tB.v=s/t^2C.v=s*tD.v=s*t^22.以下哪个物理量属于标量？A.速度B.力C.加速度D.距离3.物体质量为m，重力加速度为g，物体所受重力的大小为：A. mgB. mg/2C. 2mgD. mg^24.物体自由落体下落t秒后的位移s与时间t的关系为：A. s=gtB. s=gt^2C. s=gt^3D. s=1/gt5.以下哪个物理量属于矢量？A.面积B.速度C.力D.质量二、填空题1.一辆车以10m/s的速度匀速行驶了20秒，那么它的位移是_____________米。
2.物体在一个小时内匀速运动40千米，速度为_____________米每秒。
3.物体在水平地面上受到10牛的推力，质量为2千克，加速度为_____________。
4.一个物体从100米高的地方自由落体，下落10秒后的速度是_____________米每秒。
5.物体质量为5千克，重力加速度为10米每秒的平方，所受重力的大小是_____________牛。
三、解答题1.用物理公式解释为什么月亮绕地球运动？答：根据万有引力定律，任意两个物体之间都存在引力。
月球的质量相对较小，在地球的引力作用下，它会受到向地心的引力，从而绕着地球进行运动。
2.一个物体以10m/s的速度沿水平方向运动，另一个物体以5m/s的速度沿同一方向追赶第一个物体，如果第二个物体和第一个物体质量相同，两个物体发生碰撞后，它们的速度是多少？答：根据动量守恒定律，两个物体的总动量在碰撞前后保持不变。
因此，第一个物体的动量为10 kg·m/s，第二个物体的动量为5 kg·m/s。
由于两个物体质量相同，碰撞后它们的速度将相等。
设碰撞后的速度为v，则第一个物体的动量为10v kg·m/s，第二个物体的动量为5v kg·m/s。
2011-2012数学物理方程-B卷-答案
u ( x0 , y 0 ) = −
1 ∂ 1 1 ∂u u ln − ln ds ， ∫ 2π Γ ∂n r r ∂n r
其中 ( x0 , y 0 ) 为平面有界区域 Ω 内任一点，Γ 是区域 Ω 的边界曲线， 且光滑，n 为 Γ 的外法向量， ds 是弧微分； （2）证明格林函数的性质：
∂G( M , M 0 ) ds M = −1 。 ∫∫ ∂ n Γ
1 ∂ 1 1 ∂u u ln − ln ds ， ∫ 2π Γ ∂n r r ∂n r
证： （1）证明： = −
其中 ( x 0 , y 0 ) 为平面有界区域 Ω 内任一点，Γ 是区域 Ω 的边界曲线， 且光滑，n 为 Γ 的外法向量， ds 是弧微分； 证：记 M 0 ( x 0 , y 0 ) ， K ε ：以 M 0 为中心半径为 ε 的圆且包含在 Ω 内，
u tt = a 2 u xx , 0 < x < π , t > 0, t ≥ 0, ； u (0, t ) = u x (π , t ) = 0, 3 u ( x,0 ) = x , u t ( x,0 ) = 0, 0 ≤ x ≤ π .
解：分析知,其形式解
u ( x, t ) = ∑ sin
sin
nπ x l
再由初始值得
f ( x) − u 0 = ∑ An sin
n =1
l
∞
nπ x l
5分
故
2 nπ An = ∫ [ f ( x) − u 0 ] sin xdx l 0 l u ( x, t ) = u 0 + v( x, t )e − βt
∞ l
因此
物理数学方法试题及答案
物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。
答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。
答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。
答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。
答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。
答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。
答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。
2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。
答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。
3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。
答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。
特征向量则是对应的非零向量。
例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。
数学物理方程答案(全)
化简之后，可以得到定解问题为
utt (Y / )uxx a2uxx u |x0 0,ux |xL 0
u
|t 0
0, ut
|t 0
I
(x
L)
5.高频传输线，原点端施以电动势 E，另一端接地，初始电流为(x) ，电压为 (x) 。
试建立电压的定解问题。（忽略电阻和介质的电导）
Q3 c 4 r2drdu
Q3 Q1 Q2
c 4 r2drdu kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt kur (r,t)4 r2dt
4
k
r
(r
2ur
)drdt
即
ut
k c
1 r2
r
(r2ur )
3.设物体表面的绝对温度为 u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定 律正比于 u4 ，即 dQ ku4dSdt ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传
习题 2.4 1.判断下列方程的类型 (1) auxx 4auxy auyy bux cuy u 0 4a2 a2 0 ,双曲型 (2) auxx 2auxy auyy bux cuy u 0 a2 a2 0 ,抛物型 (3) 2auxx 2auxy auyy 2bux 2auy u 0 a2 2a2 0 ,椭圆型 (4) uxx xuxy 0
ut
k c
ux
2k1 cr
(u
u1 )
0
2.导出匀质且在每一个同心球上等温的孤立球体的热传导方程。
S1
S2
r r+dr
解： dt 时间内通过 S1 流入壳层的能量 Q1 kur (r,t)4 r2dt dt 时间内通过 S2 流入壳层的能量 Q2 kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt dt 时间内壳层升高 du 所需的能量
数学物理方法试题汇总
12届真题1． 求下列各小题（2*5=10分）：（1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-<； （2）给出序列(1/)sin 6n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解；（4）给出二阶偏微分方程的基本类型；（5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。
2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）：（1）320Re izdz +⎰，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线；（2）11,==⎰积分路径由z=1出发的。
3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）：（1）241x dx x +∞-∞+⎰； （2）3||1zz e dz z =⎰。
4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。
5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y∂∂-=-∂∂（15分）。
6．利用分离变量法求解：（20分）2222000(),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====⎧∂∂-=-⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==∂⎪⎩7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0.x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞⎧∂∂-=>>⎪∂∂⎪⎪=>⎨⎪=>⎪⎪⎩有界，2005级一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1. 三维泊松方程是______________________________2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题2002||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩， ，的解__________________________。
数学物理方程考试试题及解答
数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分，共20分）1.长为π的两端固定的弦的自由振动，如果初始位移为x sin 2x ，初始速度为cos2x 。
则其定解条件是2.方程∂u ∂u -3=0的通解为∂t ∂x⎧X "(x )+λX (x )=03.已知边值问题⎨'，则其固有函数X n(x )=⎩X (0)=X (π)=04.方程x y +xy +(αx -n )y =0的通解为2"'222二.单项选择题（每小题5分，共15分）∂2u ∂2u1.拉普拉斯方程2+2=0的一个解是（）∂x ∂y （A ）u (x ,y )=e sin xy （B ）u (x ,y )=（C ）u (x ,y )=x x 2+y 2x 2+y 21x 2+y 2（D ）u (x ,y )=ln2.一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为F (x ,t ),热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是()∂2u F (x ,t )∂u ∂2u F (x ,t )2（A ）（B ）=a 2+=a +22∂t c ρc ρ∂x ∂t ∂x 2222∂F∂F u (x ,t )∂F ∂F u (x ,t )(其中2k )22(C )(D)=a +=a +a =222c ρ∂t c ρc ρ∂t ∂x ∂x 2⎧∂2u 2∂u =a ⎪⎪∂t 2∂x 23.理想传输线上电压问题⎨⎪u (x ,0)=A cos ωx ,∂u ⎪∂t ⎩∂2ut =0=aA ωsin ωx(其中a 2=1)的解为（）L C（A ）u (x ,t )=A cos ω(x +at )（B ）u (x ,t )=A cos ωx cos a ωt（C ）u (x ,t )=A cos ωx sin a ωt （D ）u (x ,t )=A cos ω(x -at )三.解下列问题1.∂u ⎧∂u+3=0⎪(本题8分)求问题⎨∂x 的解∂y3x⎪⎩u (x ,0)=8e ⎧∂2u=6x 2y ⎪⎪∂x ∂y(本题8分)⎨⎪u (x ,0)=1-cos x ,u (0,y )=y 2⎪⎩2⎧∂2u 2∂u ⎪2=a 2⎪∂t ∂x 3 . (本题8分)求问题⎨⎪u (x ,0)=sin 2x ,∂u ⎪∂t ⎩2.的解t =0=3x 2四.用适当的方法解下列问题2⎧∂u 2∂u=a ⎪(本题8分)解问题⎨∂t ∂x 2⎪u (x ,0)=1-2x +3x 2⎩2⎧∂2u ∂2u ∂2u2∂u =a (2+2+2)⎪2⎪∂t ∂x ∂y ∂z (本题8分)解问题⎨2∂u 2⎪u t =0=2y +3xz ,=6y t =0⎪∂t 2⎩1. 2.2⎧∂u2∂u⎪∂t =a 2∂x ⎪⎪五．(本题10分)解混合问题：⎨u (0,t )=u (1,t )=0⎪u (x ,0)=2sin πx⎪⎪⎩六．(本题15分)用分离变量法解下列混合问题：2⎧∂2u 2∂u =a ⎪2∂x 2⎪∂t ⎪⎨u (0,t )=u (π,t )=0⎪∂u ⎪u (x ,0)=2x (π-x ),∂t ⎪⎩t =0=3sin 2x一.单项选择题（每小题4分，共20分）1.（D ）2.（B ）3.（D ）4.（D ）二.填空题（每空4分，共24分）⎧u (0,t )=u (2π,t )=0⎪1.x +y =C 1,2x +y =C22.⎨,∂u (x ,0)=x ,t =0=2x ⎪∂t ⎩3.u (x ,t )=x +f (3x +2y )，4.X n (x )=B n cos n πx,(n =0,1,2,3,)25.通解为u (x ,t )=322x y +f (x )+g (y )2三.解下列问题(本题7分)∂u ⎧∂u+3=0⎪1．求问题⎨∂x的解∂y 3x⎪⎩u (x ,0)=8e 解：设u (x ,t )代入方程，(8e =8e 3x +m y（2分）)⨯3+3⋅(8e 3x +m y )⨯m=03x +m y 3m +3=0,m =-1（6分）所以解为u (x ,t )=8e 3x -y（7分）2．2⎧∂2u ∂u 2⎪2=a 2⎪∂t ∂x (本题7分)求问题⎨⎪u (x ,0)=sin 2x ,∂u ⎪∂t ⎩的解t =0=3x 2解：由达朗贝尔公式，得11x +at2u (x ,t )=[sin 2(x +at )+sin 2(x -at )]+3ξd ξ（3分）⎰x -at22a =cos 2at sin 2x +3x 2t +a 2t 3（7分）四.用适当的方法解下列问题2⎧∂u 2∂u=a ⎪1.(本题7分)解问题⎨∂t ∂x 2⎪u (x ,0)=1-2x +3x 2⎩解：设u (x ,t )=1-2x +3x 2+At代入方程，A =a 2[0-0+6+A ''t ]+6x⎧A ''=0令⎨显然成立2⎩A =6a +6x解为u (x ,t )=1-2x +3x 2+6a 2t +6xt2∂2u ∂2u ∂2u2∂u =a (2+2+2)2∂t ∂x ∂y ∂z 2∂u2=6y t =0=x +2y +3yz ,t =0∂t 22.⎧⎪⎪(本题7分)解问题⎨⎪u ⎪⎩解：设u=[x 2+2y 2+3yz +At 2]+[6x 2t +Bt 3]（2分）代入方程2A +6Bt =a 2[(2+12y +∆At 2)+(12t +∆Bt 3)]（4分）⎧∆B =0令，⎨显然成立，解为2⎩6B =12a u (x ,t )=x +2y +3yz +a 2t 2+6y 2t +2a 2t 3五．(本题7分)解混合问题：2⎧∂u 2∂u ⎪∂t =a ∂x 2⎪⎪⎨u (0,t )=u (1,t )=0⎪u (x ,0)=2sin πx ⎪⎪⎩解u (x ,t )=L -1{U (x ,s )}=2e -a πt sin πx22六．(本题15分)用分离变量法解下列混合问题：2⎧∂2u 2∂u=a ⎪22∂t ∂x ⎪⎪⎨u (0,t )=u (π,t )=0⎪∂u ⎪u (x ,0)=2x (π-)x ,∂t ⎪⎩t =0=3sin 2x解：设u (x ,t )=X (x )T (t )代入方程及边界⎧T ''+λa 2T =0n π2⎪λ=()=n 2,X n=sin nx''⎨X +λX =0nπ⎪X (0)=X (π)=0⎩u n=(C ncos ant +D nsin ant )sin nxu (x ,t )=∑(C ncos ant +D nsin ant )sin nxn =1∞其中C n =2π⎰π08[1-(-1)n ]x (π-x )sin nxdx =n 3πD n =2π⎰π0⎧0(n ≠2)⎪3sin 2x sin nxdx =⎨3(n =2)⎪⎩a∞38[1-(-1)n ]cos ant sin nx 所以解为u (x ,t )=sin 2at sin 2x +∑3a n πn =12009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、填空题（每小题4分，共24分）∂2u ∂2u ∂2u 1.方程2-3+22=sin(x 2+y 2)的特征线为∂x ∂y ∂x ∂y 2.长为l 的弦做微小的横振动，x =0、x =l 两端固定，且在初始时刻处于水平状态，初始速度为2x ,则其定解条件是3.方程∂u ∂u +3=2x 的通解为∂x ∂y⎧X "(x )+λX (x )=04.已知边值问题⎨,则其固有函数⎩X '(0)=X '(2)=0X n(x )=5.方程x y +xy +(25x -64)y =0的通解为6.2⎰x J 1(x )dx = .2"'2二．单项选择题（每小题4分，共20分）1.微分方程uxxx+uxyy-sin u =ln(1+x 2)是（）（A ）三阶线性偏微分方程（B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方程（D ）三阶非线性常微分方程∂2u ∂2u2.拉普拉斯方程2+2=0的一个解是（）∂x ∂y （A ）u (x ,y )=e sin xy （B ）u (x ,y )=（C ）u (x ,y )=x x 2+y 2x 2+y 21x 2+y 2（D ）u (x ,y )=ln3.一细杆中每点都在发散热量，其热流密度为F (x ,t ),热传导系数为k ，侧面绝热,体密度为ρ,比热为c ，则热传导方程是()∂2u F (x ,t )∂u ∂2u F (x ,t )2（A ）（B ）=a 2+=a +22∂t c ρc ρ∂x ∂t ∂x 2222∂F∂F u (x ,t )∂F ∂F u (x ,t )(其中2k )22(C )(D)=a +=a +a =222c ρ∂t c ρc ρ∂t ∂x ∂x 2⎧∂2u 2∂u=a ⎪2⎪∂t ∂x 24.理想传输线上电压问题⎨⎪u (x ,0)=A cos ωx ,∂u ⎪∂t ⎩∂2ut =0=aA ωsin ωx（A ）u (x ,t )=A cos ω(x +at )（B ）u (x ,t )=A cos ωx cos a ωt（C ）u (x ,t )=A cos ωx sin a ωt （D ）u (x ,t )=A cos ω(x -at )5.单位半径的圆板的热传导混合问题2⎧∂u 1∂u2∂u =a (2+)(ρ<1)⎪⎨有形如（）的级数解。
数学物理方程题库
=
0,
ut
(
x,
0
)
=
0
解：根据齐次化原理，可将问题转化为求解问题
⎧⎪htt = a2hxx (−∞ < x < ∞, t > τ )
⎨ ⎪⎩h
(
x,τ
)
=
0,
ut
(
x,τ
)
=
x
+
aτ
由达朗贝尔公式得到
∫ h ( x,t,τ ) =
1
x+a(t −τ )
(ξ + at ) dξ = −aτ 2 + (at − x)τ + +xt.
)
=
f1
(
x
+t)
+
f2
(
x
−t)
=ϕ
⎛ ⎜ ⎝
x−t 2
⎞ ⎟ ⎠
+φ
⎛ ⎜ ⎝
x+t 2
⎞ ⎟ ⎠
−
⎡⎣
f2
(
0)
+
f1
(
0)⎤⎦
=ϕ
⎛ ⎜ ⎝
x −t 2
⎞ ⎟ ⎠
+φ
⎛ ⎜ ⎝
x
+t 2
⎞ ⎟ ⎠
−ϕ
(
0)
8
9, 求定解问题
⎧utt = a2uxx (0 < x < ∞, t > 0)
⎪
⎪ ⎨ ⎪
+
a22
∂ 2ξ ∂y 2
=0
B1
=
a1 1
∂ 2η ∂x2
+
a12
∂ 2η ∂x∂y
数学物理方程练习题第九版(学生用)
u(r, π=) 2
0,
0 < r < 1,
u(1,θ )=
θ (π −θ ), 2
0<θ < π . 2
练习六
3
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
2．求解如下定解问题：
《数学物理方程与特殊函数》习题
练习一
1．写出长为 L 的弦振动的边界条件和初始条件：
（1）端点 x = 0, x = L 是固定的；
（2）初始状态为 f (x) ；
（3）初始速度为 g(x) ； （4）在任何一点上，在时刻 t 时位移是有界的. 2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点 x = 0 处，弦是移动的，由 g(t) 给出；（2） 在端点 x = L 处，弦不固定地自由移动. 3． 验证函数 u = f (xy) 是方程 xux − yu y = 0 的解，其中 f 是任意连续可微函数.
保持零度，而外圆温度保持 u0 (u0 > 0) 度，试求稳恒状态下该导热版的温度分布
规律 u(r,θ ) . 问题归结为在稳恒状态下，求解拉普拉斯方程 ∆u= uxx + uy问题：
u1r (∂r∂1r,θ= )r
∂u ∂r
0,
+ 1 ∂2=u r 2 ∂θ 2 u(r2 ,θ=)
= u(0, t) s= in t, ux (π ,t) 0,
u(x,0) = 0.
4
3. 求解以下定解问题：
= uu= (t0,tu) xx
+2ux , u= (1, t )
数学物理方程试卷
数学物理方程试卷一、常微分方程(1)证明椭圆线方程$x^2+y^2=1$的曲率半径是无穷的证明：曲线的曲率半径R为曲线点处的法线与曲率半径的夹角$\frac{1}{R}$的反正切值，其表达式为$\frac{，y'，}{\sqrt{1+y'^2}}$，其中$y'$为曲线其中一点处的导数值。
而椭圆线方程$x^2+y^2=1$的一阶导数分别为$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$以及$\frac{dx}{dy}=\frac{x}{y}$，这里可以得到$y' = \frac{-x}{y}=\frac{-1}{x}$。
此时曲率半径表达式变为$\frac{x}{，x，\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$，表达式中的$，x，$可以去掉，并且$x$取任意值，故椭圆线方程$x^2+y^2=1$的曲率半径是无穷的。
(2)证明球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率、曲率半径一致证明：根据曲线曲率的定义可知，球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率为$\kappa=\frac{，R_1\cdot R_2，}{R^3}$，其中$R_1$、$R_2$分别为曲线其中一点处的两个切线的曲率半径，$R$为曲线其中一点处的曲率半径。
而对于球面，它的两个曲率半径$R_1$和$R_2$是完全一样的，这是因为在球面其中一点的法线方向没有区别，故$R_1=R_2$。
此时曲率可以表示为$\kappa=\frac{R_1^2}{R^3}=\frac{R^2}{R^3}=\frac{1}{R}$，即曲率等于其曲率半径的倒数，也就是说球面$x^2+y^2+z^2=a^2$的曲率和曲率半径是一致的。
二、偏微分方程。
物理数学考试试题及答案
物理数学考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 光在真空中的传播速度是多少？A. 299,792,458 m/sB. 299,792,458 km/sC. 299,792,458 m/minD. 299,792,458 km/min答案：A2. 根据牛顿第二定律，力F、质量m和加速度a之间的关系是？A. F = maB. F = ma^2C. F = m/aD. F = a/m答案：A3. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动，经过时间t后的速度为v，则加速度a为？A. a = v/tB. a = v^2/tC. a = v^2/t^2D. a = v*t答案：A4. 一个物体在水平面上受到一个恒定的力F作用，若物体的质量为m，摩擦力为f，则物体的加速度a为？A. a = (F - f)/mB. a = (F + f)/mC. a = F/m - fD. a = F/m + f答案：A5. 一个物体的质量为m，从高度h自由下落，忽略空气阻力，落地时的速度v是多少？A. v = √(2gh)B. v = √(2gh)/2C. v = 2ghD. v = 2gh/2答案：A6. 根据欧姆定律，电阻R、电流I和电压V之间的关系是？A. V = IRB. V = I/RC. V = R/ID. I = V/R答案：A7. 一个电路中，电阻R1和R2串联，总电阻Rt为？A. Rt = R1 + R2B. Rt = R1 * R2C. Rt = R1/R2D. Rt = R1 * R2/(R1 + R2)答案：A8. 一个电路中，电阻R1和R2并联，总电阻Rt为？A. Rt = R1 + R2B. Rt = R1 * R2C. Rt = R1/R2D. Rt = 1/(1/R1 + 1/R2)答案：D9. 一个电容器的电容C、电荷量Q和电压V之间的关系是？A. C = Q/VB. C = QVC. C = V/QD. C = V*Q答案：A10. 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E和磁通量变化率ΔΦ/Δt之间的关系是？A. E = ΔΦ/ΔtB. E = Δt/ΔΦC. E = ΔΦ * ΔtD. E = ΔΦ^2/Δt答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 牛顿第三定律指出，作用力和反作用力大小相等，方向________，作用在不同的物体上。
数学物理方程第5章习题及答案
11.设 {(x, y) | x2 y2 R2, y 0}, 考虑半圆域狄利克雷问题
u 0, x
u(x, y) (x, y),(x, y)
应用对称法求区域 上的格林函数。
解：该问题所求格林函数应满足
G (P, P0 ), P
G(P, P0 ) 0, P B(圆周) G(P, P0 ) 0, P L(x轴上的边界)
C1
1
4
解为 u 1
4 r
方法二: 本题中u只与r有关，则
所以
uxx
u yy
+uzz
=
1 r
(2ur
rurr )
2ur rurr 0 2rur r 2urr 0 (r 2ur )r 0 r 2ur C
ur
C r2
u
C1
1 r
C2
随后求解过程与方法一相同。
注：在球面坐标系中
uxx
记 G \ B ，则 G B ，在格林第二公式
(uv vu)d
(u
v n
v
u )ds n
中，令 v (P, P0 )，注意到 0 ，则有
ud
G
(u
G
n
u )ds n
或
ud (u u )ds (u u )ds
G
n n
B n n
在圆周B 上有
( 1
随后求解过程与方法一相同。
(3)uxx uyy +uzz =0,r 0
解：方法一: 三维拉普拉斯方程的基本解表示通解
1 u C1 r C2
lim u(r)=0
r
C2
0
u n |B(0, )
u n
B(0, )
数学物理方法试卷与答案
数学物理方法试卷与答案《数学物理方法》试卷一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.2u0,3．牛曼内问题u有解的必要条件是（）nfA．f0.B．u0.C．fdS0.D．udS0.某''(某)某(某)0,0某l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题某(0)某(l)0的解是（）nnnn某).B．(某).A．(,co,inllll(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)某).D．(某).C．(,co,in2l2l2l2l22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（）A．u某某4u某y5uyyu某2uy0.B．u某某4u某y4uyy0.C．某2u某某2某yu某yy2uyy某yu某y2uy0.D．u某某3u某y2uyy0.二、填空题（每题4分，共20分）2u2u220,0某,t0t某1．求定解问题u某02int,u某2int,t0的解是_______________ut00,utt02co某,0某______________________.2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(某,y)u某某2b(某,y)u某yc(某,y)uyydu某euyfu0其特征方程为________________________________________________________.3．二阶常微分方程y''(某)1'13y(某)(2)y(某)0的任一特解y__________某44某_______________________________________________.4．二维拉普拉斯方程的基本解为________________________________________，三维拉普拉斯方程的基本解为__________________________________________.5．已知J1(某)222in某,J1(某)co某，利用Beel函数递推公式求某某2J3(某)_______________________________________.2三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22u2ut2a某20,0某l,t0uu0,0,t0某某l某某0u某,utt00,0某l.t02四、（10分）用行波法求解下列问题2u2u2u320,y0,某,22某yy某u2u3某,0,某.y0yy0五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题：u2u2,0某2,t0,t某u某0u某20,t0,ut0in某,0某2.3六、（15分）用格林函数法求解下定解问题2u2u某2y20,y0,uf(某),某.y0七、（10分）将函数f某某在区间[0，1]上展成Beel函数系{J1(m(1)某)}m1的级数，其中m(1)为Beel函数J1(某)的正零点，m1,2,.42022—2022学年第二学期《数学物理方法》试卷B答案一、选择题（每题4分，共20分）1．柯西问题指的是（B）A．微分方程和边界条件.B.微分方程和初始条件.C．微分方程和初始边界条件.D.以上都不正确.2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（D）A．存在性和唯一性.B.唯一性和稳定性.C.存在性和稳定性.D.存在性、唯一性和稳定性.2u0,3．牛曼内问题u有解的必要条件是（C）fnA．f0.B．u0.C．fdS0.D．udS0.某''(某)某(某)0,0某l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题某(0)某(l)0的解是（B）nnnn某).B．(某).A．(,co,inllll(2n1)(2n1)(2n1)(2n1)某).D．(某).C．(,co,in2l2l2l2l22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（D）A．u某某4u某y5uyyu某2uy0.B．u某某4u某y4uyy0.C．某2u某某2某yu某yy2uyy某yu某y2uy0.5D．u某某3u某y2uyy0.二、填空题（每题4分，共20分）2u2u220,0某,t0t某1．求定解问题u某02int,u某2int,t0的解是(2intco某).ut00,utt02co某,0某2．对于如下的二阶线性偏微分方程a(某,y)u某某2b(某,y)u某yc(某,y)uyydu某euyfu0其特征方程为(a(某,y)(dy)22b(某,y)d某dyc(某,y)(d某)20).3．二阶常微分方程y''(某)或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ln1（）.r1），三维拉普拉斯方程的基本解为r1'13y(某)(2)y(某)0的任一特解y（J某44某1(某)3225．已知J1(某)222in某,J1(某)co某，利用Beel函数递推公式求某某23J3(某)（221221din某(in某co某)某()()）.某某某d某某三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22u2ut2a某20,0某l,t0uu0,0,t0某某某l某0u某,utt00,0某l.t06解：第一步：分离变量(4分)设u(某,t)某(某)T(t)，代入方程可得某''(某)T''(某)某(某)T(t)a某(某)T(t)某(某)a2T(某)''2''此式中，左端是关于某的函数，右端是关于t的函数。
物理方程测试题及答案
物理方程测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 光在真空中传播的速度是多少？A. 299,792,458 m/sB. 299,792,458 km/hC. 299,792,458 km/sD. 299,792,458 m/h答案：A2. 以下哪个是牛顿第二定律的表达式？A. F = maB. F = mvC. F = m/aD. F = ma^2答案：A3. 一个物体的质量为2kg，受到的力为10N，它的加速度是多少？A. 5 m/s^2B. 10 m/s^2C. 20 m/s^2D. 40 m/s^2答案：A4. 根据动能定理，一个物体的动能与其速度的平方成正比，与其质量成什么关系？A. 正比B. 反比C. 无关D. 无法确定答案：A5. 以下哪个选项是描述电磁波的方程？A. E = mc^2B. E = hνC. F = G*(m1*m2)/r^2D. F = ma答案：B6. 一个物体从静止开始自由下落，其加速度是多少？A. 9.8 m/s^2B. 10 m/s^2C. 0 m/s^2D. 无法确定答案：A7. 以下哪个是描述理想气体状态方程的？A. PV = nRTB. P = ρghC. F = maD. E = mc^2答案：A8. 以下哪个是描述欧姆定律的方程？A. V = IRB. I = V/RC. R = V/ID. A. B. C. 都是答案：D9. 以下哪个是描述电磁感应定律的方程？A. E = F/qB. E = hνC. E = -dΦ/dtD. E = mc^2答案：C10. 以下哪个是描述库仑定律的方程？A. F = G*(m1*m2)/r^2B. F = k*(q1*q2)/r^2C. F = maD. E = mc^2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 根据牛顿第三定律，作用力和反作用力大小________，方向________。
答案：相等；相反2. 光年是光在一年内通过的距离，其值约为________光年。
数学物理方程(第三版)第一章练习答案全解
解: k, σ 为正常数
utt − a2uxx + kut = 0, 0 < x < l, t > 0, u|t=0 = φ(x), ut|t=0 = ψ(x), u|x=0 = 0, (ux + σu)|x=l = 0.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 9 / 67
方程的导出、定解条件
方程的导出、定解条件
.E.xample 1.1
细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x, t) 表示静止时在 x 点 处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克 定律, 试证明 u(x, t) 满足方程
(
)
()
∂ ∂t
ρ(x)
∂u ∂t
=
∂ ∂x
E
∂u ∂x
,
.其中 ρ 为杆的密度, E 为杨氏模量.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 67
方程的导出、定解条件
.E.xample 1.1
细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x, t) 表示静止时在 x 点 处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克 定律, 试证明 u(x, t) 满足方程
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 3 / 67
方程的导出、定解条件
u(x + ∆x, t) − ∆x
u(x, t)
=
∆u ∆x
=
∂u ∂x
(x,
t),
∆x → 0.
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E(x)ux|x, E(x)ux|x+∆x. B 段的运动方
数学物理方程 练习题
数学物理方程
2012-10-3 14 / 39
二阶线性方程的特征理论
(3)
∂u ∂t
=
∂2u ∂x2
−
∂2u ∂y2
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 15 / 39
二阶线性方程的特征理论
(3)
∂u ∂t
=
∂2u ∂x2
−
∂2u ∂y2
解: 特征方程:
α21 − α22 = 0.
特征方向 l 满足:
2012-10-3 13 / 39
二阶线性方程的特征理论
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (2) ∂t2 = ∂x21 + ∂x22 + ∂x23
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 14 / 39
二阶线性方程的特征理论
∂2u ∂2u ∂2u ∂2u (2) ∂t2 = ∂x21 + ∂x22 + ∂x23
解: 特征方程:
α20 = α21 + α22 + α23.
特征方向 l 满足:
α20 = α21 + α22 + α23,
α20 + α21 + α22 + α23 = 1.
√√
√
√
解得:
l
=
(±
2 2
,
2 2
sin
θ
sin
β,
2 2
sin
θ
cos
β,
2 2
cos
θ),
其中
θ,
β
为任意参数.
齐海涛 (SDU)
(1.2)
ξ = α1x + α2y, η = α3x + α4y,
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2011-2012
一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码
（A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。
1、偏微分方程与（ ）结合在一起，统称为定解问题.
(A)定解条件； (B)初始条件； (C)边界条件； (D)以上均不正确. 2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、齐次的是（ ）.
(A) 2260u u u
u t x ∂∂++-=∂∂； (B) 2222cos 40∂+-⋅-=∂u
t t u x x ； (C) 2
90∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭
u xu t t ； (D) 22
60∂∂+⋅-⋅=∂∂t u u e xt u x t . 3、以下说法中错误的是（ ）.
(A) Bessel 方程222'''()0x y xy x n y ++-=通解为()(),n n y AJ x BJ x -=+其中A, B 为任意常数； (B) n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称分布的； (C) 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数；
(D) 当0x =时，n 阶Bessel 函数()x J n 为有限值，而()x Y n 为无穷大. 4、定解问题的适定性是指解的（ ）.
(A) 存在性、唯一性、收敛性； (B) 存在性、稳定性、收敛性； (C) 存在性、唯一性、稳定性； (D)唯一性、稳定性、收敛性. 5、设3
R Ω⊂为有界区域，边界Γ为光滑的封闭曲面，则下面说法错误的是（ ）.
(A) 若2
()()u C C ∈ΩΩ，则狄氏问题20,|u u f
Γ⎧∇=Ω⎨=⎩在内
的解是唯一确定的；
(B) 若2
1()
()u C C ∈ΩΩ，则2u
u dV dS n
Ω
Γ∂∇=∂⎰⎰⎰⎰⎰
； (C) 牛曼内问题20,|1u u n
Γ⎧∇=Ω⎪
⎨∂=⎪∂⎩在内有解且不唯一；
(D) 半径为R 的均匀球，上半球面温度保持为1，下半球面温度保持为0.
球心点的温度为
12
. 二、填空题（每空2分，共计14分）
请将正确答案填在题后相应的横线上。
1、 已知定解问题004,,0|0,|sin ,
tt xx t t t u u x R t u u x x R
===∈>⎧
⎨==∈⎩，则点(,)x t 的依赖区间为
________________________，其解(,)=u x t ______________________________________.
2、 二阶线性偏微分方程222
2
22220u u u x xy y x x y y
∂∂∂++=∂∂∂∂属于__________________型方程.（填椭圆、双曲或抛物）
3、 长为l 的均匀细杆表面绝缘，包括两端点0x =和x l =.已知初始温度为()f x ， 试写出
此定解问题.
___________________________________________________________________________. 4、 欧拉方程2
40x y''xy'y +-=的通解为__________________________________________.
5、 设3
R Ω⊂是以光滑曲面Γ为边界的有界区域，函数21∈,()
()u v C C ΩΩ.则第二格林
公式为_____________________________________________________________________.
6、 特征值问题()()0
(0)()0''''
X x X x X X l λ⎧+=⎨==⎩的特征函数()=n X x ____________________________. 三、（本题16分）求解下列定解问题（边界条件齐次化）
22
0022sin cos ,0,0,|3,|6,0,|31,0.x x l t u u x x
x l t t x l l u u t x u x l l ππ===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪
==>⎨⎪⎛⎫
⎪=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
四、（本题15分）利用行波法求解下列初值问题
22222002240,
,0,|0,|,.
==⎧∂∂∂+-=∈>⎪∂∂∂∂⎪
⎨
∂⎪==∈⎪∂⎩
y y u u u
x R y x x y y u u x x R y
五、（本题15分）利用Green 函数法求解求解半空间1x ≥内狄氏问题
()22222210,1,,,
|,,,.x u u u
x y R z R x y z
u f y z y R z R =⎧∂∂∂++=>∈∈⎪∂∂∂⎨⎪=∈∈⎩
六、（本题15分）已知函数n x （n 为整数）的Laplace 变换为1
!,n n n L x p +⎡⎤=
⎣⎦
利用Laplace 变换法求解下列定解问题
200,0,0,|1,0,|1,
0.x y u
xy x y x y u y y u x ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎨
=+>⎪⎪=>⎩
七、（本题10分）求解下列定解问题
2200,0,0||5,0|0,0x x l t u u A x l t t x u u t u x l
===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪
==>⎨⎪=≤≤⎪⎪⎩。