福建省惠安惠南中学高考数学数列的概念习题及答案百度文库

一、数列的概念选择题
1．数列{}n a 满足1
111,(2)2
n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）
A ．
18
B ．
17 C ．
131
D ．
16
2．已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-，则10a ＝（ ）
A ．35
B ．40
C ．45
D ．50
3．已知数列{}
ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ）
A ．13i =，33j =
B ．19i =，32j =
C ．32i =，14j =
D ．33i =，14j =
4．的一个通项公式是（ ）
A ．n a =
B ．n a =
C ．n a =
D ．n a =5．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511
B ．513
C ．1025
D ．1024
6．已知数列{}n a 中，11a =，122
n
n n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．
25
B ．
13 C ．
23
D ．
12
7．已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞
B ．(),2-∞
C ．(),1-∞
D ．(),0-∞
8．已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--，则6a =（ ）
A ．35
B ．11-
C ．35-
D ．11
9．数列{}n a 的通项公式是2
76n a n n =-+，4a =（ ）
A ．2
B ．6-
C ．2-
D ．1
10．已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，若数列{}n b 是单调递减数列，则实数λ的
取值范围是（ ） A ．
10
1,
3
B ．110,23⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．(-1，1)
D ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
11．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则n
a n
的最小值为（ ） A ．21
B ．10
C ．
212 D ．
172
12．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（ ） A ．45
B ．46
C ．47
D ．48
13．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11
3
a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．
23
B ．
13
C ．2-
D ．3-
14．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32
f x f x f -=-=，数列
{}n a 满足11a =，且
21n n
S a n n
=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ）
A ．1
B ．3
C ．-3
D ．0
15．已知数列{}n a 满足2122
1
1
1,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为（ ） A ．92
B ．102
C ．
81
82
D ．112
16．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(
)*
3n n N
≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，
若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
17．数列1
2
，
1
6
，
1
12
，
1
20
，…的一个通项公式是（）
A．()
1
1
n
a
n n
=
-B．()
1
221
n
a
n n
=
-
C．
11
1
n
a
n n
=-
+
D．
1
1
n
a
n
=-
18．在数列{}n a中，1
1
(1)
1,2(2)
n
n
n
a a n
a
-
-
==+≥，则
3
a=（）
A．0B．
5
3
C．
7
3
D．3
19．已知数列{}n a的前n项和为n S，已知1
3n
n
S+
=，则
34
a a
+=（）
A．81B．243C．324D．216
20．设数列{},{}
n n
a b满足*
1
72
700,,
105
n n n n n
a b a a b n N
+
+==+∈若
6
400
=
a，则（）A．43
a a
>B．
43
<
b b C．
33
>
a b D．
44
<
a b
二、多选题
21．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a说法正确的是（）
A．1055
a=B．
2020
a是偶数C．
202020182022
3a a a
=+
D．123
a a a
+++…
20202022
a a
+=
22．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n∈N*)，数列{a n}满足a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋a n－2 (n≥3)．再将扇形面积设为b n (n∈N*)，则（）
A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021B．a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1
C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021
D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0
23．若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为
（ ） A ．
1
5
B ．
25
C ．
45
D ．
65
24．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4
n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n
= B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列1
{
}n
S 为递增数列 25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12
d =
B ．12
d =-
C ．918S =
D ．936S =
26．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >
D ．110S >
27．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >， 则78S S >
D ．若67S S >则56S S >.
28．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
29．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
30．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大
B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大
C ．310S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
31．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<
B ．2
24154
a a +≥
C ．
15
111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅
32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
33．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-
B ．23n a n =+
C ．2
23n S n n =-
D ．2
4n S n n =+
34．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则280S S +=；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大
D ．若78S S <，则89S S <
35．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <
D ．613S S =
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】
因为1
111,(2)2
n n n a a a n a --==
≥+，
所以211
123a =
=+，31131723a ==+，4117
11527a ==+，51
115131215
a ==+ 故选：C 2．A
解析：A 【分析】
利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.
【详解】
223n S n n =-,
n 2∴≥时，1n n n a S S -=-
22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n
1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35
故选：A. 【点睛】
本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2
≥时n a 的表达式．
(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．
3．C
解析：C 【分析】
可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完n 次后，排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置. 【详解】
每排完n 次后，数字呈现边长是n 的正方形，所以排n 次结束后共排了2n 个数.
20211
110112
-+=，说明2021是1011个奇数. 而22961311011321024=<<=，故2021一定是32行，
而从第1024个数算起，第1011个数是倒数第14个，根据规律第1024个数排在第32行第1列，所以第1011个数是第32行第14列，即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.
4．C
解析：C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论． 【详解】
因为数列3，7，11，15⋯的一个通项公式为41n -，
，
⋯
的一个通项公式是n a = 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，
所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9
1021513a =+=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
6．B
解析：B 【分析】
根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】
在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=
+，则1212212
2123
a a a ⨯=
==++，2322
2213222
23
a a a ⨯
===++， 3431
222212522a a a ⨯
===++，45
422215223
25
a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
7．A
解析：A 【分析】
由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于
λ的不等式，解之可得λ的取值范围.
【详解】
由已知得22
1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，
因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.
8．A
解析：A 【分析】
直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2
11n
n a n
=--，所以626(1)(61)35a =--=.
故选：A 【点睛】
本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.
9．B
解析：B
令4n = 代入即解 【详解】
令4n =，2
447466a =-⨯+=-
故选：B. 【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.
10．A
解析：A 【分析】
由题1n n b b +>在n *
∈N 恒成立，即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
，讨论n 为奇数和偶数时，再利用数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列，1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立，
即()1
22112+1222n
n n n λλ-⎛⎫⎛⎫-->-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，
即16212n
n λ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭
， 当n 为奇数时，则()6212n
n λ>-+⋅恒成立，
()212n n -+⋅单调递减，1n ∴=时，()212n n -+⋅取得最大值为6-，
66λ∴>-，解得1λ>-；
当n 为偶数时，则()6212n
n λ<+⋅恒成立，
()212n n +⋅单调递增，2n ∴=时，()212n n +⋅取得最小值为20，
620λ∴<，解得103
λ<
， 综上，1013
λ-<<. 故选：A. 【点睛】
关键点睛：本题考查已知数列单调性求参数，解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ⎛⎫
-<+ ⎪⎝⎭
恒成立，需要讨论n 为奇数和偶数时的情况，这也是容易出错的地方. 11．C
解析：C
由累加法求出2
33n a n n =+-，所以
331n a n n n
，设33
()1f n n n
=
+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到
n
a n
的最小值. 【详解】
解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+
22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-
所以
331n a n n
n
设33
()1f n n n
=
+-，由对勾函数的性质可知， ()
f n 在(
上单调递减，在
)
+∞上单调递减，
又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662
a a ===， 所以
n a n
的最小值为62162a =.
故选：C. 【点睛】
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.
12．C
解析：C 【分析】
利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解 【详解】
当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C
13．B
解析：B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+，且113
a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】
因为111n n n n a a a a ++-=+，且113
a =， 所以111n
n n
a a a ++=
-， 21
132113
a +
∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=⨯=.
故选：B 【点睛】
方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.
14．C
解析：C 【分析】
判断出()f x 的周期，求得{}n a 的通项公式，由此求得56()()f a f a +. 【详解】
依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2
f x f x -=， 所以()333332222f x f x f x f
x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ ()()()32f x f x f x ⎛⎫
=---=--= ⎪⎝⎭
，所以()f x 是周期为3的周期函数.
由
21n n S a n n
=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，
当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，
①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），
所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，
652163a a =+=.
所以
56()()f a f a +=
()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-
故选：C 【点睛】
如果一个函数既是奇函数，图象又关于()0x a a =≠对称，则这个函数是周期函数，且周期为4a .
15．B
解析：B 【分析】
本题先根据递推公式进行转化得到21
112n n n n a a a a +++=．然后令1n n n
a b a +=，可得出数列{}n b 是等比数列．即11322n
n n a a +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式，根据通项公式及二
次函数的知识可得数列{}n a 的最大项． 【详解】
解：由题意，可知： 21
112n n n n
a a a a +++=． 令1n n n a
b a +=，则11
2
n n b b +=． 2
11
16a b a =
=， ∴数列{}n b 是以16为首项，
1
2
为公比的等比数列． 1
11163222n n
n b -⎛⎫
⎛⎫
∴== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
．
∴11322n
n n a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
． ∴1
211322a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 2
321322a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
1
11322n n n a a --⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
各项相乘，可得： 1
2
1
11111(32)222n n n a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
(1)2
511()22n n n --⎛⎫= ⎪
⎝⎭ 2115(1)
22
1122n n n ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
21
1
55
2
2
12n n n --+⎛⎫= ⎪⎝⎭
2
1(1110)2
12n n -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
令2()1110f n n n =-+，
则，根据二次函数的知识，可知：当5n =或6n =时，()f n 取得最小值． ()2551151020f =-⨯+=-，()2661161020f =-⨯+=-，
()f n ∴的最小值为20-． ∴21
1
(1110)
(20)
10
2
2101112222n n -+⨯--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
．
∴数列{}n a 的最大项为102．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；
16．A
解析：A 【分析】
根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】
由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……
则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A
17．C
解析：C 【分析】
根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】
选项A. ()
1
1n a n n =-,当1n =时，无意义.所以A 不正确.
选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时，()2111
22221126
a =
=≠⨯⨯⨯-，故B 不正确. 选项C.
11122=-，111162323==-⨯，1111123434==-⨯，1111204545==-⨯ 所以11
1
n a n n =
-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111
1012
a =-=≠,故D 不正确. 故选：C
18．B
解析：B 【分析】
由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】
11a =，21123a a ∴=+
=，3215
23
a a -=+= 故选：B
19．D
解析：D 【分析】
利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】
利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，
34216a a ∴+=
故选：D 【点睛】
本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.
20．C
解析：C 【分析】 由题意有13
28010
n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知：13
28010
n n a a +=
+，6400=a ，
∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】
本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.
二、多选题 21．AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，，，，故A 正确；
对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加
解析：AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；
对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，
32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
22．ABD 【分析】
对于A ，由题意得bn
＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3
解析：ABD 【分析】
对于A ，由题意得b n ＝
4
πa n 2
，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】
由题意得b n ＝
4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4π
a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·
a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；
数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n
－1
2
＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋
(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；
由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·
a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题
23．ABC 【分析】
利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】
数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环
解析：ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，
211215a a =-=
，32225a a ==，43425a a ==，5413
215
a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234
,,,5555
. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.
24．AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】
因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；
解析：AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】
11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 1
1104n n n S S S -≠∴
-= 因此数列1{
}n S 为以1
1
4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以
1144(1)44n n n n S S n
=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时1111
44(1)4(1)
n n n a S S n n n n -=-=
-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪-≥-⎪⎩
，即B ，C 不正确；
【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
25．BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．
因为，，所以公差． 故选：BD
解析：BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()199998
3622
a a S +⨯=
==． 因为35a =，73a =，所以公差731
732
a a d -==--． 故选：BD
26．ABD 【分析】
转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，
因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误
解析：ABD 【分析】
转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解.
因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，
因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137
131302
a a S a
+⨯==<，故C 错误； 所以()111116
111102
a a S a
+⨯=
=>，故D 正确.
故选：ABD.
27．BC 【分析】
根据等差数列的前项和性质判断． 【详解】
A 错：；
B 对：对称轴为7；
C 对：，又，；
D 错：，但不能得出是否为负，因此不一定有． 故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列
解析：BC 【分析】
根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】
A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；
B 对：n S 对称轴为
n =7；
C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；
D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()
2
n n n a a S +=
，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 28．BD 【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每
一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差
解析：BD 【分析】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】
依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：
()()
111110022n n n d n n S na na --=+
=+= 整理得1200
21a n n
=
+-， 因为1a *
∈N ，所以n 为200的因数，()200
12n n
+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.
29．ABD 【分析】
由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正
解析：ABD 【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.
故选：ABD.
30．AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为，所以 ，
因为，所以，
所以等差数列公差，
所以是递减数列，
故最大，选项A
解析：AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为67S S <，所以7670S S a -=> ，
因为78S S >，所以8780S S a -=<，
所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，
所以{}n a 是递减数列，
故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；
10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，
所以310S S ≠，故选项C 不正确；
当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.
31．ABC
【分析】
由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．
【详解】
由题知，只需，
，A 正确；
，B 正确；
，C 正确；
，所以，D 错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性
解析：ABC
【分析】
由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．
【详解】
由题知，只需1220010
a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；
()()2222415223644
a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d
+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．
32．AD
【分析】
由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误.
【详解】
由已知得：,
结合等差数列的性质可知，,该等差
解析：AD
【分析】
由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.
【详解】
由已知得：780,0a a ><,
结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，
∴A 正确，B 错误，D 正确，
310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=, 这在已知条件中是没有的，故C 错误.
故选:AD.
【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
33．AC
【分析】
由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式
【详解】
由题可知，，即，所以等差数列的公差，
所以，.
故选：AC.
【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力.
解析：AC
【分析】
由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式
【详解】
由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232
n n n S n n --=
=-. 故选：AC.
【点睛】
本题考查等差数列，考查运算求解能力. 34．BC
【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.
【详解】
A 选项，若，则，
那么.故A 不正确；
B 选项，若，则，
又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为
解析：BC
【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.
【详解】
A 选项，若1011091002
S a d ⨯=+=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，
又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为()()116168916802
a a S a a +==+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确；
C 选项，若()115158151502
a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；
D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC .
【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.
35．AD
【分析】
由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误.
【详解】
解：，，故正确A.
由，当时，，有最小值，故B 错误.
，所以，故C 错误.
，
，故D 正确.
解析：AD
【分析】
由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.
【详解】
解：1385a a S +=，111110875108,90,02d a a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误. 61656+5415392
d S a d d d ⨯==-+=-， 131131213+
11778392d S a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD
【点睛】
考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.。