湘教版数学七年级下册--因式分解
湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
湘教版数学七年级下册第3章 因式分解 小结与复习 课件
x y x2 y 2
x y x y
2
2 2 4 a a b 2 ab a b b a b
a b a 2 2ab b 2
a b a b
2
一级达标重点名校中学课件
一级达标重点名校中学课件
典型题，分类剖析：
类型六：利用完全平方式证明和计算有关问题： 已知x= 3 1 ，求x2-2x+1的值
一级达标重点名校中学课件
典型例题，分类剖析：
类型七：转化思想的应用 已知y=2,请你说明无论x取何值时， 代数式（3x+5y）2-2(3x+5y)(3x-5y)+(3x-5y)2的值不变
1.提公因式法．
步骤： ① 找 ； ②拆 ； ③提．
找出公因式的步骤如下： （1）定符号：如果原来多项式的第1项的系数为负，则把负号 提出。【此时括号内的各项要变号．】 （2）定系数：取各项系数的绝对值的最大公因数作为公因式的 系数。 （3）定字母：取各项中相同的字母。【字母的指数取各项中 次数最低的．】 （4）定式子：取各项中相同的式子。【式子的指数取各项 中次数最低的．】
两因数的和恰好等于一次项系数．
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例4 把多项式
2
x x2
2
因式分解
x x2
x 2 x 1
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典型例题，分类剖析：
类型一：用提公因式法分解因式 b2-2b
类型二：用公式法分解因式: a2-4= x2+4x+4=
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x 1 x 1
2
2
湘教版七年级下册数学 第3章 因式分解 阶段核心应用 因式分解的八种常见应用
解：设“希尔伯特”数为 (2x＋1)2＋(2x－1)2－(2x＋1)·(2x－1)(x为自然数)， 因为(2x＋1)2＋(2x－1)2－(2x＋1)(2x－1)＝4x2＋3， 所以4x2能被4整除，所以所有用连续两个奇数表达出的 “希尔伯特”数一定被4除余3.
(3)已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇 数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224， 求这两个“希尔伯特”数．
可得整数解mn＝＝59，，或mn＝＝1135.， 所以这两个“希尔伯特”数分别为 327 和 103 或 903 和 679.
7．阅读材料： 例：求代数式2x2＋4x－6的最小值． 解：2x2＋4x－6＝2(x2＋2x－3)＝2(x＋1)2－8.可知当x＝－
1时，2x2＋4x－6有最小值，最小值是－8. 根据上面的方法解决下列问题： (1)分解因式：m2－4m－5＝________________；
(m＋1)(m－5)
(2)当a，b为何值时，多项式a2＋b2－4a＋6b＋18有最小 值？并求出这个最小值；
4．先阅读下列材料，然后解题： 材 料 ： 因 为 (x － 2)(x ＋ 3) ＝ x2 ＋ x － 6 ， 所 以 (x2 ＋ x －
6)÷(x－2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除，所以 x－2是x2＋x－6的一个因式，且当x＝2时，x2＋x－ 6＝0.
(1)类比思考：(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋5x＋6
解：因为x2＋mx－14能被x＋2整除， 所以当x＝－2时，x2＋mx－14＝0. 所以(－2)2＋m×(－2)－14＝0，解得m＝－5.
5．已知a，b，c为三角形ABC的三条边的长，且b2＋2ab＝ c2＋2ac.
(1)试判断三角形ABC属于哪一类三角形；
湘教版 七年级下册数学 因式分解一
第7讲 因式分解（一）提公因式法、公式法一、 知识要点1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式。
注：因式分解的结果必须是每一个因式在有理数范围内不能再分解为止。
因式分解是恒等变形，不能随意把多项式改变原来的大小。
2、提公因式法：()ma mb mc m a b c ++=++多项式中的公因式：数字部分找最大公约数，字母部分找相同的字母和最低次幂3、公式法：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+-特点：①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或某式的平方形式；③分解的结果是这两个数或两个式子的和与它们差的积；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
（2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=+特点：①左边相当于一个二次三项式；②首末两项符号为正且能写成某数或某式的完全平方形式；③中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号可正可负；④公式中a,b 可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式。
二、知识运用经典例题例1、多项式232118xy axy a xy -+-中的公因式是例2、已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是1(21)()4x x -+，求m ，n 的值。
例3、把下列各式分解因式（1）、2963x x y x z -+（2）、2210515x y xy xy --+（3）、()()()()xx y a b yy x b a ----- （4）、)2()37)(2(b a a b a b a +--+例4、计算201320142014201420132013⨯-⨯例5、把下列各式分解因式（1）211625m - （2）2()1a b +-（3）22(2)16(1)x x -++- （4）21236m n -+（5） 2244x xy y ++ （6）22293m mnn ++三、知识运用课堂训练1、下列各式能用平方差公式分解的是（ ）A 、22m n --B 、2219p q + C 、321649y x -D 、224k h -+2、下列各式是完全平方式的是（ ）A 、214m m ++ B 、22x xy y ++ C 、21x x +- D 、22h d +3、下列多项式能用公式法分解的是（ ）A.22x y --B.232a ab b -+C. 524x y -D. 2210.049y x -4、把多项式22155x y -分解因式是 。
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版第三章因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。
即：多项式几个整式的积例：axbx13131x(ab) 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。
2.因式分解的方法：（1）提公因式法：①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。
公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数字母——取各项都含有的字母指数——取相同字母的最低次幂例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。
多项式中第一项有负号的，要先提取符号。
2233例1：把12ab18ab24ab分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233解：12ab18ab24ab6ab(2a3b4a2b2)例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)例3：把多项式x22x分解因式解：x22x=(x22x)᠆ 1;x(x2) （2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
湘教版七年级下册第三章因式分解--小结与复习(一)PPT课件
1、下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？ (1) 3a2+6a=3a(a+2) 是 (2) (2y+1)(2y-1)=4y2-1 否
(3) 18a3bc=3a2b·6ac 否 (4) x²+2x+1=x(x+2)+1 否
2、检验下列因式分解是否正确？
(1).2ab2+8ab3=2ab2 (1+4b) √ (2). 2x2-9= (2x+3)(2x-3) ×
4、将下列各式分解因式：
⑴ -a²-ab；
=-a(a+b)
⑵ m²-n²；
= (m+n)(m-n)
⑶ x²+2xy+y²
=(x+y)²
(5) 3x³+6x²y+3xy²
=3x(x+y)²
(4) 3am²-3an²；
=3a (m+n)(m-n)
(6) x²-4x(x-y)+ 4(x-y)²；
(2y-x)2
平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符合公式 特征
完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法
因式分解的一般步骤：
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要 先提取公因式；
二套：再看有几项，如两项，则考虑用平方差公式； 如三项，则考虑用完全平方公式；
(6) 已知：2x-3=0，求代数式x(x2-x)+x2(5-x)-9的值
解下列方程：
(3x- 4) ²- (3x+ 4) ²=48
若AB=0则A=0或 B=0 方法：左边 为0，右边进行因 式分解。
七年级数学下册第3章因式分解公式法(第2课时)课件(新版)湘教版
解:原式=3x2y2(3xy-7x+4). 原式= x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2(x+y). 原式=(a-b-2c)2. 原式=m2-3m-4+3m= m2-4 =(m+2)(m-2).
【火眼金睛】
因式分解: 1 x2-2x+3.
4
解:原式=x2-x+ ( 1 )2
2
= (x 1 )2 .
2
知识点一 用完全平方公式进行因式分解(P65例5、6、 7拓展) 【典例1】因式分解: 4x2-12xy+9y2.
(x-y)4-2(x-y)2+1. (x2+2x)2+2(x2+2x)+1.
【思路点拨】题目可直接利用完全平方公式进行因式 分解. 题目注意要把(x-y)看成整体,并且要分解到每个因式 都不能再分解为止. 题目要两次运用完全平方公式进行因式分解.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
(A)
A. 1 x2-xy+y2
4
B.2x2+4x+1
C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy
2.多项式x2+ax+4能用完全平方公式分解因式,则a的值
是 __±__4____.
3.因式分解:x2-x+ 1 .
(A)
A.4x2-4x+1
B.9x2+3x+1
C.x2+4x+2y2
D.x2+5xy+25y2
湘教版七年级下册第三章因式分解-----小结与复习(ppt)(二)
作业： 把下列各式因式分解
1.x2-5x-6 2.(x-y)2 ＋(x-y)-6 3.a4+a3+a+1
4.x4y+2x3y2-x2y-2xy2； (5). x2+2xy+y2-10x-10y+25
课外思考
1.若x2+mx-12能分解成两个整系数的一次因式 乘积，则符合条件的整数m个数是多少？ 2、因式分解 (1). x4-3x3 -28x2 (2).5x2+6xy-8y2 (3).x 2-(a＋1) x＋a (4).ab(x2-y2)+xy(a2-b2). (5).2x 2-3xy-2y 2＋3x＋4y-2
对于x2+px+q
同号 （1）当q＞0时，a、b﹍﹍ 相同 且a、b的符号与p的符号﹍﹍。 （2）当q＜0时，a、b异号 ﹍﹍，
且﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ﹍ 与p的符号相同。 a、b中绝对值较大的因数 2、把下列各式因式分解 2y2-7xy-18 2 2 2 (3). x (1). x +3x-4 (2). x -11xy+24y (4). 2x2-7x+3 (5). x4+13x2+36 (6). (a+b)2-4(a+b)+3
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SHU XUE
七年级下
本节内容
因式分解
小结与复习（二）
分解因式的步骤：一提二套
即：(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法 （如平方差公式，完全平方公式）
分解因式的要求：
1、提公因式时不要漏项，掌握公因式的结构， 全部提出来。 2、套用公式时，根据公式特征选择。 3、务必检查是否分解彻底了，结果写成最简形式。
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教学设计
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教学设计一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版七年级数学下册第三章第一节的内容。
这一节主要介绍了多项式因式分解的概念、方法和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握因式分解的基本方法，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减运算和乘法运算，具备了一定的代数基础。
但是，对于多项式的因式分解，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，并能够运用因式分解解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和基本方法。
2.难点：多项式因式分解的技巧和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
2.利用多媒体和实物模型辅助教学，帮助学生形象地理解因式分解的概念和方法。
3.采用小组合作学习的方式，鼓励学生互相交流和讨论，培养学生的团队合作意识。
4.提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固和提高因式分解的能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和教具。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个实际问题，如“分解因式：x^2 - 5x + 6”，激发学生的兴趣，引导学生思考和探索因式分解的意义和方法。
2.呈现（10分钟）介绍因式分解的概念和方法，如提公因式法、十字相乘法等。
通过示例和讲解，让学生了解因式分解的基本步骤和技巧。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用给定的方法尝试分解因式。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈和评价。
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教案
(湘教版)七年级数学下册：3.1《多项式的因式分解》教案一. 教材分析《多项式的因式分解》是湘教版七年级数学下册第三章第一节的内容。
这一节主要让学生掌握多项式因式分解的基本方法和技巧，培养学生对多项式的理解和运算能力。
教材通过引入、讲解、练习等环节，使学生逐步掌握多项式因式分解的原理和方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法运算，对多项式有一定的理解。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
此外，学生可能对因式分解的方法和技巧掌握不牢固，需要老师在教学中进行引导和巩固。
三. 教学目标1.让学生理解多项式因式分解的概念和意义。
2.使学生掌握多项式因式分解的基本方法和技巧。
3.培养学生对多项式的理解和运算能力。
4.提高学生的逻辑思维能力和转化能力。
四. 教学重难点1.重点：多项式因式分解的概念、方法和技巧。
2.难点：如何灵活运用因式分解的方法和技巧，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用启发式教学法，引导学生主动探究多项式因式分解的方法。
2.使用案例分析法，让学生通过具体例子理解因式分解的原理。
3.运用小组合作学习法，培养学生团队合作精神和沟通能力。
4.利用巩固练习法，加强对因式分解方法的掌握。
六. 教学准备1.教材、多媒体教学设备。
2.相关练习题和测试题。
3.教学课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何将这些问题转化为多项式的因式分解问题。
例如，解决“一件衣服原价80元，优惠20%，现价是多少？”的问题，可以转化为多项式80x - 16x^2的因式分解。
2.呈现（10分钟）讲解多项式因式分解的概念和意义，介绍因式分解的方法和技巧。
通过具体例子，让学生理解因式分解的原理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试对给定的多项式进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
教学设计—因式分解
《因式分解》教学设计一、课标解读根据《标准》的要求，本章教材介绍了最基本的分解因式的方法：提公因式法和公式法，本章的设计多以问题串的形式创设问题情境，让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程，感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系，发展学生有条理的思考及语言表达能力。
整个设计贯穿了“三会”素养的提升，掌握基础知识的同时，提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，从而形成质疑问难，自我反思的探索精神。
二、教材分析《因式分解》是湘教版七年级下册第一章第一节的内容，是“数与代数”领域中的重要部分。
学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。
它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。
本章教材是在学生学习了整式运算的基础上进行的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法有密切的联系。
分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径，分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
三、学情分析学科教学是基于学前的教学，因此我们的教学需围绕着学生已有的知识经验和心理特征展开。
从已有知识和经验上，七年级学生已经学习了整式乘法、乘法公式等知识，并且学生已有了代数学习的基本意识，具备了主动参与、合作交流的意识和初步的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力，他们的思维方式也从形象思维逐步过渡到逻辑思维，并且不断向前推进,但是思维的严谨性和逻辑的严密性还有待加强。
在心理上，七年级学生的独立性和表现性较强，紧紧抓住这一心理特征，巧妙引导，积极鼓励，定会增强学生学习的主动性。
四、教学目标知识与技能：了解因式分解的意义，会判别哪些等式是因式分解。
过程与方法：经历探索整式整法与因式分解互逆变形的过程，进一步了解因式分解的意义，并渗透化归的思想方法。
湘教版数学七年级下册_《多项式的因式分解》知识全解
《多项式的因式分解》知识全解
教学目标：
1.知识与能力：
使学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的互逆关系.
2.过程与方法
通过观察，发现因式分解与多项式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
3.情感态度与价值观：
感受类比、逆向思维的思维方法，通过观察，理解因式分解与多项式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.
教学重点：
1.理解因式分解的意义.
2.识别因式分解与多项式乘法的关系.
3.初步了解因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用.
教学难点：
因式分解与多项式乘法的联系与区别.
知识结构：
1.因式分解的概念
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为这个多项式的因式分解。
2.因式分解与整式的乘法的关系
如果把整式的乘法看成一个过程，那么因式分解就是他的逆过程.
注意：
1.因式分解的结果是整式的积的形式，且要分解到每一个因式都不能再分解为止。
2.因式分解的结果与原式相等，且几个相同因式的积要写成幂的形式
3.判断一个多项式的变形是不是因式分解，一是看结果是不是积的形式，二是看积中的每
个因式是否都是整式。
湘教版七年级下册数学精品教学课件 第3章 因式分解 小结与复习 (2)
解：因为 x2 － y2 ＝ ( x ＋ y )( x － y ) ＝ －1，
x＋y＝ 1，
2
所以 x － y ＝ －2.
4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里 相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最 外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm， 向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图 形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
二、提公因式法 1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个
多项式各项的_公__因__式___，简称多项式的_公__因__式___. 2. 公因式的确定： (1)系数：取多项式各项整数系数的 最大公约数 ； (2)字母：取多项式各项 相同 的字母； (3)各字母的指数：取次数最 最低 的．
3. 定义：逆用乘法对加法的_分__配___律，可以把 _公__因__式__写在括号外边，作为积的一个_因__式__，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
3.注意事项：有公因式时，应先提出_公__因__式__.
考点一 因式分解与整式乘法的关系
例1 判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = ( a + 2 )( a - 2 ) + 3a； 不是 (2) ( a + 2 )( a - 5 ) = a2 - 3a - 10； 不是 (3) x2 - 6x + 9 = ( x - 3 )2； 是 (4) 3x2 - 2xy + x = x( 3x - 2y )2. 不是
＝ ( 3a＋b )( b －a ). (2) 原式 ＝ ( 3m ＋ 3n ＋ m － n )( 3m ＋ 3n － m ＋ n)
七年级数学下册第3章因式分解公式法(第1课时)课件(新版)湘教版
【学霸提醒】 提公因式法与平方差公式综合应用的一般步骤
“一提”“二套”“三查”. 一提:将一个多项式分解因式时,第一要视察被分解的 多项式是否有公因式,若有,就要先提公因式;
二套:再视察另一个因式特点,进而发现其能否用公式 法继续分解; 三查:因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
【题组训练】
2.下列各式应用平方差公式进行因式分解: ①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b); ③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);
④m2n2- 1 = (mn 1 )(mn 1 ) ;⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).
9
3
3
其中正确的有 ( B )
A.1个
B.2个
【学霸提醒】 能应用平方差公式因式分解的多项式特点 等号左边: ①是二项式; ②每一项都可以表示成平方的情势;
③两项的符号相反. 等号右边是等号左边两底数的和与两底数的差的积.
【题组训练】 1.下列多项式不能用平方差公式因式分解的是( A ) A.-m2-n2 B.-16x2+y2 C.b2-a2 D.4a2-49n2
C.(-x)2+y2
D.x2+(-y)2
(B)
2.多项式n2-4m2因式分解的结果为 ___(_n_+_2_m_)_(_n_-_2_m_)___. 3.因式分解:(a-2b)2-b2.
解:(a-2b)2-b2 =(a-2b+b)(a-2b-b) =(a-b)(a-3b).
知识点一 用平方差公式进行因式分解(P63-64例1,2,
3拓展)
【典例1】因式分解:
16- m21.
25
81y4-16x4.
湘教版七年级下册数学《公式法—平方差公式因式分解》PPT课件
25x2 -4y2 =(5x)2 -(2y)2 =(5x+2y)(5x-2y)
a2-b2=(a+b)(a-b)
因为25x2 可以写成(5x)2 , 4y2 可以写成(2y)2,
所以能用平方差公式分解。
巩固练习
1.填空：
（1）9y2=(±3y )2（2）36 x2 =（ 6 x ）2
25
5
（3）9 t 2 （ 3 t ）2
4
2
例2 把(x+y)2-(x-z)2因式分解.
a=x+y，b=x-z
(x+y)2-(x-z)2 =[(x+y+x-z)][(x+y-x+z)]
a2-b2=(a+b)(a-b)
=(2x+y-z)(y+z)
例3 把x4-y4因式分解.
x4-y4
a=x2，b=y2
=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2) (x+y)(x-y)
3.3 公 式 法
第一课时 用平方差公式因式分解
复习导入
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将 它分解因式吗？
1.平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
从左边到右边的这个过程叫_整__式___乘__法___.
2、反过来，a2-b2=__(_a_+__b_)_(_a_-.b) 从右边到左边的这个过程叫_因__式___分__解___.
在因式分解 时，必须进行到 每一个因式都不 能分解为止.
例4 把x3y2-x5因式分解.
x3y2-x5 =x3(y2-x2) ……提取公因式x3 =x3(y+x)(y-x) ……因式分解
湘教版7下数学2015年湘教版数学七年级下册(新)3.3.2-因式分解-公式法--完全平方式-课件公
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式
分解的是（ D ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、1 x2 -2xy+y2 D、 1 x2 -xy+y2
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
7、如果100x2+kxy+y2可以分解为
（10x-y)2,那么k的值是（ B ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
2、有两个“项”的平方；
3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
首2 2首尾尾2
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式；
2、有两个“项”的平方；
3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
首2 2首尾尾2
下列各式是不是完全平方式?
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式
分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全 平方式：
X4+4x2+(
)
❖ 正视自己的长处，扬长避短， ❖ 正视自己的缺点，知错能改， ❖ 谦虚使人进步，骄傲使人落后。 ❖ 自信是走向成功的第一步， ❖ 强中更有强中手，一山还比一山高，山外有
[新湘教版]七年级数学下册第3章《因式分解》《3.3.1因式分解之平方差公式》课件
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对大部分人来说，工作是我们憎恨的一种乐 趣，一种让我们脚步变得轻盈的重负，一个没 有它我们就无处可去的地狱。
世界上任何书籍都不能带给你好运，但是它 们能让你悄悄成为你自己。
一个人的成就越大，对他说忙的人就越少； 一个人的成就越小，对他说忙的人就越多。
山，人外有人!
• 正视自己的长处，扬长避短， • 正视自己的缺点，知错能改， • 谦虚使人进步，骄傲使人落后。 • 自信是走向成功的第一步， • 强中更有强中手，一山还比一山高，山外有
山，人外有人!
永远不要认为我们可以逃避，我们的每一步都 决定着最后的结局，我们的脚正在走向我们自 己选定的终点。
(3)(a+b)2-4a2
课堂小结
1.平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b) 2.用平方差公式因式分解步骤：
Zx.xk
一变、 二分解
拓展训练1：因式分解
1.-25x2y2+100 2.4(a-b)2-9(2a+3b)2 3.(2a-b)2-9a2 4.(x2+3x)2-(x+1)2
拓展训练2：利用因式分解计算
(3)-64+9m2
(4)a2b2-c2
例题2
(x y)2 (x y)2
(1)(x+2)2-y2
(2)(x+m)2-(x+n)2
(3) (x+p)2 – (x+q)2.
例3 分解因式:
x4 y4
分解因式, 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
例3 分解因式:
x4 y4
分解因式, 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
湘教版七年级数学下册第三章因式分解PPT课件全套
（2）不是.因为( m+3 )( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式.
【例2】检验下列因式分解是否正确.
（1）x2+xy=x( x+y )；
（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；
（3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ).
解：（1）因为x( x+y )=x2+xy，所以（1）正确；
【例5】把( a+c )( a-b )2-( a-c )( b-a )2因式分解.
解：( a+c )( a-b )2-( a-c )( b-a )2
= ( a+c )( a-b )2-( a-c )( b-a )2
= ( a-b )2[( a+c )-( a-c )]
分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解.
【例1】下列各式由左边到右边的边形，哪些是因式分解，
哪些不是，为什么？
（1）a2+2ab+b2=( a+b )2；
（2）m2+m-4=( m+3 )( m-2 )+2.
解：（1）是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了a+b与
第三章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
讨论 （1）21等于3乘那个数？ （2）x2-1等于x+1乘哪个多项式？ 21=3×7. 因为( x+1 )( x-1 )=x2-1， 所以x2-1=( x+1 )( x-1 ).
对于整数21于3，有整数7使得21=3×7，我们把3叫做21的一
个因数，同理7也是21的一个因数. 类似地，对于多项式x2-1与x+1，由整式的乘法有多项式x-1使得x21=( x+1 )( x-1 )成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.同理，x-1
湘教版七年级数学下册_3.3 公式法
感悟新知
特别提醒
知1－练
1. 确定公式中的“a”“b” 时，不能只看表面，如4x2=
( 2x ) 2,“a” 指 的 是 2x；16 ( ab ) 2=[4 ( a － b )]2， “a”
指的是4 ( a － b ).
2. 平方差公式可以连续运用.如(3)题，必须做到每个因式不
能再分解为止.
3. 运用平方差公式因式分解时，若 a，b都是多项式，要先
感悟新知
例4 因式分解： (1) －3a3b+48ab3； (2) x4－8x2+16； (3) 25x2( a－b) +36y2( b－a) .
知2－练
感悟新知
知2－练
解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取 公因式，然后通过观察项数确定能用 哪个公式进行因式分解 .
感悟新知
解： (1)原式 =－3ab( a2－16b2) =－3ab( a+4b) ( a－4b) .
知2－练
方法点拨 求与完全平方式有关的字母取值的方法：
可根据首项、 尾项和中间项三者之间的关系， 由其中两项求出字母的值，要注意中间项的符号有 “±”两种情况 .
感悟新知
例3 因式分解： (1) x2 － 14x+49； (2) － 6ab － 9a2 － b2；
知2－练
(3)
1，然后套用公式，若多项 式是两项，则考虑用平方差公式，若多项式是三项， 则考虑用完全平方公式，最后检查乘积中每一个多 项式的因式是否能继续分解 .
课堂小结
公式法
用公 式法 因式 分解
利用平方差公 式因式分解
利用完全平方 公式因式分解
a2－b2=(a+b) (a－b)
(湘教版)七年级数学下册：第3章《因式分解》教学案(第3课时)
教学目标：1.知识与能力：进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.2.过程与方法进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.3.情感态度与价值观通过观察能合理地进行因式分解的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学重点：能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地对多项式进行因式分解.教学难点：准确找出公因式，并能正确进行因式分解.教学过程：一、创设问题情境，导入新课1.什么叫做公因式？如何找公因式？2.说出下列多项式各项的公因式（1）2ax+4ay (2) 9x3+6x2 +3x (3) 4a2-6a(4) 4x2y-12xy (5) -5a2x+15ax2 (6) –x3+2x2-3x［师］上节课我们学习了用提公因式法因式分解，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.二、我会自主学习1.请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a=__________（a－2）；（2）b+a=___________（a+b）；（3）（b－a）2=_________（a－b）2；（4）（y－x）3 =__________（x－y）3；（5）－m－n=__________（m+n）；（6）－s+t 2=__________（s －t 2）.2.下列多项中各项的公因式是什么？（1）x （x －2）－3（x －2） （2）x （x －2）－3（2－x ）（3）22))(())((a b c a b a c a ----+ （4）)(18-)(1222y x y x y x xy ++试一试：把上述多项式因式分解.分析：虽然a （x －y ）与b （y －x ）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x －y ）与（y －x ）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y －x =－（x －y ）.（m －n ）3与（n －m ）2也是如此.［师］从因式分解的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？生］不是，是两个多项式的乘积.三、我会合作探究3. 把下列各式因式分解：（1）a （x －y ）+b （y －x ）;（2）6（m －n ）3－12（n －m ）2 （3）22))(())((a b c a b a c a ----+（4）)(18)(1222y x y x y x xy +++-四、我会归纳总结本节课进一步学习了用提公因式法因式分解，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的因式分解.怎样确定多项式的公因式？（1）各项系数绝对值的最大公因数；（2）因式中相同的字母的最低次幂；（3）因式中相同多项式的最低次幂.五、快乐摘星台。
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初中数学试卷
因式分解
一、选择题
1.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
(x+y)＝ax+ay +4=x(x-4)+4
（
＝5x(2x-1) +6x＝(x+4)(x-4)+6x
2.分解因式8ab(a-b)3-12a(a-b)2时，应提取的公因式是( )
(a-b)3 (a-b)2 (a-b)2 3.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
+1 +9 +5y
4.添加一项，能使多项式9x2+1构成完全平方式的是( )
5.计算：852-152=( )
&
900 000
6.下列因式分解中，正确的个数为( )
①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③-x2+y2=（x+y）（x-y）.
个个 C. 1个个
+9a2b分解因式的正确结果是( )
(a2-6a+9) (a+3)(a-3) (a2-3)2 (a-3)2
8.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4-■=(x2+4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )
，2 ，1 ，3 ，8
?
二、填空题(每小题4分，共16分)
9.多项式9x2y-15xy-6y的公因式是_____________.
10.一个多项式因式分解的结果是(x+2)(x-3)，那么这个多项式是_____________.
11.已知x、y是二元一次方程组
23,
245
x y
x y
-=
+=
⎧
⎨
⎩
的解，则代数式x2-4y2的值为_____________.
12.一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是_____________(用a，b的代数式表示).
三、解答题
13.因式分解：
—
（1）-4a2+12ab-9b2; （2）x4-x2y2; （3）a4-1.
$
14.运用因式分解知识说明：2n+3-2n+1(n为正整数)能被6整除.
15.已知a-2b=1
2
，ab=2，求-a4b2+4a3b3-4a2b4的值.
$
16.用简便方法计算下列各题：
(1)39×37-13×34； (2)××++(101
2
)2-(9
1
2
)2.
;
17.把一个边长为a米的正方形广场的四周各留出一个边长为b米的正方形用来修花坛，其余地方种草，问草坪的面积有多大如果修建每平方米的草坪需要5元，请计算当a=92，b=4时，投资修此草坪需要多少钱
'
18.下面是某同学对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解的过程．
解：设a2-4a=y
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（a2-4a+4）2（第四步）
…
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底___________;（填“彻底”或“不彻底”）（2）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________;
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解. %
.
参考答案
11.15 2
13.(1)原式=-(4a2-12ab+9b2)=-(2a-3b)2.
(2)原式=x2(x2-y2)=x2(x+y)(x-y).
(3)原式=(a2+1)(a2-1)=(a2+1)(a+1)(a-1).
14.因为2n+3-2n+1=2n(23-2)=2n×6，所以能被6整除.
15.原式=-a2b2(a2-4ab+4b2)=-a2b2(a-2b)2.
当a-2b=1
2
，ab=2时，原式=-22×(
1
2
)2=-1.
16.(1)原式=39×(37-27)=390.
(2)原式=1
2
1
2
1
2
1
2
草坪的面积为：a2-4b2（平方米）；
当a=92，b=4时，草坪的面积为：a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(92+8)×(92-8)=8 400(平方米).所以投资修此草坪需要的钱是8 400×5=42 000(元).
答：草坪面积（a2-4b2)平方米，投资修此草坪需要42 000元.
18.(1)不彻底.
(2)（a-2）4.
(3)设x2-2x=y,原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4.。