均匀随机数的产生
均匀随机数的产生算法
均匀随机数的产生算法在计算机科学领域，均匀随机数的生成是一个重要的问题，因为许多应用程序和算法都需要使用随机数。
在下面的文章中，我们将讨论一些常见的均匀随机数生成算法。
1. 线性同余算法（Linear Congruential Algorithm，LCA）：线性同余算法是最常见和简单的随机数生成算法之一、它的基本思想是通过对当前随机数进行线性变换和模运算，得到下一个随机数。
具体的公式为：Xn+1 = (a * Xn + b) mod m其中，Xn是当前随机数，Xn+1是下一个随机数，a、b和m是参数，mod是取余运算符。
这种算法主要依靠选择适当的参数来产生随机数序列。
2. 排列算法（Permuting Algorithm，PA）：排列算法是一种将给定数字进行随机排列的算法。
它的基本思想是通过交换数字的位置来生成随机排列。
具体的步骤如下：1)首先，将数字按照正常顺序排列。
2)然后，开始从第一个数字开始，随机选择一个位置，并将该数字与选定位置的数字交换。
3)重复第2步，直到所有数字都被交换过。
4)最后得到的序列即为随机排列。
3. 梅森旋转算法（Mersenne Twister Algorithm，MTA）：梅森旋转算法是一种广泛使用的随机数生成算法，它具有较长的周期和良好的统计特性。
该算法的基本思想是使用一个巨大的状态空间，并通过一系列复杂的运算来生成随机数。
梅森旋转算法是一种伪随机数生成算法，它使用有限的状态空间来产生伪随机序列。
4. 线性同余器方法（Linear Congruential Generator Method，LCG）：线性同余器方法是一种简单但有效的随机数生成算法。
它基于线性同余算法，但加入了更多的操作，以改进随机数的质量和周期。
具体的步骤如下：1)首先，选择合适的参数a、c和m。
2)赋予一个初始值X0。
3) 计算下一个随机数Xn+1 = (a * Xn + c) mod m。
4)重复第3步，即可得到一个均匀分布的随机数序列。
3.3.2均匀随机数的产生
典 型 例 题 精 析
知 能 巩 固 提 升
目 录 典 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学 型 例 题 精 析
知 能 巩 固 提 升
目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
1.如何产生a b之间的均匀随机数？ 1.如何产生a~b之间的均匀随机数？ 如何产生
典
提示：（1 利用计算器或计算机产生0 1 提示：（1）利用计算器或计算机产生0~1之间的均匀随机数 ：（ x1=RAND. (2)利用伸缩和平移变换： (b-a)+a,得到 b 得到a (2)利用伸缩和平移变换：x=x1 (b-a)+a,得到a~b之间的均匀 利用伸缩和平移变换 随机数. 随机数. 2.怎样用随机模拟估计几何概型? 2.怎样用随机模拟估计几何概型? 怎样用随机模拟估计几何概型 提示： 提示：用随机模拟的方法估计几何概型是把实际问题中的事件 及基本事件总体对应的区域“长度”转化为几何概型， 及基本事件总体对应的区域“长度”转化为几何概型，同时确 定随机数的范围. 定随机数的范围.
µA µΩ
知 能 巩 固
求出的值是事
提 升
目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
（C）根据古典概型试验，用计算机或计算器产生的随机整数 根据古典概型试验， 统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值 N1 是P（A） 统计试验次数N和事件A发生的次数N N 的近似值 （D）根据几何概型试验，用计算机或计算器产生的均匀随机 根据几何概型试验， 数统计试验次数N和事件A发生的次数N 数统计试验次数N和事件A发生的次数N1，得到的值 N1 是 N P（A）的精确值
典 型 例 题 精 析
知 能 巩 固 提 升
目 录 课 程 目 标 设 置 主 题 探 究 导 学
matlab均匀分布随机数的生成函数
matlab均匀分布随机数的生成函数在Matlab中，可以使用`rand`函数来生成均匀分布的随机数。
`rand`函数可以生成在区间[0,1)上的随机数。
我们可以使用以下方法将其转换为指定范围内的均匀分布随机数。
1.生成在范围内的均匀分布随机数```matlaba=1;%下界b=10;%上界n=1000;%随机数数量uniform_rand = a + (b-a) * rand(n,1);```以上代码将生成1000个在1到10之间均匀分布的随机数。
2.生成均匀分布的整数随机数```matlaba=1;%下界b=10;%上界n=1000;%随机数数量uniform_int_rand = randi([a b], n, 1);```以上代码将生成1000个在1到10之间的整数均匀分布的随机数。
3.生成多维的均匀分布随机数```matlaba=1;%下界b=10;%上界n=1000;%随机数数量m=2;%维度uniform_multi_dim_rand = repmat(a, n, m) + (repmat(b-a, n, m) .* rand(n,m));```以上代码将生成1000个在[a,b]范围内的2维均匀分布的随机数。
需要注意的是，`rand`函数生成的随机数是伪随机数，并且每次Matlab启动时生成的随机数序列都是相同的。
如果需要不同的随机数序列，可以使用`rng`函数设置随机数生成器的种子。
以上就是在Matlab中生成均匀分布随机数的几种常见方法。
根据需要的维度、范围及数量，可以选择合适的方法来生成所需的随机数。
第3章 随机数的产生与模拟
b
,
为了化一般区间上的积分为[0,1]区间上的积分,且被积函数值 在[0,1]之间,令 x = (b − a)u + a ,则有：
∫
b
a
f ( x)dx = S0 ∫ ϕ (u )du + c(b − a )
0
1
其中 ϕ (u ) =
[ f (a + (b − a )u ) − c] , S 0 = (b − a)(d − c) . d −c
本章目录
7
随机数的产生与模拟
Carlo方法在解确定性问题中的应用 3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
1 2 3 4
蒙特卡罗（ Carlo） 方法（ 即随机模拟方法） 蒙特卡罗 （ Monte Carlo ） 方法 （ 即随机模拟方法 ） 求解实际问题的基本步骤包括： 求解实际问题的基本步骤包括： 建模： 建模 ： 对所求的问题构造一个简单而又便于实现的概 率统计模型， 率统计模型 ， 使所求的解恰好是所建模型的参数或有 关的特征量。 关的特征量。 改进模型： 改进模型 ： 根据概率统计模型的特点和计算实践的需 尽量改进模型，以便减少误差和降低成本， 要 ， 尽量改进模型 ， 以便减少误差和降低成本 ， 提高 计算效率。 计算效率。 模拟试验 求解：对模拟结果进行统计处理， 求解 ： 对模拟结果进行统计处理 ， 给出所求问题的近 似解。 似解。
1
随机数的产生与模拟
Carlo方法在解确定性问题中的应用 3 Monte Carlo方法在解确定性问题中的应用
应用实例
例4：用上述四种方法计算 I = ∫0 e x dx (3)重要抽样法
data E3; do k=1 to 1000;s=0; Do i=1 to 1000; r=ranuni(32789);x=(3*r+1)**(1/2)-1; s=s+exp(x)/(1+x); end; I3=3/(2*1000)*s;output; E3=abs(I3-(exp(1)-1)); End; run; proc means data=e3 Mean Var; var I3; run;
随机数产生原理
第一节 均匀随机数的产生及其应用§1.1 随机数的产生§1.1.1 均匀随机数的产生随机变量X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为随机数列。
若随机变量X 是均匀分布的，则X 的抽样序列 ,,,,21n X X X 称为均匀随机数列；如果X 是正态分布的随机变量，则称其抽样序列为正态随机数列。
用数学方法产生随机数，就是利用计算机能直接进行算术运算或逻辑运算的特点，产生具有均匀总体、简单子样统计性质的随机数。
计算机利用数学方法产生随机数速度快，占用内存少，对模拟的问题可以进行复算检查，通常还具有较好的统计性质。
另外，计算机上用数学方法产生随机数，是根据确定的算法推算出来的，因此严格说来，用数学方法在计算机上产生的“随机数”不能说是真正的随机数，故一般称之为“伪随机数”。
不过对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性、独立性等，就可以作为真正的随机数来使用。
以后，我们统称这样产生的伪随机数为随机数。
首先给出产生均匀随机数的方法，这是产生具有其它分布随机数的基础，而后给出产生其它分布随机数的方法。
§1.1.1 均匀随机数的产生方法线性同余法简称为LCG 法（Linear Congruence Generator ），它是Lehmer 于1951年提出来的。
线性同余法利用数论中的同余运算原理产生随机数。
分为乘同余法、混合同余法等，线性同余法是目前发展迅速且使用普遍的方法之一。
线性同余法递推公式为)(m o d 1M c ax x n n +≡-,,2,1, ==n M x r n n其中0x 为初值，a 为乘子，c 为增量，M 为模，且c a x ,,0和M 皆为非负整数。
当0=c 时，上式称为乘同余法公式；当0>c 时，上式称为混合同余法公式。
如下例用乘同余法产生伪随机数：例1：1117(mod11)n n x x x +=⎧⎨≡⎩ 1234567891011121;7;5;2;3;10;4;6;9;8;1;7;......x x x x x x x x x x x x ============上述方法虽产生了随机数，但只产生1-10之间的数。
一维均匀分布随机数序列的产生方法
一维均匀分布随机数序列的产生方法引言：随机数序列主要应用于序列密码（流密码）。
序列密码的强度完全依赖于序列的随机性与不可预测性。
随机数在密码学中也是非常重要的，主要应用于数字签名（如美国数字签名标准中的数字签名算法）、消息认证码（如初始向量）、加密算法（如密钥）、零知识证明、身份认证（如一次性nonce）和众多的密码学协议。
关键词：随机数、随机数序列、均匀分布一、随机数及随机数序列的简介在统计学的不同技术中需要使用随机数，比如在从统计总体中抽取有代表性的样本的时候，或者在将实验动物分配到不同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡罗模拟法计算的时候等等。
产生随机数有多种不同的方法。
这些方法被称为随机数发生器。
随机数最重要的特性是：它所产生的后面的那个数与前面的那个数毫无关系。
随机数序列分为真随机数序列与伪随机数序列，随机数分为真随机数和伪随机数。
真随机数序列从真实世界的自然随机性源产生，办法是找出似乎是随机的事件然后从中提取随机性，如自然界中的抛币。
在计算机中噪音可以选取真实世界的自然随机性，如从计算机时钟寄存器中取得本机的当前系统时间到秒（或微秒）级的数值，测量两次击键的时间间隔，相邻两次鼠标移动的时间间隔以及由计算机硬件报告的鼠标实际位置等。
伪随机数序列用确定的算法产生，不是真正的随机数序列。
伪随机数序列发生器指使用短的真随机数序列（称为种子）x扩展成较长的伪随机数序列y。
在密码学中伪随机数序列的使用大大减少了真随机数序列的使用，但不能完全取代真随机数序列的使用（如种子）。
通常，我们需要的随机数序列应具有非退化性、周期长、相关系数小等优点。
二、一维均匀分布的简介设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)=(x-a)/(b-a)，a ≤x≤b，则称随机变量X 服从[a,b]上的均匀分布，记为X ～U[a ，b]。
若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间,则 P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a)，这表明X 落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关，因此X 落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。
3.3.2均匀随机数的产生
设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家 的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关 系？
6Байду номын сангаас5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.
你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？
y
8 7
O
6.5 7.5
x
根据几何概型的概率计算公式，事件A发生 的概率为多少？
例题剖析2
例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在 早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸 ( 称为事件 A) y 8 的概率是多少? 7 1 0.5 0.5 7 2 P( A) I 11 8 O x 6.5 7.5
思考1：一个人到单位的时间可能是8：00～9： 00之间的任何一个时刻，若设定他到单位的时间 为8点过X分钟，则X可以是0～60之间的任何一刻， 并且是等可能的.我们称X服从[0，60]上的均匀 分布，X为[0，60]上的均匀随机数.一般地，X为 [a，b]上的均匀随机数的含义如何？X的取值是 离散的，还是连续的？
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以
π 落在圆中的豆子数 4, 这样就得到了π近似值. 落在正方形中的豆子数
y
例4： 利用随机模拟方法计算由
y=1和y=x2 所围成的图形的面积. -1
1
O
解： （1）利用计算器或计算机产生两组0到1区 间的均匀随机数， a1=RAND； b=RAND; （2）进行平移和伸缩变换a=(a1 -0.5)*2； （3）数出落在阴影内的样本点数N1,用几何 概型公式计算阴影部分面积.
思考4：利用计算机产生100个[2，6]上的均匀随机数， 具体如何操作？
高一数学必修3课件：3-3-2均匀随机数的产生
第三章 3.3
3.3.2
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规律总结：用随机模拟方法估计几何概型的步骤：① 确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面 积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机 数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系 式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概 率．
第三章 3.3 3.3.2
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利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x 轴所围成的部分)的面积．
第三章 3.3
3.3.2
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[分析]
解答本题可先计算与之相应的规则图形的面
积，然后利用随机模拟的方法求出几何概率，并对阴影部分 的面积进行估算．
第三章 3.3
3.3.2
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自主预习 阅读教材P137－140，回答下列问题： 1．均匀随机数 (1)定义 如果试验的结果是区间[a，b]上的任何一个实数，而且 出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机 数．
第三章 3.3
3.3.2
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求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积 的近似值．
第三章 3.3
3.3.2
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[解析]
步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随
机数，a1＝RAND，b1＝RAND. (2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到 一组[－1,1]内的均匀随机数和一组[0,2]内的均匀随机数． (3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a 的点(a，b)的个数]．
3-3-2 均匀随机数的产生
一、选择题1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决()A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积D．最适合估计古典概型的概率[答案] C[解析]很明显用均匀随机数进行随机模拟，不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．2．给出下列关系随机数的说法：①计算器只能产生(0,1)之间的随机数；②我们通过RAND*(b－a)＋a可以得到(a，b)之间的随机数；③计算器能产生指定两个整数值之间的取整数值的随机数．其中说法正确的是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] C3．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．m>n B．m<nC．m＝n D．m是n的近似值[答案] D4．在线段AB 上任取三个点x 1，x 2，x 3，则x 2位于x 1与x 3之间的概率是( )A.12B.13C.14D ．1[答案] B[解析] 因为x 1，x 2，x 3是线段AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是13.5．设x 是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y ＝2x ＋3，则x ＝12对应变换成的均匀随机数是( )A ．0B ．2C ．4D ．5 [答案] C[解析] 当x ＝12时，y ＝2×12＋3＝4.6．把[0,1]内的均匀随机数分别转化为[0,4]和[－4,1]内的均匀随机数，需实施的变换分别为( )A ．y ＝－4x ，y ＝5－4B ．y ＝4x －4，y ＝4x ＋3C ．y ＝4x ，y ＝5x －4D ．y ＝4x ，y ＝4x ＋3 [答案] C7．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30 s ，黄灯亮的时间为5 s ，绿灯亮的时间为40 s ，当你到达路口时，事件A 为“看见绿灯”、事件B 为“看见黄灯”、事件C 为“看见不是绿灯”的概率大小关系为( )A ．P (A )>P (B )>P (C ) B ．P (A )>P (C )>P (B )C ．P (C )>P (B )>P (A )D ．P (C )>P (A )>P (B )[答案] B 8．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C ＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．(3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( )A.N 1N ，N 2N ，N －N 1NB.N 2N ，N 1N ，N －N 2NC.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2ND.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N[答案] A [解析] P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值为N －N 1N .二、填空题9．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________．[答案] N 1N[解析] 这种随机模拟的方法，是在[0,1]内生成了N 个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N 1个，所以根据比例关系SS 矩形＝N 1N ，而矩形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为N 1N .10．(2012～2013·福建四地六校联考高二检测)设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率为________．[答案] 12[解析] 如图所示，在圆周上过定点A 作弦AB ＝AC ＝2r ，则BC 是圆的一条直径．当取的点在BC 上方时满足了弦长大于半径的2倍，所以P ＝12.11．在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM >AC 的概率是________．[答案] 1－22[解析] 设CA ＝CB ＝m (m >0)，则AB ＝2m .设事件M ：AM >AC ，即P (M )＝AB －AC AB ＝2m －m 2m＝1－22. 12．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为45，则河宽为________m.[答案] 100[解析] 已知河宽为x m ，由题意得1－x 500＝45，则x ＝100.三、解答题13．在长为14 cm 的线段AB 上任取一点M ，以A 为圆心，以线段AM 为半径作圆．用随机模拟法估算该圆的面积介于9π cm 2到16πcm 2之间的概率．[分析] 圆的面积只与半径有关，故此题为与长度有关的几何概型．解答本题时只需产生一组均匀随机数．[解析] 设事件A 表示“圆的面积介于9π cm 2到16π cm 2之间”．(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀随机数a 1＝RAND ；(2)经过伸缩变换a ＝14a 1得到一组[0,14]上的均匀随机数；(3)统计出试验总次数N 和[3,4]内的随机数个数N 1(即满足3≤a ≤4的个数)；(4)计算频率f n (A )＝N 1N ，即为概率P (A )的近似值．14．设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率．[解析] 记事件A ＝{硬币与格线有公共点}，设硬币中心为B (x ，y )．步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND.(2)经过平移，伸缩变换，则x ＝(x 1－0.5)*6，y ＝(y 1－0.5)*6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 及硬币与格线有公共点的次数N 1(满足条件|x |≥2或|y |≥2的点(x ，y )的个数)．(4)计算频率N 1N ，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．15．用随机模拟方法求函数y ＝x 与x 轴和直线x ＝1围成的图形的面积．[分析] 将问题转化为求在由直线x ＝1，y ＝1和x 轴，y 轴围成的正方形中任取一点，该点落在已知图形内的概率．用随机模拟方法来估计概率即可．[解析] 如图所示，阴影部分是函数y ＝x 的图象与x 轴和直线x ＝1围成的图形，设阴影部分的面积为S .随机模拟的步骤：(1)利用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1(满足条件y <x 的点(x ，y )的个数)；(3)计算频率N 1N ，即为点落在阴影部分的概率的近似值；(4)直线x ＝1，y ＝1和x ，y 轴围成的正方形面积是1，由几何概型公式得点落在阴影部分的概率为S 1＝S .则S ＝N 1N ，即阴影部分面积的近似值为N 1N .16．现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，用随机模拟的方法计算飞镖落在阴影部分的概率，阴影部分由直线6x －3y －4＝0和x ＝1，y ＝－1围成．[分析] 要确定飞镖落点位置，需要确定两个坐标x 、y ，可用两组均匀随机数来表示点的坐标．[解析] 记事件A ＝{飞镖落在阴影部分}．(1)用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数，x 1＝RAND ，y 1＝RAND.(2)经过平移和伸缩变换，x ＝2(x 1－0.5)，y ＝2(y 1－0.5)得到两组[－1,1]上的均匀随机数．(3)统计试验总次数N 及落在阴影部分的点数N 1(满足6x －3y －4>0的点(x ，y )的个数)．(4)计算频率f n (A )＝N 1N 即为飞镖落在阴影部分的概率的近似值．。
第4讲 随机数的生成及随机变量抽样
一、均匀分布U(0,1)的随机数的产生
• 产生均匀分布的标准算法在很多高级计算机语 言的书都可以看到。算法简单，容易实现。使用者 可以自己手动编程实现。Matlab 中也提供给我们 用于产生均匀分布的各种函数。我们的重点是怎样 通过均匀分布产生服从其他分布的随机数。因此， 直接使用Matlab提供的可靠安全的标准函数，当然 不用费事了。
学习主要的随机变量抽样方法1均匀分布u01的随机数的产生2其他各种分布的随机数的产生方法3随机数生成实例4实验作业随机数的生成及随机变量抽样随机数的产生是实现mc计算的先决条件
随机数的生成及随机变 量抽样 实验目的
学习主要的随机变量抽样方法
实验内容
1、均匀分布U(0,1)的随机数的产生 2、其他各种分布的随机数的产生方法 3、随机数生成实例 4、实验作业
随机向量的抽样方法
在用Monte Carlo等方法解应用问题时,随机 向量的抽样也是经常用到的. 若随机向量各分量相互独立,则它等价于多个 一元随机变量的抽样。
例8 生成单位正方形内均匀分布的1行10000列随机 数，并画散点图。 mm=10000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm); yRandnum=unifrnd(0,1,1,mm); plot(xRandnum,yRandnum,'.')
0.25
0.05
F(X4)=0.95
F(X5)=1.00
（ .70 -- .95]
（ .95 – 1)
随机变量生成的算法为 ①产生一个u(0，1)，并令i=0； ②令i=i+1； ③若u＞F(xi)，转回到第②步，否则转至④；
mm=10000;Randnum=unifrnd(0,1,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm); for ii=1:mm if Randnum(1,ii)<=0.1 xRandnum(1,ii)=10; else if Randnum(1,ii)<=0.3 xRandnum(1,ii)=20; else if Randnum(1,ii)<=0.7 xRandnum(1,ii)=30; else if Randnum(1,ii)<=0.95 xRandnum(1,ii)=40; else xRandnum(1,ii)=50; end end end end end cdfplot(xRandnum)
均匀随机数的产生算法
均匀随机数的产生算法下面将介绍几种常见的均匀随机数产生算法：1. 线性同余法算法（Linear congruential generator, LCG）：线性同余法算法是最常见的随机数产生算法之一、它的基本原理是通过以下递推公式得到随机数：Xn+1 = (a * Xn + c) mod m其中，Xn是当前的随机数，Xn+1是下一个随机数，a、c、m是常数，通常选择合适的a、c、m可以产生具有良好均匀性的随机数序列。
2. 递推式产生器（Recursive generator）：递推式产生器是一种基于数学递推公式的随机数产生算法。
其基本原理是通过递推公式不断更新随机数的值，从而产生一系列随机数。
递推式产生器的一个常见例子是Fibonacci递推式：Xn+2 = (Xn+1 + Xn) mod m其中，Xn是当前的随机数，Xn+2是下一个随机数。
3. 平方取中法（Middle-square method）：平方取中法是一种简单的随机数产生算法。
它的基本原理是通过将当前的随机数平方并取中间的几位数字作为下一个随机数。
具体步骤如下：-将当前的随机数平方，得到一个更大的数。
-取平方结果的中间几位作为下一个随机数。
-若需要较大的随机数，再次对下一个随机数进行平方取中操作。
4. 梅森旋转算法（Mersenne Twister）：梅森旋转算法是一种基于梅森素数（Mersenne prime）的随机数产生算法。
它具有周期长、随机性好等特点，广泛应用于模拟、统计等领域。
该算法基于以下递归公式生成随机数：Xn=Xn-M^(Xn-M+1，u)其中，Xn是当前的随机数，Xn-M和Xn-M+1是前面两个随机数，u是一系列位操作（如或运算、异或运算等）。
通过选择不同的Xn-M和Xn-M+1，可以生成不同的随机数序列。
混合线性同余法是一种多元随机数产生算法。
它的基本原理是将多个线性同余法的结果进行线性组合，从而产生更高质量的随机数。
随机数生成及各概率分布
随机数生成及各概率分布一．随机数生成及（0，1）均匀分布1.乘同余法生成随机数：乘同余法的迭代式如下:Xn+1=Lamda*Xn(mod M)Rn+1=Xn/M这里取X0=1,Lamda=7^5,M=2^31-1;利用乘同余法生成的300个（0，1）之间的随机数为（这里仅显示200个数据）0.0000 0.1315 0.7556 0.4587 0.5328 0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 0.3835 0.5194 0.8310 0.0346 0.0535 0.5297 0.6711 0.0077 0.3834 0.0668 0.4175 0.6868 0.5890 0.9304 0.8462 0.5269 0.0920 0.6539 0.4160 0.7012 0.9103 0.7622 0.2625 0.0475 0.7361 0.3282 0.6326 0.7564 0.9910 0.3653 0.2470 0.9826 0.7227 0.7534 0.6515 0.0727 0.6316 0.8847 0.2727 0.4364 0.7665 0.4777 0.2378 0.2749 0.3593 0.1665 0.4865 0.8977 0.9092 0.0606 0.9047 0.5045 0.5163 0.3190 0.9866 0.4940 0.2661 0.0907 0.9478 0.0737 0.5007 0.3841 0.2771 0.9138 0.5297 0.4644 0.9410 0.0501 0.7615 0.7702 0.8278 0.1254 0.0159 0.6885 0.8682 0.6295 0.7362 0.7254 0.9995 0.8886 0.2332 0.3063 0.3510 0.5133 0.5911 0.8460 0.4121 0.8415 0.2693 0.4154 0.5373 0.4679 0.2872 0.1783 0.1537 0.5717 0.8024 0.0331 0.5344 0.4985 0.9554 0.7483 0.5546 0.8907 0.6248 0.8420 0.1598 0.2128 0.7147 0.1304 0.0910 0.2746 0.0030 0.4143 0.0269 0.7098 0.9379 0.2399 0.1809 0.3175 0.8870 0.6521 0.1503 0.6813 0.3858 0.3877 0.4997 0.1475 0.5872 0.8456 0.5901 0.9554 0.5561 0.1482 0.9833 0.4088 0.1418 0.5649 0.2521 0.4885 0.4640 0.9611 0.1260 0.1998 0.3192 0.6293 0.1267 0.6513 0.6216 0.8031 0.2478 0.4764 0.3893 0.2033 0.0284 0.9017 0.4265 0.1420 0.9475 0.4103 0.1312 0.8856 0.0922 0.1622 0.0711 0.3653 0.2531 0.1351 0.7832 0.4553 0.3495 0.4523 0.8089 0.9317 0.6516 0.2152 0.6796 0.9089 0.2501 0.8609 0.4713 0.5060 0.6004 0.8176 0.7558 0.4622 0.9514 0.6327 0.4393 0.8247 2.（0，1）均匀分布数据的检验（1）通过计算得均值为()5081.0=X E ，二阶矩为()3423.02=X E ，方差为0842.02=S（2）均基本满足（0，1）均匀分布的均值()21=X E ，二阶矩为()312=X E ，方差为1212=S 所以认为该随机序列基本上符合（0，1）均匀分布。
高一数学必修三复习知识点归纳
高一数学必修三复习知识点归纳1.高一数学必修三复习知识点归纳篇一均匀随机数均匀随机数的产生：我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[0，1]内的任何一个数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此就可以用计算器来产生0～1之间的均匀随机数进行随机模拟，我们常用随机模拟的方法来计算不规则图形的面积。
均匀随机函数：均匀随机函数且只能产生[0，1]区间上均匀随机数。
产生[a,b]区间上均匀随机数：产生[a,b]区间上均匀随机数，如果x是[0,1]区间上的均匀随机数，则x(b-a) +a就是[a,b]区间上的均匀随机数。
计算机通过产生均匀随机数进行模拟实验的思路：(1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的个数，如长度、角度型只用一组即可;而面积型需要两组随机数，体积型需要三组随机数;(2)根据总体对应的区域确定产生随机数的范围;(3)根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式。
2.高一数学必修三复习知识点归纳篇二直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。
如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。
3.高一数学必修三复习知识点归纳篇三直线方程：1.点斜式：y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直线所通过的已知点的坐标，k是直线的已知斜率。
x是自变量，直线上任意一点的横坐标;y是因变量，直线上任意一点的纵坐标。
2.斜截式：y=kx+b直线的斜截式方程：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
此斜截式类似于一次函数的表达式。
随机数产生原理及实现
电子信息与通信工程学院实验报告实验名称随机数的产生课程名称随机信号分析姓名顾康学号U201413323 日期6月6日地点南一楼东204 成绩教师董燕以上为6种分布的实验结果1.均匀分布随机变量X~U(0，1)的一组样本值的模拟值一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到，通常是利用递推公式:Xn=f(Xn-1,.....,Xn-k)1.1 同余法Xn+1 = λXn(mod M)Rn=Xn/MR1 R2...Rn即为（0,1）上均匀分布的随机数列。
而上述方法是伪随机的，{Rn}本质上是递推公式给定的周期序列，周期T可看做logλ（M）。
解决方法是：选择模拟参数并对序列进行统计检验。
1.2选择模拟参数1）周期长度取决于Xo,λ， M的选择2）通过选取适当的参数可以改善随机数的性质几组参考的取值Xo =1 , λ=7 , M=10^10Xo =1 , λ=5^13 , M=2 *10^10Xo =1 , λ=5^17 , M=10^121.3对数列进行统计检验对应序列能否看作X的独立同分布样本，须检验其独立性和均匀性for i=2:1:size %同余法均匀分布x(i)= mod ( v*x(i-1), M);y(i)=x(i)/M;endsubplot(2,3,1);hist(y,100)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(y)% 以0.95的置信度估计样本的参数首先我们的标准是U ~（0，1），而实验值，ACI表示ahat的范围[-0.0030,0], BCI表示bhat的范围[1.0000,1.0030]。
同时样本的均值和方差分别为0.4932和0.0830，结论与理论值很接近。
该样本以0.95的可信度服从（0,1）均匀分布。
2.伯努利分布2.1算法原理若随机变量R服从（0,1），P(X=Xi)=PiP(0)=0, P(n)=∑PiP{P(n-1)<R<=P(n)}=P(n)-P(n-1)=Pn令{P(n-1)<X<=P(n)}={X=Xn} 有P(X=Xn)=Pn从理论上讲，已经解决了产生具有任何离散型随机分布的问题。
均匀分布随机数的产生-Read
第二章补充一随机数的产生方法1.均匀分布随机数的产生产生(0, 1)均匀分布随机数的方法很多,大致可归纳为三大类:1）利用专门的随机数表。
这种随机数随机性和均匀性较好，但是很难产生和存储足够大的随机数表，而仿真有时需要大量的随机数。
2）物理方法产生随机数例如放射粒子计数器，电子管或晶体管噪声发生器等。
这种随机数随机性和均匀性都很好，而且可以产生任意多个随机数。
缺点是没有可重复性，难以对程序和仿真的正确性作检查。
3）数学方法产生随机数常用的方法有：平方取中法和线性同余法。
i.平方取中法：平方取中法是四十年代由冯·诺依曼和梅特罗波利斯(V on Neuman and Metropolis)提出的。
其基本思想是任取一个N位整数作为初值，将初值平方，得到一个2N位的整数，如果初值的平方不是2N位时，高位用0补齐，取中间N 位作第一个随机数。
将第一个随机数平方取中间N位即得第二个随机数，以此类推可得到一系列随机数。
平方取中法虽然简单，但周期较短，产生的随机数的统计性质不好，若初值取得不恰当，还会发生退化现象。
所以必须注意初值的选取。
ii.线性同余法当今应用的大多数随机数发生器是采用线性同余法。
使用线性同余法必须事先提供三个参数；l，u，m．其迭代公式为：x i+1＝(λxi+μ)(mod m)其中，i＝1，2，…λ≠0 。
这里A称为乘子，μ为增量，m为模。
在式中，若给定初值x0(称为种子)，就可迭代算出均匀随机数序列x1、x2、……，将它们除以m，即可得到(0，1)区间均匀分布的随机数xi 。
当μ≠0、λ=1时称为加同余法；当μ=0且λ≠1时，称为乘同余法；当λ≠1且μ≠0时称为混合同余法。
乘同余法的迭代公式为：xi+1=λxi(mod m)例如用乘同余法产生随机数，其中λ=19，m=100，x。
＝11，按下面步骤计算：第i步x i-1λx i-1λx i-1(mod m)1 11 209 92 9 171 713 71 1349 494 49 931 315 31 589 89由于模数m的位数有限，这使得产生的随机数序列到了一定长度后，总会出现重复循环序列的现象。
高二概率知识点及例题
概率与统计一、知识要点1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。
3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。
4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。
5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。
6、频率：事件A 出现的比例。
7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值。
概率的意义1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。
认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
2、游戏的公平性：抽签的公平性。
3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。
——极大似然法、小概率事件4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨的机会是70%”。
5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。
6、遗传机理中的统计规律。
概率的基本性质 1、事件的关系与运算（1）包含。
对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作(B A ⊇⊆或A B)。
不可能事件记作∅。
（2）相等。
若B A A B ⊇⊇且，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B 。
（3）事件A 与事件B 的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。
（4）事件A 与事件B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。
（5）事件A 与事件B 互斥：A B 为不可能事件，即=A B ∅，即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。
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方法三： 计算机模拟试验 计算机模拟试验) 方法三：(计算机模拟试验 我们也可以用计算机产生随机数来模拟该试验. 我们也可以用计算机产生随机数来模拟该试验 (进入 进入EXCEL) 进入
【用模拟的方法估计圆周率的值】 用模拟的方法估计圆周率的值】
在一正方形中随机撒一把豆子， 例2 在一正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估 计圆周率的值。 计圆周率的值。
y 1 0 x
解题步骤： 生两组［0,1］上的均匀随机数， 利用计算机产生两组［ ］上的均匀随机数， 利用计算机产生两组 a1=RAND( ), b1=RAND( ) ； (2)进行伸缩变换：a=a12-1； 进行伸缩变换： 进行伸缩变换 ；
模拟试验
(3)统计试验总数 和落在阴影内的样本点数 1，用几何 统计试验总数N和落在阴影内的样本点数 统计试验总数 和落在阴影内的样本点数N 概型的概率公式计算阴影部分的面积. 概型的概率公式计算阴影部分的面积
1 1 2 1 ( ) 2 2 =7 P(A)= 12 8
2
本方法是用几何概型的概率计 本方法是用几何概型的概率计 算公式来计算该事件的概率 来计算该事件的概率. 算公式来计算该事件的概率
探究：你能设计一个随机模拟的方法来求它的概率吗？ 探究：你能设计一个随机模拟的方法来求它的概率吗？
方法二： 随机模拟的方法 可以做两个带有指针(分针 随机模拟的方法) 分针) 方法二：(随机模拟的方法 可以做两个带有指针 分针 的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘， 的圆盘，标上时间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在 离开家前能得到报纸的次数， 离开家前能得到报纸的次数，则 父亲在离家前能得到报纸的次数 P(A)=——————————————— 试验的总次数
3.3.2 均匀随机数的产生
均匀随机数
对于区间[a,b],实验结果 是该区间内的任何一 实验结果X是该区间内的任何一 对于区间 实验结果 个实数，且是等可能出现。 个实数，且是等可能出现。则X为[a,b]上的均 为 上的均 匀随机数。 匀随机数。 1.计算器实现 计算器实现 2.电脑中实现 在Excel中产生［0,1］区间 电脑中实现:在 中产生［ ］ 电脑中实现 中产生 上均匀随机数. 上均匀随机数 rand() 产生［ 若(1) 产生［0,100］区间上均匀随机数呢？ ］区间上均匀随机数呢？ (2) 产生［100,150］区间上均匀随机数呢？ 产生［ ］区间上均匀随机数呢？ (3) 产生［a,b］区间上均匀随机数呢？ 产生［ ］区间上均匀随机数呢？
计算机随机模拟法是研究随机事件概率的重要方法. 计算机随机模拟法是研究随机事件概率的重要方法 此试验可从以下几方面考虑： 此试验可从以下几方面考虑： (1)根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随 根据影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随 机数的组数， 长度、角度型只用一组即可 只用一组即可； 面积型需 机数的组数，如长度、角度型只用一组即可；而面积型需 要两组随机数, 体积型需要三组随机数 需要三组随机数； 要两组随机数 体积型需要三组随机数； (2)根据试验对应的区域确定产生随机数的范围； 根据试验对应的区域确定产生随机数的范围； 根据试验对应的区域确定产生随机数的范围 (3)根据事件 发生的条件确定随机数所应满足的关系式 根据事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式 根据事件 的是用模拟的方法得到的计算结果是近似的 计算结果是近似的， 需要注意的是用模拟的方法得到的计算结果是近似的， 是估计值. 是估计值
落在圆内的豆子数 的公式： 求π的公式： π= ——————————×4 ×
落在正方形内的豆子数
模拟试验
【用模拟的方法近似计算不规则图形的面积】 用模拟的方法近似计算不规则图形的面积】
利用随机模拟方法计算曲线y=x2及y=1所围成的图 例3 利用随机模拟方法计算曲线 所围成的图 形的面积. 形的面积
假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30 6:30— 例1 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30— 7:30之间把报纸送到你家 之间把报纸送到你家, 7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在 早上7:00 8:00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸( 7:00— 之间, 早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称 为事件A)的概率是多少? A)的概率是多少 为事件A)的概率是多少?