方程的根与函数的零点(20200618081827)
方程的根与函数的零点(精选7篇)
方程的根与函数的零点（精选7篇）方程的根与函数的零点篇1第一课时： 3.1.1教学要求：结合二次函数的图象，推断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；把握零点存在的判定条件.教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，把握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.教学过程：一、复习预备：思索：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系：① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？② 依据以上探讨，让同学自己归纳并发觉得出结论：→推广到y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.④ 争论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点⑤ 练习：求下列函数的零点；→ 小结：二次函数零点状况2、教学零点存在性定理及应用：① 探究：作出的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观看f(2)和f(0)的符号②观看下面函数的图象，在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞）. 在区间上______(有/无)零点； _____0（＜或＞).③定理：假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试争论一些函数值→分别用代数法、几何法）⑤小结：函数零点的求法代数法：求方程的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.⑥ 练习：求函数的零点所在区间.3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题（老师计算机演示，同学回答）2. 求函数的零点所在区间，并画出它的大致图象.3. 求下列函数的零点：；；；.4.已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）假如函数至少有一个零点在原点右侧，求的值.5. 作业：p102, 2题；p125 1题其次课时： 3.1.2用二分法求方程的近似解教学要求：依据详细函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使同学体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具.教学过程：一、复习预备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x) 的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点假如函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 探究：一元二次方程求根公式？三次方程？四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探究史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却始终没有胜利，到了十九世纪，依据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的讨论，人们熟悉到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当简单，一般来讲并不相宜作详细计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中非常重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤：① 出示例：有12个小球，质量匀称，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （让同学们自由发言，找出最好的方法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端肯定有重球其次次，两端各放三个球，低的那一端肯定有重球第三次，两端各放一个球，假如平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？② 探究：的零点所在区间？如何找出这个零点？→ 师生用二分法探究③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：a.确定区间，验证，给定精度ε；b. 求区间的中点；c. 计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；d. 推断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.2. 教学例题：① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）② 练习：求函数的一个正数零点（精确到）3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注意二分法思想三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程的解的个数及其大致所在区间.3. 用二分法求的近似值；4. 求方程的实数解个数：；5. 作业：p102 3，4题，阅读p105框图方程的根与函数的零点篇2一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。
方程的根与函数的零点(最终版)
10
8
6
函数图象
方程的根
7
x2 2x 36 0
5
f
(x)
x2
4
2x
3
3
2
1
4
-3
2
-1
1
2
1
2
8
6
3 -3
4 -4
y5
x1 3
x2 1
2x 1 0
f ( x) 5 2x 1
4
3
2
4
6
1
8
10
4
2 15
0
1
2
3
4
2 10
4
x0
函数图象与x轴 的交点坐标
(-3, 0) (1, 0)
(0, 0)
例二、已知函数 y f (x) 是R上的连续函数，观
察下表，判断函数在哪些区间内一定存在零点， 并简述理由。
x123456789
f(x) 0.2 0.4 -0.4 -0.3 1 6 8 -3 -1
例三、试判断函数 f (x) ex x 4是否有零点， 若有，有几个？
解：因为 f (1) e 3 0 且 f (2) e2 2 0 所以函数在区间(1, 2) 存在零点；
零点：对于函数 y f (x)，我们把使 f (x)=0的 实数x叫做函数 y f (x)的零点。
代数方面：零点就是方程 f (x)=0 的实根 图形方面：零点就是函数 y f (x) 的图象
与x轴交点的横坐标
判断方程 f (x) 0 是否有实根 判断函数 y f (x) 的图象与x轴是否有交点
判断函数 y f (x) 是否有零点
1
f (x) x2 x 6
高中数学_【课堂实录】方程的根与函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思
多媒体，教材五、教师导学过程（一）新知探究如图为函数()f x在[]4,4-上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程()0f x=的实根的个数？问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？1、函数的零点对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
引申：三个等价问题：函数f(x)有零点⇔方程f(x)=0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点练习1.下列图象表示的函数中没有零点的是：( A )该问题由学生自主探究完成.体现数学中的转化思想练习1考察函数零点等价于函数图象与x轴交点横坐标练习2.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.2、函数零点存在性定理 （1）定理探究思考1：观察下列甲、乙两组画面，请你判断一下小王从A 地到B 地是否一定要渡过这条小河？思考2：练习2考察函数零点等价于对应方程的根.()()()()()()()()2331;224;323;41log .xx f x f x x x xf x f x x +==++=-=-()()0f a f b ⋅<将小河抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。
请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？A、B两点在x轴的两侧思考3：A、B两点在x轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？()()0f a f b<思考4：A，B间的函数图象连续不断,且()()0f a f b<，则函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点吗？即函数在（a，b）内一定有零点吗？（2）定理生成函数零点的存在性定理:如果函数()y f x=在区间[],a b上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b<，那么，函数()y f x=在区间(),a b内有零点，即存在(),c a b∈,使得()0f c=，这个c 也就是方程的根。
思考：判断下列结论是否成立.（3）例题解析结合思考问题引导学生给出定理总结：定理使用中注意的问题方法一：零点存在性定理练习：函数的零点所在的一个区间是（B ）．A （-2，-1）B（-1，0) C ( 0,1 ) D (1,2)变式训练：判断函数()23xf x x=+的零点个数．由于函数f(x)在R上单调递增，且f(-1)f(0)<0,故只有一个零点.方法二：图象法()23xf x x=+通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。
最新湘教版高中数学《方程的根与函数的零点》教学课件
一 方程的根与函数的零点
我们已经知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，就是二次函数y= ax2＋ bx＋c的零点，也就是该函数图象与x轴交点的横坐标.
更一般地，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的零点.对不能 用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，利 用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.
一 方程的根与函数的零点
设函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，如果在区间［a，b］的左端x ＝a处，曲线在x轴上方，而在x＝b处，曲线在x轴下方，则可以断定，曲线一定 会和x轴在(a，b)内的某点处相交，如图4.4-1. 一般地，当x从a到b逐渐增加时， 如果f(x)连续变化而且f(a)·f(b)＜0，则 存在点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果知道 y＝f(x)在区间［a，b］内单调递增或单 调递减，就进一步断定，方程f(x)＝0在 (a，b)内恰有一个根.
图4.4-1.
一 方程的根与函数的零点
例 1 讨论函数y(x)＝2x3－5在区间(1，2)内零点的个数. 解 由于 f(1)=－3<0，f(2)=11>0 ， 又f(x)的图象单调递增，因此函数f(x)在区间(1，2)内零点的个数为1.
运用函数的思想来求方程的解可以给我们带来很大的便利.例如一个方程f(x) ＝g(x)的解就可以看作两个函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象公共点的横坐标，或函 数y＝f(x)－g(x)的零点.从这个角度出发，我们可以从图象来观察方程解的个数 和分布情况.
用计算机软件可作出函数图象， 如图4.4-3所示.
图4.4-3
一 方程的根与函数的零点
从图上可以看出，f(x)=x3－3x2+1在区间(－1，0)，(0，1)和(2，3)内各有一个 零点.由于f(x)=x3－3x2+1=x2 (x－3)+1在(－∞，－1］上为负，在［3，+∞)上为 正，故只有这三个零点.
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点1. 引言在数学中，方程的根和函数的零点是非常重要的概念。
它们在代数、微积分、几何等多个领域中都有着广泛的应用。
本文将详细介绍方程的根和函数的零点的概念及其在数学中的应用。
2. 方程的根2.1 什么是方程的根？方程是通过等号连接的两个算式，其中包含一个或多个未知数。
方程的根指的是能够使方程等式成立的未知数的取值。
比如，对于一元二次方程ax2+bx+c=0来说，方程的根就是使等式成立的x的值。
2.2 方程的根的分类根据方程的次数和复数域中的性质，方程的根可以分为以下分类：•一元一次方程：ax+b=0，其中a eq0。
该方程的根为$x=-\\frac{b}{a}$。
•一元二次方程：ax2+bx+c=0，其中a eq0。
该方程的根可以通过求解二次方程的判别式来得到：–当b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
–当b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根。
–当b2−4ac<0时，方程有两个共轭复根。
•一元三次方程、一元四次方程以及更高次的方程，求解根的方法相对复杂。
2.3 方程根的性质方程根的性质是研究方程的重要内容之一。
以下是一些常见的方程根的性质：•一元一次方程的根：即线性方程ax+b=0的根，其中a和b为常数。
该方程的根为 $x=-\\frac{b}{a}$。
由此可见，一元一次方程的根只有一个，且是唯一的。
•一元二次方程的根：即二次方程ax2+bx+c=0的根，其中a、b和c为常数。
根据判别式b2−4ac的值，可以分为实数根和复数根。
当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
3. 函数的零点3.1 什么是函数的零点？函数是自变量和因变量之间的关系，函数的零点即函数取值为零的点。
对于实数域上的函数f(x)，其零点即满足f(x)=0的x的值。
3.2 函数的零点与方程的根的联系函数的零点与方程的根有很密切的联系。
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
《方程的根与函数的零点》 知识清单
《方程的根与函数的零点》知识清单一、方程的根方程是指含有未知数的等式，而方程的根就是使方程成立的未知数的值。
比如，对于方程 x ＋ 2 ＝ 5 ，当 x ＝ 3 时，等式成立，所以 x ＝ 3 就是这个方程的根。
再比如，二次方程 x² 5x ＋ 6 ＝ 0 ，通过求解可以得到 x ＝ 2 或 x ＝ 3 ，这两个值就是该方程的根。
方程的根可能是一个、多个，甚至在某些情况下可能没有实数根。
二、函数的概念函数可以理解为一种对应关系。
假设有两个非空数集 A 和 B ，对于集合 A 中的任意一个数 x ，按照某种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，那么就称 f 是从集合 A 到集合 B 的一个函数。
比如，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 ，对于任意给定的 x 值，都能通过这个式子计算出唯一的 y 值。
函数通常用 y ＝ f(x) 来表示，其中 x 称为自变量， y 称为因变量。
三、函数的零点函数的零点就是函数图象与 x 轴交点的横坐标。
也就是说，使得函数 y ＝ f(x) 的值为 0 的 x 的值，就是函数的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1 ，当 f(x) ＝ 0 时， x ＝ 1 ，所以 x ＝ 1就是函数 f(x) 的零点。
函数的零点不是一个点，而是一个数值。
四、方程的根与函数的零点的关系方程 f(x) ＝ 0 的根就是函数 y ＝ f(x) 的零点。
如果函数 y ＝ f(x) 的图象是连续不断的，并且在区间（a, b) 内有f(a)·f(b) ＜ 0 ，那么在区间（a, b) 内至少存在一个零点，即存在 c ∈（a, b) ，使得 f(c) ＝ 0 。
这就是零点存在定理。
例如，函数 f(x) ＝ x² 2x 3 ，令 f(x) ＝ 0 ，即 x² 2x 3 ＝ 0 ，解得x ＝－1 或 x ＝ 3 。
这两个值就是方程的根，同时也是函数的零点。
方程的根及函数零点
方程的根与函数的零点函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二次函数的零点：二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）． ② 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．③ （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）．③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。
方程的根与函数的零点
即12a 2 0
a 1
小结
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点的求法
代数法
图像法
函数零点存在性原理
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
y
0a
bx
思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
y
bbb bb
b
0 a b b bb bb x
例 2：若方程2ax2 x 1 0在0,1内
恰有一解，则a的取值范围（ ）
A．a 1 B．a 1 C．1 a 1 D．0 a 1
典错：令 f (x) 2ax2 x 1在0,1内恰有一解，则 f (0) f (1) 0。
y
函数 y f (x) x1 0
方程
x
2 x f (x) 0
一元二次方程与相应二次函数图像的关系
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
方程的根与函数的零点 课件
如y＝图|lo所ga示x|(．0<a<1)的图象如图所示．
由图可知，两函数的图象有两个交点，
由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数 所以函数
yy＝＝22xx||llooggaaxx||－－11
有两个零点． 有两个零点．
[解] 由 f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中分别画出 y＝|2x－2|与 y＝b 的图象，如图所示．
已知 0<a<1，则函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
思路探究：
构造函数fx＝a|x|0<a<1 与gx＝|logax|0<a<1
→
画出fx与 gx的图象
→
观察图象得 零点的个数
B [函数 y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方 程 a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数 f(x) ＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点 的个数． 画出函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的 图象，如图所示，观察可得函数 f(x)＝a|x|(0<a<1)与 g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象 的交点的个数为 2，从而函数 y＝a|x|－|logax|的零点的个数为 2.]
判断函数零点所在的区间
(1)函数 f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )
A．(3,4)
B．(2，e)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方程的的零点根与函数
表格法是用表格的形式来表示 函数，通过输入值和对应的输 出值来展示函数的对应关系。
图象法是用图象来表示函数， 通过绘制函数的图像来直观地
展示函数的对应关系。
函数的性质
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。
奇偶性是指函数图像关于原点对称还是关于y轴对称；单调性是指函数在某个区 间内是递增还是递减；周期性是指函数图像是否具有周期性；对称性是指函数图 像是否具有对称性。
03
函数与零点、根的关系
函数零点的求法
定义法
根据函数零点的定义，如果 $f(x)=0$的解为$x=a$，则称$a$
为函数$f(x)$的零点。
图像法
通过观察函数的图像，找到与$x$ 轴交点的横坐标即为函数的零点。
迭代法
通过不断迭代函数，找到满足 $f(x)=0$的解。
函数根的求法
01
02
03
代数法
解决实际问题
在解决一些实际问题时， 可以通过寻找函数的零点 或根来找到问题的解。
数学建模
在数学建模中，函数的零 点或根可以作为模型中的 参数或变量，用于描述和 解决实际问题。
04
方程的零点、根与函数的实例 分析
一元二次方程的零点与根
01
一元二次方程的零点
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的零点是 $x_1, x_2$，其中 $x_1,
未来研究方向
深入理论研究
01
随着数学和其他学科的发展，需要进一步深入研究和探索零点、
根与函数的理论基础和应用范围。
跨学科研究
02
加强与其他学科的交叉研究，探索这些概念在不同领域的应用
(培训课件)方程的根与函数的零点
总结词
详细描述
函数单调性与零点存在性
单调性决定了函数在某个区间内是否具有零点。
总结词
如果函数在某个区间内单调递增或递减，那么该区间内至少存在一个零点。这是因为单调递增的函数在某个区间内从负值增加到正值，必然经过零点；同样，单调递减的函数从正值减少到负值，也必然经过零点。
理解方程的根与函数的零点的概念和关系。 掌握求解方程的根的方法，包括直接求解法和利用函数零点求解法。 能够运用函数零点求解法解决实际问题。 学习目标
方程的根
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PART.02
方程的根是指使方程成立的未知数的值。 定义 方程的根具有对称性，即如果x是方程的根，那么-x也是方程的根。 性质 定义与性质
详细描述
判断函数值的正负与零点的关系
总结词
通过判断函数在不同区间的函数值的正负，可以确定零点的存在性和位置。
详细描述
实际应用案例
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PART.05
解实际问题的方程根与零点应用
数学建模中的方程根与零点应用
在描述物理现象的数学模型中，方程的根和零点可以用于解决诸如振动、波动和力学等问题。例如，利用二次方程的根来研究简谐振动的周期和幅度。
学习收获与感悟
通过本章学习，我深入理解了方程的根与函数的零点之间的关系，对数学概念有了更清晰的认识。 通过一元二次方程的解法，我学会了多种解题技巧，提高了数学运算能力。 我掌握了如何运用函数零点存在定理解决实际问题，提高了数学应用能力。 本章内容对于后续数学知识的学习具有重要意义，为我的数学学习奠定了坚实的基础。
将函数表达式代入方程$f(x)=0$，求解得到x的值。
方程的根与函数的零点课件
方程的根与函数的零点课件方程的根与函数的零点课件方程的根和函数的零点是数学中常见的概念，它们在代数和分析中起着重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨方程的根和函数的零点的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、方程的根方程的根是指使方程成立的未知数的值。
对于一元方程而言，它的根就是使方程成立的实数或复数。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，它的根是2和-2，因为当x取2或-2时，方程左边等于右边。
方程的根可以分为实根和复根。
实根是指方程的根为实数，而复根是指方程的根为复数。
实根在代数和几何中都有广泛的应用，而复根则在复数领域的研究中扮演着重要的角色。
二、函数的零点函数的零点是指使函数取零值的自变量的值。
对于一元函数而言，它的零点就是使函数等于零的实数或复数。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 4，它的零点是2和-2，因为当x取2或-2时，函数的值为0。
函数的零点也可以分为实零点和复零点。
实零点是指函数的零点为实数，而复零点是指函数的零点为复数。
实零点在函数的图像中对应于函数与x轴的交点，而复零点则在复平面上。
三、方程的根与函数的零点的关系方程的根与函数的零点之间存在着密切的联系。
当我们求解一个方程时，实际上就是在寻找函数的零点。
方程的根可以通过求解方程的过程得到，而函数的零点可以通过求解函数的过程得到。
在代数中，我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等方法来求解方程，从而得到方程的根。
而在分析中，我们可以通过数值计算、图像分析等方法来求解函数，从而得到函数的零点。
四、方程的根与函数的零点的应用方程的根和函数的零点在实际问题中有广泛的应用。
例如，在物理学中，方程的根可以用来求解物体的运动轨迹、力学平衡等问题。
在工程学中，函数的零点可以用来求解电路中的电流、电压等问题。
此外，方程的根和函数的零点还在计算机科学、经济学、生物学等领域中发挥着重要的作用。
在计算机科学中，方程的根可以用来求解算法的收敛性和稳定性。
3.1.1方程的根与函数零点
课题：§方程的根与函数的零点教学目标：1、知识技能：理解函数〔结合已学的函数〕零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件．2、情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点、难点：重点：函数零点与方程的根之间的联系，及连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：理解函数零点与方程的根之间的联系，探究发现函数存在零点的判定方法。
教学方法：本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，师生互动的教学方法。
教学过程一、提出问题问题1、求以下方程的根：(1)2x-1=0 (2)x2-2x-3=0问题2、方程-x３-３x＋５=0的根怎么求？二、初步探究问题3、作出以下函数的图象：〔1〕y=2x-1 〔2〕y=x2-2x-3〔3〕y=x2-2x+1 〔4〕y=x2-2x+3各图象与以上方程的根分别有什么联系？三、形成概念归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
定义：对于函数y=f(x),我们把f(x)=0的实数x叫函数y=f(x)的零点(zero point).练习：利用函数图象判断各方程有没有根,有几个根：⑴-x2+3x+5=0 ⑵ 2x(x-2)=-3⑶x2=4x-4 ⑷5x2+2x=3x2+5四、组织探究：请观察以下图，这是气象局测得某地特殊一天的一X气温变化模拟函数图〔即一个连续不间断的函数图象〕，由于图象中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？归纳：假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根。
说明：这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值。
方程的根与函数的零点教案（精选6篇）
方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案（精选6篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，就不得不需要编写教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
教案应该怎么写呢？下面是小编整理的方程的根与函数的零点教案，仅供参考，欢迎大家阅读。
方程的根与函数的零点教案篇1学习目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;2. 掌握零点存在的判定定理.学习过程一、课前准备（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）复习1：一元二次方程 +bx+c=0 （a 0）的解法.判别式 = .当 0，方程有两根，为 ;当 0，方程有一根，为 ;当 0，方程无实根.复习2：方程 +bx+c=0 （a 0）的根与二次函数y=ax +bx+c （a 0）的图象之间有什么关系?判别式一元二次方程二次函数图象二、新课导学学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .② 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .③ 方程的解为，函数的图象与x轴有个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .你能将结论进一步推广到吗?新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）.反思：函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?试试：（1）函数的零点为 ;（2）函数的零点为 .小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点.探究任务二：零点存在性定理问题：① 作出的图象，求的值，观察和的符号② 观察下面函数的图象，在区间上零点; 0;在区间上零点; 0;在区间上零点; 0.新知：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.讨论：零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.典型例题例1求函数的零点的个数.变式：求函数的零点所在区间.小结：函数零点的求法.① 代数法：求方程的实数根;② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.动手试试练1. 求下列函数的零点：练2. 求函数的零点所在的大致区间.三、总结提升学习小结①零点概念;②零点、与x轴交点、方程的根的关系;③零点存在性定理知识拓展图象连续的函数的零点的性质：（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.学习评价自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 函数的零点个数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 42.若函数在上连续，且有 .则函数在上（）.A. 一定没有零点B. 至少有一个零点C. 只有一个零点D. 零点情况不确定3. 函数的零点所在区间为（）.A. B. C. D.4. 函数的零点为 .5. 若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点.则的零点个数为 .课后作业1. 求函数的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.2. 已知函数 .（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点;（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值.方程的根与函数的零点教案篇2教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
函数的零点与方程的根的求解
函数的零点与方程的根的求解在数学中，函数的零点与方程的根都是指能使函数取值为零的变量值或方程的解。
求解函数的零点和方程的根在数学和实际应用中都有重要的意义。
本文将介绍一些基本的求解方法和一些实际应用。
一、函数的零点求解函数的零点是指使函数取值为零的变量值。
求解函数的零点可以通过以下几种方法进行：1. 图像法：通过观察函数的图像，找到函数与x轴相交的点。
这种方法在函数图像相对简单，且有明显的交点时比较适用。
2. 代入法：将函数中的变量值替换为0，然后解方程求解变量值。
这种方法适用于一些简单的函数表达式，例如线性函数。
3. 迭代法：通过迭代计算逼近函数的零点。
迭代法通常需要通过设定一个初始值，然后根据一定的迭代公式逐步逼近零点。
4. 数值逼近法：使用数值方法求解函数的零点，例如二分法、牛顿法等。
这些方法会利用函数在某个区间内的性质进行迭代，逐步逼近零点。
二、方程的根求解方程的根是指使方程成立的变量值。
方程的根求解可以通过以下几种方法进行：1. 代数解法：将方程转化为标准形式，然后利用代数的性质进行求解。
例如，对于一元二次方程可以使用求根公式进行求解。
2. 图像法：绘制方程和常数曲线的图像，观察图像的交点即为方程的根。
这种方法适用于一些简单的方程，例如线性方程。
3. 迭代法：通过迭代计算逼近方程的根。
迭代法适用于无法通过代数方法求解的方程，通过不断迭代逼近根的值。
4. 数值逼近法：使用数值方法求解方程的根，例如二分法、牛顿法等。
这些方法会利用方程的特点进行迭代，逐步逼近根的值。
三、实际应用函数的零点和方程的根在实际应用中有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以使用函数的零点来求解物体的运动方程；在经济学中，可以使用方程的根求解经济模型的均衡点；在工程学中，可以使用函数的零点来求解系统的稳定状态等。
总结：函数的零点与方程的根的求解是数学中重要的内容，它们在数学理论和实际应用中都有重要的意义。
求解函数的零点和方程的根可以使用各种方法，其中包括图像法、代入法、迭代法和数值逼近法等。
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．比如，由于方程f (x )＝lg x ＝0的解是x ＝1，所以函数f (x )＝lg x 的零点是1．注意 函数的零点不是点 我们把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y ＝f (x )与x 轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f (x )＝x ＋1，当f (x )＝x ＋1＝0时仅有一个实根x ＝－1，因此函数f (x )＝x ＋1有一个零点－1，由此可见函数f (x )＝x ＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f (x )＝x 2－1的零点是( ) A ．(±1,0) B ．(1,0) C ．0 D ．±1解析：解方程f (x )＝x 2－1＝0，得x ＝±1，因此函数f (x )＝x 2－1的零点是±1．答案：D2【例2】若abc A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2解析：∵b 2＝ac ，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4b 2＝－3b 2．又∵abc ≠0，∴b ≠0．因此Δ＜0．故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f (x )＝0有实根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数f (x )有零点．【例3－1】若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，求a ，b 的值．解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点就是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，故方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a ，b 的值．解：由题意，得方程x 2＋ax ＋b ＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4),2(4),a b +-=-⎧⎨⨯-=⎩即(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联系密切，下面以a ＞0为例列表说明．因此，对于二次函数的零点问题，我们可以像研究一元二次方程那样，探讨方程的判别式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D 点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x ＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程F (x )＝0即方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F (x )的零点问题转化为函数f (x )与g (x )图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x 2＋7x ＋6；(2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)；(3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝24122x x x +--．解析：分别解方程f (x )＝0得函数的零点．解：(1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0，得x ＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6． (2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26．故函数的零点是log 26． (4)解方程f (x )＝24122x x x +--＝0，得x ＝－6．故函数的零点为－6．辨误区 忽略验根出现错误 本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f (x )＝ln x －11x -的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：在同一坐标系中画出函数y ＝ln x 与11y x =-的图象如图所示，因为函数y ＝ln x 与11y x =-的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －11x -的零点个数为2．答案：C ,5．判断零点所在的区间零点存在性定理 如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点（至少一个），即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1) 当函数y ＝f (x )同时满足：①函数的图象在区间[a ，b ]上是连续曲线；②f (a )·f (b )＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 解：【例5－2】函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )（提示先做图） A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0．∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布（正负分布）所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2 ①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔c a ＜0． ④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0． (2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程的根的k 分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意． (2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]． 点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时，(1)方程有一根；(2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根． (2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩ 解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．知识应用考点一 函数零点的求法1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ）A、1-+、1- C、1-、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、33. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)4. 求证方程231x xx -=+在(0,1)内必有一个实数根.5．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( )A ．0B ．1C ．2D ．36 已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．7. 若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是___________8.函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．A.0个B.1个C.2个D.3个考点二 零点存在性定理1.xA.(－1,0) B ．(0,1)2．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)3. 设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4. 若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．考点三 一元二次方程根的分布1.已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，(1)方程有一正一负两根； (2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.2. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.3. 已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．4. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.。
方程的根与函数的零点 课件
f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.
结合选项可判断选A.
方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x的图象, 由图象知h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)= ln(x-1)+0.01x有且只有一个零点.
类型三 确定函数零点所在的区间
【典例】1.函数f(x)=lnx- 2 的零点所在的大致区间是 ( )
【总结提升】 1.函数f(x)在区间[a,b]上的零点的情况 (1)有唯一零点: 此时f(x)在[a,b]上与x轴有唯一公共点或f(x)在[a,b]上满足以下 三条: ①图象是连续不断的一条曲线; ②f(a)·f(b)<0; ③f(x)在[a,b]上是单调函数.
(2)有多个零点:
此时f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①且图象多次与x轴相交.
和b的值.
【解题探究】1.典例1中要求函数的零点,只要使该函数的值怎样? 提示:令y=4x-2=0,求解方程即可. 2.典例2中函数的零点2如何利用? 提示:将2代入该函数,此时函数值等于0,解方程即可. 3.典例3中的两个零点与a,b有何关系? 提示:2和3是方程x2-ax-b=0的两根,则有2+3=-(-a),2×3=-b.
幂函数y=xα
α>0 α≤0
零点(或零点个数)
一个零点
b k
无零点
两个零点 b
2a
一个零点 b
2a
无零点 无零点 一个零点1 一个零点0 无零点
知识点2 函数零点的判断 观察图形,回答下列问题:
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课题： 3.1.1 《方程的根与函数的零点》教材：人教A 版教材必修1一、教材分析（一）内容《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》 A 版必修 1 第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．（二）地位函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．（三）教学目标1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2. 通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比T归纳T应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．3. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．（四）重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．二、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．三、教法、学法与教学手段在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“ 设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。
在学法上，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台.在教学手段上，我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣•二是配以我校特色的导学案，它能带动学生激活思维，又能有效提升从“已知”到“未知”的能力迁移，还能记录学生整堂课的思维过程.四、教学过程为了达到突出重点，突破难点的目的，在教学过程上，我设置了七个环节：(一)读数学史，引入课题。
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题•如约公元50〜100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法……这比西方要早三百多年。
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法，是具有世界先驱意义的首创。
问题1判断下列方程根的个数，并求解。
(1 1二 A ( 2 ),-敕 L.那厂问题2分别作出下列函数的图形，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？(1) •一- (2) - :【设计意图】问题1与问题2旨在让学生观察分析得到方程的根就是对应函数与x轴的交点的横坐标，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系•教学过程中教师初步提出零点的概念，让学生理解零点是连接函数与方程的结点.问题3对于方程f x =0与函数y二f x是否也有类似的结论呢？【设计意图】从问题1、2到问题3，由特殊到一般，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供了思考、创造、表现和成功的舞台•教学过程中，教师利用几何画板动态演示，让学生从动态的角度体会方程的根与函数的零点之间的关系，弓I出函数零点的定义•同时也能培养学生的归纳概括能力.函数的零点：对于函数y = f x，我们把使f x]=0的实数x叫做函数y=f x的零点.(二)技能演练，归纳推广。
求下面函数的零点.(1) f (X) =lg(x -1)2(2) f (x)二x -5x 6(3)「ZT归纳：函数y=f x的零点就是方程f x]=0的根，也就是函数y = f x的图象与x轴交点的横坐标.所以：方程f x =0有实数根：二函数y = f x的图象与x轴有交点：二函数y = f x有零点.【设计意图】此环节的设置，是因为我在以前的教学过程中发现，学生经常将零点写成坐标点的形式，通过学生对这一环节的解决，加上老师及时进行点评和纠正，让学生从错误中加深对零点定义的理解•通过此环节，可以突出本课的重点，实现理解函数零点定义的教学目标.(三)合作探究，揭示定理。
问题：已知函数f x i；= lnx，2x-6，此函数是否有零点？有几个？试确定零点所在的区间？【设计意图】在思考设置这一环节时，我注意到了教科书是利用二次函数进行的的探究，但结合以往的教学经验，课本上的探究只能达到揭示定理的目的，对于“定理的充分非必要性即函数在区间上有零点但不一定有端点函数值异号”这一难点却无法进行突破。
因此我改为让学生合作讨论，学生在探索交流过程中，可能出现把函数化归成两个初等函数的图象，通过图象交点个数解决原函数零点的个数，也可能利用绘制原函数的图像及单调性求解零点个数。
教师选择有代表性的探究结果进行展示和点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，以及分析出现上述多种可能结果的原因，达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，突破了难点.定理：如果函数y二f x在区间〔a, bl上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f a f b ： 0，那么，函数y=f x在区间a,b内有零点，即存在c， a,b，使得f c =0，这个c也就是方程f x =0的根.问题：(1)函数y=f(x)在区间la,b上连续且f(a)f(b)>0,则f(x)在(a,b)一定无零点吗？(2)函数y=f(x)在区间［a,b］上连续且在(a,b)有零点，一定有f(a)f(b)<0吗？(3)函数y=f(x)在区间［a,b］上连续且f(a)f(b)<0，则f(x)一定只有一个零点吗？什么条件下只有一个零点？(4)函数y=f(x)在区间［a,b］上连续且若f(a)f(b)<0，则f(x)一定有奇数个零点吗？(5)函数y=f(x)在区间［a,b］上连续能改成在(a,b)上连续吗？(四)题组训练，检验成果。
12不求a, b, c的值，判断方程ax2+ bx+ c= 0的两根所在的区间是()A . (-3，- 1)和(2,4)B . (-3，- 1)和(-1,1)C . (- 1,1)和(1,2)D . (-^，-3)和(4，+旳2.判定方程e x- - 2=0的一个根所在区间是( )A . (-1，0)B . ( 0，1 )C . ( 1，2)D . (2，3)【设计意图】立足教材，给学生提供一个完整的运用知识的平台，帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力，三个反馈练习，使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题，加深对函数在某一区间上存在零点的判定定理的理解，再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点.归纟纳：由于函数与方程的特殊关系，所以讨论函数零点个数问题常用的方法是：(1 )解方程；(2 )画图象；(3)利用f a f b 0及函数的单调性.同时这些方法又是有机联系的.(五)反思小结，培养能力。
1•你通过本节课的学习，有什么收获？(1)一个关系：函数零点与方程根的关系;(2)两种思想：函数与方程思想，数形结合思想；(3 )三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间.教师总结：函数零点方程根，数形结合转化神。
端点y值积为负，函数连续要记准。
2 .对于本节课学习的内容你还有什么疑问？【设计意图】在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容概括一个关系，两种思想，三种题型.进一步优化学生的认知结构，把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力. (六)布置作业，巩固提高必做题：《教材》第88页：第1、2题选做题：思考如何确定函数f x i=lnx，2x-6零点的近似值【设计意图】围绕课堂的重点，分层布置作业，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，利于拓展学生的自主发展的空间.五、评价分析无论是问答式的提问，还是学生的课堂练习，或是学生的探究结果，都要给学生的答案一个肯定的评价，要求客观，真实，同时主要对学生给予激励。
所以，本节课在评价方面主要采取激励性评价。
六、教学特色本节课的设计，体现了我从教几年来，为了迎接新课改，走进新课程，在教师的教学行为和学生的学习方式进行的几点尝试：1、重视对学生创新意识和实践能力的培养.给学生时间和空间，放手让学生实践.由性质的得出到课堂实验，教师始终关注每一位学生参与探究的全过程，完成教师角色的转变，教师真正成为学生活动的组织者、参与者、咨询者和合作者，只有完成这种角色的转变，才能更好的培养学生的创新意识和实践能力.2、在数学活动中研究，在研究中体验，在体验中提高.数学教学是数学思维活动的教学.本节课力争让学生在数学活动中，独立探究，在探究中形成学习数学的亲身体验，进而内化为数学思想方法和数学观念•力求让学生“感悟到什么、经历到什么、体验到什么和收获到什么”这样一种理念，最终达到培养学生能力和提高学生素质的目的.3、注重利用多媒体实物投影仪对学生的探究结果进行实时评价和反馈. 板书设计“方程的跟与函数的零点”点评搞点评人：官志海(黑龙江省特级教师、黑龙江省实验中学副校长：官志海)本节课的设计，在教师的教学行为和学生的学习方式进行的几点尝试：一、教师重视对学生创新意识和实践能力的培养。
给学生时间和空间，放手让学生实践。
对于零点存在性定理的突破，教师给出一个不可求解的方程。
问题；f(x)=lnx+2x-6零点个数？探究零点是否存在，以及如果存在零点，那么零点有几个的问题。
一方面学生将其转化成两个图像交点的问题来解决；另一方面，学生尝试画f(x)的图像，在画图过程中体会函数值正负的变化。
从而向揭示定理的方向前进。
二、在数学活动中研究，在研究中体验，在体验中提高.数学教学是数学思维活动的教学. 本节课力争让学生在数学活动中，独立探究，在探究中形成学习数学的亲身体验，进而内化为数学思想方法和数学观念•力求让学生“感悟到什么、经历到什么、体验到什么和收获到什么”这样一种理念，最终达到培养学生能力和提高学生素质的目的。