方程的根与函数的零点(20200618081827)

课题： 3.1.1 《方程的根与函数的零点》

教材：人教A 版教材必修1

一、教材分析

（一）内容

《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》 A 版必修 1 第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．

（二）地位函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而

函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．

（三）教学目标1．通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．

2. 通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比T归纳T应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法．

3. 在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．

（四）重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．

二、学情分析

高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特

别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．

三、教法、学法与教学手段

在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“ 设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

在学法上，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台.

在教学手段上，我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣•二是配以我校特色的导学案，它能带动学生激活思

维，又能有效提升从“已知”到“未知”的能力迁移，还能记录学生整堂课的思维过程.

四、教学过程

为了达到突出重点，突破难点的目的，在教学过程上，我设置了七个环节：

(一)读数学史，引入课题。

我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题•如约公元50〜

100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法……这比西方要早三百多年。11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。

13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法，是具有世界先驱意义的首创。

问题1判断下列方程根的个数，并求解。

(1 1二 A ( 2 ),-敕 L.那厂

问题2分别作出下列函数的图形，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？

(1) •一- (2) - :

【设计意图】问题1与问题2旨在让学生观察分析得到方程的根就是对应函数与x轴的交点的横坐标，从

而得到方程实数根与函数图像之间的关系•教学过程中教师初步提出零点的概念，让学生理解零点是连接函数与方程的结点.

问题3对于方程f x =0与函数y二f x是否也有类似的结论呢？

【设计意图】从问题1、2到问题3，由特殊到一般，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供了思

考、创造、表现和成功的舞台•教学过程中，教师利用几何画板动态演示，让学生从动态的角度体会方程

的根与函数的零点之间的关系，弓I出函数零点的定义•同时也能培养学生的归纳概括能力.

函数的零点：对于函数y = f x，我们把使f x]=0的实数x叫做函数y=f x的零点.

(二)技能演练，归纳推广。

求下面函数的零点.

(1) f (X) =lg(x -1)

2

(2) f (x)二x -5x 6

(3)「ZT

归纳：函数y=f x的零点就是方程f x]=0的根，也就是函数y = f x的图象与x轴交点的横坐标.

所以：方程f x =0有实数根：二函数y = f x的图象与x轴有交点：二函数y = f x有零点.

【设计意图】此环节的设置，是因为我在以前的教学过程中发现，学生经常将零点写成坐标点的形式，通过学生对这一环节的解决，加上老师及时进行点评和纠正，让学生从错误中加深对零点定义的理解•通过此环节，可以突出本课的重点，实现理解函数零点定义的教学目标.

(三)合作探究，揭示定理。

问题：已知函数f x i；= lnx，2x-6，此函数是否有零点？有几个？试确定零点所在的区

间？

【设计意图】在思考设置这一环节时，我注意到了教科书是利用二次函数进行的的探究，但结合以往的教

学经验，课本上的探究只能达到揭示定理的目的，对于“定理的充分非必要性即函数在区间上有零点但不一

定有端点函数值异号”这一难点却无法进行突破。因此我改为让学生合作讨论，学生在探索交流过程中，可

能出现把函数化归成两个初等函数的图象，通过图象交点个数解决原函数零点的个数，也可能利用绘制原函数的图像及单调性求解零点个数。教师选择有代表性的探究结果进行展示和点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，以及分析出现上述多种可能结果的原因，达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，突破了难点.

定理：如果函数y二f x在区间〔a, bl上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f a f b ： 0，那么，函数y=f x在区间a,b内有零点，即存在c， a,b，使得f c =0，这个c也就是方程f x =0的根.

问题：