现代机械设计方法复习题【答案2】.doc
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（2）设初始搜索区间为［a, b］＝［0，3］，用0．618法计算两步。
.解：（1）数学模型
设剪去小正方形的边长为x,
则体积V=x（8-2x）2，应为最大。
（2）第一次迭代a1=a+(b-a)=,a2=a+(b-a)=
f =, f =, f
>f ,新区间[a,a ]=[0, ],
1
2
1
2
2
第二次迭代
应用：威布尔分布： 在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失
效的分布形式。 由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿
命试验的数据处理。
三、计算题
1．现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不超过20
度为宽度的2倍，试确定三边长度值，使该储水箱的容积最大，要求其表面积不超过
（2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。
4．试举一个机械优化设计实例。
5．最优化问题的数值迭代计算中，通常采用哪三种终止条件（准则）
6．在有限元分析时，什么情况下适合选择一维、二维和三维单元
7．试说明有限元解题的主要步骤。
（见第六讲课提纲）
结构或区域离散、单元分析、整体分析和数值求解。
8．在进行有限元分析时，为什么要进行坐标转换
可靠度(Reliability)： 产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率，一般记为R。它是时间的函数，故也记为R（t）,称为可靠度函数，是可靠性指标。
11．简述强度 —应力干涉理论中“强度 ”和 “应力 ”的含义，试举例说明之。
这里应力与强度都不是一个确定的值,而是由若干随机变量组成的多元随机函数(随机
中虚线所示，以延长寿命不多。当然，修复若需花很大费用而延长寿命不多，则不如报废更为经济。
5．用图表示坐标轮换法的迭代过程。
二、简答题
1．简述一维优化方法中黄金分割法的求解思路。
【解】黄金分割法也称0．618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始
区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解。
Min F(X)=2x2+x3
剩余尾料为最少
. 2x1+3x3=100
3m的根数等于100
x +2x =100
4m的根数也等于100
1
2
0≤x1
0≤x2
0≤x3
3．有一边长为8cm的正方形铁皮，在四角剪去相同的小正方形，折成一个无盖盒子，剪去小正方形的边长为多少时铁盒的容积最大。
（1）建立该问题的数学模型。
现代机械设计方法试题-----复习使用
考试形式：闭卷（带计算器与尺）
一、图解题
1．图解优化问题：min F(X)=(x1-6)2+(x2-2)2
s．t．0．5x1+x2≤4
3x1+x2≤9
x1+x2≥1
x1≥0,x2≥0
求最优点和最优值。
最优点就是切点坐标：X1=,x2=
最优值：【带入公式结果】
2．若应力与强度服从正态分布，当应力均值μs与强度均值μr相等时，试作图表示两者
3.质量控制： 为了控制实验中的测量 （或实验） 误差， 常以 作为上、 下警戒值， 以 作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布；
4.正态分布是许多统计方法的理论基础。 检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
16．威布尔分布的特点是什么，主要应用在什么方面
f(x1)比较。如此反复。
(b)．f(x1)> f (x2)，淘汰
，另
，得新区间
。
(c)．f(x1)=f (x2)，可归纳入上面任一种情况处理。
迭代过程
2．简述梯度法的基本原理和特点。
3．简述复合型法的基本原理和特点。
基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。比较
各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
求；另一方面要具有可行性。为此，需遵循以下准则：
⑴危害度愈高，可靠性分配值愈高；
⑵无约束条件时，可靠性的分配值允许较高；
⑶复杂程度高，可靠性的分配值应适当降低；
⑷技术难度大，可靠性的分配值应适当降低；
⑸不成熟产品，可靠性的分配值应适当降低；
⑹恶劣环境条件工作的产品，可靠性的分配值应适当降低；
⑺工作时间长的产品，可靠性的分配值应适当降低。
式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度
R=Rn(t )
14．什么是并联模型系统若已知组成系统的n个零件中每个零件的可靠度为R (t)，如
何计算并联系统的可靠度
并联系统可靠性： 并联系统是组成系统的所有单元都失效时才失效的系统。 假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为：
15．正态分布曲线的特点是什么，主要应用在什么方面
可使抗非预期过载的能力增大，从而使失效率显著下降，然而过分地加大，将使产品笨重，不经济，往往也不允许。
(3)耗损失效期， 失效率是递增型。 在t1以后失效率上升较快， 这是由于产品已经老化、疲劳、磨损、蠕变、腐蚀等所谓有耗损的原因所引起的，故称为耗损失效期。针对耗损失效
的原因，应该注意检查、监控、预测耗损开始的时间，提前维修，使失效率仍不上升，如图
(2)偶然失效期，失效率曲线为恒定型，即t0到ti间的失效率近似为常
数。失效主要由非预期的过载、误操作、意外的天灾以及一些尚不清楚的偶然因素所造成。由于失效原因多属偶然，故称为偶然失效期。偶然失效期是
能有效工作的时期， 这段时间称为有效寿命。 为降低偶然失效期的失效率而增长有效寿命，应注意提高产品的质量，精心使用维护。加大零件截面尺寸
Y轴的右边对f (Y)积分，因此可靠度R即为图中Y
轴右边的阴影区域。而失效概率
F=1-R，为图中Y轴左边的区域。
4．用图表示典型产品的失效率与时间关系曲线，其失效率可以分为几个阶段，请分别对这几个阶段进行分析。
失效率曲线 ：典型的失效率曲线。失效率（或故障率）曲线反映产品总
体寿命期失效率的情况。 图示为失效率曲线的典型情况， 有时形象地称为浴盆曲线。失效率随时间变化可分为三段时期：
平方厘米。建立数学模型。
厘米，且长
400
2．要将每根10m长的钢管截成3m和方法。试建立其数学模型。 （提示：钢管有和尾料2m、3根3m和尾料1m。）
4m长的各100根，要求设计出用料最省的下料
3种下料方式，即2根3m和1根4m、2根
4m
.解：建立数学模型
取下料方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的根数分别为x1、x2和x3，取剩余尾料为目标函数，则数学模型为：
H (X
(0)
1
1
x22
)
H(X(0))
2f ( X )
x1x2
2
f ( X )
H ( X
(0))
2
x12
f ( X )
x2x1
2f ( X )
x2x1
2f ( X )
x12
2
2
f ( X )
x1x2
f ( X )
x22
X(1)
X(0)
H(X(0)
1
(0))）
)f ( X
（答案：
X(1)
4
）
2
f ( X )
应用1.估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例；
2.制定参考值范围（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及
可以通过转换后服从正态分布的指标。（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。表3-1
中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握；
4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作曲线的中心位置； 标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。曲线越扁平；
变量),它们都具有一定的分布规律。
应力：载荷、环境因素、应力基中。强度：材料强度、表面粗糙度、零件尺寸。
12．系统可靠性分配的原则。
要是可靠性分配做到合理，必须一方面满足系统的可靠性指标要求和约束条件要
反复迭代计算， 使复合形不断向最优点移动和收缩， 直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。
初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。
方法特点
1）复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较
各点处函数值的大小， 就可寻找下一步的探索方向。 但复合形各顶点的选择和替换， 不仅要满足目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约束条件。
（见第七讲课提纲）
答：在工程实际中， 杆单元可能处于整体坐标系中的任意一个位置，需要将原来在局部
坐标系中所得到的单元表达等价地变换到整体坐标系中， 这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成和装配。
9．试举一个有限元分析应用实例
10．可靠性与可靠度二者在概念上有何区别与联系
可靠性 ：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。
2 x1(0)
2x2(0)
解：（1）
f ( X
(0)
)
x1
4
4
f ( X )
4 x2(0)
2x1(0)
1
2
x2
1
2f ( X )
2f ( X )
H ( X
(0)
)
x12
x1x2
2
2
2f ( X )
2f ( X )
2
4
x2x1
x22
H ( X
(0 )
)
1
1
4
2
1
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
代入牛顿法迭代公式，得
X
(1)
X
(0)
H ( X
(0 )
)
1
f (X
( 0)
)
1
1
4
2
4
4
1
4
2
2
2源自文库
2
f ( x)
x12
2x22
2 x1x2
4x1
8
极小值点
（2）
2
2
(0 )
T
1
4x
2
1
x
2
12取初始点X
0,0
f (x) 60 10x
x
x x
f ( X )
解：（2）f ( X
(0)
)
x1
10
2x1( 0)
x2(0)
f ( X )
(1)早期失效期，失效率曲线为递减型。产品投于使用的早期，失效率较高而下降很快。主要由于设计、制造、贮存、运输等形成的缺陷，以及调试、跑合、 起动不当等人为因素所造成的。 当这些所谓先天不良的失效后且运转
也逐渐正常，则失效率就趋于稳定，到t0时失效率曲线已开始变平。t0以前
称为早期失效期。针对早期失效期的失效原因，应该尽量设法避免，争取失效率低且t0短。
以上准则是从不同的角度，逐一陈述的，即只考虑了但因素。实际分配中，系统所属产品往往是多因素的，在运用以上准则时要注意综合权衡。
13．什么是串联模型系统若已知组成系统的n个零件中每个零件的可靠度为R (t)，如
何计算串联系统的可靠度
串联系统可靠性： 串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整个系统失效的系统。假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为：
（一）．区间缩小的基本思路
已知f(x)的单峰区间[a, b]。为了缩小区间，在[a, b]内按一定规则对称地取2个内部点
x1和x2，并计算f(x1)和f (x2)。可能有三种情况：
x1和
(a)．f(x1)< f (x2)，经过一次函数比较，区间缩小一次。在新的区间内，保留一个好点
f(x1)，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1对称的点x3，计算f(x3)，与
1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置；
2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交；
3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降；
N（μ，σ）：均数μ决定正态σ越小，曲线越陡峭； σ越大，
5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换；
Y=r-s=f (x1
,x2, ,xn)表示，这又称为功能函数。
设随机函数Y的概率密度函数为
f (Y)，可以通过强度
r与应力s的概率密度函数为f (r)
和f (s)计算出干涉变量
Y=r-s的概率密度函数
f (Y)，因此零件的可靠度可由下式求得：
R p (Y
0)
f (Y ) dY
0
从公式可以看出，因为可靠度是以
4
2x22(0)
x1(0)
0
x2
0
10
4
2f ( X )
2f ( X )
2
2
1
H(X(0))
x1
x1x2
1 2
2f ( X )
2f ( X )
x2x1
x22
H ( X
(0 )
1
1
2
1
1
2
1
)
2
1
1
2
3
1
2
1
2
代入牛顿法迭代公式，得
X(1)
X(0)
H(X(0))
a1=a+(b-a)=, a2=a+(b-a)=
f1=, f2=, f1<f2,新区间[a,a2]=[, ]。
4．求下列函数的极值点，并判断是极大值点或极小值点。
1,1T
（1）f (x)
x12
2x22
2x1x24x1取初始点X( 0)
f ( X )
（其中：f ( X(0 ))x1
f ( X )
x2
2f ( X )
的干涉情况，并在图上示意失效概率F。
参考解：
3．已知某零件的强度r和应力s均服从正态分布，且μr>μs,σr<σs，试用图形表示强
度r和应力s的分布曲线，以及该零件的分布曲线和可靠度R的范围。
参考解：
Y>0安全状态；Y<0安全状态；Y=0极限状态
f (Y)
f (s)
f (r)
强度r与应力s的差可用一个多元随机函数
.解：（1）数学模型
设剪去小正方形的边长为x,
则体积V=x（8-2x）2，应为最大。
（2）第一次迭代a1=a+(b-a)=,a2=a+(b-a)=
f =, f =, f
>f ,新区间[a,a ]=[0, ],
1
2
1
2
2
第二次迭代
应用：威布尔分布： 在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失
效的分布形式。 由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿
命试验的数据处理。
三、计算题
1．现在要用钢板制作一个有盖的长方本储水箱，要求各边长均不超过20
度为宽度的2倍，试确定三边长度值，使该储水箱的容积最大，要求其表面积不超过
（2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。
4．试举一个机械优化设计实例。
5．最优化问题的数值迭代计算中，通常采用哪三种终止条件（准则）
6．在有限元分析时，什么情况下适合选择一维、二维和三维单元
7．试说明有限元解题的主要步骤。
（见第六讲课提纲）
结构或区域离散、单元分析、整体分析和数值求解。
8．在进行有限元分析时，为什么要进行坐标转换
可靠度(Reliability)： 产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率，一般记为R。它是时间的函数，故也记为R（t）,称为可靠度函数，是可靠性指标。
11．简述强度 —应力干涉理论中“强度 ”和 “应力 ”的含义，试举例说明之。
这里应力与强度都不是一个确定的值,而是由若干随机变量组成的多元随机函数(随机
中虚线所示，以延长寿命不多。当然，修复若需花很大费用而延长寿命不多，则不如报废更为经济。
5．用图表示坐标轮换法的迭代过程。
二、简答题
1．简述一维优化方法中黄金分割法的求解思路。
【解】黄金分割法也称0．618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始
区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解。
Min F(X)=2x2+x3
剩余尾料为最少
. 2x1+3x3=100
3m的根数等于100
x +2x =100
4m的根数也等于100
1
2
0≤x1
0≤x2
0≤x3
3．有一边长为8cm的正方形铁皮，在四角剪去相同的小正方形，折成一个无盖盒子，剪去小正方形的边长为多少时铁盒的容积最大。
（1）建立该问题的数学模型。
现代机械设计方法试题-----复习使用
考试形式：闭卷（带计算器与尺）
一、图解题
1．图解优化问题：min F(X)=(x1-6)2+(x2-2)2
s．t．0．5x1+x2≤4
3x1+x2≤9
x1+x2≥1
x1≥0,x2≥0
求最优点和最优值。
最优点就是切点坐标：X1=,x2=
最优值：【带入公式结果】
2．若应力与强度服从正态分布，当应力均值μs与强度均值μr相等时，试作图表示两者
3.质量控制： 为了控制实验中的测量 （或实验） 误差， 常以 作为上、 下警戒值， 以 作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布；
4.正态分布是许多统计方法的理论基础。 检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
16．威布尔分布的特点是什么，主要应用在什么方面
f(x1)比较。如此反复。
(b)．f(x1)> f (x2)，淘汰
，另
，得新区间
。
(c)．f(x1)=f (x2)，可归纳入上面任一种情况处理。
迭代过程
2．简述梯度法的基本原理和特点。
3．简述复合型法的基本原理和特点。
基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。比较
各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
求；另一方面要具有可行性。为此，需遵循以下准则：
⑴危害度愈高，可靠性分配值愈高；
⑵无约束条件时，可靠性的分配值允许较高；
⑶复杂程度高，可靠性的分配值应适当降低；
⑷技术难度大，可靠性的分配值应适当降低；
⑸不成熟产品，可靠性的分配值应适当降低；
⑹恶劣环境条件工作的产品，可靠性的分配值应适当降低；
⑺工作时间长的产品，可靠性的分配值应适当降低。
式中，Ra——系统可靠度；Ri——第i单元可靠度
R=Rn(t )
14．什么是并联模型系统若已知组成系统的n个零件中每个零件的可靠度为R (t)，如
何计算并联系统的可靠度
并联系统可靠性： 并联系统是组成系统的所有单元都失效时才失效的系统。 假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为：
15．正态分布曲线的特点是什么，主要应用在什么方面
可使抗非预期过载的能力增大，从而使失效率显著下降，然而过分地加大，将使产品笨重，不经济，往往也不允许。
(3)耗损失效期， 失效率是递增型。 在t1以后失效率上升较快， 这是由于产品已经老化、疲劳、磨损、蠕变、腐蚀等所谓有耗损的原因所引起的，故称为耗损失效期。针对耗损失效
的原因，应该注意检查、监控、预测耗损开始的时间，提前维修，使失效率仍不上升，如图
(2)偶然失效期，失效率曲线为恒定型，即t0到ti间的失效率近似为常
数。失效主要由非预期的过载、误操作、意外的天灾以及一些尚不清楚的偶然因素所造成。由于失效原因多属偶然，故称为偶然失效期。偶然失效期是
能有效工作的时期， 这段时间称为有效寿命。 为降低偶然失效期的失效率而增长有效寿命，应注意提高产品的质量，精心使用维护。加大零件截面尺寸
Y轴的右边对f (Y)积分，因此可靠度R即为图中Y
轴右边的阴影区域。而失效概率
F=1-R，为图中Y轴左边的区域。
4．用图表示典型产品的失效率与时间关系曲线，其失效率可以分为几个阶段，请分别对这几个阶段进行分析。
失效率曲线 ：典型的失效率曲线。失效率（或故障率）曲线反映产品总
体寿命期失效率的情况。 图示为失效率曲线的典型情况， 有时形象地称为浴盆曲线。失效率随时间变化可分为三段时期：
平方厘米。建立数学模型。
厘米，且长
400
2．要将每根10m长的钢管截成3m和方法。试建立其数学模型。 （提示：钢管有和尾料2m、3根3m和尾料1m。）
4m长的各100根，要求设计出用料最省的下料
3种下料方式，即2根3m和1根4m、2根
4m
.解：建立数学模型
取下料方式Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的根数分别为x1、x2和x3，取剩余尾料为目标函数，则数学模型为：
H (X
(0)
1
1
x22
)
H(X(0))
2f ( X )
x1x2
2
f ( X )
H ( X
(0))
2
x12
f ( X )
x2x1
2f ( X )
x2x1
2f ( X )
x12
2
2
f ( X )
x1x2
f ( X )
x22
X(1)
X(0)
H(X(0)
1
(0))）
)f ( X
（答案：
X(1)
4
）
2
f ( X )
应用1.估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例；
2.制定参考值范围（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及
可以通过转换后服从正态分布的指标。（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。表3-1
中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握；
4、正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作曲线的中心位置； 标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。曲线越扁平；
变量),它们都具有一定的分布规律。
应力：载荷、环境因素、应力基中。强度：材料强度、表面粗糙度、零件尺寸。
12．系统可靠性分配的原则。
要是可靠性分配做到合理，必须一方面满足系统的可靠性指标要求和约束条件要
反复迭代计算， 使复合形不断向最优点移动和收缩， 直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。
初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。
方法特点
1）复合形法是求解约束非线性最优化问题的一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较
各点处函数值的大小， 就可寻找下一步的探索方向。 但复合形各顶点的选择和替换， 不仅要满足目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约束条件。
（见第七讲课提纲）
答：在工程实际中， 杆单元可能处于整体坐标系中的任意一个位置，需要将原来在局部
坐标系中所得到的单元表达等价地变换到整体坐标系中， 这样，不同位置的单元才有公共的坐标基准，以便对各个单元进行集成和装配。
9．试举一个有限元分析应用实例
10．可靠性与可靠度二者在概念上有何区别与联系
可靠性 ：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。
2 x1(0)
2x2(0)
解：（1）
f ( X
(0)
)
x1
4
4
f ( X )
4 x2(0)
2x1(0)
1
2
x2
1
2f ( X )
2f ( X )
H ( X
(0)
)
x12
x1x2
2
2
2f ( X )
2f ( X )
2
4
x2x1
x22
H ( X
(0 )
)
1
1
4
2
1
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4
代入牛顿法迭代公式，得
X
(1)
X
(0)
H ( X
(0 )
)
1
f (X
( 0)
)
1
1
4
2
4
4
1
4
2
2
2源自文库
2
f ( x)
x12
2x22
2 x1x2
4x1
8
极小值点
（2）
2
2
(0 )
T
1
4x
2
1
x
2
12取初始点X
0,0
f (x) 60 10x
x
x x
f ( X )
解：（2）f ( X
(0)
)
x1
10
2x1( 0)
x2(0)
f ( X )
(1)早期失效期，失效率曲线为递减型。产品投于使用的早期，失效率较高而下降很快。主要由于设计、制造、贮存、运输等形成的缺陷，以及调试、跑合、 起动不当等人为因素所造成的。 当这些所谓先天不良的失效后且运转
也逐渐正常，则失效率就趋于稳定，到t0时失效率曲线已开始变平。t0以前
称为早期失效期。针对早期失效期的失效原因，应该尽量设法避免，争取失效率低且t0短。
以上准则是从不同的角度，逐一陈述的，即只考虑了但因素。实际分配中，系统所属产品往往是多因素的，在运用以上准则时要注意综合权衡。
13．什么是串联模型系统若已知组成系统的n个零件中每个零件的可靠度为R (t)，如
何计算串联系统的可靠度
串联系统可靠性： 串联系统是组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致整个系统失效的系统。假定各单元是统计独立的，则其可靠性数学模型为：
（一）．区间缩小的基本思路
已知f(x)的单峰区间[a, b]。为了缩小区间，在[a, b]内按一定规则对称地取2个内部点
x1和x2，并计算f(x1)和f (x2)。可能有三种情况：
x1和
(a)．f(x1)< f (x2)，经过一次函数比较，区间缩小一次。在新的区间内，保留一个好点
f(x1)，下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1对称的点x3，计算f(x3)，与
1、集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置；
2、对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交；
3、均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降；
N（μ，σ）：均数μ决定正态σ越小，曲线越陡峭； σ越大，
5、u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换；
Y=r-s=f (x1
,x2, ,xn)表示，这又称为功能函数。
设随机函数Y的概率密度函数为
f (Y)，可以通过强度
r与应力s的概率密度函数为f (r)
和f (s)计算出干涉变量
Y=r-s的概率密度函数
f (Y)，因此零件的可靠度可由下式求得：
R p (Y
0)
f (Y ) dY
0
从公式可以看出，因为可靠度是以
4
2x22(0)
x1(0)
0
x2
0
10
4
2f ( X )
2f ( X )
2
2
1
H(X(0))
x1
x1x2
1 2
2f ( X )
2f ( X )
x2x1
x22
H ( X
(0 )
1
1
2
1
1
2
1
)
2
1
1
2
3
1
2
1
2
代入牛顿法迭代公式，得
X(1)
X(0)
H(X(0))
a1=a+(b-a)=, a2=a+(b-a)=
f1=, f2=, f1<f2,新区间[a,a2]=[, ]。
4．求下列函数的极值点，并判断是极大值点或极小值点。
1,1T
（1）f (x)
x12
2x22
2x1x24x1取初始点X( 0)
f ( X )
（其中：f ( X(0 ))x1
f ( X )
x2
2f ( X )
的干涉情况，并在图上示意失效概率F。
参考解：
3．已知某零件的强度r和应力s均服从正态分布，且μr>μs,σr<σs，试用图形表示强
度r和应力s的分布曲线，以及该零件的分布曲线和可靠度R的范围。
参考解：
Y>0安全状态；Y<0安全状态；Y=0极限状态
f (Y)
f (s)
f (r)
强度r与应力s的差可用一个多元随机函数